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    压缩感知的基本思想稀疏重构条件:

    压缩感知的基本思想是:只要信号是稀疏或可压缩的,则可用一个测量矩阵在低维空间上表示这个高维信号,然后通过求解一个优化问题就能近似地重构出信号。稀疏表示、编码测量和稀疏重构是压缩感知理论的三个重要组成部分其中,稀疏重构,即由观测向量重构稀疏信号的过程,是压缩感知理论的核心。应用稀疏重构对人造目标进行稀疏成像可以极大地提高成像结果的分辨率。

    压缩感知理论指出,信号或图像精确重建必须满足以下三个条件:
    (1)稀疏性,即在某种变换域下信号或图像可被稀疏表示;
    (2)测量矩阵满足限制等容性准则(Restricted Isometry Property,RIP)条件,即要满
    足与信号本身是互不相干的;
    (3)通过非线性优化的重建模型精确重建.

    稀疏重构适用场景以及优势:

    高频区,目标总的电磁散射可以由局部散射中心散射的合成来近似,可以将稀疏重构方法应用于属性散射中心模型估计上。基于稀疏重构的属性散射模型参数估计方法直接从观测数据中估计散射中心参数,避免了对图像分割处理,因此不存在能量泄漏问题

    只要信号是稀疏或可压缩的,则可用一个测量矩阵在低维空间上表示这个高维信号,然后通过求解一个优化问题就能近似地重构出信号。

    缺点:红色。

    优点:蓝色。

    lP范数非凸优化算法而言,其性能表现较为出色,超分辨能力强,且重构精度高。对SNR 较为敏感,抗噪性能不好。弊端:就是需要人为设置两个参数:收缩参数和正则化参数,对于不同的信号形式,不同的观测矩阵,不同的信噪比而言,这两个参数的最优值都是不同的,仿真实验前都需要对花大量的时间进行参数的调整。

    应用CVX 进行l1 范数最小化的方法,其各方面性能较为适中,不过运行速度太慢是一大缺点。此外l1范数最小化方法需要人为的设置正则化参数,因此对噪声较为敏感。

    MP 算法而言,其重构精度最差,没有超分辨能力,对于噪声很敏感,抗噪性能不好,但是由于OMP 算法复杂度最低,其经常被用于工程实践当中。

    BCS 算法而言,其在抗噪性能方面表现出了不错的性能,缺点在于其超分辨能力不强。

    总结:实验结果表明l1 范数最小化方法性能适中;贪婪算法重构精度最差,没有超分辨能力,对于噪声很敏感,BCS 算法抗噪性能好,重构精度高,但超分辨能力不强;lP 范数非凸优化方法超分辨能力强,且重构精度高,但对SNR 较为敏感。

     

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    浅谈压缩感知(二十七):压缩感知重构算法之稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)

    主要内容:

    1. SAMP的算法流程
    2. SAMP的MATLAB实现
    3. 一维信号的实验与结果
    4. 稀疏度K与重构成功概率关系的实验与结果

    一、SAMP的算法流程

    前面所述大部分OMP及其前改算法都需要已知信号的稀疏度K,而在实际中这个一般是不知道的,基于此背景,稀疏度自适应匹配追踪(Sparsity Adaptive MP)被提出。SAMP不需要知道稀疏度K,在迭代循环中,根据新残差与旧残差的比较来确定选择原子的个数。

    SAMP的算法流程:

    二、SAMP的MATLAB实现(CS_SAMP.m)

     

    三、一维信号的实验与结果

     

    四、稀疏数K与重构成功概率关系的实验与结果

    六、参考文章

    http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45675735

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  • 一个可以在matlab上运行的压缩感知实例;本例以LFM为采样信号,包括稀疏分解、测量矩阵的设计和重构算法(OMP),验证了压缩感知理论的可行性。
  • 版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处,谢谢!... 题目:正交匹配追踪(OMP)在稀疏分解与压缩感知... 如果研究了稀疏分解再来研究压缩感知可能会有一个疑惑:在稀疏分解中有一个OMP算法,在压缩感知重构算...

    版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处,谢谢! https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45100659

    题目:正交匹配追踪(OMP)在稀疏分解与压缩感知重构中的异同

            如果研究了稀疏分解再来研究压缩感知可能会有一个疑惑:在稀疏分解中有一个OMP算法,在压缩感知的重构算法中也有一个OMP算法,它们有什么区别和联系呢?

            其实它们都是一样子的!

