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  • 陈灵佳文章首先对蚁群算法与TSP问题进行简要介绍,在此基础上对蚁群算法在解决TSP问题中的应用进行论述。期望通过本文的研究能够对TSP问题的解决有所帮助。【关键词】蚁群算法 TSP问题 最优解1 蚁群算法与TSP问题...

    陈灵佳

    文章首先对蚁群算法与TSP问题进行简要介绍,在此基础上对蚁群算法在解决TSP问题中的应用进行论述。期望通过本文的研究能够对TSP问题的解决有所帮助。

    【关键词】蚁群算法 TSP问题 最优解

    1 蚁群算法与TSP问题简介

    1.1 蚁群算法

    蚁群算法是一种随机的、概率搜索算法,它是目前求解复杂组合优化问题较为有效的手段之一,借助信息反馈机制,能够进一步加快算法的进化,从而更加快速地找到最优解。蚁群算法可在诸多领域中应用,借助该算法能够求得TSP问题的最短路径。蚁群寻找最短路径的过程如图1所示。

    蚁群算法之所以在多个领域获得广泛应用,与其自身所具备的诸多优点有着密不可分的关联,如自组织性、正负反馈性、鲁棒性、分布式计算等等,其最为突出的优点是能够与其它算法结合使用。但是在应用实践中发现,虽然蚁群算法的优点较多,其也或多或少地存在一定的不足,如搜索时间较长,规模越大时间越长;容易出现停滞现象等等。

    1.2 TSP问题

    TSP是旅行商的英文缩写形式,这一术语最早出现于1932年,在1948年时,美国兰德公司(RAND)引入了TSP,由此使得TSP广为人知。从数学领域的角度上讲,TSP问题是NP-完备组合优化问题,这是一个看似简单实则需要天文数字计算能力方可获得最优解的过程,其适用于搜索算法解决不了的复杂与非线性问题。

    2 蚁群算法在解决TSP问题中的应用

    2.1 蚁群算法的改进

    (1)大量的实验结果表明,标准蚁群算法在TSP问题的求解中,很容易陷入局部最优解。这是因为,蚁群的转移主要是由各条路径上的信息素浓度及城市间的距离来引导的,信息素浓度最强的路径是蚁群的首选目标,该路径与最优路径极为接近。然而,各个路径上初始信息素的浓度全部相同,因此,蚁群在对第一条路径进行创建时,主要依赖于城市间的距离信息,这样一来很难确保蚁群创建的路径是最优路径,如果以此为基础,那么信息素便会在该局部最优路径上越积累越多,其上的信息素浓度将会超过其它路径,从而造成全部蚂蚁都会集中于该路径之上,由此便会造成停滞现象,不但会使搜索的时间增长,而且所求得的解也无法达到理想中的效果。

    (2)由于本文研究的是利用蚁群算法来解决TSP问题,所以对蚁群算法的改进应当以此为依据,具体的改进方法如下:对于初始的TSP而言,利用蚁群算法求取最优解时,应考虑的首要问题是预处理环节,可采用近邻法建立一个初始游历,并对信息素的初始值进行计算;利用Ant-Q Systems算法,基于随机性和确定性相结合的策略,在搜索的过程中,对状态转移概率进行调整;对信息素的更新可使用在线单步更新信息素与离线全局更新信息素相结合的方法予以实现。

    2.2 改进蚁群算法在TSP求解中的应用

    2.2.1 对算法进行初始化

    对所有城市的坐标进行获取,以此为依据,对距离矩阵Distmatrix进行计算,同时对随机发生器状态进行初始化,并以随机的形式从n个城市中选出初始的出发城市,并将该城市设定为:

    p(1)=round(Ncities*rang+0.5),其中的Ncities代表城市的数目。

    通过最近邻法创建一个初始游历,并对距离矩阵进行更新,同步计算出距离总长度len在此基础上对信息素的初始值Q0进行设定,即Q0=1/(Ncities*len)。

    2.2.2 算法循环

    Step1:对相关参数进行初始化,令NC(循环初始迭代)=1,MaxNC(最大循环次数)=5000,A(信息素因子)=1,B(启发信息因子)=2,P1(局部挥发系数)=P2(全局挥发系数)=0.1,M(蚁群数量)=10,R0(选择概率)=0.9。

