1. 计算距离的函数
 
dist(A,B)		%计算A中每个行向量与B中每个列向量之间欧氏距离，A的列数（行维数）必须等于B的行数（列维数），类似于矩阵乘法(m,n)&(n,l)→(m,l)
mandist(A,B)		%计算A中每个行向量与B中每个列向量之间绝对距离，A的行维数必须等于B的列维数(m,n)&(n,l)→(m,l)
dist(X); mandist(X);	%计算矩阵X列向量组之间的两两距离(m,n)→(n,n)
pdist(X)		%矩阵X中两两行向量间的的欧氏距离，返回值为一维向量(m,n)→(1,m*(m-1)/2)
pdist(X,'cityblock')		%矩阵X中两两行向量间的的绝对值距离(m,n)→(1,m*(m-1)/2)
pdist(X,'minkowski'.r)		%矩阵X中两两行向量间的的闵可夫斯基距离，r为闵式距离的参数
pdist(X,'mahalanobis')		%矩阵X中两两行向量间的的的马氏距离
pdist(X,'correlation')		%计算相关系数导出的距离，X为相关系数矩阵(m,m)→(1,m*(m-1)/2)
 
2. 绘图函数
 
MATLAB是利用离散数据进行绘图，实现数据和函数可视化。
 
2.1 二维曲线和图形
 2.1.1 plot是绘制基本二维曲线图形的命令。
 
plot(X,Y)		%创建 Y 中数据对 X 中对应值的二维线图
%如果 X 和 Y 都是向量，则它们的长度必须相同。plot 函数绘制 Y 对 X 的图。
%如果 X 和 Y 均为矩阵，则它们的大小必须相同。plot 函数绘制 Y 的列对 X 的列的图。
%如果 X 或 Y 中的一个是向量而另一个是矩阵，则矩阵的各维中必须有一维与向量的长度相等。如果矩阵的行数等于向量长度，则 plot 函数绘制矩阵中的
每一列对向量的图。如果矩阵的列数等于向量长度，则该函数绘制矩阵中的每一行对向量的图。如果矩阵为方阵，则该函数绘制每一列对向量的图。
%如果 X 或 Y 之一为标量，而另一个为标量或向量，则 plot 函数会绘制离散点。但是，要查看这些点，必须指定标记符号，例如 plot(X,Y,'o')

plot(X,Y,LineSpec)		%设置线型、标记符号和颜色
%线型（连续线）：	-	实线（默认）		--	虚线		:	点线		-.	点划线
%标记（离散点）：	o	圆圈		+	加号		*	星号		.	点		x	叉号		s	方形		d	菱形
	^	上三角		v	下三角		>	右三角		<	左三角		p	五角形		h	六角形
%颜色：y黄色	m品红色	c青蓝色	r红色	g绿色	b蓝色	w白色	k黑色

plot(X1,Y1,...,Xn,Yn)		%绘制多个 X、Y 对组的图，所有线条都使用相同的坐标区。

plot(X1,Y1,LineSpec1,...,Xn,Yn,LineSpecn)	%设置每个线条的线型、标记符号和颜色。
%可以混用 X、Y、LineSpec 三元组和 X、Y 对组：例如plot(X1,Y1,X2,Y2,LineSpec2,X3,Y3)。

plot(Y)		%创建 Y 中数据对每个值索引的二维线图。
%如果 Y 是向量，x 轴的刻度范围是从 1 至 length(Y)。
%如果 Y 是矩阵，则 plot 函数绘制 Y 中各列对其行号的图。x 轴的刻度范围是从 1 到 Y 的行数。
%如果 Y 是复数，则 plot 函数绘制 Y 的虚部对 Y 的实部的图，使得 plot(Y) 等效于plot(real(Y),imag(Y))。
plot(Y,LineSpec)	%设置线型、标记符号和颜色。

plot(___,Name,Value)	%使用一个或多个 Name,Value 对组参数指定线条属性。有关属性列表，请参阅 Line 属性。
可以将此选项与前面语法中的任何输入参数组合一起使用。名称-值对组设置将应用于绘制的所有线条。
例：plot(x,y,'--gs','LineWidth',2,'MarkerSize',10,'MarkerEdgeColor','b','MarkerFaceColor',[0.5,0.5,0.5])

