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  • 完全格的左右半范数

    2021-02-26 08:46:03
    单范数是三角形范数和合范数的重要概括,中性元素位于单位区间内的任何位置,而左(右)半范数是单范数的非交换性和非关联性扩展。 在本文中,我们首先介绍一个完整格上的左右半范数的概念,并通过一些例子来说明...
  • 我们首先给出计算二元运算的上下逼近严格左(右)-合左(右)半范数的公式。 然后,我们公开了用于计算满足二阶运算的上下近似含义(满足阶数性质)的公式。 最后,我们揭示了满足阶数性质的上逼近严格左(右)-合算...
  • 在本文中,我们进一步研究了完整格上模糊连接词的构造。 我们首先通过一些例子来说明严格左(右)-合左(右)半范数的概念。 然后,我们给出了用于计算二元运算的上下逼近严格左(右)与合左(右)半范数的公式。
  • 单范数是三角形范数和合范数的重要推广,中性元素位于单位区间内的任何位置,左(右)半范数是单范数的非可交换性和非关联性扩展,并且互蕴涵是布尔乘积蕴涵的扩展。 在本文中,我们研究了完整格上的左(右)半范数...
  • 提出了一种实时全局光照的计算方法。该方法支持任意视点下动态光源的一次间接光照计算,并且物体表面材质可实时编辑,该算法预计算了各面片上的形状因子来解决遮挡问题,并记录形状因子较大的重要性面片作为间接光源...
  • 范数

    万次阅读 2018-06-05 00:45:41
    半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间;同样,定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注:在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数,在该矢量空间中,元素被画成一个从原点出发的带...
    范数,是具有“长度”概念的函数。在 线性代数泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是 矢量空间内的所有矢量赋予非零的正 长度大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
    定义范数的矢量空间是赋范矢量空间;同样,定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
    注:在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数,在该矢量空间中,元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向 线段,每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
    半范数
    假设
       
    是域
       
    上的 矢量空间V半范数是一个函数
       
       
    ,满足:
     
    (非负性)
     
    (正值齐次性)
    范数=半范数+额外性质
    赋范线性空间
     
       
    数域上的线性空间,泛函
       
    满足:
    (1)正定性:
       
    ,且
       
    (2)正齐次性:
       
    (3)次可加性(三角不等式):
       
    那么,
       
    称为
       
    上的一个范数。
    如果 线性空间上定义了范数,则称之为 赋范线性空间
    当且仅当
       
    是零矢量(正定性)时,
       
    是零矢量;若拓扑矢量空间的 拓扑可以被 范数导出,那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。
    内积、度量、拓扑和范数的关系
    (1) 范数
       
    度量
       
    拓扑:
       
    ,因此赋范线性空间是 度量空间但是由度量不一定可以得到范数。
    (2) 如果赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量
       
    的)度量空间是完备的,即任何 柯西(Cauchy)序列在其中都收敛,则称这个赋范线性空间为 巴拿赫(Banach)空间
    (3) 内积
       
    范数:
       
    ;范数不一定可以推出 内积;当范数满足平行四边形公式
       
    时,这个范数一定可以诱导内积;完备的内积空间称为 希尔伯特空间
    (4) 如果去掉范数定义中的正定性,那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数),相应的线性空间称为赋准范线性空间。
    对于X上的两种范数
       
       
    ,若存在正常数C满足:
    那么称
       
    弱于
       
    。如果
       
    弱于
       
       
    弱于
       
    ,那么称这两种范数等价。
    可以证明,有限维空间上的范数都等价,无限维空间上至少有阿列夫(实数集的基数)种不等价的范数。

    算子范数

    编辑
    如果
       
       
    巴拿赫空间
       
       
    的线性算子,那么可以按下述方式定义
       
    根据定义容易证明:
    对于多个空间之间的复合算子,也有,
       
    如果一个 线性算子T的范数满足
    那么称T是 有界线性算子,否则称T是无界 线性算子。
    如,在常用的范数下,积分 算子是有界的, 微分算子是无界的。
    容易证明,有限 维空间的所有线性算子都有界。