            从数学模型来入手分析这个问题:

            1)稀疏分解要解决的问题是在冗余字典A中选出k列,用这k列的线性组合近似表达待稀疏分解信号y,可以用表示为y=,求θ

            2)压缩感知重构要解决的问题是事先存在一个θ和矩阵A,然后得到y=(压缩观测),现在是在已知yA的情况下要重构θ

            看到了没?实际上它们要解决的问题都是对已知yA的情况下求y=中的θ

            上面各式中,A为M×N矩阵(M>>N,稀疏分解中为冗余字典,压缩感知中为传感矩阵A=ΦΨ,即测量矩阵Φ乘以稀疏矩阵Ψ),y为M×1的列向量(稀疏分解中为待稀疏分解信号,压缩感知中为观测向量),θ为N×1的列向量(稀疏分解中为待求分解系数,压缩感知中为信号x的在变换域Ψ的系数,x=Ψθ)。

            所不同的是,在稀疏分解中θ是事先不存在的,我们要去求一个θ近似表示y,求出的θ并不能说对与错;在压缩感知中,θ是事先存在的,只是现在不知道,我们要通过某种方法如OMP去把θ求出来,求出的θ应该等于原先的θ的,然后可求原信号x=Ψθ

            将以上关系清晰表述如下:


    其中:        

                    


            稀疏分解是选择冗余字典A中尽量少的列向量(原子),使其线性组合等于或近似等于y,例如共选择了A中的k列:at1, at2, at3,…, atk ,对应的线性组合系数为θt1,θt2, θt3,…,θtk,记At = [ at1, at2, at3,…, atk],θt= [θt1, θt2,θt3,…, θtk]T,T表示转置。则


    注意:下标t1,t2,…,tk并不是从小到大排列,而是代表了OMP算法所选择原子的次序。

            现在有一个关键问题是θt1,θt2, θt3,…,θtk的值分别是多少?这是我们最终所求的解……

            我们的问题实际上是从y=Atθt中已知yAtθty为M×1的列向量,At为M×k的矩阵,θt为k×1的列向量),则最小二乘解为


    这个时候的残差为


    这里的问题实际上是正交投影的概念,可以参见《压缩感知中的数学知识:投影矩阵(projectionmatrix)》。

            对于压缩感知重构过程也是一样,只是求得的θt的最小二乘解应该为原信号x的稀疏分解系数,那么问题就来了:你怎么知道通过OMP等重构算法求出的θ就是原来的x=Ψθ中的那个θ呢?为什么通过OMP迭代后一定会选出矩阵A的那几列呢?会不会选择A的另外几列,它们的线性组合也满足y=?这个问题我们下篇《为什么正交匹配追踪(OMP)一定能恢复信号?》再说。

            其实MP也好,改进后的OMP也罢,最初提出都是面向稀疏分解的,当时还没有压缩感知的概念,只是后来压缩感知提出后将其引入到了压缩感知重构中,因为前面也说了,其实他们的本质是一样子的,都是已知yA的情况下求y=中的θ

            MP和OMP最初提出的文献一般分别引用以下两篇:

    【1】S Mallat, Z Zhang.Matching pursuit with time-frequency dictionaries[J]. IEEE Transactions onSignal Processing, 1993, 41(12): 3397-3415.

    【2】Y.C.Pati, R.Rezaiifar,and P.S.Krishnaprasad. Orthogonal Matching Pursuit-Recursive FunctionApproximation with Applications to wavelet decomposition, Proc. 27thAnnu. Asilomar Conf. Signals, Systems, and Computers, Pacific Grove, CA, Nov.1993,vol.1,pp40-44.

            将OMP明确用于重构的文献一般引用:

    【3】Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert. Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit[J]. IEEETransactions on Information Theory, VOL. 53, NO. 12, DECEMBER 2007.

            正是由于稀疏分解与压缩感知这种密切关系,所以很多研究压缩感知的人实际上都是做稀疏分解出身的,有些稀疏表示课题则是顺带刷几篇压缩感知的论文,作为课题组研究方向的一个延伸。 
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  • 压缩感知重构算法之稀疏度自适应匹配追踪(SAMP) 2015-05-13 11:05 2960人阅读 评论(15) 收藏 举报  分类:   压缩感知(Compressive Sensing)(36)  版权声明:本文为博主原创文章,...
     