plot(ax,___)		%将在由 ax 指定的坐标区中，而不是在当前坐标区 (gca) 中创建线条。选项 ax 可以位于前面的语法中的任何输入参数组合之前

h = plot(___)		%返回由图形线条对象组成的列向量。在创建特定的图形线条后，可以使用 h 修改其属性。有关属性列表，请参阅 Line 属性。
 
Line属性
 
2.1.2 坐标控制和图形标识
 
坐标轴的控制：
 
axis auto %使用默认设置		axis equal %横纵轴采用等长刻度		axis manual %使当前坐标范围不变	
axis fill %在manual方式下起作用，使坐标充满整个绘图区		axis off %取消轴背景		axis on %使用轴背景
axis image %横纵轴采用等长刻度，且坐标框紧贴数据范围	axis tight %把数据范围直接设置为坐标范围
axis ij %矩阵式坐标，原点在左上方	axis xy %普通直角坐标，原点在左下方
axis square %产生正方形坐标系		axis normal %矩形坐标系（默认）
axis(V) V=[x1,x2,y1,y2]; V=[x1,x2,y1,y2,z1,z2]; %人工设定坐标范围。设定值：二维4个；三维6个
axis vis3d %保持高宽比不变，用于三维旋转时避免图形大小变化
 
分格线和坐标框
 
grid %是否画分格线的双向切换命令（使当前分割线状态翻转）	grid on %画出分格线	grid off %不画分格线
box %坐标形式在封闭式和开启式之间切换	box on %使当前坐标呈封闭形式	box off %使当前坐标呈开启形式
 
图形标识指令
 
title(S) %书写图名	xlabel(S) %横坐标轴名		ylabel(S) %纵坐标轴名
legend(S1,S2,…) %绘制曲线所用线型、色彩或数据点形图例		text(xt,yt,S) %在图面（xt,yt）坐标处书写字符注释
legend(S1,S2,'Location','SouthEast') %legend位置调整。上北下南左西右东最优best
 
2.1.3 多子图
 
多次叠绘：hold命令使添加新绘图时保留当前绘图
 
hold on %保留当前坐标区中的绘图，从而使新添加到坐标区中的绘图不会删除现有绘图。如果不存在坐标区，hold 命令会创建坐标区。
hold off %将保留状态设置为 off，从而使新添加到坐标区中的绘图清除现有绘图并重置所有的坐标区属性。
hold %在 on 和 off 之间切换保留状态。
hold(ax,___) %为 ax 指定的坐标区而非当前坐标区设置 hold 状态。
 
双纵坐标绘图
 
plotyy(X1,Y1,X2,Y2) %绘制 Y1 对 X1 的图，在左侧显示 y 轴标签，并同时绘制 Y2 对 X2 的图，在右侧显示 y 轴标签。
plotyy(X1,Y1,X2,Y2,'FUN') %以左右不同纵轴绘制成指定形式的X1-Y1、X2-Y2两条曲线
plotyy(X1,Y1,X2,Y2,'FUN1','FUN2') %以左右不同纵轴绘制成X1-Y1、X2-Y2不同指定形式的两条曲线
 
多子图
 
subplot(m,n,p) %将当前图窗划分为 m×n 网格，并在 p 指定的位置创建坐标区。
	如果指定的位置已存在坐标区，则此命令会将该坐标区设为当前坐标区。
subplot('Position',pos) %在 pos 指定的自定义位置创建坐标区。使用此选项可定位未与网格位置对齐的子图。
	指定 pos 作为 [left bottom width height] 形式的四元素向量。
 
3. 随机数生成函数
 
在早期版本的 MATLAB 中，是通过 ‘seed’、‘state’ 或 ‘twister’ 输入来控制 rand 和 randn 函数所用的随机数生成器的。现在使用 rng 函数来控制 rand、randn、randi 以及所有其他随机数生成器（如 randperm、sprand 等）使用的共享生成器。
 
X = rand		%返回一个在区间 (0,1) 内均匀分布的随机数。
X = rand(n)		%返回一个 n×n 的随机数矩阵。
X = rand(sz1,...,szN)	%返回由随机数组成的 sz1×...×szN 数组，其中 sz1,...,szN 指示每个维度的大小。
X = rand(sz)		%返回由随机数组成的数组，其中大小向量 sz 指定 size(X)。例如：rand([3 4]) 返回一个 3×4 的矩阵。
X = rand(___,typename)	%返回由 typename 数据类型的随机数组成的数组。typename 输入可以是 'single' 或 'double'。
X = rand(___,'like',p)	%返回由 p 等随机数组成的数组；也就是与 p 同一对象类型。您可以指定 typename 或 'like'，但不能同时指定两者。 