    空间范数

    编辑

    基本性质

    有限 维空间上的范数具有良好的性质,主要体现在以下几个定理:
    性质1
    对于有限维赋范线性空间的任何一组基,范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数。
    性质2( Minkowski定理)
    有限维线性空间的所有范数都等价。
    性质3(Cauchy收敛原理)
    实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。
    性质4
    有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。

    常用范数

    这里以C n空间为例,R n空间类似。
    最常用的范数就是p-范数。若
       
    ,那么
    可以验证p-范数确实满足范数的定义。其中三角不等式的证明不是平凡的,这个结论通常称为 闵可夫斯基(Minkowski)不等式。
    当p取
       
    的时候分别是以下几种最简单的情形:
    1-范数:║x║1=│x 1│+│x 2│+…+│x n
    2-范数:║x║2=(│x 12+│x 22+…+│x n21/2
    ∞-范数:║x║∞=max(│x 1│,│x 2│,…,│x n│)
    其中2-范数就是通常意义下的距离。
    对于这些范数有以下 不等式:║x║  ≤ ║x║ 2 ≤ ║x║ 1 ≤ n 1 /2║x║ 2 ≤ n║x║
    另外,若p和q是赫德尔(Hölder)共轭指标,即1/p+1/q=1,那么有赫德尔不等式:
    |<x,y>| = ||x H*y| ≤ ║x║ p║y║ q
    当p=q=2时就是柯西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式。

    矩阵范数

    编辑
    一般来讲 矩阵范数除了正定性, 齐次性三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:
       
    。所以 矩阵范数通常也称为相容范数。
    如果║·║ α是相容范数,且任何满足║·║ β≤║·║ α的范数║·║ β都不是相容范数,那么║·║ α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。
    注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和 向量范数就没有区别,因为mxn矩阵全体和mn维 向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性 算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

    诱导的范数

    把矩阵看作线性算子,那么可以由向量范数诱导出 矩阵范数
    ║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}
    它自动满足对向量范数的相容性
    ║Ax║ ≤ ║A║║x║
    并且可以由此证明:
    ║AB║ ≤ ║A║║B║。
    注:
    ⒈ 上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理),从而上面的连续函数可以取到最值。
    ⒉ 单位矩阵的算子范数为1。
    常用的三种p-范数推导出的 矩阵范数
    1-范数:
    ║A║ 1 = max{ ∑|a i1|,∑|a i2|,……,∑|a in| } (列和范数,A每一列元素绝对值之和的最大值)(其中∑|a i1|第一列元素绝对值的和∑|a i1|=|a 11|+|a 21|+...+|a n1|,其余类似);
    2-范数:
    ║A║ 2 = A的最大奇异值 = (max{ λ i(A H*A) })  1/2 (谱范数,即A^H*A 特征值λ i中最大者λ 1的平方根,其中A H为A的转置 共轭矩阵);
    ∞-范数:
    ║A║  = max{ ∑|a 1j|,∑|a 2j|,...,∑|a mj| } (行和范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中∑|a 1j| 为第一行元素绝对值的和,其余类似);
    其它的p-范数则没有很简单的表达式。
    对于p-范数而言,可以证明║A║ p=║A Hq,其中p和q是共轭指标。
    简单的情形可以直接验证:║A║ 1=║A H,║A║ 2=║A H2,一般情形则需要利用║A║ p=max{y H*A*x:║x║ p=║y║ q=1}。

    非诱导范数

    有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导,比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数,简称F-范数或者E-范数):
    ║A║ F= (∑∑ a ij 21/2 (A全部元素平方和的平方根)。
    容易验证F-范数是相容的,但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E 11+E 22|| F=2>1)。
    可以证明任一种 矩阵范数总有与之相容的 向量范数。
    例:
    定义║x║=║X║,其中X=[x,x,…,x]是由x作为列的 矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数,所以F-范数和向量的2-范数相容。
    另外还有以下结论
    ║AB║ <= ║A║ F ║B║ 2
    ║AB║ F ≤ ║A║ 2 ║B║ F