    压缩感知重构算法之稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)

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     分类:
     

    题目:压缩感知重构算法之稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)

            鉴于前面所述大部分OMP及其前改算法都需要已知信号的稀疏度K,而在实际中这个一般是不知道的,基于此背景,稀疏度自适应匹配追踪(Sparsity Adaptive MP)被提出。

    0、符号说明如下:

            压缩观测y=Φx,其中y为观测所得向量M×1,x为原信号N×1(M<<N)。x一般不是稀疏的,但在某个变换域Ψ是稀疏的,即x=Ψθ,其中θ为K稀疏的,即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ,令A=ΦΨ,则y=

            (1) y为观测所得向量,大小为M×1

            (2)x为原信号,大小为N×1

            (3)θ为K稀疏的,是信号在x在某变换域的稀疏表示

            (4) Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基,大小为M×N

            (5) Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵,大小为N×N

            (6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子,大小为M×N

    上式中,一般有K<<M<<N,后面三个矩阵各个文献的叫法不一,以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵

            注意:这里的稀疏表示模型为x=Ψθ,所以传感矩阵A=ΦΨ;而有些文献中稀疏模型为θ=Ψx,而一般Ψ为Hermite矩阵(实矩阵时称为正交矩阵)所以Ψ-1=ΨH(实矩阵时为Ψ-1=ΨT),即x=ΨHθ,所以传感矩阵A=ΦΨH,例如沙威的OMP例程中就是如此。

    1、SAMP重构算法流程:


            以上这个算法流程仅供参考,完全是为了与前面各算法流程形式上保持一致而写的,其实直接看文献[1]中的流程图更明了一些:

    2、稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)Matlab代码(CS_SAMP.m)

            代码参考了文献[2]中的SAMP.m,也可在www.pudn.com中搜索SAMP,可以搜到很多结果。也许这里程序主循环用while循环比较合适,不过这里保持和前面各算法的一致性,仍用for循环。

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     在CODE上查看代码片派生到我的代码片
    1. function [ theta ] = CS_SAMP( y,A,S )  
    2. %CS_SAMP Summary of this function goes here  
    3. %Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-05-08  
    4. %   Detailed explanation goes here  
    5. %   y = Phi * x  
    6. %   x = Psi * theta  
    7. %   y = Phi*Psi * theta  
    8. %   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta  
    9. %   现在已知y和A,求theta  
    10. %   Reference:Thong T.Do,Lu Gan,Nam Nguyen,Trac D.Tran.Sparsity adaptive  
    11. %   matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C].Asilomar  
    12. %   Conference on Signals,Systems,and Computers,Pacific Grove,California,  
    13. %   2008,10:581-587.  
    14. %   Available at:  
    15. %   http://dsp.rice.edu/sites/dsp.rice.edu/files/cs/asilomar08_final.pdf  
    16.     [y_rows,y_columns] = size(y);  
    17.     if y_rows<y_columns  
    18.         y = y';%y should be a column vector  
    19.     end  
    20.     [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵  
    21.     theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)  
    22.     Pos_theta = [];%用来迭代过程中存储A被选择的列序号  
    23.     r_n = y;%初始化残差(residual)为y  
    24.     L = S;%初始化步长(Size of the finalist in the first stage)  
    25.     Stage = 1;%初始化Stage  
    26.     IterMax = M;  
    27.     for ii=1:IterMax%最多迭代M次  
    28.         %(1)Preliminary Test  
    29.         product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积  
    30.         [val,pos]=sort(abs(product),'descend');%降序排列  
    31.         Sk = pos(1:L);%选出最大的L个  
    32.         %(2)Make Candidate List  
    33.         Ck = union(Pos_theta,Sk);  
    34.         %(3)Final Test  
    35.         if length(Ck)<=M  
    36.             At = A(:,Ck);%将A的这几列组成矩阵At  
    37.         else  
    38.             theta_ls=0;  
    39.             break;  
    40.         end  
    41.         %y=At*theta,以下求theta的最小二乘解(Least Square)  
    42.         theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y;%最小二乘解  
    43.         [val,pos]=sort(abs(theta_ls),'descend');%降序排列  
    44.         F = Ck(pos(1:L));  
    45.         %(4)Compute Residue  
    46.         %A(:,F)*theta_ls是y在A(:,F)列空间上的正交投影  
    47.         theta_ls = (A(:,F)'*A(:,F))^(-1)*A(:,F)'*y;  
    48.         r_new = y - A(:,F)*theta_ls;%更新残差r  
    49.         if norm(r_new)<1e-6%halting condition true   
    50.             Pos_theta = F;  
    51.             %r_n = r_new;%更新r_n以便输出最新的r_n  
    52.             break;%quit the iteration  
    53.         elseif norm(r_new)>=norm(r_n)%stage switching   
    54.             Stage = Stage + 1;%Update the stage index   
    55.             L = Stage*S;%Update the size of finalist  
    56.             if ii == IterMax%最后一次循环  
    57.                 Pos_theta = F;%更新Pos_theta以与theta_ls匹配,防止报错  
    58.             end  
    59.             %ii = ii - 1;%迭代次数不更新  
    60.         else  
    61.             Pos_theta = F;%Update the finalist Fk  
    62.             r_n = r_new;%Update the residue  
    63.         end  
    64.     end  
    65.     theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta  
    66. end  

