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  • 半正定矩阵小计

    2019-09-26 04:26:13
    1. 半正定矩阵的行列式是非负的。 2. 半正定矩阵+半正定矩阵还是半正定矩阵 3. 非负实数乘半正定矩阵还是半正定矩阵 判定,设A是n阶是对称矩阵,下列条件等价: 1.A是半正定 2.A的所有主子式均非负 3.A的特征...

    抄录自百度百科

    定义:设A是n阶方阵,如果对任何非零向量X,都有X'AX>=0,就称A为半正定矩阵

    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的。

    2. 半正定矩阵+半正定矩阵还是半正定矩阵

    3. 非负实数乘半正定矩阵还是半正定矩阵

    判定,设A是n阶是对称矩阵,下列条件等价:

    1.A是半正定

    2.A的所有主子式均非负

    3.A的特征值均非负

    4.存在n阶实矩阵C,使A=C'C

    5.存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B

     

    抄录自百度知道

    如何说明半正定矩阵特征值非负?  

    采用反证法:

    假设AA'有负数特征值a<0,则存在特征向量x使得AA'x=ax
    两边同时乘以x',得:x'AA'x=x'ax=ax'x
    x'x是一个向量x自身的模长的平方,而且x是特征向量所以非零,所以x'x>0,所以ax'x<0
    另一方面x'AA'x=(A'x)'(A'x)>=0
    出现了矛盾,等式不成立,所以AA'的特征值必须非负。

    转载于:https://www.cnblogs.com/wh-tju/p/8231012.html

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    正定矩阵 在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会...正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定矩阵; 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    正定矩阵

    在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有xTAx>0,其中xT 表示x的转置,就称A正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正
    2. 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    等价命题:
    对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;
    2. A的一切顺序主子式均为正;
    3. A的一切主子式均为正;
    4. A的特征值均为正
    5. 存在实可逆矩阵C使A=C'C
    6. 存在秩为n的m×n实矩阵B使A=B'B
    7. 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R使A=R'R

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法

    1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

      例: 判断矩阵是否正定

      Q=631320104

      解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为
      |6|=6>0

      6332=3>0

      631320104=10>0

      矩阵Q是正定的

    半正定矩阵

    A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量xxTAx0,就称A为半正定矩阵。
    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

    等价条件:

    1. A是半正定的;
    2. A的所有主子式均为非负的;
    3. A的特征值均为非负的;
    4. 存在n阶实矩阵C使A=C'C
    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B

    直观理解正定、半正定矩阵:

    XTMX0
    XTY0  (Y=MX)
    cos(θ)=XTY||X||||Y||0
    ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    万次阅读 多人点赞 2018-11-02 19:49:11
    正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定矩阵; 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。 根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法: 求出...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • 有4个途径可以判定该矩阵是否是正定矩阵(注意这个矩阵的4个元素中有2个b,这是因为正定矩阵是对称矩阵,如果A的次对角线的元素不相等,A就不是对称的,也就没有必要进一步判定是否是正定的):所有特征值大于 行列...

    cfdfdf3568c1dab798059facdf0b9b3b.png

    我们经常在判定一个函数是否有最小值时使用正定矩阵,正定矩阵和最小值有什么关系呢?

    1 判断正定矩阵

    给出一个矩阵:

    3cdbf6a5e9bb0cd55379e4d61352a9cc.png

    有4个途径可以判定该矩阵是否是正定矩阵(注意这个矩阵的4个元素中有2个b,这是因为正定矩阵是对称矩阵,如果A的次对角线的元素不相等,A就不是对称的,也就没有必要进一步判定是否是正定的):

    1. 所有特征值大于
    2. 行列式及左上角的所有
      阶子行列式均为正(1≤k≤n)
    3. a > 0,
      (针对2阶矩阵)
    4. 对于任意非零向量x

    其中第4个是正定的定义,前3个是用来验证正定的条件。

    当y怎样取值时,下面的2阶矩阵是正定的?

    f6c8284115f7154d7d0e449bfb642eec.png

    根据条件2可知,

    时,即y>18时,矩阵是正定的。

    如果y=18,则矩阵正好处于正定的临界点上,此时A是奇异矩阵,有一个特征值是0,

    。我们称这种处于临界点上的正定矩阵为半正定矩阵。

    2 矩阵的二次型

    再来看一下

    。对于非零向量
    x来说,Ax是线性形式,加入
    后就变成了含有二次项的形式,比如:

    2e19821313ad2df449f8bfa3be0de39e.png

    这种形式称为矩阵的二次型。当然

    也只有二次型,没有三次型和四次型,即使
    x是更多维度的向量也一样,比如当x是三维向量时,最终结果仍然只含有二次项:

    426ed17909bf402641137081e8287e64.png

    如果对于任意非零向量x来说,矩阵的二次型都大于0,那么这个矩阵是正定矩阵。

    y=18时A是半正定矩阵,当

    时,其二次型为0:

    1d5f3f0cea2e9448f427e3d19f67a4a7.png

    3二次型的意义

    为了画出几何图形,我们以二阶矩阵为例,先看一个非正定矩阵:

    196dea5c9f338b8d00a11c31a36b1ac6.png

    它的二次型是

    ,其几何图形如下:

    b92998d514d851c747378c477172cc1c.png

    从图形上看没有最小值点,原点处是一个鞍点,在某个方向看是极大值,同时又是另一个方向的极小值。下图是个经典的鞍点,图形呈马鞍状:

    31a86e4891cbc9c11135a64268aa5381.png

    再来看正定矩阵:

    d7267f6979121f9a93044d3a684bd0e0.png

    A的二次型是

    ,图形如下:

    30426b4dfad924013f236ecccfb54f25.png

    回顾本节出现的两个二次型,它们都可以通过配方写成完全平方的形式:

    01ab6c41b74ad22946bfe0811d5e7bd6.png

    当x,y不全是0时,可以判断第2个二次型一定大于0,第一个就不一定了。此外还可以通过二次型判断临界点是(0, 0)点。

    经过配方后的二次型很奇妙,它还可以来自消元:

    c4473c6257b5cc329f9379e4a416e6ea.png

    消元变成了上三角矩阵。A可以通过LU分解成:

    61154804ad4787d15c2a0ebe2d95f3f0.png

    现在把原矩阵、二次型和LU分解放到一块:

    32efa16f6bc421b2979095ab2af4dbc4.png

    经过消元后的第一个主元是x的系数,第二个主元正是配方项

    的系数,如果f大于0,那么这两个系数一定是正值,这也是为什么正定矩阵的
    主元一定都为正的原因。

    换一个矩阵试试:

    5a9d3298a6ea1531189c996a7b7cb177.png

    其中一个主元是负数,对应的二次型也不能保证一定大于0。

    4正定矩阵与最小值

    正定矩阵对应的二次型是有最小值的。

    4.1 二元函数

    5d974b7ec9cc549869a008f891c78a3b.png

    判断一元函数是否有最小值,需要判断它的导数和二阶导,同样,多元函数是否有最小值也要根据临界点和二阶导判断。我们在多变量微积分中介绍过怎样判断二元函数的最小值,最小值出现在临界点上:f(x, y)的一个临界点是

    ,即
    , f的最小值是根据二阶导数判断的:

    a6725b8c86062efa5e38239065055454.png

    对于

    来说:

    5def8118ac5ae9e960f92704a3e68290.png

    临界点符合最小值的条件,因此(0,0)是

    的最小值。这个结论实际上来源于对
    A的二阶导矩阵的正定性的判断:

    07e42cb255b986a2424a09f221537b0c.png

    对于二元函数的混合偏导来说,

    是一样的,因此这个矩阵是对称矩阵。在求得临界点后,根据判定正定矩阵的第3条,只要满足下面的条件,则这个二阶导矩阵是正定矩阵:

    38bd6d0b6cd2c21c3544d59b819e2b39.png

    4.2 三元函数

    现在召唤一个三元矩阵,然后判断它的正定性:

    562dbcd16b8a429a3efbb6600fe06820.png

    先对其进行消元:

    2d0a3b9b2063f0afc870416a81400525.png

    A的主元都大于0,这符合正定矩阵的性质,是一个必要条件。

    接下来我们通过子行列式判断A的正定性:

    3e7ae51491e030100586015bc0fce7b9.png

    现在可以确定A是正定矩阵。如果进一步求得特征值,则A的3个特征值是:

    797f7cf7e1152af990d2c22a7fee6ed0.png

    特征值之和等于A的迹,特征值之积等于A的主元之积。

    A是正定矩阵,因此可以判定A的二次型是有最小值的:

    8c60c175a00746b914e54e5d4f188f18.png

    用配方法验证:

    a1ea13126b929ec39128dfeef7f9b65a.png

    可以看出最小值的点是(0, 0, 0)。

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半正定矩阵的行列式