    矩阵谱半径

    定义:
    A是n阶方阵,λ i是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的 谱半径,记为ρ(A)。
    :注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即A H*A最大特征值的算术平方根。
    谱半径是矩阵的函数,但不是 矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论:
    定理1:
    谱半径不大于矩阵范数,即ρ(A)≤║A║。
    因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
    定理2:
    对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
    定理3(Gelfand定理):
    ρ(A)=lim_{k->;∞} ║A k║1 /k
    推论:
    推论1:矩阵序列 I,A,A 2,…A k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。
    推论2:级数 I+A+A 2+... 收敛到(I-A) -1的充要条件是ρ(A)<1。

    酉不变范数

    定义
    如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及 酉矩阵U,V成立,那么这个范数称为酉不变范数。
    容易验证,2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的 奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。反之可证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系:
    Von Neumann定理:在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。
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  • 范数一般概念

    2021-10-25 21:59:53
    半范数可以给非零矢量赋予零长度 范数=半范数+额外性质 定义范数的矢量空间称为 赋范矢量空间,定义半范数的矢量空间称为赋半范矢量空间 欧式几何空间(欧几里得空间) 一类特殊的向量空间。对通常3维空间V3中的向量...

    范数是具有长度概念的函数。
    矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以给非零矢量赋予零长度
    范数=半范数+额外性质
    定义范数的矢量空间称为 赋范矢量空间,定义半范数的矢量空间称为赋半范矢量空间
    欧式几何空间(欧几里得空间)
    一类特殊的向量空间。对通常3维空间V3中的向量可以讨论长度、夹角等几何性质。若a=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),则a的长度a与β的内积a与β的夹角a,β=arccos(假定a,β均非零向量)。推广之,在n维向量空间Rn中,若a=(a1,……,an),β=(b1,……,bn),规定
    它具有类似的几何性质。Rn连同运算<,>,称为一个欧几里得空间。更一般地,若V是R上向量空间,称V×V到R的一个满足一定条件的映射为内积,带有内积的空间称为欧几里得空间。若<a,β>=0,称a与β正交(垂直)。若V的一个基中的向量两两正交且长度为1,则称为标准正交基,V3中常用的直角坐标系就是标准正交基。每个n维欧几里得空间存在标准正交基,可由任意基改造而得。
    在这里插入图片描述
    欧式范数
    注:在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数,在该矢量空间中,元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段,每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。
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    半范数
    在这里插入图片描述
    半范数(seminorm)是范数的一种推广,其比范数的要求弱(半范数比范数少一个条件:使半范数值为0的元素不一定是0元素
    范数一定是半范数
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    加上非负性就是范数的定义了
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    泛函
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    泛函的自变量是函数,泛函的自变量称为宗量。
    简言之,泛函就是函数的函数。
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    赋范线性空间如果是完备的就称为巴拿赫空间
    在这里插入图片描述

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  • p,Ω,∀v∈W01,p(Ω)||v||_{0,p,\Omega}\le c|v|_{1,p,\Omega},\forall v\in W_0^{1,p}(\Omega)∣∣v∣∣0,p,Ω​≤c∣v∣1,p,Ω​,∀v∈W01,p​(Ω) 对每个 m≥1,1≤p<∞m\ge 1, 1\le p ≥1,1≤p<∞ ,半范数 ∣⋅...
     
