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  • 矩阵的迹和矩阵范数

    千次阅读 2019-03-28 15:51:10
    矩阵的迹: 定义:在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线...某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹 trace(mA+nB)=m trace(A)+n trace(B) Matrix norm(矩阵范数): 定义:一个在的矩阵上的矩阵范数(matrix no...

    矩阵的迹:

    定义:在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩
                 A(或),一般记作tr(A)
    1. 迹是所有对角元的和
    2. 迹是所有特征值的和
    3. 某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
    4. trace(mA+nB)=m trace(A)+n trace(B)

    Matrix norm(矩阵范数):

           定义:一个在的矩阵上的矩阵范数(matrix norm)是一个从线性空间到实数域上的一个函数,记为||  ||,它对

                     于任意的矩阵A和B及所有实数a

                   

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  • 1.标量函数对矩阵变量求导 定义:矩阵X,函数f(X)是以X为自变量的数量函数,定义f(X)对X的导数为 例如: 常用的矩阵导数有: ...∂tr(QTAQ)∂Q=(A+AT)Q\frac{\...∂tr(AB)∂A=∂tr(BA)∂A=BT\frac{\partial tr(A...

    1.常用的矩阵范数

    矩阵的lr,pl_{r,p}范数定义为:
    在这里插入图片描述
    F范数和l2,1l_{2,1}范数可以转化为:
    在这里插入图片描述
    SSl2,1l_{2,1}范数其实就是每一行向量的l2l_2范数之和。在最小化问题中,只有每一行的l2l_2范数最小才能使总和最小,而每一个行范数最小就要求行内尽可能多的元素为0,即行稀疏。所以,通过约束矩阵的l2,1l_{2,1}范数会得到一个行稀疏的矩阵。

    矩阵SSl2l_2范数是所有元素的平方和再开方,l2l_2范数可以防止过拟合,提升模型的泛化能力。l2l_2范数最小,会使矩阵中的每一个元素都很小,接近于0。与l1l_1范数不同,l2l_2范数不会让元素等于0,而是接近0.

    核范数为矩阵奇异值的和,用于约束低秩。因为rank(W)rank(W)是非凸的,故在优化中常使用其凸近似,也就是核范数。

    2.标量函数对矩阵变量求导

    定义:矩阵X,函数f(X)是以X为自变量的数量函数,定义f(X)对X的导数为
    在这里插入图片描述
    例如:
    在这里插入图片描述
    常用的矩阵导数有:

    tr(QTAQ)Q=(A+AT)Q\frac{\partial tr(Q^{T}AQ)}{\partial Q}=(A+A^{T})Q

    tr(QAQT)Q=Q(A+AT)\frac{\partial tr(QAQ^{T})}{\partial Q}=Q(A+A^{T})

    tr(AB)A=tr(BA)A=BT\frac{\partial tr(AB)}{\partial A}=\frac{\partial tr(BA)}{\partial A}=B^{T}

    tr(AAT)A=2A\frac{\partial tr(AA^T)}{\partial A}=2A , tr(A2)A=2AT\frac{\partial tr(A^2)}{\partial A}=2A^T

    tr(QTA)Q=tr(ATQ)Q=tr(AQT)Q=A\frac{\partial tr(Q^{T}A)}{\partial Q}=\frac{\partial tr(A^{T}Q)}{\partial Q}=\frac{\partial tr(AQ^{T})}{\partial Q}=A

    tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)
    在这里插入图片描述

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  • 1 二阶范数 ||A||2=tr(AAT) ||A||^2 = tr(AA^T) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 2 矩阵求导基本公式(等式两边同时去除tr,公式不变):∂tr(AX)∂X=AT \frac{\partial tr(AX)}{\partial X} = A^T \...

    1 二阶范数

    ||A||2=tr(AAT)

    2 矩阵求导基本公式(等式两边同时去除tr,公式不变):
    tr(A)=tr(AT)

    tr(AX)X=AT

    tr(AX)XT=A

    tr(AXB)X=(BA)T=ATBT

    3 则简单公式均可以推导出来:
    tr(XTAX)X=AX+(XTA)T=(AT+A)X

    tr(XTAX)XT=(AX)T+XTA=XT(AT+A)

    tr(ABATC)A=(BATC)T+CAB=CTABT+CAB
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  • 对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$$ 事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &...=\tr(AVV^*A^*)\quad\sex{\tr(AB)=\tr(BA)}\\ &=\tr...

    对任两酉阵 $U,V$, 有 $$\bex \sen{A}_F=\sen{UAV}_F. \eex$$

     

    事实上, $$\beex \bea \sen{UAV}_F^2&=\tr(V^*A^*U^*\cdot UAV)\\ &=\tr (V^*A^*AV)\\ &=\tr(AVV^*A^*)\quad\sex{\tr(AB)=\tr(BA)}\\ &=\tr(AA^*)\\ &=\tr(A^*A)\\ &=\sen{A}_F^2. \eea \eeex$$

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4065263.html

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  • 矩阵的迹(Tr

    万次阅读 2018-12-06 21:45:45
    例如,迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式: 用迹运算表示表达式,我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如迹运算在转置运算下是不变的: 多个矩阵相乘得到的方阵的迹,和将这些矩阵中的...
  • 矩阵手册(三)

