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  • 范数与导数

    2021-09-11 14:17:19
    【最优化基础知识】— 范数 1. 向量范数 定义: 称一个从向量空间RnR^nRn到实数域RRR的非负函数∣∣⋅∣∣||·||∣∣⋅∣∣为范数,如果它满足: (1) 正定性:对于所有的v∈Rnv \in R^nv∈Rn,有∣∣v∣∣≥0||v|| \...

    范数与导数

    1. 向量范数

    定义
    称一个从向量空间 R n R^n Rn到实数域 R R R的非负函数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·|| 为范数,如果它满足:
    (1) 正定性:对于所有的 v ∈ R n v \in R^n vRn,有 ∣ ∣ v ∣ ∣ ≥ 0 ||v|| \geq 0 v0,且 ∣ ∣ v ∣ ∣ = 0 ||v||=0 v=0当且仅当 v = 0 v=0 v=0
    (2) 齐次性:对于所有的 v ∈ R n v \in R^n vRn α ∈ R \alpha \in R αR,有 ∣ ∣ α v ∣ ∣ = ∣ α ∣ ∣ ∣ v ∣ ∣ ||\alpha v||=|\alpha|||v|| αv=αv
    (3) 三角不等式:对于所有的 v , w ∈ R n v,w \in R^n v,wRn,有 ∣ ∣ v + w ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ v ∣ ∣ + ∣ ∣ w ∣ ∣ ||v+w|| \leq ||v|| + ||w|| v+wv+w
    l p ( p ≥ 1 ) l_p(p \geq 1) lp(p1)范数:
    ∣ ∣ v ∣ ∣ p = ( ∣ v 1 ∣ p + ∣ v 2 ∣ p + . . . + ∣ v n ∣ p ) 1 p (1) ||v||_p=(|v_1|^p+|v_2|^p+...+|v_n|^p)^{\frac{1}{p}} \tag 1 vp=(v1p+v2p+...+vnp)p1(1)
    p = ∞ p= \infty p=时, l ∞ l_{\infty} l范数定义为:
    ∣ ∣ v ∣ ∣ ∞ = m a x i ∣ v i ∣ (2) ||v||_{\infty}=max_{i} |v_i| \tag 2 v=maxivi(2)

    在不引起歧义的情况下,我们有时省略 l 2 l_2 l2范数的角标,记为 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·||

    对向量的 l 2 l_2 l2范数,我们有常用的柯西( C a u c h y Cauchy Cauchy)不等式:
    a , b ∈ R n a,b \in R^n a,bRn,则:
    ∣ a T b ∣ ≤ ∣ ∣ a ∣ ∣ 2 ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 (3) |a^{T}b| \leq ||a||_2||b||_2 \tag 3 aTba2b2(3)
    等号成立当且仅当 a a a b b b线性相关。

