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  • 预备知识①设点\(P(a,b)\),则点\...②有关轴对称概念函数自身对称注意:下面的结论只涉及到一个函数;1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\),反之亦成立;2、若函数...

    预备知识

    ①设点\(P(a,b)\),则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a,b)\),

    即两点\(P(a,b), Q(2m-a,b)\)关于直线\(x=m\)对称。

    ②有关轴对称的概念

    函数自身对称

    注意:下面的结论只涉及到一个函数;

    1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\),反之亦成立;

    2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称),则\(f(a+x)=f(a-x)\),反之亦成立;

    3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\),函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称,反之亦成立;

    4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a,b)\)对称,则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。

    抽象函数的性质的验证

    5、若函数\(f(x)\)是偶函数,其图像关于直线\(x=a\)对称,则\(T=2a(a>0)\);

    6、若函数\(f(x)\)是奇函数,其图像关于直线\(x=a\)对称,则\(T=4a(a>0)\);

    7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)和\(x=b\)对称,则\(T=2|a-b|\);

    8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a,0)\)和点\(N(b,0)\)对称,则\(T=2|a-b|\);

    9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b,0)\)对称,则\(T=4|a-b|\);

    两个函数对称

    以下结论涉及到两个不同的函数,可以用相关点法证明;

    1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0,-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a,b)\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于点\((a,b)\)的对称点\((2a-x_0,2b-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴,即直线\(x=0\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0,y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴,即直线\(x=m\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0,y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    典例剖析

    设函数\(y=f(x)\),若恒有\(f(a+x)=f(b-x)\),则该函数图像是轴对称图形,其对称轴为直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)。

    证明:设点\(A(m,n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点,则有\(n=f(m)\)

    易知,点\(A(m,n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(B(a+b-m, n)\)

    由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\),

    令其中的\(x=m-a\),则代入上式可得:\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)

    又\(f(m)=n\),\(f(m)=f(a+b-m)\),∴\(n=f(a+b-m)\),即点\(B(a+b-m, n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。

    由点\(A(m,n)\)的任意性可知,函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    函数\(y=f(x+a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线_________对称,并证明。

    解:这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

    证明:设点\(P(x,y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点,则有\(y=f(x+a)\)

    又点\(P(x,y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x, y)\)

    ∴\(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\),即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)

    ∴点\(Q(b-a-x,y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。

    即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x,y)\),

    关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x,y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

    函数\(y=f(x-a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线___________对称,并证明。

    解:这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    证明:设点\(P(x,y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点,则有\(y=f(x-a)\)

    又点\(P(x,y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x,y)\)

    ∴\(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\),即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)

    ∴点\(Q(b+a-x,y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x,y)\),

    关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x,y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    反思总结:其实例3可以直接用例2的结论。

    这样用:对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)。

    已知函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=a\)对称,则\(a=1\)。

    法1:用具体函数做例子,将抽象问题具体化,比如\(f(x)=x^2\),

    则\(f(3-x)=(3-x)^2\),\(f(1+x)=(1+x)^2\),做出这两个图像可知,

    函数\(y=f(3-x)\)与\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称,

    注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。

    法2:利用图像变换做抽象说明,以函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)为模板来解释,

    函数\(f(x)\)和\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称,将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\),

    将\(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\),

    故此时的两个函数\(f(x+1)\)与\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)。

    已知函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=b\)对称,则\(b=-1\)。

    法1:仿上法1,得到\(b=-1\)。

    法2:将\(f(x)\)向左3个单位,得到\(f(3+x)\),将\(f(-x)\)向右1个单位,

    得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\),故函数\(y=f(3+x)\)与\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。

    反思总结:

    ①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了?

    若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\),函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称,

    此时只涉及一个函数,这个函数是轴对称图形,当你做平移变换时,整体跟着动的;

    而现在涉及到两个函数,当你对其中的一个做变换时,那么另外一个应该向反方向平移。

    ②、怎么理解?