    

    1. Sobolev空间

    Ω \Omega Ω R N \mathbb{R}^N RN 的任一开子集,对于每个整数 m ≥ 1 m\ge 1 m1 以及每个扩展的实数 1 ≤ p ≤ ∞ 1\le p\le \infty 1p (扩展的实数好像就是在实数的基础上带上无穷), 实Sobolev空间记为
    W m , p ( Ω ) W^{m,p}(\Omega) Wm,p(Ω)
    如果p=2,则为 H m ( Ω ) H^m(\Omega) Hm(Ω)
    由函数 v ∈ L p ( Ω ) v\in L^p(\Omega) vLp(Ω) 组成。
    这些函数满足:


    对所有的重指标 α , 1 ≤ ∣ α ∣ ≤ m \alpha,1\le |\alpha|\le m α,1αm ,v的弱偏导数 ∂ α v ∈ L p ( Ω ) \partial^\alpha v \in L^p(\Omega) αvLp(Ω)


    根据弱偏导数的定义,一个函数 v ∈ L p ( Ω ) v\in L^p(\Omega) vLp(Ω) 属于 W m , p ( Ω ) W^{m,p}(\Omega) Wm,p(Ω) ,如果对每个重指标 α , 1 ≤ ∣ α ∣ ≤ m \alpha, 1\le |\alpha| \le m α,1αm ,存在一个函数 ∂ α v ∈ L p ( Ω ) \partial^\alpha v\in L^p(\Omega) αvLp(Ω) 使得

    ∫ Ω ( ∂ α v ) ϕ d x = ( − 1 ) ∣ α ∣ ∫ Ω v ∂ α ϕ d x , ∀ ϕ ∈ D ( Ω ) \int_\Omega (\partial^\alpha v) \phi dx = (-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v\partial^\alpha \phi dx ,\forall \phi \in \mathcal{D}(\Omega) Ω(αv)ϕdx=(1)αΩvαϕdx,ϕD(Ω)

    这样一个函数 ∂ α v ∈ L p ( Ω ) \partial^\alpha v\in L^p(\Omega) αvLp(Ω) 是由该式唯一确定的,而且如果 v ∈ C m ( Ω ) v\in \mathcal C^m(\Omega) vCm(Ω) 那么那就是一般意义的偏导数。

    1.1. Sobolev空间的一些性质


    设 Ω是 R N \mathbb{R}^N RN 的开子集,而 m ≥ 1 m\ge 1 m1 是一个整数,装备范数

    v → ∣ ∣ v ∣ ∣ m , p , Ω : = ( ∫ Ω ∑ ∣ α ∣ ≤ m ∣ ∂ α v ∣ p d x ) 1 p = ( ∑ 0 ≤ ∣ α ∣ ≤ m ∣ ∣ ∂ α v ∣ ∣ L 2 ( Ω ) p ) 1 p , p ≤ ∞ v\to ||v||_{m,p,\Omega}:=(\int_\Omega \mathop{\sum}\limits_{|\alpha|\le m} |\partial^\alpha v|^p dx)^{\frac{1}{p}} = (\mathop{\sum}\limits_{0\le |\alpha|\le m} ||\partial^\alpha v||^p_{L^2(\Omega)})^{\frac{1}{p}}, p\le \infty vvm,p,Ω:=(Ωαmαvpdx)p1=(0αmαvL2(Ω)p)p1,p

    v → ∣ ∣ v ∣ ∣ m , ∞ , Ω : = m a x ∣ α ∣ ≤ m ∣ ∣ ∂ α v ∣ ∣ L ∞ ( Ω ) , p = ∞ v\to ||v||_{m,\infty,\Omega}:= \mathop{max}\limits_{|\alpha|\le m} ||\partial^\alpha v||_{L^\infty (\Omega)},p = \infty vvm,,Ω:=αmmaxαvL(Ω),p=

    的Sobelev空间是Banach空间。

    • 1 ≤ p < ∞ 1\le p <\infty 1p< 时是可分的,在 1 < p < ∞ 1< p < \infty 1<p< 时是自反的
    • 在 p=2 时是Hilbert空间