    2. 矩阵范数

    和向量范数类似,矩阵范数是定义在矩阵空间上的非负函数,并且满足正定性、齐次性和三角不等式。向量的 l p l_p lp范数可以比较容易地推广到矩阵的 l p l_p lp范数。
    p = 1 p=1 p=1时,矩阵 A ∈ R m × n A \in R^{m \times n} ARm×n l 1 l_1 l1范数定义为:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ (4) ||A||_1=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| \tag 4 A1=i=1mj=1naij(4)
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ||A||_1 A1 A A A中所有元素绝对值的和。当 p = 2 p=2 p=2时,此时得到的是矩阵的 F r o b e n i u s Frobenius Frobenius范数,记为 ∣ ∣ A ∣ ∣ F ||A||_F AF。它可以看成是向量的 l 2 l_2 l2范数的推广,即所有元素平方和开根号:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ F = T r ( A A T ) = ∑ i , j a i j 2 (5) ||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)}=\sqrt{\sum_{i,j} a_{ij}^2} \tag 5 AF=Tr(AAT) =i,jaij2 (5)
    这里, T r ( X ) Tr(X) Tr(X)表示方阵 X X X的迹(矩阵主对角线所有元素之和)。
    矩阵的 F F F范数具有正交不变性,即对于任意的正交矩阵 U ∈ R m × m U \in R^{m \times m} URm×m V ∈ R n × n V \in R^{n \times n} VRn×n,我们有:
    ∣ ∣ U A V ∣ ∣ F 2 = T r ( U A V V T A T U T ) = T r ( U A A T U T ) = T r ( A A T U T U ) = T r ( A A T ) = ∣ ∣ A ∣ ∣ F 2 (6) ||UAV||_{F}^{2}=Tr(UAVV^TA^TU^T)=Tr(UAA^TU^T) \\ =Tr(AA^TU^TU)=Tr(AA^T)=||A||_{F}^{2} \tag 6 UAVF2=Tr(UAVVTATUT)=Tr(UAATUT)=Tr(AATUTU)=Tr(AAT)=AF2(6)
    其中第三个等号成立是因为:
    T r ( A B ) = T r ( B A ) (7) Tr(AB)=Tr(BA) \tag 7 Tr(AB)=Tr(BA)(7)
    这里将 U U U看作 A A A,将 A A T U T AA^TU^T AATUT看作 B B B
    矩阵范数还可以由向量范数诱导出来,一般称为这种范数为算子范数。给定矩阵 A ∈ R m × n A \in R^{m \times n} ARm×n,以及 m m m维和 n n n维空间的向量范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( m ) ||·||_{(m)} (m) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( n ) ||·||_{(n)} (n),其诱导的矩阵范数定义如下:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ ( m , n ) = m a x x ∈ R n , ∣ ∣ x ∣ ∣ ( n ) = 1   ∣ ∣ A x ∣ ∣ ( m ) (8) ||A||_{(m,n)}=max_{x \in R^n , ||x||_{(n)}=1} \ ||Ax||_{(m)} \tag 8 A(m,n)=maxxRn,x(n)=1 Ax(m)(8)
    容易验证 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( m , n ) ||·||_{(m,n)} (m,n)满足范数的定义。如果将 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( m ) ||·||_{(m)} (m) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( n ) ||·||_{(n)} (n)都取为相应向量空间的 l p l_p lp范数,我们可以得到矩阵的 p p p范数。
    ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = m a x x ∈ R n , ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = 1   ∣ ∣ A x ∣ ∣ 2 (9) ||A||_2=max_{x \in R^n , ||x||_2=1} \ ||Ax||_2 \tag 9 A2=maxxRn,x2=1 Ax2(9)
    矩阵的2-范数是该矩阵的最大奇异值。
    奇异值的解释
    A A A m ∗ n m*n mn阶矩阵, A ∗ A A^{*}A AA n n n个特征值的非负平方根叫作 A A A的奇异值。 A ∗ A^{*} A表示 A A A的共轭转置矩阵,如果把 A ∗ A A^{*}A AA的特征值记为 λ i ( A ∗ A ) \lambda_i(A^{*}A) λi(AA),则:
    σ i ( A ) = λ i ( A ∗ A ) (10) \sigma_i(A)=\sqrt{\lambda_i(A^{*}A)} \tag {10} σi(A)=λi(AA) (10)
    根据算子范数的定义,所有算子范数都满足如下性质(相容性):
    ∣ ∣ A x ∣ ∣ ( m ) ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ ( m , n ) ∣ ∣ x ∣ ∣ ( n ) (11) ||Ax||_{(m)} \leq ||A||_{(m,n)} ||x||_{(n)} \tag {11} Ax(m)A(m,n)x(n)(11)
    ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( m , n ) ||·||_{(m,n)} (m,n) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( m ) ||·||_{(m)} (m) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( n ) ||·||_{(n)} (n)是相容的。
    核范数
    给定矩阵 A ∈ R m × n A \in R_{m \times n} ARm×n,其核范数定义为:
    ∣ ∣ A ∣ ∣ ∗ = ∑ i = 1 r σ i (12) ||A||_{*}=\sum_{i=1}^{r} \sigma_i \tag {12} A=i=1rσi(12)
    其中 σ i , i = 1 , 2 , . . . , r \sigma_i,i=1,2,...,r σi,i=1,2,...,r A A A的所有非零奇异值, r = r a n k ( A ) r=rank(A) r=rank(A)

