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  • 复化求积法:将积分区间进行适当分段,在各分段子区间上采用低阶的Newton-Cotes公式,对各个小区间上的积分值进行一个近似,最后再累加起来。例如:复化Simpson公式的推导:复化Simpson公式误差分析:其中有个加...

    由误差余项公式可知区间过大,误差亦大;为避免可选取适当多的节点,即选取相对高阶的Newton-cotes公式,但由稳定性分析又知:当阶数过大时,会出现不稳定的Runge现象。

    复化求积法:将积分区间进行适当分段,在各分段子区间上采用低阶的Newton-Cotes求积公式,对各个小区间上的积分值进行一个近似,最后再累加起来。

    例如:复化Simpson公式的推导:

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    复化Simpson公式误差分析:

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    其中有个加一项减一项

    区间逐次二分法

    由复化求积公式的截断误差可知,加密节点可以提高求积公式的精度,但困难在于:使用公式之前需给出合适的步长,h过大,满足不了精度;h过小,计算量过大,因而实用的方法是采用区间逐次二分法,反复利用求积公式计算,直至二分前后两次积分值的差满足精度为止。

    比如:对区间进行n等分,每个区间上先采用梯形公式,即复化梯形公式,若不能满足精度,则将每个小区间二等分,再分别采用梯形公式,不过端点处的值不用再算了,新算的只有新小区间上的二等分点处值,这样便可使计算量节约一半。

    龙贝格算法(自动调整等分数)

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  • 曲边梯形的面积(1)曲边梯形:由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).(2)曲边梯形面积的方法与步骤:①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形...

    考纲原文

    (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.

    (2)了解微积分基本定理的含义.

    知识点详解

    一、定积分

    1.曲边梯形的面积

    (1)曲边梯形:由直线x=ax=b(ab)、y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).

    (2)求曲边梯形面积的方法与步骤:

    ①分割:把区间[ab]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②);

    ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②);

    ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和;

    ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积.

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    2.求变速直线运动的路程

    如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在atb内所作的位移s.

    3.定积分的定义和相关概念

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    4.定积分的性质

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    【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性,其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和.

    6ff5cb4de13283162ccc292fedfc35b5.png

    5.定积分的几何意义

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    bde5bdbdaac6fc4a657c5c340108b114.png

    6.定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)

    定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来确定:

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    设阴影部分面积为S,则

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    7.定积分的物理意义

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    二、微积分基本定理

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    【注】常见的原函数与被积函数的关系

    e4492438afb598fdd18f9cba5a7c2e10.png

    考向分析

    考向一 定积分的计算

    1.求定积分的三种方法

    (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强;

    (2)利用微积分基本定理求定积分;

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    2.用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤

    (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;

    (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;

    (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;

    (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值;

    (5)计算原始定积分的值.

    3.分段函数的定积分

    分段函数求定积分,可先把每一段函数的定积分求出后再相加.

    4.奇偶函数的定积分

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    考向二 利用定积分求平面图形的面积

    利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略

    (1)利用定积分求平面图形面积的步骤

    ①根据题意画出图形;

    ②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;

    ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;

    ④计算定积分,写出答案.

    (2)知图形的面积求参数

    求解此类题的突破口:画图,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再由已知条件可找到关于参数的方程,从而可求出参数的值.

    (3)与概率相交汇问题

    解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.

    考向三 定积分的物理意义

    利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题

    利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.

    【名师点睛】

    1、定积分的计算一般有三个方法:

    ①利用微积分基本定理求原函数;

    ②利用定积分的几何意义,即利用面积求定积分;

    ③利用奇偶性、对称性求定积分,如奇函数在对称区间的定积分值为0.

    2、由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用,一般转化为定积分的计算及应用, 但一定要找准积分上限、下限及被积函数,且当图形的边界不同时,要讨论解决.具体步骤如下:

    (1)画出图形,确定图形范围;

    (2)解方程组求出图形交点坐标,确定积分上、下限;

    (3)确定被积函数,注意分清函数图形的上、下位置;

    (4)计算定积分,求出平面图形的面积.

    3.由函数求其定积分,能用公式的利用公式计算,有些特殊函数可根据其几何意义,求出其围成的几何图形的面积,即其定积分.

