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  • 数据表示与运算进位计数法进制转换任意进制转十进制十进制转任意进制2^n次方之间转换二进制转其他 : n位一组其他转二进制 :1位拆n位数制与编码BCD +0110余3 :BCD基础上+00112421:BCD吗对应权值改成2421...

    进位计数法

    本质是多个不好表示,积攒成一个
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    进制转换

    任意进制转十进制

    在这里插入图片描述

    十进制转任意进制

    • 整数部分 : 除基取余法
      在这里插入图片描述- 小数部分 :乘基取整数法
      在这里插入图片描述

    2^n次方之间的转换

    二进制转其他 : n位一组

    四进制 : n=2 二位一组
    八进制 是2的三次方 所以三位一组
    在这里插入图片描述

    其他转二进制 :1位拆n位

    在这里插入图片描述

    编码

    在这里插入图片描述

    BCD码 +0110

    BCD之间做运算的时候,

    • 当所得数据不在0~9的时候, +6 (0110)
    • 最好还是把BCD转化为十进制,再转化回BCD码
      在这里插入图片描述

    余3码 :BCD码基础上+0011

    0011 是3

    2421码:BCD吗对应权值改成2421

    在这里插入图片描述

    处理字符和字符串

    字符 - ASCII码

    在这里插入图片描述97 a
    65 A
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    字符串 - 多个ASCII码

    _ 代表空格
    大端模式 : 先放高位 - 熟悉
    小端模式 从右向左

    常用的单位 字节 B = Byte = 8bit
    在这里插入图片描述

    校验

    奇偶校验 : 整体查对错

    码距: 找不同,不同的个数
    00001 00005 码距就是1
    12344 12355 码距就是2
    码距为1: 所有的编号都有对应含义
    码距为1的问题: 信息跳变之后,不知道是正确数据还是错误数据

    码距为2:有的编号没有数据含义, 有了检错功能
    当跳变到没有对应数据的码后,接收端就可以知道这个数据是错误的,也可以根据没有数据的码编写对应的错误码,表明错误原因

    奇校验

    奇校验 : 校验位+信息位 出现奇数个1
    信息位 :本来是码距为1 ,加上 校验位后 码距变成了2 具有了检错功能
    特殊情况 : 当两位数据都跳变为1的时候, 奇校验校验不出来
    在这里插入图片描述

    奇偶校验码格式

    首位添加1位奇偶校验位
    在这里插入图片描述

    例题

    奇校验 :校验位 + 数据位 有 奇数个1
    在这里插入图片描述

    海明校验码:

    分组校验 -> 多个校验位 -> 校验位标注出错位

    需要多少个校验位:通过信息位个数得到校验位个数

    1010 -> 1011 ;数据1010 传输过程中变成1011; 校验位 :001 证明第1位出错,2,3位正确
    假设信息位为n ,那么需要多少校验位才能说明所有的错误位置
    假设校验位为k
    每一个信息位 对应2种校验位状态 1:出错 ,0:正确
    那么k个校验位可以对应2^k种状态 ;

    n个信息位 + k个校验位 总共表示n+k个位置
    再加上1个正确状态的位置
    合计n+k+1个位置

    我们需要2^k所有状态都覆盖着n+k+1个位置
    所以2^k >= n+k+1

    比如 1010 信息位是4,属于2~4这个范围 所以我需要的校验位就是3
    在这里插入图片描述

    海明码求解步骤 : 左边为高位

    • 确定海明码位数

    • 确定校验位的分布:从低位往高位放,校验位Pi放在 2^(i-1)位置上
      校验位P1 放在 1位置上; P2 放在2位置上 ;P3 放在4位置上;P4 放在 8位置上

    • 信息位的位置转化为二进制
      D1放在3位置上(H3) 那就是 011;
      D2放在5位置上(H5) 那就是 101;
      D3放在6位置上(H6) 那就是 110;
      D4放在7位置上(H7) 那就是 111;

    • 根据对应位置 把D的值进行异或得到P
      异或 : 不同为1 ,相同为 0 - 类似于偶校验 (填上这个结果,所有的个数为偶数)

    • 纠错: 异或结果P再和位置信息异或得到S
      Si =1 证明第i位出错
      在这里插入图片描述

    当数据位左边为低位的时候 要转化!