    3. 矩阵的内积

    对于矩阵空间 R m × n R^{m \times n} Rm×n的两个矩阵 A A A B B B,除了定义它们各自的范数以外,我们还可以定义它们之间的内积。范数一般用来衡量矩阵的模的大小,而内积一般用来表征两个矩阵(或其张成的空间)之间的夹角
    F r o b e n i u s Frobenius Frobenius内积:
    < A , B > = d e f T r ( A B T ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b i j (13) <A,B> \overset{def}{=} Tr(AB^T) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ij} \tag {13} <A,B>=defTr(ABT)=i=1mj=1naijbij(13)
    易知该内积为两个矩阵逐分量相乘的和,因而满足内积的定义。当 A = B A=B A=B时, < A , B > <A,B> <A,B>等于矩阵 A A A F F F范数的平方。
    矩阵范数的柯西不等式
    A , B ∈ R m × n A,B \in R^{m \times n} A,BRm×n,则:
    ∣ < A , B > ∣ ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ F ∣ ∣ B ∣ ∣ F (14) |<A,B>| \leq ||A||_F ||B||_F \tag {14} <A,B>AFBF(14)
    等号成立当且仅当 A A A B B B线性相关。

    导数部分
    简介:
    为了分析可微最优化问题的性质,我们需要知道目标函数和约束函数的导数信息.在算法设计中,当优化问题没有显式解时,我们也往往通过函数值和导数信息来构造容易求解的子问题.利用目标函数和约束函数的导数信息,可以确保构造的子问题具有很好的逼近性质,从而构造各种各样有效的算法.

    1. 梯度

    给定函数 f : R n → R f: R^n \rightarrow R f:RnR,且 f f f在点 x x x的一个领域内有意义,若存在向量 g ∈ R n g \in R^n gRn满足:
    l i m p → 0 f ( x + p ) − f ( x ) − g T p ∣ ∣ p ∣ ∣ = 0 (1) \underset{p \rightarrow 0}{lim} \frac{f(x+p)-f(x)-g^Tp}{||p||} = 0 \tag 1 p0limpf(x+p)f(x)gTp=0(1)
    其中 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·|| 是任意的向量范数,就称 f f f在点 x x x可微。此时 g g g称为 f f f在点 x x x处的梯度,记作 ▽ f ( x ) \bigtriangledown f(x) f(x)如果对区域 D D D上的每个点 x x x都有 ▽ f ( x ) \bigtriangledown f(x) f(x)存在,则称为 f f f D D D上可微
    f f f在点 x x x处的梯度存在,令 p = ε e i p=\varepsilon e_i p=εei e i e_i ei是第 i i i个分量为1的单位向量,可知 ▽ f ( x ) \bigtriangledown f(x) f(x)的第 i i i个分量为 ∂ f ( x ) ∂ x i \frac{\partial f(x)}{\partial x_i} xif(x),因此,
    ▽ f ( x ) = [ ∂ f ( x ) ∂ x 1 , ∂ f ( x ) ∂ x 2 , . . . , ∂ f ( x ) ∂ x n ] T (2) \bigtriangledown f(x)=[\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x)}{\partial x_2},...,\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}]^T \tag 2 f(x)=[x1f(x),x2f(x),...,xnf(x)]T(2)
    如果只关心对一部分变量的梯度,可以通过对 ▽ \bigtriangledown 加下标来表示。例如, ▽ x f ( x , y ) \bigtriangledown_xf(x,y) xf(x,y)表示为 y y y视为常数时 f f f关于 x x x的梯度。

