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  • 1、solve函数用法solve('函数方程组')---方程ezplot('函数方程组',[x1 x2 y1 y2])---画函数的方程root(f,x,k)——f表达式的k阶开根,x是变量。symbolic(象征性的);polynomial(多项式);integer(整数);specify...

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    1、solve函数用法

    solve('函数方程组')---解方程

    ezplot('函数方程组',[x1 x2 y1 y2])---画函数的方程

    root(f,x,k)——f表达式的k阶开根,x是变量。

    symbolic(象征性的);polynomial(多项式);integer(整数);specify(指明);correspond(对应);constructing(构造);variable(变量);short-hand(速记);

    notation(符号);

    solve(‘方程1’,‘方程2’,‘方程3’,‘方程4’)——可以解方程组

    2、利用函数对方程展开与合并

    syms——产生一个变量,如果不产生变量,直接使用expand函数对多项式进行扩展,MATLAB运行会出错,具体用法:

    2.1 syms x——产生一个变量x;

    2.2 expand(多项式)——对多项式进行扩展;

    >> syms y;

    >> expand((y-2)*(y+8))

    ans = y^2+6*y-16

    2.3 collect(多项式)——对多项式进行化简

    >> syms x;

    >> collect(x*(x^2 - 2))

    ans = x^3-2*x

    2.4 factor(多项式)——对多项式进行因式分解

    >> syms x;syms y;

    >> factor(x^2 - y^2)

    ans = (x-y)*(x+y)

    还可以使用一个命令同进对多个方程式进行因式分解:

    >> factor([x^2-y^2, x^3+y^3])

    ans = [ (x-y)*(x+y), (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]

    2.5 简化simplify 命令

    >> syms x;

    >> simplify((x^4-81)/(x^2-9))

    ans = x^2+9

    2.6 使用指数和对数函数求解方程

    lambertw是matlab的一个函数意思是x*e^x=W;

    W = lambertw(Z) solves W*exp(W) = Z.

    W = lambertw(K,Z) is the K-th branch of this multi-valued function.

    不是很清楚lambertw这个表示方式。

    multi-valued(多值);

    2.7 Taylor级数的MATLAB操作函数

    >> syms x

    >> s = taylor(sin(x))

    s = x-1/6*x^3+1/120*x^5

    不声明,默认展开到第三项!

    taylor(f, m)——f是函数,m是展开到多少级。

    polynomial(多项式);approximation(近似);expansion(扩张);multivariate(多变量);

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  • PAGE / NUMPAGES 用MATLAB解方程的三个实例 作者 周兆安 1对于多项式p(x)=x3-6x2-72x-27求多项式p(x)=0的根可用多项式求根函数rootsp其中p为多项式系数向量即 >p =[1,-6,-72,-27] p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是...
  • MATLAB求解方程(1)roots函数功能:用于求解多项式方程的根,以列矢量的形式返回多项式的根。调用格式:r=roots(p),p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。示例:求方程3x2-2x-4=0的根。代码:p=[3,-2,-4];r=roots(p...
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    MATLAB求解方程

    (1)roots函数

    功能:用于求解多项式方程的根,以列矢量的形式返回多项式的根。

    调用格式:r=roots(p)p是多项式系数按降幂排列所形成的向量。

    示例:求方程3x2-2x-4=0的根。

    代码:

    p=[3,-2,-4];

    r=roots(p);

    方程的根为x1=1.5352,x2=-0.8685.

    (2)solve函数

    功能:用于求解方程的符号解。

    调用格式:r=solve(eq,var),eq为待求解符号函数表达式;var为自变量。

    [y1,...,yn,parameters,conditions]=solve(eq,vars,Name,value),eq为待求解符号函数表达式;var为自变量;Name属性主要有'ReturnConditions','IgnoreAnalyticConstraints','IgnoreProperties','MaxDegree','PrincipalValue','Real';value值有false和true,默认为false。

    ReturnConditions:是否返回参数条件;ReturnConditions为真时,返回参数条件;value值有false和true,默认为false。

    IgnoreAnalyticConstraints:方程的化简方法;value值有false和true,默认为false。

    IgnoreProperties:返回与变量属性不一致的解;value值有false和true,默认为false。

    MaxDegree:多项式方程的最高阶次;value默认值为2。

    PrincipalValue:是否返回一个根;PrincipalValue为真时,仅返回一个根,如果方程无根,则返回一个空符号;PrincipalValue为假时,返回所有的根;value值有false和true,默认为false。

    Real:是否仅返回实根;Real为真时,仅返回实根;value值有false和true,默认为false。

    示例1:采用solve求解方程sinx=1的解。

    代码1:

    syms x

    eq= sin(x) == 1;

    r = solve(eqn,x)

    示例2:采用solve求解方程sin(x) + cos(2*x) = 1的解

    代码2:

    syms x

    eqn = sin(x) + cos(2*x) == 1;

    solve(eqn, x, 'PrincipalValue', true)

    solve(eqn, x, 'PrincipalValue', false)