    3、SAMP单次重构测试代码

            以下测试代码基本与OMP单次重构测试代码一样。

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    1. %压缩感知重构算法测试  
    2. clear all;close all;clc;  
    3. M = 128;%观测值个数  
    4. N = 256;%信号x的长度  
    5. K = 30;%信号x的稀疏度  
    6. Index_K = randperm(N);  
    7. x = zeros(N,1);  
    8. x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的  
    9. Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta  
    10. Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵  
    11. A = Phi * Psi;%传感矩阵  
    12. y = Phi * x;%得到观测向量y  
    13. %% 恢复重构信号x  
    14. tic  
    15. theta = CS_SAMP( y,A,5);  
    16. x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    17. toc  
    18. %% 绘图  
    19. figure;  
    20. plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号  
    21. hold on;  
    22. plot(x,'r');%绘出原信号x  
    23. hold off;  
    24. legend('Recovery','Original')  
    25. fprintf('\n恢复残差:');  
    26. norm(x_r-x)%恢复残差  

            运行结果如下:(信号为随机生成,所以每次结果均不一样)

            1)图:

            2)Command  windows

            Elapsed time is 0.079620 seconds.

            恢复残差:

            ans=

              1.3008e-014

    4、稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

            以下测试代码为了与文献[1]的Fig.5(a)作比较。由于暂未研究学习LP算法,所以相比于文献[1]的Fig.5(a)缺少LP算法曲线。另外,本人的ROMP性能不如各文献中的ROMP,不知是不是算法理解有误。

    [plain] view plain copy
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    1. clear all;close all;clc;  
    2. %% 参数配置初始化  
    3. CNT = 1000;%对于每组(K,M,N),重复迭代次数  
    4. N = 256;%信号x的长度  
    5. Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta  
    6. M_set = [128];%测量值集合  
    7. KIND = ['OMP      ';'ROMP     ';'StOMP    ';'SP       ';'CoSaMP   ';...  
    8.     'SAMP,s=1 ';'SAMP,s=5 ';'SAMP,s=10'];  
    9. Percentage = zeros(N,length(M_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率  
    10. %% 主循环,遍历每组(K,M,N)  
    11. tic  
    12. for mm = 1:length(M_set)  
    13.     M = M_set(mm);%本次测量值个数  
    14.     K_set = 10:5:70;%信号x的稀疏度K没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了  
    15.     %存储此测量值M下不同K的恢复成功概率  
    16.     PercentageM = zeros(size(KIND,1),length(K_set));  
    17.     for kk = 1:length(K_set)  
    18.        K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K  
    19.        P = zeros(1,size(KIND,1));  
    20.        fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K);  
    21.        for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次  
    22.             Index_K = randperm(N);  
    23.             x = zeros(N,1);  
    24.             x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的                  
    25.             Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵  
    26.             A = Phi * Psi;%传感矩阵  
    27.             y = Phi * x;%得到观测向量y  
    28.             %(1)OMP  
    29.             theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    30.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    31.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    32.                 P(1) = P(1) + 1;  
    33.             end  
    34.             %(2)ROMP  
    35.             theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    36.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    37.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    38.                 P(2) = P(2) + 1;  
    39.             end  
    40.             %(3)StOMP  
    41.             theta = CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta  
    42.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    43.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    44.                 P(3) = P(3) + 1;  
    45.             end  
    46.             %(4)SP  
    47.             theta = CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    48.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    49.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    50.                 P(4) = P(4) + 1;  
    51.             end  
    52.             %(5)CoSaMP  
    53.             theta = CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    54.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    55.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    56.                 P(5) = P(5) + 1;  
    57.             end  
    58.             %(6)SAMP,s=1  
    59.             theta = CS_SAMP(y,A,1);%恢复重构信号theta  
    60.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    61.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    62.                 P(6) = P(6) + 1;  
    63.             end  
    64.             %(7)SAMP,s=5  
    65.             theta = CS_SAMP(y,A,5);%恢复重构信号theta  
    66.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    67.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    68.                 P(7) = P(7) + 1;  
    69.             end  
    70.             %(8)SAMP,s=10  
    71.             theta = CS_SAMP(y,A,10);%恢复重构信号theta  
    72.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    73.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    74.                 P(8) = P(8) + 1;  
    75.             end  
    76.        end  
    77.        for iii = 1:size(KIND,1)  
    78.            PercentageM(iii,kk) = P(iii)/CNT*100;%计算恢复概率  
    79.        end  
    80.     end  
    81.     for jjj = 1:size(KIND,1)  
    82.         Percentage(1:length(K_set),mm,jjj) = PercentageM(jjj,:);  
    83.     end  
    84. end  
    85. toc  
    86. save KtoPercentage1000SAMP %运行一次不容易,把变量全部存储下来  
    87. %% 绘图  
    88. S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+'];  
    89. figure;  
    90. for mm = 1:length(M_set)  
    91.     M = M_set(mm);  
    92.     K_set = 10:5:70;  
    93.     L_Kset = length(K_set);  
    94.     for ii = 1:size(KIND,1)  
    95.         plot(K_set,Percentage(1:L_Kset,mm,ii),S(ii,:));%绘出x的恢复信号  
    96.         hold on;  
    97.     end  
    98. end  
    99. hold off;  
    100. xlim([10 70]);  
    101. legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',...  
    102.     'SAMP,s=1','SAMP,s=5','SAMP,s=10');  
    103. xlabel('Sparsity level K');  
    104. ylabel('The Probability of Exact Reconstruction');  
    105. title('Prob. of exact recovery vs. the signal sparsity K(M=128,N=256)(Gaussian)');  

