浮点数转换


在十进制和IEEE 754二进制表示形式之间转换浮点数





 


根据IEEE 754标准，此程序包旨在将浮点数从十进制转换为二进制格式。当执行MATLAB精度极限的计算时，或者当对二进制字符串感兴趣时（例如在遗传算法中），这很有用。该软件包包括以下四个脚本。

float2bin：将十进制浮点数转换为IEEE 754二进制字符串

bin2float：将二进制字符串转换为浮点数

bitstr2vec：将二进制字符串转换为0和1s的二进制向量

bitvec2str：将二进制向量转换为二进制字符串

完整资料领取：https://ai.52learn.online/9661

[旁注：从技术上讲，您链接的文件不再是标准; “IEEE 754”实际上只应用于参考2008年发布的标准的更新版本 .
我的理解是，如你所说，该表的左侧列描述了任何十进制字符串到二进制浮点转换的有效输入范围's provided. So for example, a decimal string that'，类似于 '1.234e+879' 表示值1234 * 10 ^ 876(M = 1234， N = 876)，因此在表限制范围内，并且需要被转换功能接受 . 虽然注意到允许十进制字符串的确切形式超出了IEEE 754的范围;它's only the value that'在这里有用 .
我不认为某些允许的输入可能超出双倍的可表示范围是一个问题;在这种情况下应遵循通常的溢出规则;见文件第7.3节 . 也就是说，应该发信号通知溢出异常，并且假设它没有被捕获转换的结果(对于正的超出范围的值，比如说)，如果舍入模式是舍入到最接近或向正无穷大舍入，则为正无穷大 .  ，如果舍入模式为负无穷大或向零舍入，则为最大有限可表示值 .
稍微更巧妙的是，从我对这个文档的阅读中，转换函数也应该接受像'1e 1000'这样的十进制字符串，因为它表示的值可以10 * 10 ^ 999，甚至10000000000000000 * 10 ^的形式表示 .  984 . 请参阅5.6节中的“在输入时开始，尾随零应附加或从M ...剥离”的句子 .
当前版本的IEEE 754在这方面似乎有点不同，从公开的草案版本(version 1.2.5)来判断：它只需要每个实现在十进制字符串的指数上指定边界[-η，η]， η足够大以容纳对应于最大支持二进制格式的有限二进制值的十进制字符串;因此，如果binary64格式是支持的最大格式，那么它看起来好像η= 400就足够了 .

IEEE 754 单精度浮点数转换 在线计算器
http://www.styb.cn/cms/ieee_754.php
十进制小数的二进制表示：
整数部分：除以2，取出余数，商继续除以2，直到得到0为止，将取出的余数逆序
小数部分：乘以2，然后取出整数部分，将剩下的小数部分继续乘以2，然后再取整数部分，一直取到小数部分为零为止。如果永远不为零，则按要求保留足够位数的小数，最后一位做0舍1入。将取出的整数顺序排列。
举例：22.8125 转二进制的计算过程：
整数部分：除以2，商继续除以2，得到0为止，将余数逆序排列。

22 / 2  11 余0

11/2     5  余 1

5  /2      2  余 1

2  /2      1  余 0

1  /2      0  余 1

得到22的二进制是10110
小数部分：乘以2，取整，小数部分继续乘以2，取整，得到小数部分0为止，将整数顺序排列。

0.8125x2=1.625 取整1,小数部分是0.625

0.625x2=1.25 取整1,小数部分是0.25

0.25x2=0.5 取整0,小数部分是0.5

0.5x2=1.0 取整1,小数部分是0，
得到0.8125的二进制是0.1101
结果：十进制22.8125等于二进制00010110.1101
C语言和C#语言中，对于浮点类型的数据采用单精度类型（float）和双精度类型(double)来存储，float数据占用32bit,double数据占用64bit,我们在声明一个变量float f= 2.25f的时候，是如何分配内存的呢？如果胡乱分配，那世界岂不是乱套了么，其实不论是float还是double在存储方式上都是遵从IEEE的规范的，float遵从的是IEEE R32.24 ,而double 遵从的是R64.53。
无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负

指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储

尾数部分（Mantissa）：尾数部分

其中float的存储方式如下图所示：

而双精度的存储方式为:

R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*clip_image0021,而120.5可以表示为:1.205*clip_image0022,这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：1110110.1用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0001*clip_image002[2],1110110.1可以表示为1.1101101*clip_image002[3],任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*clip_image002[1],尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了，所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。

 首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*clip_image002[2]

按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:

而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0100001011101101000000000000，首先我们现将该数据分段，0 10000 0101 110 1101 0000 0000 0000 0000，在内存中的存储就为下图所示：

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的

下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果
        float f = 2.2f;
        double d = (double)f;
        Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
        f = 2.25f;
        d = (double)f;
        Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));

可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.2000000476837，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.2500000000000，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1000 0001 001 0000 0000 0000 0000 0000,而2.25的双精度表示为:0 100 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4×2=0.8，第二位为0,0.82=1.6,第三位为1，0.6×2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011… ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:

但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。

为了巩固自己计算机系统基础中IEEE754浮点数与十进制小数的转换而进行的编程。

如下为十进制小数转IEEE754标准的单精度浮点数：

def ConvertFixedIntegerToComplement(fixedInterger) :#浮点数整数部分转换成补码(整数全部为正)
    return bin(fixedInterger)[2:]

def ConvertFixedDecimalToComplement(fixedDecimal) :#浮点数小数部分转换成补码
    fixedpoint = int(fixedDecimal) / (10.0**len(fixedDecimal))
    s = ''
    while fixedDecimal != 1.0 and len(s) < 23 :
        fixedpoint = fixedpoint * 2.0
        s += str(fixedpoint)[0]
        fixedpoint = fixedpoint if str(fixedpoint)[0] == '0' else fixedpoint - 1.0
    return s

def ConvertToExponentMarker(number) : #阶码生成
    return bin(number + 127)[2:].zfill(8)


def ConvertToFloat(floatingPoint) :#转换成IEEE754标准的数
    floatingPointString = str(floatingPoint)
    if floatingPointString.find('-') != -1 :#判断符号位
        sign = '1'
        floatingPointString = floatingPointString[1:]
    else :
        sign = '0'
    l = floatingPointString.split('.')#将整数和小数分离
    front = ConvertFixedIntegerToComplement(int(l[0]))#返回整数补码
    rear  = ConvertFixedDecimalToComplement(l[1])#返回小数补码
    floatingPointString = front + '.' + rear #整合
    relativePos =   floatingPointString.find('.') - floatingPointString.find('1')#获得字符1的开始位置
    if relativePos > 0 :#若小数点在第一个1之后
        exponet = ConvertToExponentMarker(relativePos-1)#获得阶码
        mantissa =  floatingPointString[floatingPointString.find('1')+1 : floatingPointString.find('.')]  + floatingPointString[floatingPointString.find('.') + 1 :] # 获得尾数
    else :
        exponet = ConvertToExponentMarker(relativePos)#获得阶码
        mantissa = floatingPointString[floatingPointString.find('1') + 1: ]  # 获得尾数
    mantissa =  mantissa[:23] + '0' * (23 - len(mantissa))
    floatingPointString = '0b' + sign + exponet + mantissa
    print(floatingPointString)
    return hex( int( floatingPointString , 2 ) )



print(ConvertToFloat(-5.56))