    Step2:将初始化信息素矩阵进行设定为:

    Pheromone=Q0*ones(Ncities,Ncities)

    同时将启发信息矩阵设定为:

    Heuristic=1./DistMatrix

    在将初始化允许矩阵设定为:allow0=repmat(1:Ncities,M,1)

    该矩阵的初始值设为0,最后将M置于Ncities个元素上。

    Step3:設循环计数器NC=NC+1。

    Step4:设蚂蚁禁忌表索引号AK=1,蚂蚁的数目=AK+1。

    Step5:蚂蚁个体按照Ant-Q Systems算法提出的状态转移概率,选择下个城市j并前进。

    Step6:对允许矩阵进行更新,使其变为allow(AK,j)=0,即将蚂蚁所选城市标号在该矩阵中对应位置的值重新设定为0。

    Step7:如果蚂蚁为遍历集合C中的所有元素,即AKStep8:对每只蚂蚁找到的路径长度进行计算,并对最优的路径长度及其对应的遍历顺序进行保存,记录并找到最优解的蚂蚁的搜索轨迹。

    Step9:若NC≥MaxNC,则整个循环过程结束,如果未达到这一要求,则清空禁忌表,并跳转至Step3,直至达到要求为止。

    2.2.3 算法输出

    先将全局最优解的轨迹变化图绘制出来,然后再绘制出全局最优解的路线图,最后将最优的遍历顺序、最优的遍历结果以及总体运行时间输出,便可完成对TSP问题的求解。

    3 结论

    综上所述,蚁群算法以其自身诸多的优点在多个领域中获得了广泛应用,但标准蚁群算法的搜索时间较长,并且容易出现停滞现象。对此,本文提出一种改进的蚁群算法,并对其在TSP问题解决中的应用进行分析。经过改进之后,不但缩短了搜索时间,而且停滞问题也随之消除。

    参考文献

    [1]杜鹏桢,唐振民,孙研.一种面向对象的多角色蚁群算法及其TSP问题求解[J].控制与决策,2014(10):85-88.

    [2]扈华,王冬青.蚁群算法解决TSP问题图形化软件设计[J].电脑编程技巧与维护,2014(10):98-100.

    [3]徐胜,马小军,钱海.基于遗传-模拟退火的蚁群算法求解TSP问题[J].计算机测量与控制,2016(03):125-127.

    作者单位

    同济大学 上海市 201804

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    遗传算法在TSP问题中的应用

    什么是TSP问题?

    TSP问题是典型的组合优化问题,其也是遗传算法界中最为经典的优化问题之一。在遗算法成熟之前也一直困扰着科研人员,TSP问题又称为名旅行商问题,其定义为设有N个城市,推销员要从某一个城市前往另外N-1个城市,每个城市能去的次数有且仅有一次,最终回到出发的城市,要寻找的便是该推销人员走过的最短路径,也可以理解为给N个数目的城市附上一个加权完全图,每个城市都用一个顶点代替,每两个顶点之间一条无向加权边[2]。最终求解此无向加权完全图的最小哈米尔顿回路。

    研究意义?

    TSP问题不仅仅是解决了TSP问题,其可以延伸到了许多其他问题当中,如下城市市区下水管道的铺设路径,物流公司物流配送货物等实际与生活息息相关的问题,这些问题的求解方法都可以应用于很多现实生活中的组合优化问题,是都是相当经典的组合问题,遗传算法是一种全局随机搜索的算法,对于解决各种组合优化问题都有着十分有效的作用,因此用遗传算法来解决这两个经典组合优化问题(本人在毕业论文的另外一个组合优化问题是有关营销利润的,有兴趣的可以私聊或者评论)是一种不错的选择。