    PrincipalValue为真时,解为0;PrincipalValue为假时,解为0,π/6,5π/6

    示例3:求方程组d437f05c52751c814d7a751a74f6d410.png的解

    代码3:[x,y,z]=solve('x+2*y-z=27','x+z=3','x^2+3*y^2=28','x','y','z')

    注意待求解变量大于2个时,声明的变量顺序就是solve返回解的顺序。

    有单引号时,等号用“=”;无单引号时,等号用“==”

    (3)fsolve函数

    功能:用最二乘法求非线性方程的根。

    调用格式:r=fsolve(eq,x0),eq为非线性方程,x0为初始值;用于求非线性方程eq在x0附近的近似解。

    r=fsolve(eq,x0,options),eq为非线性方程,x0为初始值,options为优化选项,用optimoptions设置选项;用指定的优化选项解方程。

    示例:求解方程e9f83b8181eafa93744b84abf9ba97e7.png的解。

    代码:

    fun = @root2d;
    x0 = [0,0];
    x = fsolve(fun,x0)
    单独定义方程为函数root2d
    function F=root2d(x)
    F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
    F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;求得方程的根为x1=0.3532;x2=0.6061;

    (4)fzero函数

    功能:求非线性方程在给定值附近的根

    调用格式:

    r=fzero(eq,x0),eq为非线性方程,x0为初始值;用于求非线性方程eq在x0附近的近似解。

    r=fzero(eq,x0,options),eq为非线性方程,x0为初始值,options为优化选项,用optimoptions设置选项;用指定的优化选项解方程。

    示例:求解方程sinx=0在3附近的根

    代码:

    fun = @sin;

    x0 = 3; 

    x = fzero(fun,x0)

    求得方程的根为x=3.1416.

    (5)linsolve函数

    功能:求线性方程组的解

    调用格式:r=linsolve(A,B),用于求解线性方程组Ax=B的解,B为列向量。

    r=linsolve(A,B,opts)

    示例:求线性方程be856151bb3d48e941a6a96f503d3f23.png的解。

    代码:

    A=[1 2 -1; 1 0 1; 1 3 0];

    B=[2;3;8];

    X=linsolve(A,B);

    c67ac5f19b9bf6b7b4bc6c896d64a136.gif

    饭可以一日不吃

    觉可以一日不睡

    书不可以一日不读

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  • 矩阵的基本运算;矩阵的基本运算;矩阵的特征值特征向量特征多项式; 线 性 方 程 组;...例5-21 求非齐次线性方程组的通 MATLAB命令为 B=[1 -1 -1 1 0;1 -1 1 -3 1;1 -1 -2 3 -1/2]; rref(B) ans = 1
  • .iuu .iuu .iuu .iuu .iuu .iuu Matlab 多项式运算与代数方程求解器 主要内容 多项式的表达方式 多项式的四则运算 多项式的求导 求多项式的值 求多项式的零点 求线性方程组 求非线性方程的根 符号求解或求根 ....
  • 线性代数中最核心的一个操作是不同的矩阵方程,包括线性方程组和特征向量等。在传统计算机上,矩阵方程需要一些精心设计的算法,如高斯消元法、LU分解法,然后在多项式时间内(比如O(N3),N是矩阵行/列数)获得...
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    线性代数存在于几乎所有的科学和工程领域,比如统计学、物理学、信号处理,和机器学习。线性代数中最核心的一个操作是解不同的矩阵方程,包括解线性方程组和特征向量等。在传统计算机上,解矩阵方程需要一些精心设计的算法,如高斯消元法、LU分解法,然后在多项式时间内(比如O(N3),N是矩阵行/列数)获得方程解。

    在大数据时代,人们要处理的数据呈爆发式增长,而很多数据处理本质是一个矩阵方程问题,如谷歌的网页排序(PageRank算法)、利用超级计算机模拟量子效应(解薛定谔方程)。随着摩尔定律的失效,以及由于冯诺依曼架构存储、计算分离的固有限制,想更快、更省地完成数据处理变得越来越难,而计算的时间和能耗效率在大数据时代显得尤为重要。

    近年来,存内计算(in-memory computing)兴起,通过在存储单元内完成计算将显著提高计算效率。一个典型的存内计算例子是利用阻变存储器(或称忆阻器)的交叉阵列一步完成矩阵-向量乘法的运算,从而快速完成包括训练神经网络在内的大数据任务。然而,一步解矩阵方程,如线性方程组Ax = b,仍然是一个挑战。在我们最新的PNAS文章里,我们报道了利用交叉存储阵列,通过引入反馈电路,可以一步解线性方程组和矩阵的特征向量,进而实现一步解微分方程,包括傅里叶方程、薛定谔方程,和一步完成谷歌的网页排序。

