进制转换：二进制、八进制、十六进制、十进制之间的转换
 
不同进制之间的转换在编程中经常会用到，尤其是C语言。
 
将二进制、八进制、十六进制转换为十进制
 
二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。
 
假设当前数字是N进制，那么：
 
对于整数部分，从右往左看，第i位的位权等于Ni-1
 
对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第j位的位权为N-j。
 
更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。
 
1) 整数部分
 
例如，将八进制数字53627转换成十进制：
 
53627 = 5×84 + 3×83 + 6×82 + 2×81 + 7×80 = 22423（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为 80=1，第2位的位权为 81=8，第3位的位权为 82=64，第4位的位权为 83=512，第5位的位权为 84=4096 …… 第n位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。
 
再如，将十六进制数字9FA8C转换成十进制：
 
9FA8C = 9×164 + 15×163 + 10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为160=1，第2位的位权为 161=16，第3位的位权为 162=256，第4位的位权为 163=4096，第5位的位权为 164=65536 …… 第n位的位权就为16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：
 
11010 = 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 26（十进制）
 
从右往左看，第1位的位权为20=1，第2位的位权为21=2，第3位的位权为22=4，第4位的位权为23=8，第5位的位权为24=16 …… 第n位的位权就为2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。
 
2) 小数部分
 
例如，将八进制数字423.5176转换成十进制：
 
423.5176 = 4×82 + 2×81 + 3×80 + 5×8-1 + 1×8-2 + 7×8-3 + 6×8-4 = 275.65576171875（十进制）
 
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 8-1=1/8，第2位的位权为 8-2=1/64，第3位的位权为 8-3=1/512，第4位的位权为 8-4=1/4096 …… 第m位的位权就为 8-m。
 
再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制：
 
1010.1101 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 + 1×2-1 + 1×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 10.8125（十进制）
 
小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第1位的位权为 2-1=1/2，第2位的位权为 2-2=1/4，第3位的位权为 2-3=1/8，第4位的位权为 2-4=1/16 …… 第m位的位权就为 2-m。
 
更多转换成十进制的例子：
 
二进制：1001 = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 1×20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9（十进制）
 
二进制：101.1001 = 1×22 + 0×21 + 1×20 + 1×2-1 + 0×2-2 + 0×2-3 + 1×2-4 = 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0 + 0.0625 = 5.5625（十进制）
 
八进制：302 = 3×82 + 0×81 + 2×80 = 192 + 0 + 2 = 194（十进制）
 
八进制：302.46 = 3×82 + 0×81 + 2×80 + 4×8-1 + 6×8-2 = 192 + 0 + 2 + 0.5 + 0.09375= 194.59375（十进制）
 
十六进制：EA7 = 14×162 + 10×161 + 7×160 = 3751（十进制）
 
将十进制转换为二进制、八进制、十六进制
 
将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。
 
1) 整数部分
 
十进制整数转换为N进制整数采用“除N取余，逆序排列”法。具体做法是：
 
将N作为除数，用十进制整数除以N，可以得到一个商和余数；
 
保留余数，用商继续除以N，又得到一个新的商和余数；
 
仍然保留余数，用商继续除以N，还会得到一个新的商和余数；
 
……
 
如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以N，直到商为0时为止。
 
把先得到的余数作为N进制数的低位数字，后得到的余数作为N进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了N进制数字。
 
下图演示了将十进制数字36926转换成八进制的过程：
 
 
从图中得知，十进制数字36926转换成八进制的结果为110076。
 
下图演示了将十进制数字42转换成二进制的过程：
 
 
从图中得知，十进制数字42转换成二进制的结果为101010。
 
2) 小数部分
 
十进制小数转换成N进制小数采用“乘N取整，顺序排列”法。具体做法是：
 
用N乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；
 
将积的整数部分取出，再用N乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；
 
再将积的整数部分取出，继续用N乘以余下的小数部分；
 
……
 
如此反复进行，每次都取出整数部分，用N接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为0，或者达到所要求的精度为止。
 
把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为N进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这样就得到了N进制小数。
 