    算法在TSP中的实际应用步骤

    (1)设定N个城市,每个城市用一个自然数代替,每个城市之间的距离制定成加权数据,对所有定义的城市进行随机编码,TSP问题中的编码,科研人员往往采用的时二进制字符编码和实数编码;
    (2)确定好各类参数,初始化种群,采用随机的方法随机产生有限个初始群体;
    (3)第三步根据实际问题所处的环境制定合适的数学适应度函数,在TSP问题往往中采用f =1/T,T即代表解路径的总长度,T越大则表示适应度越小;
    (4)对每个个体对体进行适应度评估,通过比较适应度得出优秀的个体并且保留;
    (5)对每个个体进行适应度的评估后便根据适应度的大小进行选择算子的操作,以此来决定哪些个体基因需要进行交叉变异操作,使它们的基因得到优化,并对优化后的解的基因再进行适应度评估,保留优秀个体,对于非优秀的个体对其再进行选择,交叉,变异操作直到其适应度通过评估或迭代次数超过参数规定的最大迭代次数停止优化操作。
    ps:编码方式我这里采用的是实数制编码(编码方式的多性,欢迎讨论)
    交叉概率Pc:交叉算子进行基因优化的操作,取值范围在0.4-0.99。
    变异概率Pm:变异算子进行基因优化的操作,其取值范围为0.00001-0.1。
    该适应度函数表达式如下式所示:Fm = 1/T

    运行结果

    在种群数为55,交叉率为0.6,变异率为0.05,设定15个城市坐标为{84,9},{94,86},{87,43},{71,48},{76,65},{69,53},{82,61},{83,72},{69,62},{73,12},{71,72},{68,46},{73,66},{71,42},{78,66}依次编号为0到14,也可以根据自己的想法来设定目标城市坐标,将各个城市放入一个二维数组中,迭代次数设定为150次,当遗传操作的迭代次数超过这个数则强行停止算法。使用C语言进行编译后得到的运行结果如下:
    运行解面一
    运行界面二
    得到各个个体城市得遍历次序后得到第54号个体为近似最优解,最优路径为先后走完编号为0、5、11、3、13、14、8、10、12、6、7、1、4、2、9、0 这15个城市,在求解过程中,可以发现遗传算法可以使最优解收敛到某一个稳定的值,如在解决此实际问题中时它的最优解一直在250上下波动。根据收敛值可以得出近似最优解,这也是遗传算法得的特点之一。

    结语

    博主第一次写博客,如有不足指出请各位前辈多多指教,也希望对初学者有一定的帮助,如有毕业论文想写优化算法的欢迎借鉴。

    展开全文
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  • Hopfield神经网络在TSP问题中的应用 TSP数学建模
  • 本文档是本人智能优化算法课程的大作业,完全的原创。...最后应用蚁群算法解决了TSP问题:问题描述,基本思想,解题步骤,流程图,代码实现,实验仿真,实验结果及结论都有非常详细的记录,希望对有需要的朋友有所帮助
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  • 遗传算法在TSP问题上的应用matlab仿真实现

    千次阅读 多人点赞 2020-01-08 10:45:10
    遗传算法在TSP问题上的应用 本文采用遗传算法来求解TSP问题,将中国的35个省会级城市作为研究对象,设置西安为起点,历经其余34座城市后,最后回到西安的一条最短路径。 一、设计过程 1、适应度函数设计: TSP的...

    最近在做一个遗传算法应用的课程大作业,在网上找了一些TSP的算法,结合别人的算法进行更改和优化了下,得到了最终的仿真结果,感谢前人栽的树。

     

    遗传算法在TSP问题上的应用

    本文采用遗传算法来求解TSP问题,将中国的35个省会级城市作为研究对象,设置西安为起点,历经其余34座城市后,最后回到西安的一条最短路径。

    一、设计过程

    1、适应度函数设计:

    TSP的目标是路径总长度为最短,在进行选择时更具适应度值越大则被遗传到下一代的概率越大,适应度值与路径总距离呈反比关系,因此路径总长度的倒数就可以为TSP的适应度函数:

      