    在这里插入图片描述

    CRC 循环冗余码

    信息位K位 + 校验位R位
    在这里插入图片描述

    信息码就是数据
    生成多现实用来得到校验位

    • 确定信息位和校验位的位数和N 确定多项式对应的系数二进制
    • 信息位左移校验码位数R, 补零
    • 相除(模2除法)取余数
      最高位是1 上商数为1
      减法: 相同为0,不同为1

    例题

    在这里插入图片描述

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  • 基数:数制所使用的数码个数称为“基数”或“”,常用“R”表示,称为R进制。如二进制的数码是0、1,为2。位权:指数在不同位置上的权值。在进位计数制中,处于不同数位的数码代表的数值不同。如十进制数111,...
    281745ac4ab032fff18750630115cd05.png

    三、计算机中信息的表示

    (一)数制及其转换 ★★★

    进位计数制:用进位的原则进行计数称为进位计数制,简称数制。

    数码:一组用来表示某种数制的符号。如:1、2、3、4、A、B、C、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等。

    基数:数制所使用的数码个数称为“基数”或“基”,常用“R”表示,称为R进制。如二进制的数码是0、1,基为2。

    位权:指数码在不同位置上的权值。在进位计数制中,处于不同数位的数码代表的数值不同。如十进制数111,个位数上的1 的权值为100,十位数上的1 的权值为101,百位数上的1 的权值为102。

    1. 常见的几种进位计数制

    9323da4f184ce12a007bde3576c04f0e.png

    2. 数制的转换

    (1) 二进制、八进制、十六进制数转化为十进制数

    方法:按权展开,依次相加。

    例如:

    94d84fa2baaa20d6efbc4aaf4ee57044.png

    注意:在不至于产生歧义时,可以不注明十进制数的进制,如上例。

    (2)十进制数转化为二进制数

    方法:整数部分:短除法,除以2,逆序取余,除到0 为止。

    小数部分:乘以2,顺序取整。(参见下例)

    例:将十进制数100.125转化为二进制数

    步骤一:先对整数100进行转换:

    c8a426a8684e63fa9224ce028aeb6c42.png

    由上得出,100D=1100100B。

    步骤二:对于小数部分0.125的转换

    c0784eadfcbe90ed657d5a368339e975.png

    由上得出,0.125D=0.001B。

    将整数和小数部分组合,得出:100.125D = 1100100.001B。

    (3)二进制数与八进制数的相互转换

    方法:二进制转换为八进制,以小数点为左右起点,三位为一组,缺位补0,每一组二进制数对应八进制数码中的一个数字,然后全部连接起来。

    例:把二进制数11111101.101转化为八进制数。

    c08d66c7230c77d73e175f9ccda13f10.png

    所以,11111101.101B = 375.5O。

    方法:八进制数转换成二进制数,只要将每一位八进制数转换成相应的3位二进制数,依次连接起来即可。

    (4)二进制数与十六进制数的相互转换

    方法:二进制转换为十六进制,以小数点为左右起点,四位为一组,缺位补0,每一组二进制数对应十六进制数码中的一个数字,然后全部连接起来。

    十六进制数转换成二进制数,只要将每一位十六进制数转换成4位二进制数,然后依次连接起来即可。

    例:将10110001.101B转换为十六进制数。

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    3. 二进制的运算规则

    (1)算术运算规则

    加法规则:0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1;

    1 + 0 = 1;1 + 1 = 10(向高位有进位);

    减法规则:0 - 0 = 0;10 - 1 = 1(向高位借位);

    1 - 0 = 1; 1 - 1 = 0;

    乘法规则:0×0 = 0; 0×1 = 0;

    1×0 = 0;1×1 = 1;

    除法规则:0/1 = 0;1/1 = 1;

    (2)逻辑运算规则

    与运算(AND):0∧0 = 0;0∧1 = 0;1∧0 = 0;1∧1 = 1;(同逻辑乘)

    或运算(OR): 0∨0 = 0; 0∨1 = 1;1∨0 = 1; 1∨1 = 1;

    异或运算(XOR):0⊕0=0;0⊕1=1;1⊕0=1;1⊕1=0;(相同为0,不同为1)

    逻辑异或运算即实现按位加的功能,只有当两个逻辑值不相同时,结果才为1。

    (二)信息的编码 ★★

    1. 计算机中数据的单位

    (1)位(bit)

    位,也称为比特,简记为b,也称为比特,是计算机存储数据的最小单位。一个二进制位只能表示0或1。

    (2)字节(Byte)

    字节来自英文Byte,简记为B。字节是存储信息的基本单位。规定1B=8bit。字节是存储信息的基本单位。我们还经常

    f44c94b5d5060c09fdb129df21269c11.png

    (3)字(Word)