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  • 参考北京师范大学的《计算物理基础》第三章:数值微分积分计算物理基础_中国大学MOOC(慕课)​www.icourse163.org1.数值微分的计算数值微分计算公式:数值差分指令(diff):y=diff(x) y=diff(x,n) y=diff(x,n,dim)x...

    参考北京师范大学的《计算物理基础》

    第三章:数值微分积分

    计算物理基础_中国大学MOOC(慕课)www.icourse163.org
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    1.数值微分的计算

    数值微分计算公式:

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    数值差分指令(diff):

    y=diff(x)
    y=diff(x,n)
    y=diff(x,n,dim)
    x:代表矢量,矩阵,列阵
    n:计算n阶差分
    dim:矩阵或列阵的维度

    实例:矢量、矩阵(默认列向量)求微分

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    • 梯度(gradient):相邻两个差商值的平均
    内部元素:用一阶导数的中心差分公式计算
    端点元素:用前差公式或后差公式计算

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    • 离散拉普拉斯算符(del2)

    拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的二阶微分算子,为梯度的散度。表示为

    4c9d57eb8d5f03f1676ac5e650edc5d1.png

    其中i表示x方向,j表示y方向。

    b14549acdbaf8218ac4b0a03e673fe65.png

    5de5d7bd5560d6faec8a2c1a540debca.png

    2.数值积分的算法

    定积分的梯形公式

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    d197634bae208d3d4de8f9739c7435a4.png
    • 梯形积分指令(trapz)
    trapz(y)            %y是函数值,可以是矢量、矩阵、列阵 
    trapz(x,y)          %x是变量值
    trapz(...,dim)      %dim是标明积分的维度。如果不写,则默认对列向量进行

    (1)对向量积分、对矩阵积分

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    >> a=[1,5,7,2,3];
    >> trapz(a)
    
    ans =
    
        16

    计算过程:

    >> b=[0.95013 0.48598;0.23114 0.8913;0.60684 0.7621]
    
    b =
    
        0.9501    0.4860
        0.2311    0.8913
        0.6068    0.7621
    
    >> trapz(b)  %默认对列向量积分
    
    ans =
    
        1.0096    1.5153
    
    >> trapz(b,2) %指定对行向量积分
    
    ans =
    
        0.7181
        0.5612
        0.6845

    计算过程:

    (2)对于用列阵表示的数据也可作梯形积分,这种积分相当于多元函数的积分

    13e8fe416899bb3eae91051da2bd2839.png

    (3)累计梯形积分cumtrapz,相当于不定积分的数值计算

    结果为矢量,第n个元素是原矢量前n个元素的梯形积分
    矩阵是对列矢量进行,也可以指定行向量积分

    8cd1f884ff308c1df75fd5c6067b0a49.png
     %针对上面的b
    >> cumtrapz(b)
    
    ans =
    
             0         0
        0.5906    0.6886
        1.0096    1.5153 %其中最后一行就是trapz(b)的结果

    3.用函数做数值积分

    3.1 应用匿名函数

    对于matlab内部没有的函数,我们需要应用matlab的基本函数对我们的函数进行定义。

    主要内容:用函数句柄@来定义匿名函数。

    1.匿名函数的建立与使用

    用函数句柄符号@建立匿名符号
    函数句柄=@(变量)函数表达式
    要用矢量化运算表达式
    适用于函数表达式较简单的情况。

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    指令是用函数句柄调用匿名函数

    2.多重匿名函数

    重复建立匿名函数就能构造多重匿名函数
    多重匿名函数必须按定义顺序分别对变量赋值

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    3.一元函数积分指令integral(用匿名函数定义的方式定义)

    算法:采用自适用积分法和默认的误差精度
    语法:
    integral(fun,xmin,xmax) %(积分函数,积分上限,积分下限)
    integral(fun,xmin,xmax,NameValue) %(...积分属性,积分属性值)

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    RelTol:相对误差 AbsTol:绝对误差

    af2d1893769ccecc1b00c643bd7ca6a4.png

    4.二元函数积分

    integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,Name,Value) %(积分函数,积分上限,积分下限)

    a251750af582609e7f6838fa096aafcd.png

    ea8deb6e81da7abd14f8a16ea484df4d.png

    5.三元函数积分

    integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Name,Value) %(积分函数,积分上限,积分下限)