    2、序表达式编码

    序表达式是TSP问题的最自然的表达,其中城市是按访问的顺序排列的。例如,对于9个城市的TSP:3-2-5-4-7-1-6-9-8-3可简单表示为向量[3254716983],表示从城市3出发依次经过2,5,4,7,1,6,9,8然后返回城市3的一条路径。

    3、联赛选择算子设计

    联赛选择是基于个体适应度之间大小关系的选择方法,一般为两两比较,不需要满足f(x)>0,具体步骤为将群体中随机选N个个体进行适应度值大小比较,将大的个体遗传,将上述过程重复M次就可以得到M个个体。在本次设计中,随机从父代种群中选择4个路径个体,进行适应度值比较,将适应度最大的个体遗传到下一代,种群规模为200,则重复该选择步骤200次,得到新一代种群。

    4、顺序交叉算子设计

    顺序交叉(OX):从父代A随机选择一个编码子串片段,放到子代A的对应位置,子代A空余的位置从父代B中按照B的顺序选取(与已有的编码不重复)。同理可得子代B。设置父代A=872|139|0546,父代B=983|567|1420。交叉过程:对于父代A,选择139进行遗传到下一代,其余部分从父代B中按照期序随机选取,从父代B中选择的元素不能和1、3、9散字相同,依次放到子代的对应位置,得到下一代A1,子代B1的求解过程同上,求解过程如下。

                                    

    5、两点对换变异算子设计(Mutation)

    在本文中采用两点对换变异算子对种群进行变异操作,由于TSP问题的约束为路径中每个城市只能遍历一次,因此不能采用遗传算法常用的基于二进制编码的变异操作,不能由简单的变量进行翻转来实现变异。两点对换变异算子为在TSP问题中的个体编码是一系列城市的序列,随机在这个城市序列中抽取两个城市,然后交换他们的位置,这样就实现了个体的变异操作。


    二、仿真结果如下:
     1、遗传算法的基本运算步骤
     (1)初始化:设置进化代数计数器t=0,设置最大进化代数T,随机生成M个个体作为初始群体P(0)。(2)个体评价:计算群体P(t)中各个个体的适应度。(3)选择运算:将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。(4)交叉运算:将交叉算子作用于群体。遗传算法中起核心作用的就是交叉算子。(5)变异运算:将变异算子作用于群体。即是对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t+1)。(6)终止条件判断:若t=T,则以进化过程中所得到的具有最大适应度个体作为最优解输出,终止计算。


     2、初始种群路径图:


     

    3、迭代找到最优解的路径图



    4、收敛曲线图

     

     

     

     

     

    二、具体matlab代码如下:

     

    主函数main.c

    clear;
    clc;
    tStart = tic; % 算法计时器
    %************************初始化参数变量*******************************
        [Num,Txt,Raw]=xlsread('provincial_ capital_coordinate12.xlsx');  %经纬度数据
        cities = Num(:,5:6);
        cities=cities';
        [~,cityNum]=size(cities);
        
        
        maxGEN = 500;
        popSize = 300; % 遗传算法种群大小
        crossoverProbabilty = 0.95; %交叉概率
        mutationProbabilty = 0.33; %变异概率
    
        %********初始化种群***********
        % 计算上述生成的各个城市之间的距离断
        distances = calculateDistance(cities);
        % 生成种群,每个个体代表一个路径
        gbest = Inf;%行:Inf 无穷大
        parentPop = zeros(popSize, cityNum);
        % 随机打乱种群
        for i=1:popSize
         parentPop(i,2:cityNum-1) = randperm(cityNum-2); %randperm功能是随机打乱一个数字序列,将1-cityNum数字序列随机打乱
         for a=2:cityNum-1
             parentPop(i,a)=parentPop(i,a)+1;
         end
         parentPop(i,1)=1;
         parentPop(i,cityNum)=cityNum;
        end
        % 定义子代种群
        childPop = zeros(popSize,cityNum);
        
        %定义每代的最小路径
        minPathes = zeros(maxGEN,1);
        %****************************
      
    %**********************************************************************
    
    %*********************GA算法选择交叉变异执行过程************************
    for  genNum=1:maxGEN
     