下图演示了将十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的过程：
 
 
从图中得知，十进制小数0.930908203125转换成八进制小数的结果为0.7345。
 
下图演示了将十进制小数0.6875 转换成二进制小数的过程：
 
 
从图中得知，十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的结果为 0.1011。
 
如果一个数字既包含了整数部分又包含了小数部分，那么将整数部分和小数部分开，分别按照上面的方法完成转换，然后再合并在一起即可。例如：
 
十进制数字 36926.930908203125 转换成八进制的结果为 110076.7345；
 
十进制数字 42.6875 转换成二进制的结果为 101010.1011。
 
下表列出了前17个十进制整数与二进制、八进制、十六进制的对应关系：
 
 
十进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
8
 
 
9
 
 
10
 
 
11
 
 
12
 
 
13
 
 
14
 
 
15
 
 
16
 
 
二进制
 
 
0
 
 
1
 
 
10
 
 
11
 
 
100
 
 
101
 
 
110
 
 
111
 
 
1000
 
 
1001
 
 
1010
 
 
1011
 
 
1100
 
 
1101
 
 
1110
 
 
1111
 
 
10000
 
 
八进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
10
 
 
11
 
 
12
 
 
13
 
 
14
 
 
15
 
 
16
 
 
17
 
 
20
 
 
十六进制
 
 
0
 
 
1
 
 
2
 
 
3
 
 
4
 
 
5
 
 
6
 
 
7
 
 
8
 
 
9
 
 
A
 
 
B
 
 
C
 
 
D
 
 
E
 
 
F
 
 
10
 
注意，十进制小数转换成其他进制小数时，结果有可能是一个无限位的小数。请看下面的例子：
 
十进制0.51对应的二进制为0.100000101000111101011100001010001111010111...，是一个循环小数；
 
十进制0.72对应的二进制为0.1011100001010001111010111000010100011110...，是一个循环小数；
 
十进制0.625对应的二进制为0.101，是一个有限小数。
 
二进制和八进制、十六进制的转换
 
其实，任何进制之间的转换都可以使用上面讲到的方法，只不过有时比较麻烦，所以一般针对不同的进制采取不同的方法。将二进制转换为八进制和十六进制时就有非常简洁的方法，反之亦然。
 
1) 二进制整数和八进制整数之间的转换
 
二进制整数转换为八进制整数时，每三位二进制数字转换为一位八进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 1110111100 转换为八进制：
 
 
从图中可以看出，二进制整数 1110111100 转换为八进制的结果为 1674。
 
八进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位八进制数字转换为三位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将八进制整数 2743 转换为二进制：
 
 
从图中可以看出，八进制整数 2743 转换为二进制的结果为 10111100011。
 
2) 二进制整数和十六进制整数之间的转换
 
二进制整数转换为十六进制整数时，每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，运算的顺序是从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。下图演示了如何将二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制：
 
 
从图中可以看出，二进制整数 10 1101 0101 1100 转换为十六进制的结果为 2D5C。
 
十六进制整数转换为二进制整数时，思路是相反的，每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，运算的顺序也是从低位向高位依次进行。下图演示了如何将十六进制整数 A5D6 转换为二进制：
 
 
从图中可以看出，十六进制整数 A5D6 转换为二进制的结果为 1010 0101 1101 0110。
 
在C语言编程中，二进制、八进制、十六进制之间几乎不会涉及小数的转换，所以这里我们只讲整数的转换，大家学以致用足以。另外，八进制和十六进制之间也极少直接转换，这里我们也不再讲解了。

步骤一： 使用该负数的绝对值（负数的绝对值为正数）转成二进制位
 
步骤二：二进制位按位取反
 
步骤三：取反后的二进制位+1
 
实例：-11
 
步骤一：正数11的二进制位为 00001011
 
步骤二：按位取反后的二进制位为 11110100
 
步骤三：取反后的二进制位+1为 11110101
 
结果：-11的二进制位表示为 11110101

 

 

  
 