    2. 海瑟矩阵

    如果函数 f ( x ) : R n → R f(x): R^n \rightarrow R f(x):RnR在点 x x x处的二阶偏导数 ∂ 2 f ( x ) ∂ x i ∂ x j i , j = 1 , 2 , . . . , n \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_i \partial x_j} i,j=1,2,...,n xixj2f(x)i,j=1,2,...,n都存在,则:
    ▽ 2 f ( x ) = [ ∂ 2 f ( x ) ∂ x 1 2 ∂ 2 f ( x ) ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ 2 f ( x ) ∂ x 1 ∂ x 3 . . . ∂ 2 f ( x ) ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ( x ) ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ( x ) ∂ x 2 2 ∂ 2 f ( x ) ∂ x 2 ∂ x 3 . . . ∂ 2 f ( x ) ∂ x 2 ∂ x n . . . . . . . . . . . . . . . ∂ 2 f ( x ) ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ( x ) ∂ x n ∂ x 2 ∂ 2 f ( x ) ∂ x n ∂ x 3 . . . ∂ 2 f ( x ) ∂ x n 2 ] \bigtriangledown^2 f(x)= \left[ \begin{array}{cc} \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_1 \partial x_3} & ... & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_2^2} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_2 \partial x_3} & ... & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_2 \partial x_n} \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_n \partial x_2} & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_n \partial x_3} & ... & \frac{\partial^2f(x)}{\partial x_n^2} \end{array} \right ] 2f(x)=x122f(x)x2x12f(x)...xnx12f(x)x1x22f(x)x222f(x)...xnx22f(x)x1x32f(x)x2x32f(x)...xnx32f(x)............x1xn2f(x)x2xn2f(x)...xn22f(x)
    称为 f f f在点 x x x处的海瑟矩阵。

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  • 【矩阵论】范数和矩阵函数(1)

    千次阅读 2020-11-10 12:18:44
    说明了常见的向量范数和矩阵范数的定义与性质,结合例题给出了一些常用结论。

    范数及矩阵函数之范数的概念

    首先将本章的内容做以下大致的梳理:
    在这里插入图片描述
    我们通过范数的概念来解决矩阵函数的问题,利用矩阵的函数可以解决很多实际问题。


    一. 概念与定义

    1. 范数与赋范线性空间

    (1)范数——向量空间上的满足某些性质的实值函数
    在这里插入图片描述

    性质1称为范数的正定性(恒正性)
    性质2称为范数的齐次性,其中因为k∈F,F可能是复数域,所以k值要取模值
    性质3称为范数的三角不等式

    (2)赋范线性空间

    把定义了范数的线性空间称为是赋范线性空间

    2. 常见的范数与赋范线性空间举例

    (1)内积空间中的长度即是范数的一种
    在这里插入图片描述

    【回顾】内积空间就是定义了内积的线性空间:若F∈R,则为欧几里得空间;若F∈C,则为酉空间。

    因为内积空间的长度是最常见也是很重要的一种范数,所以这一章在表示“范数”时,我们都使用记号||·||

    注意:在谈论范数时,||·||并不是唯一指代向量长度。

    (2)Cn中范数举例(p范数与范数的变换)

    假设有任意向量X = (x1,x2,…,xn)T∈Cn

    ①P范数族
    在这里插入图片描述

    有关p范数是否满足范数定义的三性质,以下通过1-范数来举例说明:

    【注】1-范数的“正定性”、“齐次性”和“三角不等式”性质的满足本质上是模运算的相应性质的满足
    在这里插入图片描述
    上图中用黑框标注的地方就是证明的关键位。

