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  • 二次多项式拟合算法matlab

    热门讨论 2010-07-30 16:36:48
    二次多项式拟合算法matlab,希望对需要的人给以一定的参考!
  • MATLAB 线性回归多项式拟合+预测区间、...对该数据进行线性回归(1次多项式拟合)并且绘制预测区间和置信度为95%的置信区间 拟合参数: 拟合绘制: 、多项式拟合polyfit 1、语法 p=polyfit(x,y,n):最小二乘法计算拟

    一、前言

    现有一组数据:x、y

    x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y=[11 13 15 14 17 14 18 16 19 20];
    

    对该数据进行线性回归(1次多项式拟合)并且绘制预测区间和置信度为95%的置信区间
    拟合参数:在这里插入图片描述
    拟合绘制:
    在这里插入图片描述

    二、多项式拟合polyfit

    1、语法

     p=polyfit(x,y,n):最小二乘法计算拟合多项式系数。x,y为拟合数据向量,要求维度相同,n为拟合多项式次数。返回p向量保存多项式系数,由最高次向最低次排列。
    
     y=polyval(p,x):计算多项式的函数值。返回在x处多项式的值,p为多项式系数,元素按多项式降幂排序。
    

    具体语法可参考 :【help-plyfit】

    2、示例

    x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y=[11 13 15 14 17 14 18 16 19 20];
    a1=x;
    a2=y;
    [p,s]=polyfit(a1,a2,1);
    fprintf("拟合系数分别为:%f %f\n",p(1),p(2));
    y1= polyval(p,x);
    

    三、区间绘制

    这里提到:

    • 置信区间估计(confidence interval estimate):

      利用估计的回归方程,对于自变量 x 的一个给定值 x0 ,求出因变量 y 的平均值的估计区间。

    • 预测区间估计(prediction interval estimate):
      利用估计的回归方程,对于自变量 x 的一个给定值 x0 ,求出因变量 y 的一个个别值的估计区间。

    代码如下:

    % 95% prediction interval 计算:
    [yfit,dy1] = polyconf(p,x,s);
    % 95% confidence interval 计算:
    [yfit,dy] = polyconf(p,a1,s,'predopt','curve');
    hold on
    %置信区域绘制
    % fill([a1,fliplr(a1)],[yfit-dy,fliplr(yfit+dy)],[255/255 204/255 255/255],'EdgeColor','none');
    % fill([a1,fliplr(a1)],[yfit-dy1,fliplr(yfit+dy1)],[255/255 204/255 255/255],'EdgeColor','none');
    plot(a1,y1+dy,'r--',a1,y1-dy,'r--',a1,y1+dy1,'y--',a1,y1-dy1,'y--','LineWidth',1.5)
    

    四、整体源码

    %线性回归+置信区
    %置信区间估计(confidence interval estimate):利用估计的回归方程,对于自变量 x 的一个给定值 x0 ,求出因变量 y 的平均值的估计区间。
    %预测区间估计(prediction interval estimate):利用估计的回归方程,对于自变量 x 的一个给定值 x0 ,求出因变量 y 的一个个别值的估计区间。
    clc;
    clear;
    %导入数据
    x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
    y=[11 13 15 14 17 14 18 16 19 20];
    % 数据排序,根据第一行的排列顺序进行整体排序
    a=[x;y];
    a1=a(1,:);
    [a1,pos]=sort(a1);%左侧的a1是排列之后的第一行,pos是排序后的下标
    a2=a(2,pos);      %a2,是排列好的第二行
    % 多项式拟合
    [p,s]=polyfit(a1,a2,1);
    fprintf("拟合系数分别为:%f %f\n",p(1),p(2));
    y1= polyval(p,a1);
    % 95% prediction interval 计算:
    [yfit,dy1] = polyconf(p,x,s);
    % 95% confidence interval 计算:
    [yfit,dy] = polyconf(p,a1,s,'predopt','curve');
    hold on
    %置信区域绘制
    % fill([a1,fliplr(a1)],[yfit-dy,fliplr(yfit+dy)],[255/255 204/255 255/255],'EdgeColor','none');
    % fill([a1,fliplr(a1)],[yfit-dy1,fliplr(yfit+dy1)],[255/255 204/255 255/255],'EdgeColor','none');
    plot(a1,y1+dy,'r--',a1,y1-dy,'r--',a1,y1+dy1,'y--',a1,y1-dy1,'y--','LineWidth',1.5)
    hold on 
    plot(a1,y1,'k','linewidth',1.5)
    hold on;
    scatter(x(1,1:10),y(1:10),'k','fill');
    %R2
    r2 = 1 - (sum((y1 - a2).^2) / sum((a2 - mean(a2)).^2))
    

    五、思考

    • 我在代码中增添了a1、a2,它们的作用是保证x、y数据的顺序性,对x进行排序,对应的y跟着x的排序进行变动。这样可以保证使用fill函数时能够得到我们想要的效果(填充满区域)。

    六、参考博客

    【1】、Matlab绘制带置信区间的拟合曲线
    【2】、误差分析计算公式及其 matlab 代码实现(mse、mape、rmse等)
    【3】、matlab曲线拟合 函数 用法以及例子(polyfit)
    【4】、Matlab的拟合工具箱的误差参数说明
    【5】、什么是预测区间和置信区间

    欢迎各位留言交流!!!