X = randi(imax)		%返回一个介于 1 和 imax 之间的伪随机整数标量。
X = randi(imax,n)		%返回 n×n 矩阵，其中包含从区间 [1,imax] 的均匀离散分布中得到的伪随机整数。
X = randn		%返回一个从标准正态分布中得到的随机标量。

rng(seed)		%使用非负整数 seed 为随机数生成器提供种子
rng('shuffle')		%根据当前时间为随机数生成器提供种子
 
4. 解微分方程
 
4.1 Matlab求微分方程的符号解
 
S = dsolve(eqn)		%解微分方程，eqn为一个符号等式，在其中用==表示等号，用diff(y,x),diff(y,x,2)表示表示导数
S = dsolve(eqn,cond)	%解有初始条件或边界条件的微分方程
[y1,...,yN] = dsolve(___)	%解微分方程组
 
4.2 Matlab求初值问题的数值解
 4.2.1 一阶方程的数值问题$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ y(x_0)=y_0\end{array}$$该类型方程Matlab的函数形式是
 
[t,y] = solver('F',tspan,y0)	%其中solver为doe45、ode23、ode113中的一个
%F是用M文件定义的微分方程y'=f(x,y)右端的函数；tspan=[t0,tfinal]是求解区间；y0是初值
 
4.2.2 高阶微分方程$y^{(n)}=f(t,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)})$和一阶微分方程组的解法
 高阶常微分方程需要做变量替换，化成一阶微分方程组后才能使用Matlab求数值解。一阶微分方程组的解法和简单的一阶方程解法是一样的。
 
4.3 Matlab求边值问题的数值解
 Matlab中求解常微分方程两点边值问题的标准形式为$$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=f(x,y)\\ bc(y(a),y(b))=0\end{array}$$式中，y,f为向量函数，[a,b]为求解的区间，bc为边界条件。边值问题在计算上比初值问题困难得多，由于边值问题的解可能是多值的，函数需要提供猜测的初始值。
 函数bvp4c可用于求解边值问题
 
sol = bvp4c(@ odefun,@ bcfun,solinit,options,p1,p2,…)
yprime = odefun(x,y,p1,p2,…)	%odefun为微分方程组
res = bcfun(ya,yb,p1,p2,…)		%bcfun为初始条件
%solinit为用函数bvpinit得到的猜测初始值
solinit = bvpinit(x,yinit)		%x是指定初始网格的向量；yinit是解的估计值，可以是向量或函数
solinit = bvpinit(x,yinit,parameters)	%指示边界值问题涉及未知参数。使用向量 parameters为所有未知参数提供估计值
 
5. 数学建模常用函数
 
k = find(X)		%返回一个包含数组 X 中每个非零元素的线性索引的向量
[row,col] = find(X)		%返回数组 X 中每个非零元素的行和列下标
C = unique(A) 	%返回与 A 中相同的数据，但是不包含重复项。C 已排序。

 
matlab常用函数
 
数据统计函数
当参数为向量时
（1）y=max(X)
（2）[y,k]=max(X)
   
当参数为矩阵时，函数有三种调用格式：
（1）max(A)
（2）[Y,U]=max(A)
（3）max(A,[],dim)
（4） max(A(：))
   
求矩阵的平均值和中值
mean()：求算术平均值。
median()：求中值。
   
求和与求积
sum():求和函数。
prod():求积函数
cumsum():累加和函数
cumprod():累乘积函数
   
标准差
（1）std(X)
（2）std(A)
（3）std(A,flag,dim)
   
相关系数
（1）corrcoef(A)
（2）corrcoef(X,Y)
   
排序
（1）sort(X)
（2）[Y,I]=sort(A,dim,mode)
  
  
多项式计算
多项式的四则运算
（1）多项式的加减运算
（2）多项式乘法conv(P1,P2)
（3）多项式除法[Q,r]=deconv(P1,P2)
   
多项式求导
（1）p=polyder(p ) :求多项式P的导函数。
（2）p=polyder(P,Q)：求P×Q的导函数。
（3）[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
   