    千次阅读 2016-05-08 09:03:21
    矩阵 fro 范数的平方矩阵(A) fro 范数的平方就是 tr(A’*A)。
  • 【矩阵论总结(5)】常用计算及方法

    千次阅读 2019-01-06 02:53:20
    3、矩阵的迹:全体特征值的和(主对角线元素的和)tr(AB)=tr(BA) 4、Schmidt正交化:     5、向量 范数:  p=1,各向量模长之和,p=2,欧氏距离,p=,模最大值 6、矩阵范数  列和范数, 行和范数, 谱...
  • 范数 F-范数(Frobenius范数) 有矩阵 A(m∗n)A (m*n)A(m∗n) ,则 AAA 的 F-范数计算方式 ∣∣A∣∣F=∑i=1m∑j=1n∣aij∣2=tr(A∗A)=∑i=1min(m,n)σi2 ||A||_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2} ...
  • 矩阵的迹(Trace)及相关性质证明

    千次阅读 2020-09-19 22:36:08
    例如,迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式: ∣∣A∣∣F=Tr(AAT)||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)}∣∣A∣∣F​=Tr(AAT)​ 2 性质 用迹运算表示表达式,我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如迹运算...
  • 矩阵的迹

    2021-03-14 18:51:32
    矩阵迹是指矩阵对角线元素之和Tr(A)=∑iAi,i\mathrm{Tr}(\boldsymbol{A})=\sum_{i}\boldsymbol{A}_{i,i}Tr(A)=i∑​Ai,i​矩阵迹另一个种描述可以用矩阵的Frobenius范数的方式:∥A∥F=Tr(AA⊤)\|\boldsymbol{A}\|_F...
  • MATLAB矩阵基本操作

    2020-01-05 18:38:03
    %% 矩阵基本操作 % A = rand(5)%随机生成5行5列0-1的...% tr = trace(A)%求矩阵的迹 %% 向量的范数 % V = [1,2,3,4,5] % v1 = norm(V,1)%元素和(1-范数) % v2 = norm(V)%平方和开根号(2-范数) % vinf = norm(V,i...
  • 不等式

    2019-04-28 21:04:23
    文章目录符号说明[trace-nuclear] $\mathrm{Tr}(A^TB) \le \|A\|\|B\|_*$ 符号说明 矩阵A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}A∈Rm×n ∥A∥\|A\|∥A∥:矩阵AAA的谱范数 ∥A∥∗\|A\|_*∥A∥∗​: 矩阵AAA的核...
  • C.Approximating a 3 × 3 matrix by a Rotation Matrix 通过旋转矩阵逼近3×3矩阵 在本节中考虑的问题是求解最佳旋转矩阵R以逼近给定的3...问题15等价于最大化tr(RTQ)tr(R^TQ)tr(RTQ)(矩阵的迹)。 设Q的奇异值分解...
  • 向量的二阶范数与欧几里得范数意思相同;柯西施瓦茨不等式;向量夹角定义。 矩阵内积定义是向量内积的扩展,想表达的东西一致:对应元素相乘再相加。<X,Y>=tr(X'Y) %X是实矩阵;tr(X'Y)的(1,1)元素就是X的...
  • 矩阵运算及求导

    2019-11-16 09:57:06
    基本运算   矩阵的常见运算如下: ...Tr(A)Tr(A)Tr(A) 矩阵的迹 eig(A)eig(A)eig(A) 矩阵的特征值 ATA^TAT A的转置 ∥A∥\|A\|∥A∥ A的范数 A∘BA\circ BA∘B 哈达玛积 A⊗BA\otimes ...
  • 深度学习的数学基础

    2019-09-28 20:34:14
    线性代数 基本变量:标量、向量...范数 特征分解:$A=V*diag(\lambda)*V^{-1}$ 奇异值分解:$A=Q*diag(\Sigma)*V$ 伪逆:$A^+=V^T*diag(\Sigma^{-1})*Q^T$ 迹运算:$tr(A)=\sum_{i}^{ }A_{ii}$;$tr(ABC)=tr(B...
  • 矩阵迹运算返回的是矩阵对角元素的和: 迹运算因为很多原因而有用。若不使用求和符号,有些...例如,迹运算在转置运算下是不变的:Tr(A)=Tr(AT).多个矩阵相乘得到的方阵的迹,和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之...
  • 【线性代数】矩阵的迹运算

    千次阅读 2018-08-03 22:21:15
    矩阵的迹运算是对矩阵对角线上的元素进行求和,即 Tr(A)=∑iAi,iTr(A)=∑iAi,iTr(A) = \sum_i A_{i,i} 用途 一个是,使得很多矩阵运算变得易于描述,比如 矩阵的 Fronenius 范数 可以biaoshi ...
  • 这是类内和类间的初始值。 不管是i在j的k紧邻,还是j在i的k紧邻,Wij,Wji都会有值,Wij=,Wji=1/kw(j). kw(j)是第j行非零元素个数,也就是在j元素邻居范围内的...此处可以是矩阵,因为tr,这也表示F范数。 ...
  • 酉相似

    2017-11-04 09:17:00
    将学习到什么? 本部分介绍酉相似的一些内容,主要是定义和两个特殊的酉相似。 ...  证明:由于 \(\mathrm{tr}\, (A^*A)=\sum_{i,j=1}^{n,m} \lvert a_{ij} \rvert ^2\), 所以只需验证 \(\mat...

空空如也

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