    6f45971b63e41eb0c7261cfa6d160937.png

    a838522faf434b61404174cbb092e753.png

    3.2 应用函数文件

    1.函数文件的建立步骤

    在主页界面点击图标(新建->函数),打开程序编辑器,输入如下文件,完成后保存为函数文件test2.m

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    2.函数文件在指令窗口的调用

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    注:函数文件中所有的变量并不保存在内存空间中,只有函数值保存在内存空间中。表明:脚本文件和函数文件在变量存储上是有差别的。因此,在函数文件中一般都进行输出变量的设置,且在不同函数文件间,如果需要变量传递,一般需要设置全局变量。

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    3.函数与函数文件

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    在matlab中有两类程序(M)文件,它们的扩展名都是m,一种是脚本文件,一种是函数文件。脚本文件和函数文件特点如下:

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    函数文件可完成脚本文件的功能,但是,脚本文件一般不具有函数文件的功能。

    脚本文件和函数文件比较如下:

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    4.用函数文件做积分

    函数文件建立的函数与匿名函数功能相同,如进行积分运算

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    4.本地函数与嵌套函数

    1.主函数和子函数

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    从函数编写格式以及形态上来说,子函数和主函数并无区别,区别仅在于在函数文件中的位置以及调用关系。函数文件外部只能调用主函教文件,子函教文件只能在主函教文件内部调用。
    子函数是在同一函数文件中,主函数之后的由“function”引导的函数,一个函数文件可以有多个子函数。这些子函数在函数文件中的排列顺序可以随意,前提是都要位于主函数后。
    子函数文件分为本地函数和嵌套函数,二者的区别在于共享变量的方式不同。

    2.嵌套函数

    嵌套函数,即nested function,顾名思义,是嵌套在函数体内部的函数。以function声明,结束的时候加上end.

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    • 主函数文件与本地函数例子:

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    • 主函数文件与嵌套函数例子:可共享变量

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    如果主函数没有调用嵌套函数中某个变量,则这个变量仍然是嵌套函数的局部变量.例如,在下面的主函数中有两个嵌套函数,它们都有自己的变量x,两者并不相互影响。

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    • 嵌套函数小结
    优点:子函数与主函数可以共享变量。
    注意事项:
    1.在流程控制语句中如if,switch,for,while等不能定义嵌套函数。
    2.调用嵌套函数必须用函数名或者@建立的函数句柄,而不能用其它方法如feval,str2func.

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    2020.12.4

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  • 上章围绕曲边梯形的面积问题,引出了定积分的概念,并给出定积分的计算方法,刻画了可积条件,从理论上完善了定积分。而马克思再次告诉我们,理论要服务于实践,所以本章讨论定积分的应用!定积分的所有应用问题,都...

    上章围绕曲边梯形的面积问题,引出了定积分的概念,并给出定积分的计算方法,刻画了可积条件,从理论上完善了定积分。而马克思再次告诉我们,理论要服务于实践,所以本章讨论定积分的应用!

    定积分的所有应用问题,都可以归结为四部曲:分割,近似,求和,取极限(注:数学分析上一般说三部曲,大表哥习惯把近似与求和分开)。为了简约实用,我们也常常把定积分的四部曲转换为微元法!

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    由于定积分的定义本身是一个和式的极限,所以上述注1要求所求量,是代数可加的。比如力学问题中,求合力时,把不同方向的力分解到同一方向,才能相加。

    误差可忽略是选择表达式的客观标准,教材在导出平面图形面积、旋转曲面的侧面积、立体体积与曲线弧长的计算公式时,实际上就是在验证误差可忽略这一事实。如果把弧长增量的近似式改取为Δs≈△x,将导致弧长=b-a的荒谬错误,因为此时不难验证△s-△x≠o(△x),即理论上误差太大。

    作为定积分天生的应用,自然是求面积!