    计算机处理数据时,CPU通过数据总线一次存取、加工和传送的数据称为字,计算机的运算部件能同时处理的二进制数据的位数称为字长。一个字通常由一个字节或若干个字节组成。字长是计算机一次所能处理的实际位数长度,字长是衡量计算性能的一个重要指标。

    2. 数值的表示

    在计算机中,所有数据都以二进制的形式表示。

    通常规定一个数的最高位作为符号位,“0”表示正,“1”表示负。

    采用二进制表示形式的连同数符一起代码化了的数据称为机器数;而与机器数对应的用正、负符号加绝对值来表示的实际数值称为真值。

    (1)原码、反码、补码

    例如:-43

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    (2)BCD码

    BCD码:把十进制数和二进制数相互转换的一种编码。

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    3. 文字信息的表示

    (1)字符编码:

    目前采用的字符编码主要是ASCII码。ASCII码是一种西文机内码,有7位ASCII码和8位ASCII码两种,7位ASCII码称为标准ASCII码,8位ASCII码称为扩展ASCII码。7位标准ASCII码用一个字节(8位)表示一个字符,并规定其最高位为0,实际只用到7位,因此可表示128个不同字符。对于同一个字母的ASCII码值小写字母比大写字母大32。

    (2)汉字编码

    a.汉字交换码:

    一般用连续的两个字节(16个二进制位)来表示一个汉字。1980年,我国颁布了第一个汉字编码字符集标准,即GB2312-80《信息交换用汉字编码字符集基本集》,该标准编码简称国标码,是我国大陆地区及新加坡等海外华语区通用的汉字交换码。GB2312-80收录了6763个汉字,以及682符号,共7445个字符,奠定了中文信息处理的基础。

    b. 汉字机内码:

    国标码GB2312不能直接在计算机中使用,以为它没有考虑与基本的信息交换代码ASCII码的冲突。为了能区分汉字与ASCII码,在计算机内部表示汉字时把交换码(国标码)两个字节最高位改为1,称为机内码。

    机内码是真正的计算机内部用来存储和处理汉字信息的代码。

    c. 汉字字形码:

    汉字字形码是用来将汉字显示到屏幕上或打印到纸上所需要的图形数据。

    汉字字形码记录汉字的外形,是汉字的输出形式。记录汉字字形通常有两种方法:点阵法和矢量法,分别对应两种字形编码:点阵码和矢量码。

    点阵码是一种用点阵表示汉字字形的编码,它把汉字按字形排列成点阵,常言道点阵有16×16、24×24、32×32或更高。一个16×16点阵的汉字要占用32个字节,一个32×32点阵的汉字则要占用128字节,而且点阵码缩放困难且容易失真。

    矢量码:使用一组数学矢量来记录汉字的外形轮廓。可任意缩放,节省存储空间。

    d. 汉字输入码:

    将汉字通过键盘输入到计算机采用的代码称为汉字输入码,也称为汉字外部码(外码)。

    汉字输入码可分为流水码、音码、形码和音形结合码四种。

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  • 目录:一、8位、32位、64位二进制二、二进制表示正数、负数三、二进制表示浮点数四、二...相比于十进制,二进制的区别只是为2,每一位是前一位的两倍。而对二进制进行加减法,只需注意是逢2进1。二进制中,一1或...

    目录:

    一、8位、32位、64位二进制

    二、二进制表示正数、负数

    三、二进制表示浮点数

    四、二进制表示字母、字符、文字(ASCII码)

    五、Unicode统一所有编码的标准

    六、其他标准格式


    一、8位、32位、64位二进制

    二进制数只能表示0或1,如果要表示更多的信息,只需要添加更多的位数就行

    相比于十进制,二进制的区别只是基为2,每一位是前一位的两倍

    01c791365d2c9e738b0acb81f91c31d2.png

    而对二进制进行加减法,只需注意是逢2进1

    二进制中,一个1或0称为一个位(bit)

    对于8位二进制数,最小为0,最大为255

    由于8位二进制数太过常见,因此将其称为字节(byte)

    32位和64位操作系统,指的是操作系统一块块处理数据的,而每块大小是32位或者64位


    二、二进制表示正数、负数

    然而并非所有数字都是正数,所以我们需要方法来表示正数和负数

    大部分计算机使用第一位表示正负:1为负、0为正。然后使用剩下的31位来表示数字


    三、二进制表示浮点数

    除了负数和正数,计算机也要处理非整数,这些称为浮点数(Floating Point Numbers)

