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  • 本期视频时长约70分钟,通过具体的系统分析案例,详细地讲解了连续系统的三种时域分析方法:系统微分方程求解法,基于传递函数的lsim求解方法,基于冲激响应的卷积积分求解法。视频的最后,还对各种方法进行了总结和...
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    前言

    卷积积分是线性系统时域分析最基本的方法,为加深对线性系统时域分析的理解,下面先讨论卷积积分
    所用matlab函数:
    stepfun(t,t0) 阶跃函数,t0为起点为1;
    conv(f1,f2) 卷积;
    ezplot(dslove(‘微分方程’,‘零状态’),[A,B])函数ezplot无需数据准备,可以直接画出函数的图形;ezplot(f,[A,B]):f是关于x的函数(A<x<B) 且自动将函数表达式当做标题显示
    sys=tf(b,a); 传输函数,分子的系数为b,分母的系数为a;
    impulse(sys,t) 求其冲激响应;
    step(sys,t) 求其阶跃响应;
    y=lsim(sys,f,t,zi); 对系统输出进行仿真求其输入f的全响应,zi为初始条件 ;
    1.分子分母形式:lsim(num,den,u,t);
    2.传递函数形式:lsim(sys,u,t) ;
    3.状态空间形式: [A B C D]=tf2ss(b,a); %将传递函数转换到状态空间表达式lsim(A,B,C,D,u,t) %然后求其响应
    或者将状态空间用sys表示:sys=ss(A,B,C,D);lsim(sys,u,t)
    不加zi初始条件,则是零状态响应;

    卷积

    在这里插入图片描述
    这是卷积的表达式,
    1.任意函数与冲激函数卷积等于函数本身
    2.任意函数与冲激函数延迟t0卷积等于函数延迟t0
    3.任意函数与阶跃函数卷积等于函数的积分
    卷积的性质
    1.交换律 2.分配率 3.结合律 4.时移性质 5.微积分性质
    常用信号的卷积公式
    在这里插入图片描述
    例题来深入理解卷积
    NO.1
    用MATLAB画出门函数3[ε(t+1)–ε(t–2)]与指数函数2e–2t卷积的图形。
    解:MATLAB程序如下:

    %求f1和f2的卷积
    T=0.01;
    t1=-2:T:2;
    t2=0:T:3;   %生成两个待卷积信号的时间向量
    f1=3*(stepfun(t1,-1)-stepfun(t1,2));
    f2=2*exp(-2*t2);
    y=conv(f1,f2);
    y=y*T;  **%卷积运算求的是重叠区域的值相乘求积分,即是面积,所以要乘上时间间隔**
    t=-2:T:5;    **%序列y的非零值的宽度 m+n-1   t11+t21:t12:t22**
    subplot(311)
    plot(t1,f1);
    axis([-2 5 min(f1) max(f1)+0.5]);
    title('f1')
    subplot(312)
    plot(t2,f2);
    axis([-2 5 min(f2) max(f2)+0.5]);
    title('f2')
    line([0,0],[0,max(f2)]);
    subplot(313)
    plot(t,y);
    axis([-2 5 min(y) max(y)+0.5]);
    title('卷积结果y')
    

    在这里插入图片描述
    NO.2
    画出门函数[ε(t+1)–ε(t–2)]与门函数3[ε(t)–ε(t–2)]卷积的图形。
    解:MATLAB程序如下:

    %求f1和f2的卷积
    T=0.01;
    t1=-2:T:2;
    t2=0:T:3;   %生成两个待卷积信号的时间向量
    f1=(stepfun(t1,-1)-stepfun(t1,2));
    f2=3*(stepfun(t2,0)-stepfun(t2,2));
    y=conv(f1,f2);
    y=y*T;  %卷积运算求的是重叠区域的值相乘求积分,即是面积,所以要乘上时间间隔
    t=-2:T:5;    %序列y的非零值的宽度 m+n-1   t11+t21:t12:t22
    subplot(311)
    plot(t1,f1);
    axis([-2 5 min(f1) max(f1)+0.5]);
    title('f1')
    subplot(312)
    plot(t2,f2);
    axis([-2 5 min(f2) max(f2)+0.5]);
    title('f2')
    line([0,0],[0,max(f2)]);
    subplot(313)
    plot(t,y);
    axis([-2 5 min(y) max(y)+0.5]);
    title('卷积结果y')
    

