在高速发展的
现代社会,计算机浩浩荡荡地成为了人们生活中不可缺少的一部分,帮助人们解决
通信,
联络,互动等各方面的问题。今天我就给大家讲讲与计算机甚至日常生活有密切相关的“进制转换”问题。
我们以(25.625)(十)为例讲解一下进制之间的转化问题。
十进制--->二进制
对于整数部分,用被除数反复除以2,除第一次外,每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外,所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。
十进制转,N进制。
对于小数部分,采用连续乘以基数2,并依次取出的整数部分,直至结果的小数部分为0为止。故该法称“乘基取整法”。
给你一个十进制,比如:6,如果将它转换成
二进制数呢?
10进制数转换成
二进制数,这是一个连续除以2的过程:
把要转换的数,除以2,得到商和余数,
将商继续除以2,直到商为0。最后将所有余数倒序排列,得到数就是转换结果。
听起来有些糊涂?结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。
“把要转换的数,除以2,得到商和余数”。
那么:
十转二示意图
要转换的数是6, 6 ÷ 2,得到商是3,余数是0。
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是3,还不是0,所以继续除以2。
那就: 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是1,还不是0,所以继续除以2。
那就: 1 ÷ 2, 得到商是0,余数是1
“将商继续除以2,直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
好极!现在商已经是0。
我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1,将所有余数倒序排列,那就是:110了!
把上面的一段改成用表格来表示,则为:
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
6
|
6/2
|
3
|
0
|
3
|
3/2
|
1
|
1
|
1
|
1/2
|
0
|
1
|
(在计算机中,÷用 / 来表示)
二进制--->十进制
二进制数转换为十进制数
二进制数第0位的权值是2的0次方,第1位的权值是2的1次方……
所以,设有一个
二进制数:0110 0100,转换为10进制为:
下面是竖式:
第0位 0 * 20 = 0
第1位 0 * 21 = 0
第2位 1 * 22 = 4
第3位 0 * 23 = 0
第4位 0 * 24 = 0
第5位 1 * 25 = 32
第6位 1 * 26 = 64
第7位 0 * 27 = 0
公式:第N位2(N)
---------------------------
100
用横式计算为:
0 * 20 + 0 * 21 +
1 * 22 + 0 * 23 +
0 * 24 + 1 * 25 +
1* 26 + 0 * 27 =
100
0乘以多少都是0,所以我们也可以直接跳过值为0的位:
1 * 22 + 1 * 25 +1*26 =
100
十进制--->八进制
10进制数转换成8进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成8。
来看一个例子,如何将十进制数120转换成八进制数。
用表格表示:
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
120
|
120/8
|
15
|
0
|
15
|
15/8
|
1
|
7
|
1
|
1/8
|
0
|
1
|
120转换为8进制,结果为:170。
八进制--->十进制
八进制数第0位的权值为8的0次方,第1位权值为8的1次方,第2位权值为8的2次方……
所以,设有一个八进制数:1507,转换为十进制为:
用竖式表示:
第0位 7 * 80 = 7
第1位 0 * 81 = 0
第2位 5 * 82 = 320
第3位 1 * 83 = 512
--------------------------
839
同样,我们也可以用横式直接计算:
7 * 80 + 0 * 81 +
5 * 82 + 1 * 83 =
839
结果是,八进制数 1507 转换成十进制数为 839
十进制--->十六进制
10进制数转换成16进制的方法,和转换为2进制的方法类似,唯一变化:除数由2变成16。
同样是120,转换成16进制则为:
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
120
|
120/16
|
7
|
8
|
7
|
7/16
|
0
|
7
|
120转换为16进制,结果为:78。
十六进制--->十进制
16进制就是逢16进1,但我们只有0~9这十个数字,所以我们用A,B,C,D,E,F这六个字母来分别表示10,11,12,13,14,15。字母不区分大小写。
十六进制数的第0位的权值为16的0次方,第1位的权值为16的1次方,第2位的权值为16的2次方……
所以,在第N(N从0开始)位上,如果是是数 X (X 大于等于0,并且X小于等于 15,即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。
假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢?