    有限宽度: R N \mathbb{R}^N RN 的一个子集如果位于 R N \mathbb{R}^N RN 中的两个平行的超平面之间,则称其具有有限宽度。

    Ω \Omega Ω R N \mathbb{R}^N RN 的具有优先宽度的开子集,有

    • 对每个 1 ≤ p < ∞ 1\le p < \infty 1p< ,Poincare-Friedrichs不等式成立,即:

    存在一个常数 c = c ( Ω , p ) c = c(\Omega,p) c=c(Ω,p) 使得

    ∣ ∣ v ∣ ∣ 0 , p , Ω ≤ c ∣ v ∣ 1 , p , Ω , ∀ v ∈ W 0 1 , p ( Ω ) ||v||_{0,p,\Omega}\le c|v|_{1,p,\Omega},\forall v\in W_0^{1,p}(\Omega) v0,p,Ωcv1,p,Ω,vW01,p(Ω)

    • 对每个 m ≥ 1 , 1 ≤ p < ∞ m\ge 1, 1\le p < \infty m1,1p< ,半范数 ∣ ⋅ ∣ m , p , Ω |\cdot|_{m,p,\Omega} m,p,Ω 是空间 W 0 m , p ( Ω ) W_0^{m,p}(\Omega) W0m,p(Ω) 上等价于范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ m , p , Ω ||\cdot||_{m,p,\Omega} m,p,Ω 的范数,即存在常熟 C = C ( Ω , m , p ) C=C(\Omega,m,p) C=C(Ω,m,p) 使得

    ∣ v ∣ m , p , Ω ≤ ∣ ∣ v ∣ ∣ m , p , Ω ≤ C ∣ v ∣ m , p , Ω , ∀ v ∈ W 0 m , p ( Ω ) |v|_{m,p,\Omega}\le ||v||_{m,p,\Omega}\le C|v|_{m,p,\Omega},\forall v\in W_{0}^{m,p}(\Omega) vm,p,Ωvm,p,ΩCvm,p,Ω,vW0m,p(Ω)

    1.2. 嵌入定理

    嵌入:
    符号 X ↪ Y X\hookrightarrow Y XY 指赋范向量空间 X 连续地嵌入赋范向量空间 Y,也就是说 X ⊂ Y X\subset Y XY 而且存在一个常数c使得 ∣ ∣ v ∣ ∣ Y ≤ c ∣ ∣ v ∣ ∣ X , ∀ v ∈ X ||v||_Y\le c||v||_X, \forall v\in X vYcvX,vX ,或者说,恒等映射 ( X , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ X ) → ( Y , ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ Y ) (X,||\cdot||_X)\to (Y,||\cdot||_Y) (X,X)(Y,Y) 是连续的。

    Sobelev 嵌入定理:
    Ω \Omega Ω R N \mathbb{R}^N RN 中的区域, m ≥ 1 m\ge 1 m1 是整数而 1 ≤ 1 < ∞ 1\le 1 < \infty 11< ,则有连续嵌入成立:

    W m , p ( Ω ) ↪ L P ∗ ( Ω ) , 其 中 1 p ∗ = 1 p − m N ,          m ≤ N p W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{P^*}(\Omega), 其中\frac{1}{p^*} = \frac{1}{p} - \frac{m}{ N}, ~~~~~~~~ m\le\frac{N}{p} Wm,p(Ω)LP(Ω),p1=p1Nm,        mpN

    W m , p ( Ω ) ↪ L P ( Ω ) , 对 所 有 满 足 1 ≤ q < ∞ 的 q ,          m = N p W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow L^{P}(\Omega), 对所有满足 1\le q < \infty 的q, ~~~~~~~~ m = \frac{N}{p} Wm,p(Ω)LP(Ω),1q<q,        m=pN

    W m , p ( Ω ) ↪ C 0 , m − N / p ( Ω ‾ ) , N p < m < N p + 1 W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{C}^{0,m-N/p}(\overline \Omega), \frac{N}{p}<m<\frac{N}{p} + 1 Wm,p(Ω)C0,mN/p(Ω),pN<m<pN+1