    在这里插入图片描述
    NO.3
    在这里插入图片描述
    求系统零输入响应

    %求解系统的零输入响应
    subplot(311);
    ezplot(dsolve('D2y+5*Dy+6*y=0','y(0)=1,Dy(0)=-1'),[0 8])    %函数ezplot无需数据准备,可以直接画出函数的图形,画隐函数图形很方便
    % ezplot(f,[A,B]):f是关于x的函数(A<x<B) 且自动将函数表达式当做标题显示
    axis auto
    subplot(312);
    ezplot(dsolve('D2y+2*Dy+5*y=0','y(0)=2,Dy(0)=-2'),[0 8])
    axis auto
    subplot(313);
    ezplot(dsolve('D3y+4*D2y+5*Dy+2*y=0','y(0)=0,Dy(0)=-1,D2y(0)=-1'),[0 8])
    axis auto
    

    在这里插入图片描述
    NO.4
    已知系统为i’’(t)+5i’(t)+6i(t)=e’(t),利用MATLAB求系统的冲激响应和阶跃响应。
    解:求系统零状态响应的MATLAB程序如下:

    %求解系统的冲激响应和阶跃响应
    %D2i+5*Di+6*i=De
    b=[1 0];
    a=[1 5 6];
    sys=tf(b,a);  %传输函数,分子的系数为b,分母的系数为a
    t=0:0.1:10;
    y=impulse(sys,t) %求其冲激响应
    plot(t,y)
    figure
    y=step(sys,t) %求其阶跃响应
    plot(t,y)
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    NO.5
    利用MATLAB解方程y″(t)+4y′(t)+3y(t)=f′(t)+3f(t),f(t)=e–tε(t)的零状态响应。
    解:求系统零状态响应的MATLAB程序为:

    %求解y''(t)+4y'(t)+3y(t)=f'(t)+3f(t),f(t)=exp(-t)u(t) 零状态响应
     clear all;
     ts=0;te=10;dt=0.01;
     sys=tf([1 3],[1 4 3]);
     t=ts:dt:te;
     x=exp(-1*t);
     y=lsim(sys,x,t)                 %计算零状态响应?x为输入 t为时间向量
     plot(t,y);   
     xlabel('t(sec)');ylabel('y(t)');   
     axis([t(1) t(length(t)) -0.5 0.5]); 
     grid on;
    
    

    在这里插入图片描述
    NO.6
    已知系统为y″(t)+y(t)=f(t),初始条件y′(0)=–1,y(0)=0,激励f(t)=cos2πt,利用MATLAB求系统的完全响应。

    %求y''(t)+y(t)=f(t) y'(0)=-1 y(0)=0 f(t)=cos(2pit) 完全响应
    clear;
    b=[1];a=[1 0 1];       %b是分子的系数矩阵,a是分母的系数矩阵??    
    sys=tf(b,a);    
    t=0:0.1:30;
    f=cos(t);
    zi=[-1 0];   %初始条件
    y=lsim(sys,f,t,zi);  %1.分子分母形式lsim(num,den,u,t)
    %2.传递函数形式 lsim(sys,u,t)  3.状态空间形式lsim(A,B,C,D,u,t)  [A B C D]=tf2ss(b,a); sys=ss(A,B,C,D);  不加初始条件就是零状态响应
    plot(t,y);   
    xlabel('时间(t)');
    ylabel('y(t)');   title('系统的全响应');   line([0,30],[0,0]);
    
    

    在这里插入图片描述

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  • 1.符号求解求解微分方程,信号零输入与零状态: 实验代码如下: 2.符号求解求解微分方程,信号零输入与零状态以及完全响应: eq= 'D2y+3*Dy+2*y=0'; cond= 'y(0)=0,Dy(0)=2'; yzi=dsolve(eq,cond);yzi=...

