max与min函数的概率分布思考

@(概率论)

给定一样本序列则： 
max(X1,X2,...,Xn)≤a⟺X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a

min(X1,X2,...,Xn)≥a⟺X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a

即：最大值小于时，则表示碰到天花板，每一个元素都是在天花板下，即，每一个都小于这个极限值。

最小值大于时，则每个元素都将大于这个底线值。

这是关于max，min的最基本的知识储备。

因此：

P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)=P(X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a)

P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)=P(X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a)

这是可以直接求解类型。

而，

P(max(X1,X2,...,Xn)≥a)=1−P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)

特别注意转化时是以max这一整块为单位的。

同理：

P(min(X1,X2,...,Xn)≤a)=1−P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)

max不能转化到min，这是需要注意的细节。一定都是只在min或者max自己的范围内进行。也就是说max,min只是一种关系，设这种关系是f(x),

则:

P(f(x)≤a)=1−P(f(x)>a)

P(f(x)≥a)=1−P(f(x)<a)

道理是一模一样。

然后根据最小值大于某值，则根据底线思维，每个值都大于这个值，再根据变量之间的独立性，拆开成多份。

最大值小于某只，根据上限思维，每个值都小于这个值，再根据变量之间的独立性，拆开成多份。

正太分布函数 rnorm() 

泊松分布函数rpois() 

指数分布函数rexp() 

Gamma分布函数rgamma() 

均匀分布函数runif() 

二项分布函数rbinom() 

几何分布函数rgeom()

“


  
x1=round(runif(100,min=80,max=100)) 

  x1 

    [1]  97  84  83  98  88  80  99  89  89  95  94  99  81 

   [14]  90  94  95  83  85  96  99  82  87  93  88  93  83 

   [27]  92  85  94  96  93  89  84  99  82  88  97  88  86 

   [40]  80  83  83  92  85  95  96  89  92  81  99  95  96 

   [53]  99  82  86  95  89  97  82  96  87  88  88  96  89 

   [66]  90  99  87  86  81  86  95  87  90  91  88  92 100 

   [79]  82  99  82  98  82  83  81  96  99  87  95  96  84 

   [92]  97  85  84  99  91  87  90  87  80 

  x2=round(rnorm(100,mean=80,sd=7)) 

  x2 

    [1] 67 74 83 80 79 81 79 85 75 81 93 75 73 76 76 72 80 78 

   [19] 76 95 87 81 76 66 80 79 95 77 85 72 75 90 81 81 88 78 

   [37] 84 76 83 88 77 67 85 87 88 80 86 82 87 57 84 79 82 86 

   [55] 82 88 71 68 73 76 75 81 89 64 65 94 93 87 86 87 88 98 

   [73] 82 86 90 79 82 72 73 88 78 81 77 71 84 81 71 92 77 87 

   [91] 73 80 79 90 89 86 99 80 74 78 

  x3=round(rnorm(100,mean=83,sd=18)) 

  x3 

    [1]  89  57  73  67 108  56  75  88 119  76  87 108  77 

   [14]  72  66  94  60 104  60 104  99  86  94  78  81  57 

   [27]  82 115 108  87  75  34  41  91  95  69  92  82  62 

   [40] 104  85 109 112 100  67  52 110  90  56  77  98  23 

   [53]  38  66  97  76  81  85  58 107  84  80  79  80  83 

   [66]  99  73  99 113 102  94 100  95 107  60  46 101  80 

   [79]  72  86  89  59  96  84  86  74  71  74  64 103 109 

   [92]  72  95  61 101 115  45  94  97  98 

  x3[which(x3>100)]=100 

  x3 

    [1]  89  57  73  67 100  56  75  88 100  76  87 100  77 

   [14]  72  66  94  60 100  60 100  99  86  94  78  81  57 

   [27]  82 100 100  87  75  34  41  91  95  69  92  82  62 

   [40] 100  85 100 100 100  67  52 100  90  56  77  98  23 

   [53]  38  66  97  76  81  85  58 100  84  80  79  80  83 

   [66]  99  73  99 100 100  94 100  95 100  60  46 100  80 

   [79]  72  86  89  59  96  84  86  74  71  74  64 100 100 

   [92]  72  95  61 100 100  45  94  97  98

数据标准化就是把有量纲的数据变成无量纲的数据，把量级不同的数据处理到一个层级，从而让不同的数据之间具有可比性。比如收入和体重两个解释变量，收入的单位是元，体重的单位是kg，10000元的收入要和45kg放到一个回归模型里，为了让收入和体重具有可比性，就可以考虑把他俩标准化。
标准化的方法有很多，min-max和zscore就是其中两种，
min-max
min-max可以将数据全部处理到0-1之间
zscore
什么时候适合zscore标准化
做聚类分析的时候，建议使用zscore
附什么是聚类，什么是聚类分析：聚类是什么?
数据像正太分布时，使用zscore效果最好
附怎么看数据长得像不像正太分布——Hamilton Smith：数据的正态性检验与数据转换(基于Stata)
但是Z-Score方法是一种中心化方法，会改变原有数据的分布结构，不适合用于对稀疏数据做

1 二维随机变量

2 边缘分布

3 条件分布

4 相互独立的随机变量

5 两个随机变量的函数的分布