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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    千次阅读 2020-10-13 09:13:39
    1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有>0,其中表示x的转置,就称A为正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正;实对称矩阵AA正定当且仅当...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • 正定矩阵和半正定矩阵

    千次阅读 2020-01-13 15:31:47
    正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。 【定义1】给定一个大小为的实对称矩阵,若对于任意长度为的非零向量...

    定义

    正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite,其中,definite是一个形容词,表示“明确的、确定的”等意思。

    【定义1】给定一个大小为n\times n的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 x ,有 x^TAx>0 恒成立,则矩阵 A 是一个正定矩阵。

    【例1】单位矩阵 I \in \mathbb{R}^{n \times n}是否是正定矩阵?

    解:设向量\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}为非零向量,则

    \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}>0

    故,单位矩阵  I \in \mathbb{R}^{n \times n}是正定矩阵。

    单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)。

    【例2】 实对称矩阵 A=\left[\begin{array}{ccc} {2} & {-1} & {0} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3} 是否是正定矩阵?

    解:设向量 \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3} 为非零向量,则

    \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} {\left(2 x_{1}-x_{2}\right)} & {\left(-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}\right)} & {-x_{2}+2 x_{3}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]

    =x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+x_{3}^{2}>0

    因此,矩阵 A 是正定矩阵。

    【定义2】给定一个大小为n\times n的实对称矩阵 A ,若对于任意长度为 n 的非零向量 x ,有 x^TAx\geqslant 0 恒成立,则矩阵 A 是一个半正定矩阵。

    根据正定矩阵和半正定矩阵的定义,我们也会发现:半正定矩阵包括了正定矩阵,与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

    实际上,我们可以将 y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} 视作  y=a x^{2}的多维表达式。当我们希望 y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0 对于任意向量 x 都恒成立,就要求矩阵 A 是一个半正定矩阵,对应于二次函数, y=a x^{2}>0, \forall x 需要使得 a \geq 0 .

    若给定任意一个正定矩阵 A \in \mathbb{R}^{n \times n} 和一个非零向量 \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} ,则两者相乘得到的向量 \boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} 与向量 x 的夹角恒小于 \frac{\pi}{2} . (等价于: \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}>0 .)

    若给定任意一个正定矩阵 A \in \mathbb{R}^{n \times n} 和一个非零向量 \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} ,则两者相乘得到的向量 \boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n} 与向量 x 的夹角恒小于或等于 \frac{\pi}{2} . (等价于: \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geqslant 0 .)

     

    性质

         正定矩阵

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

        等价命题:
        对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;
    2. A的一切顺序主子式均为正;
    3. A的一切主子式均为正;
    4. A的特征值均为正;
    5. 存在实可逆矩阵C,使A=C'C;
    6. 存在秩为n的m×n实矩阵B,使A=B'B;
    7. 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R,使A=R'R

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

        半正定矩阵

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

         等价条件:

    1. A是半正定的;
    2. A的所有主子式均为非负的;
    3. A的特征值均为非负的;
    4. 存在n阶实矩阵C,使A=C'C;
    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B。

    直观理解正定、半正定矩阵:

    \begin{aligned} &X^{T} M X \geq 0\\ &X^{T} Y \geq 0 \quad(Y=M X)\\ &\cos (\theta)=\frac{X^{T} Y}{\|X\|_{*}\|Y\|} \geq 0 \end{aligned}

    ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    正定矩阵 在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会...正定矩阵行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定矩阵; 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵

    正定矩阵

    在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
    定义: A 是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有 xTAx>0 ,其中 xT 表示 x 的转置,就称A正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正
    2. 实对称矩阵 A 正定当且仅当A与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    等价命题:
    对于n阶实对称矩阵 A ,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;

      • A 的一切顺序主子式均为正;
      • A的一切主子式均为正;
      • A 的特征值均为正
      • 存在实可逆矩阵C使A=C'C
        • 存在秩为n的m×n实矩阵 B使A=B'B
        • 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵 R使A=R'R
        • 根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法

          1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

          2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

            例: 判断矩阵是否正定

            Q=631320104

            解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为
            |6|=6>0

            6332=3>0

            631320104=10>0

            矩阵Q是正定的

          半正定矩阵

          A 是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量xxTAx0,就称A为半正定矩阵。
          对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的
          性质:

          1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
          2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
          3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

          等价条件:

          1. A 是半正定的;
          2. A的所有主子式均为非负的;
          3. A 的特征值均为非负的;
          4. 存在n阶实矩阵C使A=C'C
          5. 存在秩为r的r×n实矩阵 B ,使A=B'B

          直观理解正定、半正定矩阵:

          XTMX0
          XTY0  (Y=MX)
          cos(θ)=XTY||X||||Y||0
          ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵 载▼ 1.正定矩阵 一个n×n的实对称矩阵M是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz > 0。其中zT表示z的转置。2.负定矩阵 与正定矩阵相对应的...