    1.符号求解求解微分方程,信号的零输入与零状态:
    实验代码如下:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    2.符号求解求解微分方程,信号的零输入与零状态以及完全响应:

    eq= 'D2y+3*Dy+2*y=0';
    cond= 'y(0)=0,Dy(0)=2';
    yzi=dsolve(eq,cond);yzi=simplify(yzi);
    eq1='D2y+3*Dy+2*y=Dx+3*x';
    eq2='x=exp(-3*t)*heaviside(t)';
    cond1='y(-0.001)=0,Dy(-0.001)=0';
    yzs=dsolve(eq1,eq2,cond1);yzs=simplify(yzs.y);
     yt=simplify(yzi+yzs);
    subplot(221),ezplot(yzi,[0,8]),grid on,title('零输入响应');
    subplot(222),ezplot(yzs,[0,8]),grid on,title('零状态响应');
    subplot(223),ezplot(yt,[0,8]),grid on,title('完全响应');
    

    实验结果如下
    3.连续时间系统零状态响应的数值求解1:

    ts=0;te=5;dt=0.01;
    sys=tf([6],[1,5,6]);
    t=ts:dt:te;
    >> f=10*sin(2*pi*t).*(t>=0);
    >> y=lsim(sys,f,t);
    >> plot(t,y),grid on
    >> xlabel('Times(sec)'),ylabel('y(t)'),title('零状态响应')

    绘制图像如下:
    这里写图片描述
    4.连续时间系统零状态响应的数值求解2:

    ts=0;te=8;dt=0.01;
    >> sys=tf([1,3],[1,3,2]);
    >> t=ts:dt:te;
    >> f=exp(-3*t).*(t>=0);
    >> y=lsim(sys,f,t);
    >> plot(t,y);
    >> grid on
    >> axis([0 8 -0.02 0.27]);
    >> xlabel('Times(sec)'),ylabel('y(t)');
    >> title('零状态响应')

    实验结果如下图:
    这里写图片描述
    5.
    连续时间系统冲激响应与阶跃响应的求解:

    t=0:0.01:4;
    sys=tf([1,16],[1,2,32]);
    h=impulse(sys,t);%冲激响应
    g=step(sys,t);%阶跃响应
    >> subplot(221),plot(t,h),grid on,xlabel('Time(sec)'),ylabel('h(t)'),title('冲激响应');
    >> subplot(222),plot(t,g),grid on,xlabel('Time(sec)'),ylabel('g(t)'),title('阶跃响应');
    

    实验图:
    这里写图片描述

    展开全文
  • 1、dsolve函数 在MATLAB中求解常系数微分方程可以利用dsolve(‘eq1,eq2,…’,’cond1,cond2,…’,’v’)函数,其中参数eq表示各个微分方程,微分和...利用dslve()函数可以求出系统微分方程零输入性响应和零状态响...

    1、零状态响应
    题目如下

    我们用lsim(sys,f,t)来求解零状态响应,关于此函数用法看下图

    代码如下

    ts=0;te=5;dt=0.01;
    sys=tf([2,-4],[1 5 4]);   %得到LTI系统模型,其实就是所要求解的微分方程的各项系数
    t=ts:dt:te;
    f=heaviside(t);           %设定激励为阶跃信号
    yzs=lsim(sys,f,t);        %求解零状态响应
    plot(t,yzs)
    grid on
    xlabel('t');
    ylabel('yzs(t)');
    title('零状态响应曲线')


    2、零输入响应
    题目如下

    我们用dsolve(‘eq1,eq2,…’,’cond1,cond2,…’,’v’)函数来求解,关于此函数用法看下图

    代码如下

    eq='D2y+5*Dy+4*y=0';      %求解零输入响应时,激励应该令其为0
    cond='y(0)=1,Dy(0)=5';    %初始条件
    yzi=dsolve(eq,cond)