    因为小数点可以在数字间浮动,有好几种表示浮点数的方法,最常见的是IEEE 754标准

    它使用类似科学计数法的方法来存十进制数,比如625.9可以写成

    ,其中0.6259称为
    有效位数(Significand),3称为指数(Exponent)。在32位浮点数中,第一位表示数字的正负,接下来的8位存储指数,剩下的23位存储有效位数

    c19c7bdc0ea78676780940c4cfc1c9cf.png

    四、二进制表示字母、字符、文字(ASCII码)

    同时,计算机可以使用二进制数来表示字母,而最直接的方法是字母编号

    1963年发明了ASCII(美国信息交换标准代码),当时为7位二进制数,能够存放128个不同的值,可以用来表示大小写字母、数字、标点符号等等,并且其中存储了特殊字符,比如换行符、制表符等等。

    但是ASCII有个限制,它是为英语设计的。但是幸运的是一个字节有8位(操作系统是一块一块处理数据的,一块几个字节)。之前的ASCII只编码了0-127中表示的字符,而128-255的字符是空着的,这些值可以给每个国家保留使用

    美国,这些额外的数字主要用于编码附加符号

    俄罗斯,他们用这些额外的字符表示西里尔字符等等。

    但是这种方法也存在缺点:

    1. 如果在土耳其电脑上打开拉脱维亚语写的电子邮件,就会出现乱码。

    2. 像中文和日语这种包含数千字符的语言,根本无法使用8位二进制数来表示所有字符

    为了解决这个问题,每个国家发明了多字节编码方案,可以使用多个字节来编码字符,但各个国建之间的编码方案不互相兼容


    五、Unicode统一所有编码的标准

    由此出现了Unicode来统一所有编码的标准,设计于1992年,解决了不同国家不同标准的问题。最常见的Unicode是16位的,有超过一百万个位置来编码字符,编码所有语言的所有字符都足够了,并且还有位置放数学符号、Emoji等等


    六、其他标准格式

    类似于ASCII用二进制来表示字母。其他格式,比如MP3格式GIF格式使用二进制编码声音/颜色,用来表示照片、电影、音乐等等。归根结底,这些标准格式都是一长串二进制数而已。


    已获授权:

    感谢原创作者: @深度人工智障

    笔记属于二次更改,并增添了一些内容


    原创出处:

    原创作者: @深度人工智障

    原创出处:知乎文章

    原创链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/103505351


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  • BCD加法器

    万次阅读 2015-11-13 13:03:48
    在计算机内部,出于存储和计算方便目的,采用2十进制数进行重新编码,最少需要2码的位数为log210,取整数位4 ,4位2有16种表示方法。 十进制数的几种4位编码 8421又称BCD,是十进制...

    BCD码加法器

    在计算机内部,出于存储和计算方便的目的,采用基2码对十进制数进行重新编码,最少需要基2码的位数为log210,取整数位4 ,4位基2码有16种表示方法。

    十进制数的几种4位编码

    8421码又称BCD码,是十进制代码中最常用的一种。在这种编码方式中,每一位二值代码的1都表示一个固定数值,将每一位的1代表的十进制数加起来,得到的结果就是它所代表的十进制数码。由于代码中从左到右每一位的1分别表示8、4、2、1,所以将这种编码称为8421码。每一位的1代表的十进制数称为这一位的权。8421码中每一位的权是固定不变的,它属于恒权代码。

    在计算机内部实现BCD码之间的算术运算要复杂一些,即在某些情况下,对加法运算的结果进行修正。修正规则如下:

    (1) 若两个8421码数相加之和等于或小于1001,不需修正。

    (2) 若相加和在10-15之间,一方面应向高位产生进位,本身还要进行加6修正,进位是在加6修正时产生的。

    (3) 若相加之和在16-18之间,向高位进位会在相加过程中自己产生,对本位还要进行加6修正。

    实验代码使用vhdl语言:

    LIBRARY IEEE;  
    USE IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;
    USE IEEE.STD_LOGIC_ARITH.ALL;
    ENTITY bcd IS
      PORT( a : UNSIGNED(4 DOWNTO 0);
            b : UNSIGNED(4 DOWNTO 0);        
            c : OUT STD_LOGIC_VECTOR(4 DOWNTO 0)
           );
    END bcd;
    ARCHITECTURE adding OF bcd IS
      SIGNAL sum : STD_LOGIC_VECTOR(4 DOWNTO 0); 
      SIGNAL co  : STD_LOGIC;
      SIGNAL add : integer RANGE 0 TO 31;
    BEGIN
      add <= conv_integer(a+b);
      co <= '1' WHEN add>9 ELSE 
            '0';
      sum <= a+b+6 WHEN co='1' ELSE 
             a+b;
      c <= sum;   
    END adding;



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