    【两个函数关于某一点对称】

    给定命题,函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称,试判断命题的真假。

    【分析】:如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0,-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上。

    解答:先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\),

    \(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\),

    \(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

    在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0,y_0)\),

    则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0,-y_0)\),

    将点\(P(x_0,y_0)\)代入函数\(f(x)\),得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

    则\(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\),即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\),

    即点\(P'(-x_0,-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上,

    也即点\(P'(-x_0,-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上,

    又由点\(P(x_0,y_0)\)的任意性可知,

    函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称,

    故为真命题。

    【两个函数关于某条直线对称】在同一个平面直角坐标系中,函数\(y=f(x+1)\)与函数\(y=(-x-1)\)的图像恒【】

    $A$.关于$x$轴

    $B$.关于直线$x=1$对称

    $C$.关于直线$x=-1$对称

    $D$.关于$y$轴

    分析:特殊化策略,令\(f(x)=x^3\),选\(C\).

    已知函数 \(f(x)\) 是定义在\(R\)上的奇函数,且当\(x\geqslant 0\)时,\(f(x)=x(x-4)\),则方程\(f(x)= f(2 -x)\)的所有解的和为【\(\quad\)】

    $A.4+\sqrt{3}$ $B.1$ $C.3$ $D.5$

    分析:\(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数,且当 \(x\geqslant 0\) 时,\(f(x)=x(x-4)\),

    当\(x<0\)时,\(-x>0\),则\(f(-x)=-x(-x-4)=-f(x)\),

    即\(x<0\)时,\(f(x)=-x(x+4)\),则有\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x(x-4),x\geqslant 0}\\{-x(x+4),x<0}\end{array}\right.\)

    作出\(y=f(x)\)和\(y=f(2-x)\)的图象如图,\(y=f(2-x)\)的图象与\(y=f(x)\)的图象关于\(x=1\)对称,

    作出\(y=f(2-x)\)的图象,由图象知\(y=f(2-x)\)与\(y=f(x)\)的图象有三个交点,

    即\(f(x)=f(2-x)\)有三个根,其中一个根为\(1\),另外两个根\(a\),\(b\) 关于\(x=1\)对称,

    即 \(a+b=2\),则所有根之和为\(a+b+1=2+1=3\),故选:\(C\).

    证明:由函数\(f(x)\)是偶函数,得到\(f(-x)=f(x)①\);

    又函数图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)②\),

    由①②得到,\(f(2a-x)=f(-x)\),用\(-x\)替换\(x\),

    即\(f(x+2a)=f(x)\),故\(T=2a(a>0)\); ↩︎

    证明:由函数\(f(x)\)是奇函数,得到\(-f(-x)=f(x)①\);

    又函数图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)②\),

    由①②得到,\(f(2a-x)=-f(-x)\),用\(-x\)替换\(x\),

    即\(f(x+2a)=-f(x)\),故\(T=4a(a>0)\); ↩︎

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称,得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\);

    又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称,得到\(f(x)=f(2b-x)②\);

    即\(f(2a-x)=f(2b-x)\),即\(f(x+2a)=f(x+2b)\),用\(x-2a\)替换\(x\),

    得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\),故则\(T=2|a-b|\); ↩︎

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\);

    又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\);

    即\(f(2a-x)=f(2b-x)\),即\(f(x+2a)=f(x+2b)\),用\(x-2a\)替换\(x\),

    得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\),故则\(T=2|a-b|\); ↩︎

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)①\);

    又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2b-x)=0\),

    故\(f(2a-x)=-f(2b-x)\),用\(-x\)替换\(x\)得到,\(f(x+2a)=-f(x+2b)\),

    再用\(x-2a\)替换\(x\),得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\),

    即\(f(x+2(b-a))=-f(x)\),故\(T=4|a-b|\); ↩︎

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  • 函数的对称性的常用结论

    千次阅读 2017-02-19 10:55:00
    一、预备知识 ①设点\(P(a,b)\),则点\(P\)关于...②有关轴对称概念 二、函数自身对称 注意:只涉及一个函数; 1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,则\(f(-x)=-f(x)\)或\(f(x)+f(-x)=0\),反之亦成立...

