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  • 完全格的左右半范数

    2021-02-26 08:46:03
    单范数是三角形范数和合范数的重要概括,中性元素位于单位区间内的任何位置,而左(右)半范数是单范数的非交换性和非关联性扩展。 在本文中,我们首先介绍一个完整格上的左右半范数的概念,并通过一些例子来说明...
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  • 我们首先给出计算二元运算的上下逼近严格左(右)-合左(右)半范数的公式。 然后,我们公开了用于计算满足二阶运算的上下近似含义(满足阶数性质)的公式。 最后,我们揭示了满足阶数性质的上逼近严格左(右)-合算...
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  • 局部凸L-拓扑向量空间的新定义,张化朋,方锦暄,本文给出了局部凸L-拓扑向量空间的新定义, 研究了这个新定义与严从华和方锦暄给出的定义之间的关系. 此外, 引进了广义L-fuzzy半范数
  • 半范数可以为非零的矢量赋予零长度。定义范数的矢量空间是赋范矢量空间;同样,定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。注:在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数,在该矢量空间中,元素被画成一个从原点出发的带...

    范数,是具有长度概念的函数。线性代数泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

    定义范数的矢量空间是赋范矢量空间;同样,定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

    注:在二维的欧氏几何空间 R中定义欧氏范数,在该矢量空间中,元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段,每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

    8120e02d42e9d16625d5aae66e2393ad.png

    471bb5553f36bef9e1116f4da9058479.png

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    算子范数:
    96a8c53059fe7fc2955061d09867f0e2.png

    空间范数:

    有限维空间上的范数具有良好的性质,主要体现在以下几个定理:

    性质1:

    对于有限维赋范线性空间的任何一组基,范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数。

    性质2(Minkowski定理):

    有限维线性空间的所有范数都等价。

    性质3(Cauchy收敛原理):

    实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。

    性质4:

    有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。

    常用范数:这里以Cn空间为例,Rn空间类似。

    c7a506ce8b1b451690b03b4eeb465384.png

    矩阵范数:

    一般来讲矩阵范数除了正定性,齐次性三角不等式之外,还规定其必须满足相容性:f5151703-6c52-eb11-8da9-e4434bdf6706.svg 。

    所以矩阵范数通常也称为相容范数。

    如果║·║α是相容范数,且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数,那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║,总存在唯一的实数k>0,使得k║·║是极小范数。

    注:如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

    诱导的范数

    把矩阵看作线性算子,那么可以由向量范数诱导出矩阵范数

    ║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║:x≠0}

    它自动满足对向量范数的相容性

    ║Ax║ ≤ ║A║║x║

    并且可以由此证明:

    ║AB║ ≤ ║A║║B║。

    注:

    ⒈ 上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理),从而上面的连续函数可以取到最值。

    ⒉ 单位矩阵的算子范数为1。

    常用的三种p-范数推导出的矩阵范数

    42346cf1b1f7c86ba4d163327d7de720.png

    非诱导范数

    dcd7b169f472251d5e2bae8008185bed.png

    矩阵谱半径

    定义:

    A是n阶方阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径,记为ρ(A)。

    注:注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即AH*A最大特征值的算术平方根。

    谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数

    谱半径和范数的关系是以下几个结论:

    ecbae9fd34b0023f2fb66f5ce5abf8ac.png

    酉不变范数

    定义:

    如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立,那么这个范数称为酉不变范数。

    容易验证,2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。反之可证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系:

    Von Neumann定理:在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。

    具体内容见百度百科:

    https://baike.baidu.com/item/范数/10856788?fr=aladdin

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  • 范数

    千次阅读 2018-12-27 12:45:41
    在线性代数,泛函分析以及相关数学领域,范数是一个函数,半范数可以为非零的矢量赋予零长度。 赋范矢量空间,定义范数的矢量空间。赋半范矢量空间,定义半范数的矢量空间。 二维欧氏空间R中定义欧氏范数时,元素被...

    范数

    范数

    • 范数,具有长度的函数。在线性代数,泛函分析以及相关数学领域,范数是一个函数,半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
    • 赋范矢量空间,定义范数的矢量空间。赋半范矢量空间,定义半范数的矢量空间。
    • 二维欧氏空间R中定义欧氏范数时,元素被视为一个从原点出发带有箭头的有向线段,每个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数

    矩阵范数

    1. 矩阵范数(matrix norm),用于将一定的矩阵空间建立为赋范矢量空间。

    2. xp=(i=1nxip)1p(lpp[1,+)) ||x||_p=(\sum_{i=1}^{n} x_i^p)^\frac{1}{p} (l_p范数,p\in[1,+\infty))