    同时,如果各位在作图方面有需求 可以闲鱼搜索用户:Man小洁,欢迎交流。


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  • 机器学习(1)--线性回归和多项式拟合机器学习(2)逻辑回归 (数学推导及代码实现)机器学习(3)softmax实现Fashion-MNIST分类一 线性回归线性回归,顾名思义是利用线性模型对数据点进行拟合的,常见的广义线性...

    aa7e3c7dd8b592e384fabb53e8dcd68a.png

    机器学习(1)--线性回归和多项式拟合

    机器学习(2)逻辑回归 (数学推导及代码实现)

    机器学习(3)softmax实现Fashion-MNIST分类

    一 线性回归

    线性回归,顾名思义是利用线性模型对数据点进行拟合的,常见的广义线性模型如下:

    将上面的广义向量模型用向量的形式表示出来如下:

    其中

    为向量。

    最简单也是最常见的线性回归是最小二乘法

    1.最小二乘法[1]

    最小二乘法是以均方误差为回归任务的性能度量,衡量预测值

    和真实值
    之间的差值。优化问题就可以用下式表示出来:

    从字面上理解最小二乘法就是试图找到一条直线,使所有样本到直线上的欧几里得距离之和最小。

    这里有两个参数需要我们求解

    ,其中
    为标量称为偏置,
    为向量,其维数对应数据的维数(即大数据中的特征个数)。求解这两个参数的方法是对其求偏导。

    令上式等于0得到w和b的最优解。

    代码实现:

    (1)matlab代码

    一般的这类问题的求解思路就是找出损失函数,这里我们考虑一般的情况,一般情况下的损失函数为:

    再求出梯度(即一阶偏导),对于大多数问题是不能直接求出最大小值的,所以一般会用梯度下降法来求解,设置学习率

    进行更新。

    权重

    的梯度:

    偏置

    的梯度:

    得到了权重w和偏置b的梯度就可以用梯度下降法来求出合适的w和b了。更新公式如下:

    一般初始化w和b全为1,

    matlab代码如下:

    %随机生成数据
    

    dda2c94b2d5a1e171e4a630c42a8805f.png

    (2)python--mxnet库的常规实现[2]

    from 

    (3)python --mxnet库的简单实现

    from 

    二 多项式拟合

    前面的线性回归是一种多元回归问题,每个样本对应于多个特征,在前面的例子中,特征之前的值相差不大,所以没有做特征缩放,实际上严格的执行是需要特征缩放的因为有些特征值之间的量纲不同差距很大,如吴恩达的机器学习系类视频中[3]的例子,假设房屋的价格和房屋的面积及房屋的卧室数量有关,但是这两个特征之间值相差很大,这个时候直接用上面的线性回归时,将出现问题,所以必须进行特征缩放,一般特征缩放有两种计算方式。

    (1)Z-score normalization,量化后的特征将服从标准正态分布:

    (2)Min-Max Scaling,特征量化:

    在大部分的机器学习中用的比较多的时第一种量化方法。

    多项式拟合是一种典型的需要特征缩放的例子,一般解决的是一元多项式的数据拟合问题,形如:

    多项式拟合也可以看成一种多元线性拟合,将其看为有n个特征的多元线性拟合,

    为一个特征,
    -为一个特征……。

    时,
    ,

    对其进行缩放后利用线性拟合一样的方法就能求出拟合曲线,matlab代码如下:

    function

    结果如下:

    9df2523eee6beaa3a993bb76394403dc.png

    参考

    1. ^周志华-机器学习(M)
    2. ^http://zh.d2l.ai/chapter_deep-learning-basics/linear-regression-scratch.html
    3. ^吴恩达机器学习 https://www.bilibili.com/video/av50747658/?p=22
    展开全文
  • Matlab 多项式拟合

    千次阅读 2019-09-14 15:19:04
    文章目录一次多项式二次多项式 一次多项式 x = [0.33, 1.12, 1.41, 1.71, 2.19] y = [0.68, 0.91, 1.15, 1.83, 2.07] %拟合 p1 = polyfit(x, y, 1) % 用x 和 y 拟合多项式, 1 表示一次多项式 % 输出 0....