    ②范数的变换
    在这里插入图片描述

    对于Cn空间上已知的范数定义,通过一个可逆矩阵A,即可相应得到另一种范数定义。

    简要证明如下:
    在这里插入图片描述
    Tip:对于一个可逆矩阵A和一个非零向量x,Ax≠θ一定成立。可以用反证法论证。

    (3)任意线性空间中的范数定义

    在这里插入图片描述

    换言之,就是对于任意给定的一个线性空间V(F∈C);
    找到该空间V上的一组基,V上的任意向量α在该组基上的坐标相应为X

    则V上的任意向量α的范数||α||V就可以转换成其坐标X向量(X∈Cn)在Cn空间中的范数||X||C^n^
    p.s. 而前面我们讨论了很多Cn空间行得通的范数定义,根据需要选用即可。


    二. 范数与极限

    此部分讲述定义“范数”概念的必要性。
    定义范数是为了定义向量序列与向量的极限。

    1. 矩阵序列与收敛

    在这里插入图片描述

    p.s. 矩阵序列的收敛是与选用的范数定义相关的。

    2. 范数的可比较性

    一言以蔽之,如果两个范数是可比较的,那么在这两个范数下所描述的矩阵序列的收敛性是等价的

    看回矩阵序列收敛的定义处,如果选用两个不同的范数,那么是否会存在相同的矩阵序列收敛于不同的值的情况?
    ——基于此,我们提出了范数的可比较性。

    (1)定义

    在这里插入图片描述
    (2)证明与理解
    以下进行证明“两个范数是可比较的 ↔ 矩阵序列在两个范数下的极限值是相同的”

    Tip:既然“可比较”的定义中给出了不等式关系,证明时主要利用极限的夹逼准则。

    若||ηi0||→0,则||ηi0||'→0

    根据可比较的定义:
    ||ηi0||'≤(1/k1)||ηi0||→0;
    ||ηi0||'≥(1/k2)||ηi0||→0;
    根据夹逼准则,有||ηi0||'→0。

    若||ηi0||'→0,则||ηi0||→0

    思路同上:
    ||ηi0||≤k2||ηi0||'→0;
    ||ηi0||≥k1||ηi0||'→0;
    根据夹逼准则,有||ηi0||→0

    (3)定理

    有限维线性空间V上任意两个范数均是可比较的。


    三. 矩阵范数

    之前我们讨论的都是一般的线性空间的范数定义,以下我们讨论一个较为特殊的线性空间——矩阵空间上的范数定义。

    1. 常见的矩阵范数的定义

    (1)矩阵p-范数

    如果把矩阵进行行分块或者列分块,每一个分块元素都可以套用之前Cn空间中定义的范数,从而就可以引出矩阵范数的相关定义。

    在这里插入图片描述

    • Frobenuis范数(||A||m2 = ||A||F

    这其中对矩阵2-范数要格外引起注意:
    矩阵2-范数(Frobenius范数)对于酉变换保持不变性。
    在这里插入图片描述
    【证明】利用矩阵2-范数的定义可以对以上结论很好地进行证明
    ||A||F = (trAHA)1/2
    ||UAV||F = (tr(UAV)H(UAV))1/2 = (tr(VHAHUHUAV))1/2
    因为U是酉矩阵,所以满足UHU = I
    ||UAV||F = (trVHAHAV)1/2
    因为V也是酉矩阵,所以满足VH = V-1
    则||UAV||F = (trV-1AHAV)1/2,因为V-1AHAV与AHA一定是相似的,其二者具有相同的特征值
    p.s. 矩阵的迹(tr)等于矩阵主对角线元素之和,也等于矩阵的全部特征值之和
    故证毕。

    (2)算子范数

    如果以线性变换的角度来看待一个矩阵,那么Amxn∈Cmxn这个矩阵可以看做把一个属于Cm空间中的向量X,映射成属于Cn空间中的向量AX。
    基于这个线性映射的计算过程,我们同样也想要定义相对应的范数。

    在这里插入图片描述

    虽然此处不会深究讨论,但读者需要培养一个思维,当我们定义了上述的范数形式后,想要认可其确实可以作为一个范数,还需要思考以下问题:

    • ||A||该范数是否有意义?
    • ||A||该范数是否满足范数公理?
    • 算子1范数,算子2范数和算子3范数
      在这里插入图片描述

    当原空间和变换空间分别取||·||mi(矩阵某范数),那么由此诱导出来的算子范数就是||·||i(相应的算子某范数)。
    p.s. 这里一定要注意下标的表示方式,不要弄混了。

    2. 矩阵范数的相容性

    对于矩阵来说,其不仅有数乘、加法运算,还具有乘法运算。
    数乘和加法运算针对于范数来说,根据范数定义中的齐性和三角不等式得到了规范;
    但是乘法运算相应于范数还未有规范,至此我们提出“相容性”的概念。

    (1)相容性的定义
    在这里插入图片描述
    (2)定理1——矩阵1范数,2范数相容,无穷大范数不相容

    证明矩阵无穷大范数不相容,只需要给出反例即可
    在这里插入图片描述

    如上图考虑一个2阶全1方阵,其自身的无穷大范数为1;其2阶幂乘的结果是2阶的全2方阵,相应的无穷大范数为2;
    显然不等式2≤1x1是不满足的。
    故,不相容。

    关于矩阵1范数与2范数的相容性,视频中未给出证明,读者可以自行尝试。

    证明的思路可以借鉴下方链接中的证明题,利用范数的定义、性质进行不等式的放缩即可。
    https://www.bilibili.com/read/cv4152269

    (3)定理2——算子范数一定是相容的
    也就意味着如果对于三个线性空间Cs,Cm和Cn,分别定义了其空间中的三个范数||·||Vs,||·||Vm和||·||Vn
    那么这三个范数又分别可以诱导出三个算子范数为||·||sxm,||·||sxn和||·||mxn

    “算子范数一定是相容的”,也就是说||·||sxm,||·||sxn和||·||mxn这三个范数是一定满足相容性的定义的。

    (4)定理3——算子范数的求解

    • 算子1范数就是最大的模长列和
    • 算子2范数就是矩阵AHA的谱半径
    • 算子无穷大范数就是最大的模长行和
      在这里插入图片描述

    以上三种算子范数中,谱范数是最重要的。
    到此,有两个我们需要重点关注的矩阵范数,其一是矩阵2范数(Frobenuis范数),其二就是算子2范数(谱范数)。


    【例】矩阵范数的求解 - 1
    在这里插入图片描述

    按照范数的定义相应代入计算即可。
    拓展询问一下,若要求A(是一个酉矩阵)的矩阵2范数,那么根据定义——
    ||A||m2 = (tr(AHA))1/2 = (tr(I))1/2 = (n)1/2

    • n阶酉矩阵的矩阵2范数为n1/2
    • n阶酉矩阵的算子2范数为1

    【例】矩阵范数的求解 - 2
    在这里插入图片描述
    [0]:解读题意,0号框所示就是我们的证明目标;
    [1]:A是一个正规阵,那么A一定可以通过酉变换成为一个对角阵,将A用对角阵和酉矩阵相应表示出来;
    [2]:按照算子2范数的定义,需要计算AHA及其谱半径,可知道其相似于ΛHΛ;
    [3]:根据对角阵的运算,得到等式,两边同时开方即满足题意要求。

    • 正规阵的算子2范数就是该矩阵的谱半径
      【例】矩阵范数的求解 - 3
      在这里插入图片描述
      证明思路比较清晰,这里不再赘述,将例题中的结论提炼出来。
      对于一个分块对角矩阵
    • 其矩阵2范数就是各分块矩阵2范数的平方和再开方
    • 其算子2范数就是各分块矩阵算子2范数中取最大值

    记忆技巧:
    矩阵2范数↔迹;算子2范数↔谱半径↔取最值
    在分块对角中迹是相加的关系;
    在分块对角中谱半径是再取最值的关系。

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  • 2范数(求矩阵的二范数例题)

    万次阅读 2021-01-16 07:14:54
    矩阵的二范数一般怎么计算??所有元素的平方和开根号1-范数:是指向量(矩阵)里面非零元素的个数。类似于求棋盘上复两个点间的沿方格边缘的距离。||x||1=sum(abs(xi));2-范数(或Euclid范数):是指空间上两个向量矩阵...