            本程序在联想ThinkPadE430C笔记本(4GBDDR3内存,i5-3210)上运行共耗时1591.830781,程序中将所有数据均通过“save KtoPercentage1000SAMP”存储了下来,以后可以再对数据进行分析,只需“load KtoPercentage1000SAMP”即可。

            本程序运行结果:

            参考文献[1]中的Fig.4(a):

    5、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

            以下测试代码为了与文献[1]的Fig.4(a)作比较。由于暂未研究学习LP算法,所以相比于文献[1]的Fig.4(a)缺少LP算法曲线。另外,本人的ROMP性能不如各文献中的ROMP,不知是不是算法理解有误。

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    1. clear all;close all;clc;  
    2. %% 参数配置初始化  
    3. CNT = 1000;%对于每组(K,M,N),重复迭代次数  
    4. N = 256;%信号x的长度  
    5. Psi = eye(N);%x本身是稀疏的,定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta  
    6. K_set = [20];%信号x的稀疏度集合  
    7. KIND = ['OMP      ';'ROMP     ';'StOMP    ';'SP       ';'CoSaMP   ';...  
    8.     'SAMP,s=1 ';'SAMP,s=5 ';'SAMP,s=10'];  
    9. Percentage = zeros(N,length(K_set),size(KIND,1));%存储恢复成功概率  
    10. %% 主循环,遍历每组(K,M,N)  
    11. tic  
    12. for kk = 1:length(K_set)  
    13.     K = K_set(kk);%本次稀疏度  
    14.     M_set = 50:5:100;%M没必要全部遍历,每隔5测试一个就可以了  
    15.     %存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率  
    16.     PercentageK = zeros(size(KIND,1),length(M_set));  
    17.     for mm = 1:length(M_set)  
    18.        M = M_set(mm);%本次观测值个数  
    19.        P = zeros(1,size(KIND,1));  
    20.        fprintf('M=%d,K=%d\n',M,K);  
    21.        for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次  
    22.             Index_K = randperm(N);  
    23.             x = zeros(N,1);  
    24.             x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的,且位置是随机的                  
    25.             Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵  
    26.             A = Phi * Psi;%传感矩阵  
    27.             y = Phi * x;%得到观测向量y  
    28.             %(1)OMP  
    29.             theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    30.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    31.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    32.                 P(1) = P(1) + 1;  
    33.             end  
    34.             %(2)ROMP  
    35.             theta = CS_ROMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    36.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    37.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    38.                 P(2) = P(2) + 1;  
    39.             end  
    40.             %(3)StOMP  
    41.             theta = CS_StOMP(y,A);%恢复重构信号theta  
    42.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    43.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    44.                 P(3) = P(3) + 1;  
    45.             end  
    46.             %(4)SP  
    47.             theta = CS_SP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    48.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    49.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    50.                 P(4) = P(4) + 1;  
    51.             end  
    52.             %(5)CoSaMP  
    53.             theta = CS_CoSaMP(y,A,K);%恢复重构信号theta  
    54.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    55.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    56.                 P(5) = P(5) + 1;  
    57.             end  
    58.             %(6)SAMP,s=1  