    一、预备知识

    ①设点\(P(a,b)\),则点\(P\)关于直线\(x=m\)的对称点\(Q(2m-a,b)\)

    即两点\(P(a,b), Q(2m-a,b)\)关于直线\(x=m\)对称。

    ②有关轴对称的概念

    二、函数自身对称

    • 注意:只涉及一个函数;

    1、若函数\(y=f(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,则\(f(-x)=-f(x)\)\(f(x)+f(-x)=0\),反之亦成立;

    2、若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=a\)对称(当\(a=0\)时即关于\(y\)轴对称),则\(f(a+x)=f(a-x)\),反之亦成立;

    3、若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\),函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称,反之亦成立;

    4、若函数\(y=f(x)\)图像是关于点\(A(a,b)\)对称,则充要条件是\(f(x)+f(2a-x)=2b\)

    抽象函数的性质的验证

    5、若函数\(f(x)\)是偶函数,其图像关于直线\(x=a\)对称,则\(T=2a(a>0)\)

    证明:由函数\(f(x)\)是偶函数,得到\(f(-x)=f(x)①\)

    又函数图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)②\)

    由①②得到,\(f(2a-x)=f(-x)\),用\(-x\)替换\(x\)

    \(f(x+2a)=f(x)\),故\(T=2a(a>0)\)

    6、若函数\(f(x)\)是奇函数,其图像关于直线\(x=a\)对称,则\(T=4a(a>0)\)

    证明:由函数\(f(x)\)是奇函数,得到\(-f(-x)=f(x)①\)

    又函数图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)②\)

    由①②得到,\(f(2a-x)=-f(-x)\),用\(-x\)替换\(x\)

    \(f(x+2a)=-f(x)\),故\(T=4a(a>0)\)

    7、若函数\(f(x)\)的图像关于两条直线\(x=a\)\(x=b\)对称,则\(T=2|a-b|\)

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称,得到得到\(f(x)=f(2a-x)①\)

    又由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=b\)对称,得到\(f(x)=f(2b-x)②\)

    \(f(2a-x)=f(2b-x)\),即\(f(x+2a)=f(x+2b)\),用\(x-2a\)替换\(x\)

    得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\),故则\(T=2|a-b|\)

    8、若函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a,0)\)和点\(N(b,0)\)对称,则\(T=2|a-b|\)

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(a,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2a-x)=0①\)

    又由函数\(f(x)\)的图像关于点\(N(b,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2b-x)=0②\)

    \(f(2a-x)=f(2b-x)\),即\(f(x+2a)=f(x+2b)\),用\(x-2a\)替换\(x\)

    得到\(f(x)=f(x+2(b-a))\),故则\(T=2|a-b|\)

    9、若函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)和点\(M(b,0)\)对称,则\(T=4|a-b|\)

    证明:由函数\(f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称,得到\(f(x)=f(2a-x)①\)

    又函数\(f(x)\)的图像关于点\(M(b,0)\)对称,得到\(f(x)+f(2b-x)=0\)

    \(f(2a-x)=-f(2b-x)\),用\(-x\)替换\(x\)得到,\(f(x+2a)=-f(x+2b)\)

    再用\(x-2a\)替换\(x\),得到\(f(x)=-f(x+2(b-a))\)

    \(f(x+2(b-a))=-f(x)\),故\(T=4|a-b|\)

    三、两个函数对称

    • 以下结论涉及到两个不同的函数

    1、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于原点\((0,0)\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0,-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    2、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于某点\((a,b)\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于点\((a,b)\)的对称点\((2a-x_0,2b-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    3、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴,即直线\(x=0\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=0\)的对称点\((-x_0,y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    4、若函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)关于\(y\)轴,即直线\(x=m\)对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于直线\(x=m\)的对称点\((2m-x_0,y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上,反之亦成立;

    四、典例剖析

    例1设函数\(y=f(x)\),若恒有\(f(a+x)=f(b-x)\),则该函数图像是轴对称图形,其对称轴为直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)

    证明:设点\(A(m,n)\)是函数\(y=f(x)\)图像上的任意一点,则有\(n=f(m)\)

    易知,点\(A(m,n)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(B(a+b-m, n)\)

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    由于已知条件恒有\(f(a+x)=f(b-x)\)

    令其中的\(x=m-a\),则代入上式可得:\(f(m)=f(b-(m-a))=f(a+b-m)\)

    \(f(m)=n\)\(f(m)=f(a+b-m)\),∴\(n=f(a+b-m)\),即点\(B(a+b-m, n)\)也在函数\(y=f(x)\)的图像上。

    由点\(A(m,n)\)的任意性可知,函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    例2函数\(y=f(x+a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线_________对称,并证明。

    解:这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

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    证明:设点\(P(x,y)\)是函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点,则有\(y=f(x+a)\)