    矩阵的二范数一般怎么计算??

    所有元素的平方和开根号

    1-范数:是指向量(矩阵)里面非零元素的个数。类似于求棋盘上复两个点间的沿方格边缘的距离。||x||1=sum(abs(xi));2-范数(或Euclid范数):是指空间上两个向量矩阵.

    除了矩阵之外,向量和函数均有范数,其中:矩阵范数:矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号;向量范数:向量x的2范数是x中各个元素平方之和.

    解出特征值λ 再计算出最大特征值的算术平方根,就是 这个矩阵A的2范数,也即谱范数

    一直没有搞清楚矩阵的2范数怎么求!在matlab中,用norm命令求范数,能用.

    你好!矩阵的2范数是所有元素的平方和开根号 如矩阵1 1 12 2 23 3 32范数就是将上面3*3矩阵的三个1,三个2,三个3平方求和,再开根号。希望对你有所帮助,望采纳。

    最低0.27元/天开通百度文库会员,可在文库查看完整内容>原发布者:男人SL矩阵分析?主讲教师:魏丰百第五章向量与矩阵的范数定义:设V是实数域R(或复数域C)上.

    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为.

    矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号 如A={ 1 -2 -3 4 } 那么A的2范数就是(15+221^1/2)^1/2 了 程序如下:#include "stdio.h"#include "math..

    二范数矩阵A的2范数就是 A的转置矩阵与矩阵A的积的最大特征根的平方根值,是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点间的直线距离

    范数就是向量的模。这是线性代数里出现的定义。

    ||A||的几何意义就是单位球B={||x||=1}在A下的像A(B)的半径,也就是A(B)中的点离原点的最远距离。上面的三种范数诱导了三种不同的距离而已。如果从2-范数诱导的欧氏度.

    这两种范数实际上是有非常紧密的联系的。一方面,矩阵的2范数是向量二范数对应的诱导范数。另一方面,向量范数可以认为是矩阵的诱导范数的特例,如果将长度.

    先把A^TA算出来, 再算A^TA的最大特征值, 再开个平方就行了

    矩阵的2范数是所有元素的平方和开根号如矩阵1 1 12 2 23 3 32范数就是将上面3*3矩阵的三个1,三个2,三个3平方求和,再开根号。

    矩阵求逆是一个病态问题,即矩阵并不是在所有情况下都有逆矩阵。所以上述式子在. 可以用SGD(梯度下降法)求一个近似解,或者加入正则项(2范数)。加入正则项.

    A^TA的特征值可不等于A的特征值的平方哦这是因为A与A^T尽管特征值相同,但它们的特征向量不一定相同这可给出反例:A=[1-1;24]tr是trace(迹)的缩写tr(A^TA)=.

    二阶范数是什么

    2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2不叫二阶范数,叫2-范数。可查“泛函分析”

    把矩阵按行分块就行了 另,向量的2-范数和向量的f-范数相等,所以这相当于证明f-范数相容

    是ⅱ么?这是罗马文字。先切换到智能abc打字法,然后打v2,第七面的第8个就是了o(∩_∩)o~

    e1是首1单位向量满足e1 = [1,0,0,。,0]'。请问G的2范数为多少?

    结论:矩阵||A||_2=A^TA的最大特征值的算术平方根。记a=||r||_2=根号(r2^2+.+rn^. D的二范数容易计算:只需计算右下角2*2块的2范数即可。最大特征值为b=[2+a^2.

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