        % 计算适应度的值,即路径总距离
        [fitnessValue, sumDistance, minPath, maxPath] = fitness(distances, parentPop);
        tournamentSize=4; %设置大小
        for k=1:popSize
        %% 以下为联赛选择法
            % 随机选择父代
            tourPopDistances=zeros( tournamentSize,1);
            for i=1:tournamentSize
                randomRow = randi(popSize);%行:返回一个介于1到popSize的伪随机整数
                tourPopDistances(i,1) = sumDistance(randomRow,1);
            end
     
            % 选择最好的,即距离最小的
            parent1  = min(tourPopDistances);
            [parent1X,parent1Y] = find(sumDistance==parent1,1, 'first');%选出随机的4个中最短距离种群序号
            parent1Path = parentPop(parent1X(1,1),:);%%选出随机的4个中最短距离种群路径
     
     
            for i=1:tournamentSize
                randomRow = randi(popSize);
                tourPopDistances(i,1) = sumDistance(randomRow,1);
            end
            parent2  = min(tourPopDistances);
            [parent2X,parent2Y] = find(sumDistance==parent2,1, 'first');
            parent2Path = parentPop(parent2X(1,1),:);
        %% 以上为联赛选择法
      
        %% 顺序交叉(OX)
            individual = crossover(parent1Path, parent2Path, crossoverProbabilty);%个体交叉
        %%
      
        %% 对换变异(由于路径不能出现重复元素,因此变异不能为随意变化,本实验采用随机交换两元素位置来实现变异)
            individual = mutate(individual, mutationProbabilty);%个体变异
        %%
            childPop(k,:) = individual(1,:);%行:保存下一代种群的个体
            
            minPathes(genNum,1) = minPath; %行:保留此代中最短路径
        end
        % 更新父代
        parentPop = childPop;%行:种群此时更新为最新子代
        
        %% 画图
    
        % 画出当前状态下的最短路径
        if minPath < gbest
            gbest = minPath;
            paint(cities, parentPop, gbest, sumDistance,genNum);%行:画出最新的最短路径轨迹
        end
        fprintf('代数:%d   最短路径:%.2fKM \n', genNum,minPath);
      
    %    fprintf('%s\n', Txt(Bestpath(1,0),2));
        %%
    end
    
    %% 迭代完成,进行最终结果显示
    figure 
    plot(minPathes, 'MarkerFaceColor', 'blue','LineWidth',1);
    title({'最短路径收敛曲线图';['最短路径距离为', num2str(minPath)]});
    set(gca,'ytick',0:10:450); 
    ylabel('路径总长度');
    xlabel('种群代数');
    grid on
    tEnd = toc(tStart);
    fprintf('时间:%d 分  %f 秒.\n', floor(tEnd/60), rem(tEnd,60));
    

    根据经纬度计算城市间距离函数:calculateDistance.m

    function [ distances ] = calculateDistance( city )
    %计算距离
     
        [~, col] = size(city);
        distances = zeros(col);
        for i=1:col
            for j=1:col
                distances(i,j)= distances(i,j)+ sqrt( (city(1,i)-city(1,j))^2 + (city(2,i)-city(2,j))^2  );           
            end
        end
    end

    交叉函数:crossover.m

    function [childPath] = crossover(parent1Path, parent2Path, prob)
    % 交叉
     
        random = rand();
        if prob >= random                     %行:随机生成一个01之前的数,和概率值比较,相当于一个轮盘赌的选择,来执行概率选择执行操作
            [l, length] = size(parent1Path);
            childPath = zeros(l,length);
            setSize = floor(length/2) -1;     %行:floor 朝负无穷大方向取整
            offset = randi(setSize);          %行:随机 产生1-setSize之间的整数
            parent1OXstart=offset;            %行:0X交叉,父代1遗传给子代的片段起点
            parent1OXend=setSize+offset-1;    %行:0X交叉,父代1遗传给子代的片段终点
            
            for i=parent1OXstart:parent1OXend
                childPath(1,i) = parent1Path(1,i);
            end
            
            childPath(1,1) = parent1Path(1,1);%行:将路径的起点和终点直接赋给子代,因为起点和终点不变
            childPath(1,length) = parent1Path(1,length);
            