    W m , p ( Ω ) ↪ C 0 , λ ( Ω ‾ ) , 0 < λ < 1 , m = N p + 1 W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{C}^{0,\lambda}(\overline \Omega),0<\lambda<1, m = \frac{N}{p} + 1 Wm,p(Ω)C0,λ(Ω),0<λ<1,m=pN+1

    W m , p ( Ω ) ↪ C 0 , λ ( Ω ‾ ) , N p + 1 < m W^{m,p}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{C}^{0,\lambda}(\overline \Omega),\frac{N}{p} +1 < m Wm,p(Ω)C0,λ(Ω),pN+1<m

    1.3. Sobolev空间中的Green公式

    Ω \Omega Ω R N \mathbb{R}^N RN 中的一个区域,而 ν = ( ν i ) i = 1 N \nu = (\nu_i)_{i=1}^N ν=(νi)i=1N 表示沿着 Γ \Gamma Γ 的单位外法向量场,设 1 ≤ p < ∞ , 1 ≤ q < ∞ 1\le p <\infty,1\le q <\infty 1p<,1q< 使得

    1 p + 1 q ≤ 1 + 1 N { 1 ≤ q < N 且 1 ≤ q < N 1 < q , N ≤ p 1 < p , N ≤ q \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \le 1+ \frac{1}{N} \begin{cases} 1\le q<N 且 1\le q<N\\ 1<q,N\le p \\ 1<p,N\le q \end{cases} p1+q11+N11q<N1q<N1<q,Np1<p,Nq

    则给定函数 u ∈ W 1 , p ( Ω ) u\in W^{1,p}(\Omega) uW1,p(Ω) 以及 v ∈ W 1 , q ( Ω ) v\in W^{1,q}(\Omega) vW1,q(Ω) ,每个函数 u v ν i , 1 ≤ i ≤ N uv\nu_i,1\le i \le N uvνi,1iN 都属于空间 L 1 ( Γ ) L^1(\Gamma) L1(Γ) 而且有

    ∫ Ω u ∂ i v d x = − ∫ Ω ( ∂ i u ) v d x + ∫ Γ u v ν i d Γ \int_\Omega u\partial_i vdx = -\int _{\Omega} (\partial_i u )vdx + \int_{\Gamma} uv\nu _i d\Gamma Ωuivdx=Ω(iu)vdx+ΓuvνidΓ

    如果 u , v ∈ H 1 ( Ω ) u,v \in H^1(\Omega) u,vH1(Ω) ,则基本Green公式 对任何维数 N ≥ 2 N\ge 2 N2 都成立。

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  • 展开全部 1、定义不同 范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数e5... 如果去掉范数定义中的正定性,那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数),相应的线性空间称为赋准范线性空间。

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    1、定义不同

    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数e5a48de588b63231313335323631343130323136353331333431373238学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间。

    向量 AB(AB上面有→)的长度叫做向量的模,记作|AB|(AB上有→)或|a|(a上有→)。而模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。模推广到高维空间中称为范数。

    2、应用范围不同

    范数应用在数学中的代数和函数中,而向量的模主要应用在高中数学必修四平面向量中。

    3、运算方法不同

    向量的模的运算没有专门的法则,一般都是通过余弦定理计算两个向量的和、差的模。多个向量的合成用正交分解法,如果要求模一般需要先算出合成后的向量。

    而范数在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即①非负性;②齐次性;③三角不等式。

    扩展资料;

    范数分为半范数和赋范线性空间

    赋范线性空间是当且仅当v是零矢量(正定性)时,p(v)是零矢量。若拓扑矢量空间的拓扑可以被范数导出,那么这个拓扑矢量空间被称为赋范矢量空间。

    如果去掉范数定义中的正定性,那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数),相应的线性空间称为赋准范线性空间。

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