    正定矩阵、负定矩阵、半正定矩阵、半负定矩阵

      
      
    1.正定矩阵
       一个 n×n 的实 对称矩阵 M 正定 的, 当且仅当 对于所有的非零实系数 向量 z ,都有 zTMz > 0 。其中 z T 表示 z 转置

    2.负定矩阵

        与正定矩阵相对应的,一个n×n的埃尔米特矩阵M负定矩阵当且仅当对所有不为零的x \in \mathbb{R}^n(或x \in \mathbb{C}^n),都有:

         x^{*} M x < 0\,


    3.半正定矩阵

       M半正定矩阵当且仅当对所有不为零的x \in \mathbb{R}^n(或x \in \mathbb{C}^n),都有:

           x^{*} M x \geq 0


    4.半负定矩阵

    M半负定矩阵当且仅当对所有不为零的x \in \mathbb{R}^n(或x \in \mathbb{C}^n),都有:

    x^{*} M x \leq 0


    正定阵的判别[编辑]

    n×n埃尔米特矩阵M,下列性质与“M为正定矩阵”等价:

    1.矩阵M的所有的特征值\lambda_i都是正的。根据谱定理M必然与一个实对角矩阵D相似(也就是说M = P^{-1}DP,其中P是幺正矩阵,或者说M在某
    正交基可以表示为一个实对角矩阵)。因此,M是正定阵当且仅当相应的D的对角线上元素都是正的。
    2.半双线性形式
    \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}

    定义了一个Cn上的内积。实际上,所有Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。

    3.M是n个线性无关的k维向量\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^kGram矩阵,其中的k为某个正整数。更精确地说,M定义为:
    M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j.

    换句话说,M具有A^*A的形式,其中A不一定是方阵,但需要是单射的。

    4.M的所有顺序主子式,也就是顺序主子阵行列式都是正的(西尔维斯特准则)。明确来说,就是考察下列矩阵的行列式:
    • M左上角1×1的矩阵
    • M左上角2×2矩阵
    • ...
    • M自身。

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子:

    \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
    5.存在唯一的下三角矩阵L,其主对角线上的元素全是正的,使得:
    M=L L^*.

    其中L^*L共轭转置。 T这一分解被称为Cholesky分解

    对于实对称矩阵,只需将上述性质中的\mathbb{C}^n改为\mathbb{R}^n,将“共轭转置”改为“转置”就可以了。


    相关性质[编辑]

    M为半正定阵,可以写作M \geq 0。如果M是正定阵,可以写作M > 0。这个记法来自泛函分析,其中的正定阵定义了正算子

    对于一般的埃尔米特矩阵,MNM\geq N当且仅当M-N \geq 0。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地,可以定义M>N

    1.每个正定阵都是可逆的,它的逆也是正定阵。如果M \geq N > 0那么N^{-1} \geq M^{-1} > 0
    2.如果M是正定阵,r > 0为正实数,那么r M也是正定阵。

    如果MN是正定阵,那么和M + N、乘积MNMNMN都是正定的。如果M N = N M,那么M N仍是正定阵。

    3.如果M=(m_{ij}) > 0那么主对角线上的系数m_{ii}为正实数。于是有\text{tr}(M)>0。此外还有
    | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}.
    4.矩阵M是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B>0使得B^2 = M。根据其唯一性可以记作B = M^{1/2},称BM的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时,如果M > N > 0那么M^{1/2} > N^{1/2}>0.
    5.如果M,N > 0那么M\otimes N > 0,其中\otimes表示克罗内克乘积
    6.对矩阵M=(m_{ij}),N=(n_{ij}),将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为M\circ N,即M\circ N_{i,j}=m_{ij} n_{ij},称为MN阿达马乘积。如果M,N>0,那么M\circ N > 0。如果M,N实系数矩阵,则有如下不等式成立:

    \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}.

    7.M > 0N为埃尔米特矩阵。如果MN+NM \geq 0MN+NM > 0),那么N\geq 0N > 0)。
    8.如果M,N\geq 0为实系数矩阵,则\text{tr}(MN)\geq 0
    9.如果M>0为实系数矩阵,那么存在\delta>0使得M\geq \delta I,其中I单位矩阵


    from:

    http://zh.wikipedia.org/wiki/正定矩阵

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  • 正定,半正定矩阵

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    万次阅读 2016-11-22 16:46:31
    转载自http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/7864153 http://blog.csdn.net/po5889/article/details/10576511,仅用作个人学习。 正定矩阵是自共轭矩阵的一种。...若上大于等于零,则称M为半正定
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半正定矩阵的行列式