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  • 构造了求解一类延迟二阶线性微分方程的两点边值问题的二阶有限体积法....误差分析显示,在离散H~1半范数、L~2范数以及最大范数下,数值解关于步长都是二阶收敛的.并且,有限的数值结果验证了该数值方法的有效性.
  • 新模型分别采用TV刻画结构分量的分片常值,采用[H1]半范数刻画分片光滑,则图像结构被看成是TV分量与[H1]分量之和。由于新的结构中包含了分片光滑的[H1]分量,所以可以一定程度去除阶梯现象。理论证明了模型的解的非...
  • 向量、矩阵范数

    2017-01-13 22:37:25
    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范函是一个函数,其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。

    一、简介

    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范函是一个函数,其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。
    详解

    二、实现

    # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Mon Dec 12 19:24:08 2016
    
    向量范数计算
    
    @author: Administrator
    """
    
    from numpy import *
    
    def norm(x,ord=2):
        if ord == 2 or ord == 1:
            return sum(abs(x)**ord)**(1./ord)
        if ord == Inf:
            return abs(x).max()
    
    def print_norm(x):
        print norm(x,1)
        print norm(x,2)
        print norm(x,Inf)
    
    if __name__ == '__main__':
        list = []
        for i in xrange(1,11):
            list.append(1./i)    
        x = array(list)
        print_norm(x)
    
        list = []
        for i in xrange(1,101):
            list.append(1./i)    
        x = array(list)
        print_norm(x)
    
        list = []
        for i in xrange(1,1001):
            list.append(1./i)    
        x = array(list)
        print_norm(x)
    
        x = arange(1,11)
        print_norm(x)
    
        x = arange(1,101)
        print_norm(x)
    
        x = arange(1,1001)
        print_norm(x)
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  • 【数学知识】||x||(范数 norm)

    千次阅读 2019-07-08 17:12:50
    1. 范数的含义与定义 范数(norm)是数学中的一种基本概念,是具有“长度”概念的函数。   在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即①非负性;...半范数可以为非零的矢量赋予零长度。 2....

    1. 范数的含义与定义

    范数(norm)是数学中的一种基本概念,是具有“长度”概念的函数。
      在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即①非负性;②齐次性;③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小。
      在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。
    在这里插入图片描述

    2. 常见范数

    2.1 向量范数

    通俗的理解,向量范数就是在这个向量空间中向量的大小
    一般向量范数常使用L-P范数
    其通用公式为:
    在这里插入图片描述
    注意,上述公式中Xi外应该有绝对值符号。
    聪明的你应该已经发现了:
      L0范数表示向量中非零元素个数

      L1范数表示向量元素绝对值之和,L1范数有很多的名字,例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以度量两个向量间的差异,如绝对误差和(Sum of Absolute Difference)
      由于L1范数的天然性质,对L1优化的解是一个稀疏解,因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。通过L1可以实现特征的稀疏,去掉一些没有信息的特征,例如在对用户的电影爱好做分类的时候,用户有100个特征,可能只有十几个特征是对分类有用的,大部分特征如身高体重等可能都是无用的,利用L1范数就可以过滤掉。

      L2范数让人想到欧几里得距离,L2范数通常会被用来做优化目标函数的正则化项,防止模型为了迎合训练集而过于复杂造成过拟合的情况,从而提高模型的泛化能力。

      L通常用来度量元素的最大值。

    2.2 矩阵范数

    矩阵可以看作向量空间上的一次向量的线性变换,矩阵范数就是用来衡量变化幅度大小的。

    2.2.1 诱导范数

    由向量范数的L-P范数诱导而来,故曰诱导范数
    在这里插入图片描述
    列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
    在这里插入图片描述
    谱范数,即ATA矩阵的最大特征值的开平方。(快去复习矩阵特征值怎么求)
    在这里插入图片描述
    行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值。

    2.2.2 非诱导范数

    在这里插入图片描述
    Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方(上图公式漏了绝对值的平方,百度害人
    在这里插入图片描述
    核范数,是指矩阵奇异值的和(快去复习什么叫矩阵奇异值)
    作用:约束低秩
    https://www.zhihu.com/question/26471536

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  • 旧笔记

    2020-10-24 16:30:28
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    半范数可以为非零的矢量赋予零长度。 范数常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小。在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即①非负性;②齐次性;③三角不等式。 ...
  • 范数,是具有“长度”概念的函数。...半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。 矩阵2范数: http://baike.baidu.com/link?url=jTsZ8ZCJe9ZZQqL75MWgNROJdSi2TWxXsAjowjlcFx6JpGPHM30pxKYmEk4XjOuGJx1hGh
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    千次阅读 2019-06-18 14:14:32
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    千次阅读 2016-02-01 09:57:12
    半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。举一个简单的例子,在二维的欧氏几何空间 R就可定义欧氏范数。在这个矢量空间中的元素常常在笛卡儿坐标系统中被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段。每一个矢量的欧氏...
  • 半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。 矩阵范数:矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号;  线性代数基础知识 % 1.B=P*A*inv(P),称A与B相似,相似矩阵具有相同的特征值 % 2.Q*Q'=I,...
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空空如也

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半范数