 
二进制是在计算机中常用的一种进制数，其数据用0和1两个数码来表示数据。我们人类常用的是十进制，那么二进制和十进制之间是有一个转换方法的。
 
二进制转换十进制
 
一个二进制数转换为十进制数，是比较简单的，其方法就是用每一个位置上的数字乘以该位置的权重，然后相加得到。举个例子，二进制的1010转换为十进制的话，从其最后面一位0开始，一直往前，其权重依次为2º、2¹、2²、2³，所以这个数转换为十进制就是0×2º+1×2¹+0×2²+1×2³=9.如果出现小数怎么办？方法一样，小数部分的每一位也有其权重，小数点后第一位权重为2的负一次方，2的负二次方以此类推。例如：二进制的1.01转换为十进制就是1.25。
 
十进制转换为二进制
 
十进制转换为二进制是稍微有点复杂的过程，需要分为整数和小数两部分。整数部分用“除以二取余”的方法。具体说就是用短除法的形式让十进制的数除以二，将其每次的余数依次写下来，就是二进制的数，如十进制的26变为二进制的话，如图。
 

 

  
 
 
所以十进制的26变为二进制就是11010。对于小数部分，采用的是“乘以二取整”的方法。具体来说就是把小数部分拿出来，乘以2，得到的数把整数部分留下，小数部分继续乘2，得到的数继续进行这样的运算，直到小数部分为0或者取到足够的位数.然后将每次计算的整数部分依次写下来就是二进制下的该数字。计算如图。
 

 

  
 
 
当然，也会出现循环的情况，比如十进制下的0.2转换二进制时就会出现0011循环的情况，这个时候就是十进制的0.2转换为二进制的话就是（0.001100110011......）.
 
所以在十进制下的26.625就是二进制下的11010.101。
 
二进制八进制，十六进制
 
其实除了二进制，十进制之外，我们还会见到八进制，十六进制，它们与二进制的关系非常密切。我们能够看到8是2的三次方，16是2的四次方，所以一个八进制为相当于3个二进制位；一个16进制位相当于4个二进制位。
 
举个例子，当我们将八进制下的26转换为二进制时，我们可以把2和6两个数字拆开来看，6相当于二进制的110, 2相当于二进制下的010，所以八进制下的26相当于二进制下的010110，最高位0可以省去，就是10110.这样我们就把八进制的一个数转换为二进制。
 
二进制转换为八进制也简单，就是三个二进制位是一个八进制为。举个例子，二进制下的11001转换时，可以这样看011 001，这样就可以分别计算011相当于0×2²+1×2¹+1×2º=3,001相当于1,。所以转换为八进制就是31。这里需要注意的一点是计算加法时要做到满8进1，因为八进制下不可能出现比8大的数字。
 
十六进制的转换类似，不过是一个十六进制位相当于4个二进制位。十六进制中就有了ABCDEF表示10 11 12 13 14 15。
 
这就是关于二进制的各种转换问题，当然，这里讨论的都是正数，负数问题需要跟进一步讨论。因为对于负数在二进制里有相应的表示方法，这里就不过多赘述了。

好多年前学过十进制转二进制的笔算过程，不过一直都没机会用上，很快就忘记了，最近因工作原因有几次需要做进制转换的计算，懒得上网查就根据记忆中模糊的印象瞎推导，搞着搞着就搞出了这样的推导方式，如图：
 
 
最右边的是需要转换的十进制数123、8，每一个左边的数是右边数除以2后得到的正整数，每一个下边的数其实不用太关注，但是偏偏又不能轻易忽略（因为当横线上面的数除以2之后，除得尽的话就是0，除不尽的话就是1），直到左边为1.
 
所以这个计算过程就是
 
1、以最右边横线上方的十进制数值a1为起点；
 
2、若a1除以2能除尽的话，则a1下边的数值a2为0，否则a2为1；
 
3、a1左边a3等于(a1-a2)/2；
 
4、若此时a3小于1，则计算结束（结果为最左边的数和所有下边的数逐个拼起来），否则以此时的a3作为新的a1套入步骤1234中。
 
呵呵，刚写到这里就忽然发现假如将上面步骤1234中的2换成了其他 - _ - b......貌似也可以呵。呵呵！嗝！
 
过几天我发个进制转换代码出来。
 
对比之后发现，虽然跟学校老师教的差别不大，怎么说呢，起码不需要将结果反过来串起，好歹也算是自己的一份小成绩，发文记录一下。