多项式的求值
polyval(p,x)
polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含
   
多项式的求根
roots(p) 其中p为多项式的系数向量
  
  
插值
在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)
method参数用于指定插值方法
MATLAB中的二维插值函数为interp2()，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
  
  
曲线拟合
（1）P=polyfit(X,Y,m)（p返回的是一个多项式的系数）
（2）[P,S]=polyfit(X,Y,m)
（3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)
  
数值微分与数值积分
差分
dx=diff(x)
dx=diff(x,n)
dx=diff(A,n,dim)
   
数值积分
适用于必须有上下限且不能为无穷大
 基于自适应辛普森方法 [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
 基于自适应Gauss-Lobatto方法 [I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)
适用于无穷大
基于全局自适应积分方法I=integral(filename,a,b)
基于自适应高斯-克朗罗德方法[I,err]=quadgk(filename,a,b)
 基于梯形积分法I=trapz(x,y)向量x、y定义函数关系y=f(x)。
    
多重定积分的数值求解
I=integral2(filename,a,b,c,d)
I=quad2d(filename,a,b,c,d)
I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
求三重积分的数值解：
I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)
    
   
  
  
线性方程组求解
[L,U]=lu(A) x=U\(L\b)
[L,U,P]=lu(A) x=U\(L\P*b)
[y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
[y,n]=gauseidel(A,b,x0,ep)
  
非线性方程求解
x=fzero(filename,x0)
x=fsolve(filename,x0,option)
  
函数极值
[xmin,fmin]=fminbnd(filename,x1,x2,option)
[xmin,fmin]=fminsearch(filename,x0,option)
[xmin,fmin]=fminunc(filename,x0,option)
[xmin,fmin]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)
  
常微分方程
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 

 
数据统计函数
 
当参数为向量时
 
（1）y=max(X)
 
返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，
则按模取最大值。

 
（2）[y,k]=max(X)
 
返回向量X的最大值存入y，最大值元素的序号
存入k，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。
 
当参数为矩阵时，函数有三种调用格式：
 
（1）max(A)
 
返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最
大值。
 
（2）[Y,U]=max(A)
 
返回行向量Y和U，Y向量记录A中每列的最大值，U向
量记录每列最大值元素的行号。
 
（3）max(A,[],dim)
 

dim取1或2。
dim取1时，该函数的功能和max(A)完全
相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上
的最大值。
 
（4） max(A(：))
 
把矩阵变成一列，求矩阵的最大值
 
求矩阵的平均值和中值
 
mean()：求算术平均值。
 
平均值：指算术平均值，即每项数据之和除以项数。
 
median()：求中值。
 
中值：指在数据序列中其值的大小恰好处在中间的元素。如果数据个数为奇
数，则取值为大小位于中间的元素；如果数据个数为偶数，则取中间两个元
素的平均值。
 
求和与求积
 
sum():求和函数。
 
prod():求积函数
 
cumsum():累加和函数
 
cumprod():累乘积函数
 
标准差
 
 
（1）std(X)
 
计算向量X的标准差。
 
（2）std(A)
 
计算矩阵A的各列的标准差。
 
（3）std(A,flag,dim)
 
 flag取0或1，当flag=0时，按S1所列公式计
算样本标准方差；当flag=1时，按S2所列公式计算总体标准方差。在默
认情况下，flag=0，dim=1。
 
相关系数
 
 
（1）corrcoef(A)
 
返回由矩阵A所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第j
列的元素表示原矩阵A中第i列和第j列的相关系数。
 
（2）corrcoef(X,Y)
 
在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一
样，用于求X、Y向量之间的相关系数。
 
排序
 
（1）sort(X)
 
对向量X按升序排列。
 
（2）[Y,I]=sort(A,dim,mode)
 
[Y,I]=sort(a,2,'descend')只是单纯的对每一行单独排序
 
其中dim指明对A的列还是行进行排序。mode
指明按升序还是降序排序，若取“ascend”，则按升序；若取“descend”，
则按降序，默认为升序。输出参数中，Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素
在A中位置。

 
多项式计算
 
在MATLAB中创建多项式向量时，要注意三点：
（1）多项式系数向量的顺序是从高到低。
（2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次数
加1。
（3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足。
 
多项式的四则运算
 
（1）多项式的加减运算
 
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。
 
（2）多项式乘法conv(P1,P2)
 