    1. 按

    polyfit函数用于多项式的曲线拟合。

    1.1. 语法

    p = polyfit(x,y,n)
    [p,S] = polyfit(x,y,n)
    [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)
    

    说明

    • p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数,该阶数是 y 中数据的最佳拟合(在最小二乘方式中)。p 中的系数按降幂排列,p 的长度为 n+1
      p(x)=p1xn+p2xn1++pnx+pn+1p(x)=p_{1} x^{n}+p_{2} x^{n-1}+\ldots+p_{n} x+p_{n+1}
    • [p,S] = polyfit(x,y,n) 还返回一个结构体 S,后者可用作 polyval 的输入来获取误差估计值。
    • [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 还返回 mu,后者是一个二元素向量,包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x),mu(2) 是 std(x)。使用这些值时,polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差
      x^=xxσx\hat{x}=\frac{x-\overline{x}}{\sigma_{x}}
      这种中心化和缩放变换可同时改善多项式和拟合算法的数值属性。

    2. 一次多项式

    clc,clear,close all; %清除命令,清空工作区,关闭所有窗口
    
    x=[0.33, 1.12, 1.41, 1.71, 2.19];
    y=[0.68, 0.91, 1.15, 1.83, 2.07];
    
    %拟合
    p1=polyfit(x, y, 1);% 用x 和 y 拟合多项式, 1 表示一次多项式
    disp(p1);% 输出  0.8025    0.2431 表示多项式是 f(x) = 0.8025 * x + 0.2431
    
    %绘制图形
    y1=polyval(p1, x);
    plot(x, y, '*', x, y1, '-');
    

    在这里插入图片描述

    3. 二次多项式

    x=[0.47, 0.96, 1.76, 2.53, 3.30, 3.74];
    y=[1.07, 1.75, 2.27, 2.31, 1.49, 0.74];
     
    % 拟合多项式
    p2 = polyfit(x,y, 2); %2代表二次多项式拟合
    disp(p2); %输出 -0.5495    2.2250    0.1260 多项式为 f(x) = -0.5495 * x * x + 2.225 * x + 0.126	
    
    %绘制图形
    x2=0:0.1:4;
    %x2=x;
    y2 = polyval(p2, x2);
    plot(x, y, '*', x2, y2 , '-');
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • - MATLAB polyfit - MathWorks 中国Chenglin Li:数值计算(三十七)给定函数的参数拟合Chenglin Li:数值计算(五)Lagrange分段线性插值Chenglin Li:数值计算(六)Lagrange分段二次差值Chenglin Li:数值计算...

    714bc40d6dd3d6da2f9e3738ef537329.png

    1 参考链接

    多项式曲线拟合 - MATLAB polyfit - MathWorks 中国

    Chenglin Li:数值计算(三十七)给定函数的参数拟合

    Chenglin Li:数值计算(五)Lagrange分段线性插值

    Chenglin Li:数值计算(六)Lagrange分段二次差值

    Chenglin Li:数值计算(六十一)一维插值函数

    2 拟合结果

    c0e21a3da590501b8918e234bd041e04.png
    多项式拟合

    3 相关程序

    function  Fitting201201()
    %UNTITLED2 此处显示有关此函数的摘要
    %   此处显示详细说明
    %{
    程序功能:
    1、拉曼光谱数据的多项式数据拟合
    2、参考链接:
    多项式曲线拟合 - MATLAB polyfit - MathWorks 中国
    https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html
    %}
        clear,clc,close all
          load('kqsl.mat') %载入原始数据
          N=length(x);
          j=1;
          for i=1:N
              if( x(i)>=0 && x(i)<=800) %数据筛选范围
                  xi(j)=x(i);
                  yi(j)=y(i);
                  j=j+1;
              end
          end
        plot(xi, yi, 'bo')  %筛选后的原始数据绘图
        hold on
    
    
        n=7;   %拟合多项式最高次幂
    %     [p, S, mu] = polyfit(xi, yi, n); %拟合函数
        [p, ~, mu] = polyfit(xi, yi, n); %拟合函数
        %计算以 p 为系数的一次多项式在 x 中各点处的拟合值。
        % 将误差估计结构体指定为第三个输入,以便 polyval 计算标准误差的估计值。
        % 标准误差估计值在 delta 中返回。
    %     [y_fit,delta] = polyval(p,x,mu);
        y_fit= polyval(p, xi, [ ], mu);
    %     [y_fit, delta] = polyval(p, x, S, mu);
        plot(xi, y_fit, 'r-') %拟合的数据线绘图
    %     hold on
    %     plot(xi, y_fit+2*delta,'m--', xi, y_fit-2*delta,'m--')
         
        title('Linear Poly Fit of Raman Spectrum Data')
        legend('Data',  'Linear Poly Fit' )
        xlabel('Raman shift/cm^{-1}')
    end
    
    
    

    相关数据

    96b6929dad4322656d9c9173bd63723b.png

    ——2020.12.15——

    展开全文
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