            %行:parent2依顺序放入子代位坐标
            parent2Point=2;                
            for x=2:length-1
                if childPath(1,x)==0
                    for y=parent2Point:length-1
                        if ~any(childPath == parent2Path(1,y))%行:如果子代路径相应元素不等于父代元素
                            childPath(1,x)=parent2Path(1,y);
                            parent2Point=y+1;
                            break;
                        end
                    end
                end
            end
            
        else
            childPath = parent1Path;
        end
    end

    变异函数:mutate.m

    function [ mutatedPath ] = mutate( path, prob )
    %对指定的路径利用指定的概率进行更新
    %行:由于路径不予许存在相同的数,所以变异不能随意变,只能用随机互换位置的方法
        random = rand();
        if random <= prob         
            [l,length] = size(path);
            index1 = randi([2,length-1]);
            index2 = randi([2,length-1]);
            %交换
            temp = path(l,index1);
            path(l,index1) = path(l,index2);
            path(l,index2)=temp;
        end
            mutatedPath = path; 

    结果路径图片显示函数:paint.m

    function [ bestPopPath ] = paint( cities, pop, minPath, totalDistances,gen)
        gNumber=gen;
        [~, length] = size(cities);
        xDots = cities(1,:);
        yDots = cities(2,:);
        %figure(1);
        %行:先画城市的固定坐标
        plot(xDots,yDots, 'p', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'green');
        xlabel('经度');
        ylabel('纬度');
        axis equal
        
        [num,txt,raw]=xlsread('provincial_ capital_coordinate12.xlsx');  %经纬度数据% 
         text(xDots(1)+0.2,yDots(1)+0.2,txt(1+1,2),'FontSize',9.5,'Color','red','FontWeight','Bold') ; %先画起点,突出起点
        for i=2:length-1
            text(xDots(i)+0.2,yDots(i)+0.2,txt(i+1,2),'FontSize',8,'Color','blue','FontWeight','Bold') ; %加上0.01使标号和点不重合,可以自己调整
        end
        
        
        
        hold on
        [minPathX,~] = find(totalDistances==minPath,1, 'first');
        bestPopPath = pop(minPathX, :);
        bestX = zeros(1,length);
        bestY = zeros(1,length);
        for j=1:length
           bestX(1,j) = cities(1,bestPopPath(1,j));
           bestY(1,j) = cities(2,bestPopPath(1,j));
        end
       % title('当前代数%d 的路径图');
        title(['第', num2str(gNumber),'代种群的最优路径图']) ;
        %行:再画城市的路径连线
        plot(bestX(1,:),bestY(1,:), 'red', 'LineWidth', 1.25);
        legend('城市', '路径');
        axis equal%行:axis equal/将横轴纵轴的定标系数设成相同值。
        grid on
        %text(5,0,sprintf('迭代次数: %d 总路径长度: %.2f',gNumber, minPath),'FontSize',10);
        drawnow
        hold off
    end

    最后感谢前人的博客,然我这个小白从0 完成了遗传算法的作业,也希望此博客能帮助到大家。

    具体代码:https://download.csdn.net/download/qq_37271216/12089106

    有需要代码的朋友也可以把邮箱留下,免费发到邮箱!

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    TSP问题

    假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。(TSP问题要求每个城市之间都有通路)

     

    问题分析

    模拟退火只能求出近似全局最优,不能保证一定是全局最优,但是大多数情况足以应付。

    模拟退火的状态:就是经过城市的序列,不同的城市序列代表一个状态。

    模拟退火的评价函数F(x):经过城市序列的路程。

    模拟退火的状态变化:有多种调换方式,随机选择2个节点,交换路径中的这2个节点的顺序;随机选择2个节点,将路径中这2个节点间的节点顺序逆转,都行。

     

    代码实现

     

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空空如也

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