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  • 正定矩阵和半正定矩阵

    千次阅读 2020-01-13 15:31:47
    正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 【定义1】给定一个大小为的实对称矩阵,若对于任意长度为的非零向量...

    定义

    正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。

    【定义1】给定一个大小为n\times n的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 x ,有 x^TAx>0 恒成立,则矩阵 A 是一个正定矩阵。

    【例1】单位矩阵 I \in \mathbb{R}^{n \times n}是否是正定矩阵?

    解:设向量\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}为非零向量,则

    \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}>0

    故,单位矩阵  I \in \mathbb{R}^{n \times n}是正定矩阵。

    单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)。

    【例2】 实对称矩阵 A=\left[\begin{array}{ccc} {2} & {-1} & {0} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} 是否是正定矩阵?

    解:设向量 \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} 为非零向量,则

    \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} {\left(2 x_{1}-x_{2}\right)} & {\left(-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}\right)} & {-x_{2}+2 x_{3}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]

    =x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+x_{3}^{2}>0

    因此,矩阵 A 是正定矩阵。

    【定义2】给定一个大小为n\times n的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 x ,有 x^TAx\geqslant 0 恒成立,则矩阵 A 是一个半正定矩阵。

    根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

    实际上,我们可以将 y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} 视作  y=a x^{2}的多维表达式。当我们希望 y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0 对于任意向量 x 都恒成立,就要求矩阵 A 是一个半正定矩阵,对应于二次函数, y=a x^{2}>0, \forall x 需要使得 a \geq 0 .

    若给定任意一个正定矩阵 A \in \mathbb{R}^{n \times n} 和一个非零向量 \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} ,则两者相乘得到的向量 \boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} 与向量 x 的夹角恒小于 \frac{\pi}{2} . (等价于: \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}>0 .)

    若给定任意一个正定矩阵 A \in \mathbb{R}^{n \times n} 和一个非零向量 \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} ,则两者相乘得到的向量 \boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} 与向量 x 的夹角恒小于或等于 \frac{\pi}{2} . (等价于: \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geqslant 0 .)

     

    性质

         正定矩阵

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

        等价命题:
        对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;
    2. A的一切顺序主子式均为正;
    3. A的一切主子式均为正;
    4. A的特征值均为正;
    5. 存在实可逆矩阵C,使A=C'C;
    6. 存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B'B;
    7. 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R,使A=R'R

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

        半正定矩阵

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

         等价条件:

    1. A是半正定的;
    2. A的所有主子式均为非负的;
    3. A的特征值均为非负的;
    4. 存在n阶实矩阵C,使A=C'C;
    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B。

    直观理解正定、半正定矩阵:

    \begin{aligned} &X^{T} M X \geq 0\\ &X^{T} Y \geq 0 \quad(Y=M X)\\ &\cos (\theta)=\frac{X^{T} Y}{\|X\|_{*}\|Y\|} \geq 0 \end{aligned}

    ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    万次阅读 2019-09-07 20:19:12
    1.正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有>0,其中表示x的转置,就称A为正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位...

    博文地址:https://blog.csdn.net/u010420283/article/details/83660450
    博主:挥挥洒洒
    来源:CSDN


    1.正定矩阵

    • 若所有特征值均大于零,则称为正定。

    • 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有>0,其中表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。
    1. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    在这里插入图片描述
    2.半正定矩阵

    • 若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    • 定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有≥0,就称A为半正定矩阵。

    1. 对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • 文章目录一:半正定矩阵二:正定矩阵3.直观理解正定、半正定矩阵 一:半正定矩阵 设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0,就称A为半正定矩阵。         ...


    一:半正定矩阵

    设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0,就称A为半正定矩阵。
    在这里插入图片描述
            等价条件:
                         1. A是半正定的;

                         2. A的所有主子式均为非负的;

                         3. A的特征值均为非负的;

                         4. 存在n阶实矩阵C,使A=CTC;

                         5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=BTB。

    注:顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

    补充:
    1)AAT一定是半正定矩阵

    证明:根据上面的定义出发,有如下,

        XT(AAT) X= (ATX)T(ATX) = ||ATX||2 >=0

        所以得证。

    2)tr(AAT),其中A为n*1的矩阵

        tr(AAT) = ATA,其中A为n*1的矩阵。

    举个例子:
    假设矩阵A = (1 2 3)T,AT=(1 2 3),可以算出tr(AAT)=ATA


    二:正定矩阵

    A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有xTAx>0,其中xT 表示x的转置,就称A正定矩阵.
    在这里插入图片描述
            等价条件:
               1. A的一切顺序主子式均为正;

               2. A 的一切主子式均为正;

               3. A 的特征值均为正;

               4. 在实可逆矩阵C,使A=CTC;

               5. 存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=BTB。


    判别对称矩阵A的正定性有两种方法:
            1.求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的
            2.计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。
                         在这里插入图片描述


    3.直观理解正定、半正定矩阵

    在这里插入图片描述


    参考链接:https://blog.csdn.net/asd136912/article/details/79146151

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    正定矩阵 在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。 定义:AA是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx> 0,其中xTx^T 表示xx的转置,就称AA正定矩阵。 性质: 正定矩阵...

    正定矩阵

    在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
    定义: A 是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有 xTAx>0 ,其中 xT 表示 x 的转置,就称A正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正
    2. 实对称矩阵 A 正定当且仅当A与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    等价命题:
    对于n阶实对称矩阵 A ,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;

      • A 的一切顺序主子式均为正;
      • A的一切主子式均为正;
      • A 的特征值均为正
      • 存在实可逆矩阵C使A=C'C
        • 存在秩为n的m×n实矩阵 B使A=B'B
        • 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵 R使A=R'R
        • 根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法

          1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

          2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

            例: 判断矩阵是否正定

            Q=631320104

            解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为
            |6|=6>0

            6332=3>0

            631320104=10>0

            矩阵Q是正定的

          半正定矩阵

          A 是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量xxTAx0,就称A为半正定矩阵。
          对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的
          性质:

          1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
          2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
          3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

          等价条件:

          1. A 是半正定的;
          2. A的所有主子式均为非负的;
          3. A 的特征值均为非负的;
          4. 存在n阶实矩阵C使A=C'C
          5. 存在秩为r的r×n实矩阵 B ,使A=B'B

          直观理解正定、半正定矩阵:

          XTMX0
          XTY0  (Y=MX)
          cos(θ)=XTY||X||||Y||0
          ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定,半正定矩阵

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半正定矩阵的秩

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