多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。

 
（3）多项式除法[Q,r]=deconv(P1,P2)
 
多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返
回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函
数，因此有下式成立。

P1=conv(Q,P2)+r
 
多项式求导
 
（1）p=polyder(p ) :求多项式P的导函数。
 
（2）p=polyder(P,Q)：求P×Q的导函数。
 
（3）[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
 
多项式的求值
 
polyval(p,x)
 
代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以
是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向
量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
 
polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含
 
义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
 
多项式的求根
 
roots§ 其中p为多项式的系数向量
 
插值
 
在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)
 
该语句将根据X、Y的值，计算函数在X1处的值。其中，X、Y是两个等长
的已知向量，分别表示采样点和采样值。X1是一个向量或标量，表示要
插值的点。
 
method参数用于指定插值方法
 
，常用的取值有以下四种（1）linear：线性插值，默认方法。将与插值点靠近的两个数据点用直线连
接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
（2）nearest：最近点插值。选择最近样本点的值作为插值数据。
（3）pchip：分段3次埃尔米特插值。采用分段三次多项式，除满足插值条
件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光
滑的同时，还具有保形性。
（4）spline：3次样条插值。每个分段内构造一个三次多项式，使其插值
函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
 
MATLAB中的二维插值函数为interp2()，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)
 
其中，X、Y是两个向量，表示两个参数的采样点，Z是采样
点对应的函数值。X1、Y1是两个标量或向量，表示要插值
的点。
 
曲线拟合
 
	MATLAB中的多项式拟合函数为polyfit()，其功能为求得最小二乘拟合多项式系
数，其调用格式为：
 
（1）P=polyfit(X,Y,m)（p返回的是一个多项式的系数）
 
（2）[P,S]=polyfit(X,Y,m)
 
（3）[P,S,mu]=polyfit(X,Y,m)
 

根据样本数据X和Y，产生一个m次多项式P及其在采样点误差数据S，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(X)，而mu(2)是
std(X)。
 
数值微分与数值积分
 
差分
 
dx=diff(x)
 
计算向量x的向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i)，i=1，2，…，n-1。
 
dx=diff(x,n)
 
计算向量x的n阶向前差分。例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。
 
dx=diff(A,n,dim)
 
计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认状态），按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
 
数值积分
 
适用于必须有上下限且不能为无穷大
 
 基于自适应辛普森方法 [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
 
 基于自适应Gauss-Lobatto方法 [I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)
 
其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a，b]
必须是有限的，不能为无穷大（Inf）；tol用来控制积分精度，默认时取
tol=10-6；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展
现，默认时取trace=0；返回参数I即定积分的值，n为被积函数的调用次数。
 
适用于无穷大
 
基于全局自适应积分方法I=integral(filename,a,b)
 
基于自适应高斯-克朗罗德方法[I,err]=quadgk(filename,a,b)
 
 基于梯形积分法I=trapz(x,y)向量x、y定义函数关系y=f(x)。
 
多重定积分的数值求解
 
I=integral2(filename,a,b,c,d)
 
I=quad2d(filename,a,b,c,d)
 
I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
 
求三重积分的数值解：
 
I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
 
I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)
 
线性方程组求解
 
[L,U]=lu(A) x=U(L\b)
 
产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L，使之满足
 A=LU。注意，这里的矩阵A必须是方阵。
 
[L,U,P]=lu(A) x=U(L\P*b)
 
产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，
 使之满足PA=LU。同样，矩阵A必须是方阵。
 
[y,n]=jacobi(A,b,x0,ep)
 
A是线性方程的系数
 b是常数
 ep精确度
 
[y,n]=gauseidel(A,b,x0,ep)
 
非线性方程求解
 
x=fzero(filename,x0)
 
其中，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初始值
 
x=fsolve(filename,x0,option)
 
其中，x为返回的近似解，filename是待求根方程左端的函数表达式，x0是初值，
 option用于设置优化工具箱的优化参数，可以调用optimset函数来完成。例如，
 Display参数设置为‘off’时不显示中间结果。
 x1=fsolve(f,-5,optimset(‘Display’,‘off’))
 
函数极值
 
[xmin,fmin]=fminbnd(filename,x1,x2,option)
 
[xmin,fmin]=fminsearch(filename,x0,option)
 