用竖式计算:
2AF5换算成10进制:
第0位: 5 * 160 = 5
第1位: F * 161 = 240
第2位: A * 162 = 2560
第3位: 2 * 163 = 8192
-------------------------------------
10997
直接计算就是:
5 * 160 + F * 161 +
A * 162 + 2 * 163 =
10997
(别忘了,在上面的计算中,A表示10,而F表示15)
现在可以看出,所有进制换算成10进制,关键在于各自的权值不同。
假设有人问你,十进数 1234 为什么是 一千二百三十四?你尽可以给他这么一个算式:
1234 = 1 * 103 + 2 * 102 +
3 * 101 + 4 * 100
二进制--->八进制
(11001.101)(二)
整数部分:
[1]从后往前每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化,
则有:
001=1
011=3
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:31,那么这个31就是二进制11001的八进制形式
小数部分: 从前往后每三位一组,缺位处用0填补,然后按十进制方法进行转化, 则有:
101=5
然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是:5,那么这个5就是二进制0.101的八进制形式
所以:(11001.101)2=(31.5)8
八进制--->二进制
(31.5)(八)
整数部分:从后往前每一位按
十进制转化方式转化为三位
二进制数,缺位处用0补充
则有:
1---->1---->001
3---->11
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:11001,那么这个11001就是八进制31的
二进制形式
说明,关于十进制的转化方式我这里就不再说了,上一篇文章我已经讲解了!
小数部分:从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数,缺位处用0补充 则有:
5---->101
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:101,那么这个101就是
八进制5的
二进制形式
所以:(31.5)8=(11001.101)2
十六进制<--->二进制
二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算,每个C,C++程序员都能做到看见
二进制数,直接就能转换为
十六进制数,反之亦然。
我们也一样,只要学完这一小节,就能做到。
你可能还要这样计算:1 * 20 + 1 * 21 +
1 * 22 + 1 * 23 =
1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而,由于1111才4位,所以我们必须直接记住它每一位的权值,并且是从高位往低位记,:8、4、2、1。即,最高位的
权值为2
3 =
8,然后依次是 2
2 = 4,2
1=2,
2
0 = 1。
记住8421,对于任意一个4位的二进制数,我们都可以很快算出它对应的10进制值。
下面列出四位
二进制数xxxx 所有可能的值(中间略过部分)
仅四位的二进制数
|
快速计算方法
|
十进制值
|
十六进制值
|
1111
|
8+4+2+1
|
15
|
F
|
1110
|
8+4+2+0
|
14
|
E
|
1101
|
8+4+0+1
|
13
|
D
|
1100
|
8+4+0+0
|
12
|
C
|
1011
|
8+0+2+1
|
11
|
B
|
1010
|
8+0+2+0
|
10
|
A
|
1001
|
8+0+0+1
|
9
|
9
|
……
|
0001
|
0+0+0+1
|
1
|
1
|
0000
|
0+0+0+0
|
0
|
0
|
二进制数要转换为十六进制,就是以4位一段,分别转换为十六进制。
如:
二进制数
|
1111 1101
|
1010 0101
|
1001 1011
|
对应的十六进制数
|
FD
|
A5
|
9B
|
反过来,当我们看到 FD时,如何迅速将它转换为二进制数呢?