    一、 求面积

    1 直角坐标系下关于y=f(x)的曲线所围的平面区域面积

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    2 直角坐标系下的参数曲线所围的平面区域的面积

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    3 极坐标系下的曲线所围成的平面区域面积

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    4 空间旋转曲面的侧面积

    旋转曲面的面积公式的推导,略有难度,原因可能有以下两个方面

    (1)同学们对圆台的侧面积公式不熟悉;

    (2)同学们不理解为什么要用较复杂的,小圆台的侧面积,作为旋转曲面侧面积的微元,而不选用较简单的,圆柱的侧面积作为微元。原因很简单,要保证“误差可忽略”。大表哥给出私房的上述两个问题的具体解答!

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    PS:关于圆台,同学们可以从以下三个方面认识:

    (1) 被平行于锥底的截面截去锥尖儿之后得到;

    (2) 可由直角梯形绕其一条直角边旋转而得到;

    (3) 圆台展开之后是扇环(见上图大表哥手绘);

    二、 求空间立体的体积

    1 已知平行截面面积求体积

    如果你有切土豆片、黄瓜片、或茄子片的经历,那就不难理解1中求体积的原理。如果没有那种经历,赶紧去厨房试试吧!

    只看下图,就足以推出(如果你基础正常)已知平行截面面积求体积的公式了!

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    2 旋转体的体积

    Case1 绕x轴旋转的体积

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    Case2 绕y轴旋转的体积

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    由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的封闭区域,分别绕x ,y轴所得空间立体的体积,计算时都用到了积分的思想,即分割、近似、求和、取极限这四部曲,但在实际操作过程中,用到的工艺是不同的。

    绕x轴转时,我们可以竖着切,把旋转体切成小钢镚,很薄很薄的那种哦,有多薄呢?薄到不可描述,大抵只有全球最大的橡胶制品实业公司--杜蕾斯才有发言权,大表哥强烈建议,该公司出一款名为“do it--dx”的超薄产品,奉献人类!切成的每个小钢镚的厚度即为dx,即分割之后的每个圆柱的高为dx,而底面积为派f(x)平方,再把所有的小体积加起来,而积分就是高档次的求和,所以不难得到绕x轴旋转的体积。

    绕y轴转时,如果还竖着切,则很难计算出每一片的体积(因为此时的薄片可能是不规则的图形)。我们转换一种思路,考虑如何才能切出容易计算的薄片的体积。如果你吃过果丹皮或者蛋卷(这两种零食较有年代感),想象下,把绕y轴旋转的旋转体一层一层一层地扒拉开(和剥洋葱一样),现在考虑扒拉出的那一薄层,把它拆开之后,是不是一个长方体呢?而长方体的体积是容易计算的,其长即为2派x,宽dx,高f(x),再把所有的小长方体体积加起来即得绕y轴旋转体的体积。

    旋转体的两个公式不必强记,同学们需要理解它们的推导过程,熟悉之后,大脑只需十秒,两个公式就跃然纸上。

    三、 平面曲线的弧长和曲率

    1 平面曲线的弧长

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    定理10.1的证明略有难度,建议同学们认真看两遍,捋清证明的思路,搞懂每一步的具体含义。

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    2 曲率

    曲率也称弯曲程度,即单位角度弧长的变化率。同学们了解即可。

    四 定积分在物理中的应用

    关于力学问题,做功问题等都是定积分常常要解决的问题,但是,对于考研数学分析,同学们不必深究!个别的985院校会涉及物理应用问题,绝大多数院校更注重考察定积分在数学上的应用!

    本章同学们需要在理解(尤其要理解微元法)的基础上记忆,并利用公式去计算面积、体积、弧长等几何问题。

    PS:作为数学专业,在用微元法时,同学们一定要注意大表哥给出的关于“误差可忽略”的这个客观标准(公共数学一般不用验证),否则可能会犯本质的错误。数学发展的历史上,曾对曲面面积的定义,就出现过偏差,一些数学家们尝试用曲面的一系列内接三角形面积之和的极限,去定义曲面的面积,后来发现这种定义是不正确的,而要利用曲面的一系列外切多边形面积之和的极限来定义)。产生原来那种错误的原因,是因为采用了微元法时,没有达到“误差可忽略”的标准!

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    大表哥考研数学:数学分析第九章《定积分》备考指南zhuanlan.zhihu.com
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    大表哥考研数学:数学分析第六章《微分中值定理及其应用》备考指南zhuanlan.zhihu.com
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