    对于解线性方程组Ax = b,我们采用的电路如图1(a)所示。电路中包含了一个交叉存储阵列,阵列中每一个行线和列线之间有一个阻变存储器件,它的电导值一一对应于矩阵中的一个元素值。已知向量b由行线的输入电流表示,通过运算放大器(运放)引入的负反馈机制将使行线虚接地,从而列线上运放的输出电压可以表示未知向量x的解值。由于矩阵A以非易失的形式存储在交叉阵列中,一旦施加输入电流,相应的线性方程组就能一步得到解答。实验中,我们存储的矩阵A如图1(a)所示。图1(b)给出了一个相应的线性方程组的实验解,以及它的解析解。可以看到,实验解十分接近解析解(相对误差在3%),从而证明了我们方案的可行性。逆矩阵也是线性代数中一项非常重要的内容,它也可以通过求解多个线性方程组获得,实验解和解析解的比较如图1(c)所示。

    7716b1f8836a6daabe705a8be7ad6679.png

    图1. 线性方程组求解电路及求解结果。

    阻变存储器件的电导值只能为正数,因此图1(a)的电路只适用于解系数为正的线性方程组。为了使我们的方案具有普适性,即,解任意实数的线性方程组,我们进一步拓展了电路,如图2(a)所示。图中利用了两个交叉阵列和反相器,实现了两个正矩阵之间的差,从而能够代表任意实数矩阵。基于该普适的线性方程组求解电路,利用有限差分法,我们求解了一个微分方程。如图2(b)所示,在两个电极之间施加一个电压,电极之间导线上的温度分布可以用一维静态傅里叶方程来描述。图2(c)给出了该微分方程的电路解,可以发现与方程的解析解完美重合,从而证明了我们的电路用于快速求解实际问题的可靠性。

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    图2. 针对任意实数矩阵的线性方程组求解电路,及求解热传导的一维傅里叶方程。

    基于交叉存储阵列和运放的负反馈机制,我们还能求解矩阵方程Ax = λx,λ为矩阵的特征值,x为相应的特征向量。电路如图3(a)所示,矩阵A依然由交叉阵列表示,λ由跨阻放大器的跨导表示,反相器的输出电压即为待解的x,从而实现一步求解特征向量。需要注意的是,图3(a)电路用于求解正特征值的特征向量,而假如求解负特征值的特征向量,将反相器移去即可,负特征值的绝对值依然由跨阻放大器的跨导表示。和线性方程组求解电路一样,特征向量求解电路也可以拓展到任意实数矩阵。谷歌公司的网页排序算法(PageRank)本质上就是求解一个随机矩阵的最大特征值的特征向量,因此,我们的电路可以用于一步实现网页排序,而不需要繁复的迭代算法,从而为搜索引擎提供加速。图3(b)表示了各科技巨头公司的Wikipedia网页之间的连接情况(网页i指向网页j代表网页i引用网页j),图3(c)则给出了电路解的排序结果和解析解之间的比较,可以发现二者排序一致。

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    图3. 特征向量求解电路及PageRank。

    薛定谔方程HΨ = EΨ是量子力学的基础,为了获得一个量子系统的波函数分布,必须求解相应的薛定谔方程。作为一个微分方程,薛定谔方程可以通过有限差分法转化为一个特征向量问题。图4(a)是一个一维量子势阱,为了求解它的基态波函数,我们将待求解的波函数离散化,从而将哈密顿量H 转化为一个矩阵,基态能量E 则是最小特征值(负数),而离散化Ψ则是待求解的特征向量。图4(b)给出了该波函数的电路解,可以看到它很好地描述了一维量子势阱基态的波函数分布,因此证明了我们的电路具有很大的潜力用于加速模拟量子系统,比如在新型材料合成和新型药物开发等领域。

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    图4. 利用特征向量求解电路解一维量子势阱的基态波函数。

    在我们的工作中,通过利用非易失的阻变存储器(忆阻器)交叉阵列和引入负反馈机制,常见的线性代数问题,包括解线性方程组、解特征向量、解微分方程可以在一步内完成,从而显著提高计算速度,同时降低计算能耗,为未来的存内计算系统应用于实际的大数据问题中打下了坚实基础。

    该工作由来自意大利米兰理工大学的一支团队完成,团队专注于利用新型存储器件加速传统计算和机器学习的开发。孙仲博士为论文的第一作者,Daniele Ielmini教授为论文的通讯作者。

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    一、solve() 语句符号求解

    1. 解单变量方程

    在这里插入图片描述

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    2. 解数值方程

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    >> syms x;
    >> eqn= x^3-2*x^2 == x-1;
    >> s = solve(eqn,x)
    

    在这里插入图片描述

    3. 解超越方程

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    并不能得到全部的解

    4. 解方程组

    在这里插入图片描述

    clear;
    clc;
    syms x y;
    eqn = [x^2 + y^2 -1 ==0,0.75*x^3 - y + 0.9 ==0];
    S = solve(eqn,[x,y]);
    

    在这里插入图片描述

    二、fsolve() 数值求解:非线性方程

    function eq = fun1(x)
        eq(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1));
        eq(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2)); 
    end
    

    在这里插入图片描述

    三、fzero():解方程组的根

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    四、roots() 语句的用法:求解多项式的根

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    五、求解线性方程组

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  • MATLAB 求解方程

    2020-04-16 16:31:43
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  • 一元以及二元多项式插值拟合(泰勒)

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