先转换F:
看到F,我们需知道它是15(可能你还不熟悉A~F这五个数),然后15如何用8421凑呢?应该是8 + 4 + 2 + 1,所以四位全为1 :1111。
接着转换 D:
看到D,知道它是13,13如何用8421凑呢?应该是:8 + 4 + 1,即:1101。
所以,FD转换为二进制数,为: 1111 1101
由于
十六进制转换成二进制相当直接,所以,我们需要将一个
十进制数转换成2进制数时,也可以先转换成16进制,然后再转换成2进制。
比如,十进制数 1234转换成二制数,如果要一直除以2,直接得到2进制数,需要计算较多次数。所以我们可以先除以16,得到16进制数:
被除数
|
计算过程
|
商
|
余数
|
1234
|
1234/16
|
77
|
2
|
77
|
77/16
|
4
|
13(D)
|
4
|
4/16
|
0
|
4
|
结果16进制为: 0x4D2
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1101 0010。
其中对映关系为:
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同样,如果一个
二进制数很长,我们需要将它转换成10进制数时,除了前面学过的方法是,我们还可以先将这个二进制转换成16进制,然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数:
01101101 11100101 10101111 00011011
我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B
再转换为10进制:6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115
负数的进制转换稍微有些不同。
先把负数写为其补码形式(在此不议),然后再根据二进制转换其它进制的方法进行。
例:要求把-9转换为八进制形式。则有:
-9的补码为1111 1111 1111 0111。从后往前三位一划,不足三位的加0
111---->7
110---->6
111---->7
111---->7
111---->7
001---->1
然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是:177767,那么177767就是十进制数-9的八进制形式。
补充:
最近有些朋友提了这样的问题“0.8的十六进制是多少?”
0.8、0.6、0.2... ...一些数字在进制之间的转化过程中确实存在麻烦。
就比如“0.8的十六进制”吧!
无论怎么乘以16,它的余数总也乘不尽,总是余0.8
具体方法如下:
0.8*16=12.8
0.8*16=12.8
.
.
.
.
.
取每一个结果的整数部分为12既十六进制的C
如果题中要求精确到小数点后3位那结果就是0.CCC
如果题中要求精确到小数点后4位那结果就是0.CCCC
现在OK了,我想我的朋友再也不会因为进制的问题烦愁了!
下面是将十进制数转换为负R进制的公式:
N=(dmdm-1...d1d0)-R
=dm*(-R)m+dm-1*(-R)m-1+...+d1*(-R)1+d0*(-R)0
15=1*(-2)4+0*(-2)3+0*(-2)2+1*(-2)1+1*(-2)0
=10011(-2)
其实转化成任意进制都是一样的
初学者最容易犯的错误!!!!!!!
犯错:(-617)D=(-1151)O=(-269)H
原因分析:如果是正数的话,上面的思路是正确的,但是由于正数和负数在原码、反码、补码转换上的差别,所以按照正数的求解思路去对负数进行求解是不对的。
正确的方法是:首先将-617用补码表示出来,然后再转换成八进制和十六进制(补码)即可。
注:二进制补码要用16位。
正确答案::(-617)D=(176627)O=(fd97)H
负数十进制转换成八进制或十六进制方法
如(-12)10=( )8=( )16
第一步:转换成二进制
1000 0000 0000 1100
第二步:补码,取反加一
注意:取反时符号位不变!
1111 1111 1111 0100
第三步:转换成八进制是三位一结合:(177764)8
转换成十六进制是四位一结合:(fff4)16
3C语言代码编辑
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
|
#include<stdio.h>
#include<math.h>
intmain()
{
longn,m,r;
while ( scanf ( "%ld%ld" ,&n,&r)!=EOF)
{
if ( abs (r)>1&&!(n<0&&r>0))
{
longresult[100];
long *p=result;
printf ( "%ld=" ,n);
if (n!=0)
{
while (n!=0)
{
m=n/r;*p=n-m*r;
if (*p<0&&r<0)
{
*p=*p+ abs (r);m++;
}
p++;n=m;
}
for (m=p-result-1;m>=0;m--)
{
if (result[m]>9)
printf ( "%c" ,55+result[m]);
else
printf ( "%d" ,result[m]);
}
}
elseprintf( "0" );
printf ( "(base%d)\n" ,r);
}
}
return0;
}
|
/*以下为10进制以下转换。。。*/
/*用函数,可直接拷贝。。。*/
/*(VS2008环境下C++控制台代码)*/
#include"stdafx.h"
#include<stdio.h>
intx[100];
intjzzh(inty,intml)
{
inti,j;
i=ml;
x[0]=0;
for(inta=1;;a++)
{
if(i!=0)
{
x[a]=i%y;
x[0]++;
}
elsebreak;
i=i/y;
}
returnx[0];
}