[xmin,fmin]=fminunc(filename,x0,option)
 
其中，xmin表示极小值点，fmin表示最小值，filename是定义的目标函数。第一
 个函数的输入变量xl、x2分别表示被研究区间的左、右边界。后两个函数的输入
 变量x0是一个向量，表示极值点的初值。option为优化参数，可以通过optimset
 函数来设置。
 
[xmin,fmin]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)
 
其中，xmin、fmin、filename、x0和option的含义与求最小值函数相同。其余
 参数为约束条件，包括线性不等式约束、线性等式约束、x的下界和上界以及定
 义非线性约束的函数。如果某个约束不存在，则用空矩阵来表示。
 
常微分方程
 
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 
其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解
 的函数。filename是定义f(t，y)的函数名，该函数必须返回一个列向量。
 tspan形式为[t0，tf]，表示求解区间。y0是初始状态向量。Option是可选参数，
 用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误
 差值AbsTol(默认值是10-6)。

 
嵌套函数在求解积分上限中的应用
 
例1如下述积分表达式，已知a、e和l，如何求得β0？
 
 
 
本例关于β的积分结果不能解析表达，需要数值积分来做，同时还要求一个非线性方程。代码如下：
 
function sol=example1(a,e,l)
 
function f=fun1(beta)
 
f=a.*(1-e.^2)./(1-e.^2*sin(beta).^2).^(3/2);
 
end
 
function g=fun2(beta0)
 
g=quadl(@fun1,0,beta0)-l;
 
end
 
sol=fzero(@fun2,3);
 
end
 
本例采用了两个嵌套函数，fun1和fun2,fun1的功能是建立积分表达式，fun2的功能是建立关于β0的非线性方程。由于a、e和l是已知的，因此，a、e和l作为整个函数example1的输入，实际应用中给定一组a、e和l作为整个函数example1的输入。给定a=20、e=0.6和l=6,可以求解相应的解如下：
 
ol=example1(20,0.6,6)
 
sol =
 
0.4519
 
嵌套函数在GUI中的应用
 
用Matlab生成一个三角形界面
 
要求
 
图上的数字根据行数和列数动态生成，每一层都比上面大1
 
在滚动条滚动的时候，会根据滚动条的位置，使三角形中的数字变红，最大值使数字全部变成红色，最小值使得数字全变成黑色
 
代码如下：
 
function triangle_table
 
fig=figure('defaultuicontrolunits','normalized','name','triangle_table',...
 
'numbertitle','off','menubar','none');
 
ah=axes('Pos',[.1 .2 .75 .75],'Visible','off');
 
slider_h=uicontrol('style','slider','units','normalized','pos',...
 
[0.1,0.05,0.75,0.05],'sliderstep',[1/6,0.05],'callback',@change_color);
 
hold on
 
for k=0:6
 
plot(0:6-k,(6-k)*ones(1,(7-k)),'k');
 
plot(k*ones(1,(7-k)),k:6,'k');
 
end
 
plot([0,6],[0,6],'k');
 
hold off;
 
for x=1:5
 
for y=1:x
 
text(y-0.5,x+0.5,num2str(x),'color','k','tag','数字');
 
end
 
end
 
for k=0:5
 
text(k+0.1,k+0.5,[num2str(k),'.5'],'tag','数字');
 
end
 
%=====slider's callback function(nested function)============
 
function change_color(hObject,eventdata)
 
v=round(6*get(slider_h,'value'));
 
num_h=findobj('tag','数字');
 
num_pos=get(num_h,'pos');
 
red_num_logic=cellfun(@(x)(x(1)<=v&&x(2)<=v),num_pos);
 
set(num_h(red_num_logic),'color','r');
 
set(num_h(~red_num_logic),'color','k');
 
end
 
end
 
生成的示意图
 
 
 
本例生成界面的思路是用plot来画线，用text函数来填格子。每次移动滚动条后，得到当前滚动条的值。根据这个值来判断究竟把那些数字设成红色那些设成黑色。slider_h是滚动条的句柄，它的回调函数change_color用嵌套函数来实现，这样，slider_h对于嵌套函数来说是可见的，不采用额外的参数传递方式来传递到回调函数内部。
 
嵌套函数在3D作图中的一个应用
 
画出下列函数的图像
 
 
 