    59.             theta = CS_SAMP(y,A,1);%恢复重构信号theta  
    60.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    61.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    62.                 P(6) = P(6) + 1;  
    63.             end  
    64.             %(7)SAMP,s=5  
    65.             theta = CS_SAMP(y,A,5);%恢复重构信号theta  
    66.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    67.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    68.                 P(7) = P(7) + 1;  
    69.             end  
    70.             %(8)SAMP,s=10  
    71.             theta = CS_SAMP(y,A,10);%恢复重构信号theta  
    72.             x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta  
    73.             if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功  
    74.                 P(8) = P(8) + 1;  
    75.             end  
    76.        end  
    77.        for iii = 1:size(KIND,1)  
    78.            PercentageK(iii,mm) = P(iii)/CNT*100;%计算恢复概率  
    79.        end  
    80.     end  
    81.     for jjj = 1:size(KIND,1)  
    82.         Percentage(1:length(M_set),kk,jjj) = PercentageK(jjj,:);  
    83.     end  
    84. end  
    85. toc  
    86. save MtoPercentage1000SAMP %运行一次不容易,把变量全部存储下来  
    87. %% 绘图  
    88. S = ['-ks';'-ko';'-yd';'-gv';'-b*';'-r.';'-rx';'-r+'];  
    89. figure;  
    90. for kk = 1:length(K_set)  
    91.     K = K_set(kk);  
    92.     M_set = 50:5:100;  
    93.     L_Mset = length(M_set);  
    94.     for ii = 1:size(KIND,1)  
    95.         plot(M_set,Percentage(1:L_Mset,kk,ii),S(ii,:));%绘出x的恢复信号  
    96.         hold on;  
    97.     end  
    98. end  
    99. hold off;  
    100. xlim([50 100]);  
    101. legend('OMP','ROMP','StOMP','SP','CoSaMP',...  
    102.     'SAMP,s=1','SAMP,s=5','SAMP,s=10');  
    103. xlabel('No. of Measurements');  
    104. ylabel('The Probability of Exact Reconstruction');  
    105. title('Prob. of exact recovery vs. the number of measurements(K=20,N=256)(Gaussian)');  

            本程序在联想ThinkPadE430C笔记本(4GBDDR3内存,i5-3210)上运行共耗时373.898668,程序中将所有数据均通过“save SAMPMtoPercentage1000”存储了下来,以后可以再对数据进行分析,只需“load SAMPMtoPercentage1000”即可。

            本程序运行结果:

            参考文献[1]中的Fig.5(a):


    6、结语

            读几遍SAMP的被提出的参考文献[1]的题目:Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing,注意后面的“for practical compressed sensing”,这也就解释了很多网友的疑问,程序中的信号直接假设是稀疏的,但现实中的信号都不知道稀疏度是多少啊?前面大部分重构算法都要求输入稀疏度K,那怎么办呢?这时SAMP出场了,它是专为了“practical compressed sensing”而提出的,因为现实中的信号一般稀疏度未知或者说不是严格稀疏的,所要需要稀疏度自适应的算法,也就是SAMP了。

            另外在测试时发现前面的CoSaMP有缺陷,因此对此进行了更新,在主循环中加入了:

    [plain] view plain copy
     在CODE上查看代码片派生到我的代码片
    1. if kk == 1  
    2.     theta_ls = 0;  
    3. end  

    以防止第1就跳出循环导致theta_ls未定义,其它地方未改。

     参考文献:

    [1]Thong T.Do,Lu Gan,NamNguyen,Trac D.Tran.Sparsityadaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing[C].AsilomarConference on Signals,Systems,andComputers,Pacific Grove,California,2008,10:581-587.

    (Availableat: http://dsp.rice.edu/sites/dsp.rice.edu/files/cs/asilomar08_final.pdf)

    [2]付自杰.cs_matlab. http://www.pudn.com/downloads641/sourcecode/math/detail2595379.html

    [3]杨真真,杨震,孙林慧.信号压缩重构的正交匹配追踪类算法综述[J]. 信号处理,2013,29(4):486-496.

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