    结果如下

    yzi =
    
    3*exp(-t) - 2*exp(-4*t)

    3、冲激响应和阶跃响应
    如果激励是冲激函数或者阶跃函数,我们除了用上面提到的两个函数(lsim(),dsolve())外,还可以利用专门求解冲激响应和阶跃响应的函数,冲激响应h=impulse(sys,t),阶跃响应g=step(sys,t)
    代码如下

    t=0:0.002:4;
    sys=tf([1,32],[1,4,64]);      %LTI系统
    h=impulse(sys,t);             %求解冲激响应
    g=step(sys,t);                %求解阶跃响应
    subplot(211)
    plot(t,h)
    grid on
    xlabel('时间/s')
    ylabel('h(t)');
    title('冲激响应');
    subplot(212)
    plot(t,g)
    grid on
    xlabel('时间/s')
    ylabel('g(t)');
    title('阶跃响应')


    4、卷积
    信号的卷积运算有符号算法和数值算法,此处采用数值计算法,需要调用MATLAB中的conv()函数来近似计算信号的卷积积分
    例:用数值计算法求f1(t)=u(t)-0.5u(t-2)与f2(t)=2e^(-3t)u(t)的卷积积分,其中u(t)代表阶跃信号
    代码如下

    dt=0.01;
    t=-1:dt:2.5;
    f1=heaviside(t)-0.5*heaviside(t-2);
    f2=2*exp(-3*t).*heaviside(t);
    f=conv(f1,f2)*dt;
    n=length(f);
    tt=(0:n-1)*dt-2;
    subplot(221)
    plot(t,f1);
    grid on
    axis([-1,2.5,-0.2,1.2])
    title('f1(t)');
    xlabel('t')
    ylabel('f1(t)');
    subplot(222)
    plot(t,f2);
    grid on
    axis([-1,2.5,-0.2,1.2])
    title('f2(t)');
    xlabel('t')
    ylabel('f2(t)');
    subplot(212)
    plot(tt,f)
    grid on
    title('卷积积分')
    xlabel('t')
    ylabel('f3(t)')

    展开全文
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  • 1.符号法与数值求解微分方程零输入与零状态响应: %微分方程符号法求解零输入响应 eq='D2y+4*Dy+4*y=0'; cond='Dy(0)=1,y(0)=2'; yzi=dsolve(eq,cond);simplify(yzi) %微分方程符号法求解零状态响应 eq1='D2y+4...

    1.符号法与数值求解微分方程的零输入与零状态响应:

    %微分方程符号法求解零输入响应
    eq='D2y+4*Dy+4*y=0';
    cond='Dy(0)=1,y(0)=2';
    yzi=dsolve(eq,cond);simplify(yzi)
    %微分方程符号法求解零状态响应
    eq1='D2y+4*Dy+4*y=Dx+3*x';
    eq2='x=exp(-t)*heaviside(t)';
    cond='Dy(-0.01)=0,y(-0.01)=0';
    yzs=dsolve(eq1,eq2,cond);simplify(yzs.y)
     yzi =exp(-2*t)*(5*t + 2)
     yzs =(exp(-2*t)*(sign(t) + 1)*(t + 2*exp(t) - 1))/2
     %数值求解微分方程的零状态响应
     t=0:0.01:4;
    >> f=exp(-t).*(t>=0);
    >> y=lsim(sys,f,t);
    >plot(t,y),grid on

    实验结果:
    123
    2.使用MATLAB命令画出系统的冲激响应与阶跃响应:

    clear all
    t=0:0.01:8;
    sys=tf([1,0],[1,2,2]);
    h=impulse(sys,t);
    g=step(sys,t);
    %绘制冲激响应图像
    subplot(121),plot(t,h),grid on
    xlabel('Time(sec)'),ylabel('h(t)'),title('冲激响应');
    %绘制阶跃响应图像
    >> subplot(122),plot(t,g),grid on
    >> xlabel('Time(sec)'),ylabel('g(t)'),title('阶跃响应');

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