本例需要计算两个求和项，其中最外层要求一个无穷级数，分析表达式，可以得知，实际计算中，N不必取到无穷，只要取到30就可以达到较高的精度。代码如下
 
function [m,n,TT]=plot3dnmT(N,L)
 
%N:inf 的近似，L：[0,2]区间的剖分个数
 
C=zeros(N,1); %nested-function;Tmn=calcT(mm,nn)中用来储存计算结果
 
m=linspace(0,2,L);
 
[m,n]=meshgrid(m,m);
 
TT=zeros(size(n)); %和网格数据m,n对应的计算出来的T(m,n)网格数据
 
for ii=1:L
 
for jj=1:L
 
TT(ii,jj)=calcT(m(ii,jj),n(ii,jj));
 
end
 
end
 
%================计算T(m,n)的nest-function
 
function Tmn=calcT(mm,nn)
 
for N1=1:N
 
C(N1)=(mm^N1/gamma(N1+1))*sum(nn.^(0:N1-1)./gamma(1:N1));
 
Tmn=1.0-exp(-mm-nn)*sum(C);
 
end
 
end
 
mesh(n,m,TT)
 
end
 
得到如图
 
 
 
嵌套函数表示待优化的目标函数
 
求下面表达式的最小值
 
已知w=[π/2,π，3π/2];N=[π/2-1,-2,-3π/2-1]
 
 
 
其中，m在[0,2]范围内
 
代码如下：
 
function m=Findm
 
w=[pi/2,pi,pi*1.5];
 
N=[pi/2-1,-2,-1.5*pi-1];
 
function y=ObjectFun(m)
 
y=(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(1))-N(1))^2+...
 
(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(2))-N(2))^2+...
 
(quadl(@(t)t.^m.*cos(t),0,w(3))-N(3))^2;
 
end
 
m=fminbnd(@ObjectFun,0,2);
 
end
 
上述代码中，目标函数即y用嵌套函数ObjectFun来表示。fminbnd第一个输入参数就是ObjectFun的句柄，第二第三个参数是求解最小值的范围。运行后得到结果如下：
 
>> format long
 
>> m=Findm
 
m =
 
1.000000256506471
 
嵌套函数在表示微分方程方面的应用
 
求下面的微分方程在[0,5]范围的解
 
y″+4y=3sin(at)
 
其中，a是参数，初始条件为：y(0)=1,y′(0)=0。
 
本例要想应用matlab的微分方程求解函数ode45求解，需要改变一下形式，即变成一阶微分方程式的形式：
 
 
 
其中y₁(t)对应于函数y(t)，而y₂=y′(t).
 
代码如下：
 
function example5(a)
 
tspan=[0,5]; %变量求解区间
 
y0=[1,0]; %初始值
 
[t,y]=ode45(@tfys,tspan,y0) %调用ode45求解方程
 
figure;
 
plot(t,y(:,1),'k-'); %画函数y(t)的曲线
 
hold on;
 
plot(t,y(:,2),'k:'); %画函数y(t)导数的曲线
 
set(gca,'fontsize',12); %设置当前坐标轴字体大小
 
xlabel('\itt','fontsize',16); %标注x轴
 
ylabel('\ity','fontsize',16); %标注y轴
 
%用嵌套函数定义微分方程组
 
function dy=tfys(t,y)
 
dy(1,1)=y(2); %对应于粒子中方程组的第一个方程
 
dy(2,1)=3*sin(a*t)-4*y(1); %对应于例子中方程组第二个方程
 
end
 
end
 
譬如，当a=6时，运行example5(6)得到如图
 
 

 
函数功能编辑本段回目录
 
ode是专门用于解微分方程的功能函数，他有ode23,ode45,ode23s等等，采用的是Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶，五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(Δx)3。解决的是Nonstiff(非刚性)的常微分方程.是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解.
 
使用方法编辑本段回目录
 
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)
 
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
 
tspan 是区间[t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
 
y0 是初始值向量
 
T 返回列向量的时间点
 
Y 返回对应T的求解列向量
 
[T,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
 
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
 
[T,Y,TE,YE,IE] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
 
在设置了事件参数后的对应输出
 
TE 事件发生时间
 
YE 事件解决时间
 
IE 事件消失时间
 
sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)
 
sol 结构体输出结果
 
应用举例编辑本段回目录
 
1 求解一阶常微分方程