    又点\(P(x,y)\)关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x, y)\)

    \(y=f(x+a)=f[b-(b-a-x)]\),即有\(f[b-(b-a-x)]=y\)

    ∴点\(Q(b-a-x,y)\)在图象\(y=f(b-x)\)上。

    即函数\(y=f(x+a)\)图像上的任意一点\(P(x,y)\)

    关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)的对称点\(Q(b-a-x,y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    故这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{b-a}{2}\)对称。

    例3函数\(y=f(x-a)\)的图像与函数\(y=f(b-x)\)的图像关于直线___________对称,并证明。

    解:这两个函数图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    证明:设点\(P(x,y)\)是函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点,则有\(y=f(x-a)\)

    又点\(P(x,y)\)关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x,y)\)

    \(y=f(x-a)=f[b-(b+a-x)]\),即有\(f[b-(b+a-x)]=y\)

    ∴点\(Q(b+a-x,y)\)在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    即函数\(y=f(x-a)\)图像上的任意一点\(P(x,y)\)

    关于直线\(x=\cfrac{b+a}{2}\)的对称点\(Q(b+a-x,y)\)均在函数\(y=f(b-x)\)图像上。

    故这两个图象关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称。

    反思总结:其实例3可以直接用例2的结论。

    这样用:对称轴为\(x=\cfrac{b-(-a)}{2}=\cfrac{b+a}{2}\)

    例4已知函数\(y=f(3-x)\)\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=a\)对称,则\(a=1\)

    法1:用具体函数做例子,将抽象问题具体化,比如\(f(x)=x^2\)

    \(f(3-x)=(3-x)^2\)\(f(1+x)=(1+x)^2\),做出这两个图像可知,

    函数\(y=f(3-x)\)\(y=f(1+x)\)关于直线\(x=1\)对称,

    注意用\(\cfrac{(3-x)+(1+x)}{2}=2\)的算法是错误的。

    法2:利用图像变换做抽象说明,以函数\(f(x)\)\(f(-x)\)为模板来解释,

    函数\(f(x)\)\(f(-x)\)关于\(y\)轴对称,将\(f(x)\)向左1个单位得到\(f(x+1)\)

    992978-20171020155414646-315266868.png

    \(f(-x)\)向右3个单位得到\(f(-(x-3))=f(3-x)\)

    故此时的两个函数\(f(x+1)\)\(f(3-x)\)的对称轴是\(x=\cfrac{-1+3}{2}=1\)

    例5

    已知函数\(y=f(3+x)\)\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=b\)对称,则\(b=-1\)

    法1:仿上法1,得到\(b=-1\)

    992978-20171020155425646-90306535.png

    法2:将\(f(x)\)向左3个单位,得到\(f(3+x)\),将\(f(-x)\)向右1个单位,

    得到\(f(-(x-1))=f(1-x)\),故函数\(y=f(3+x)\)\(y=f(1-x)\)关于直线\(x=-1\)对称。

    反思总结:

    ①、这种变换为什么和以前的变换方法规律不一样了?

    若函数\(y=f(x)\)满足\(f(a+x)=f(b-x)\),函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=\cfrac{a+b}{2}\)对称,

    此时只涉及一个函数,这个函数是轴对称图形,当你做平移变换时,整体跟着动的;

    而现在涉及到两个函数,当你对其中的一个做变换时,那么另外一个应该向反方向平移。

    ②、怎么理解?

    例6【两个函数关于某一点对称】

    给定命题,函数\(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)和函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)的图像关于原点对称,试判断命题的真假。

    【分析】:如果函数\(f(x)\)的图像和函数\(g(x)\)的图像关于原点对称,

    则函数\(f(x)\)上的任意一点\((x_0,y_0)\)关于原点的对称点\((-x_0,-y_0)\),必然在函数\(g(x)\)的图像上。

    解答:先化简函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})=cos(2x-\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\pi}{2})\)

    \(g(x)=cos[\cfrac{\pi}{2}-(2x-\cfrac{\pi}{4})]=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)

    \(f(x)=sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)

    在函数\(f(x)\)图像上任意取一点\(P(x_0,y_0)\)

    则其关于原点的对称点为\(P'(-x_0,-y_0)\)

    将点\(P(x_0,y_0)\)代入函数\(f(x)\),得到\(y_0=sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\)

    \(-y_0=-sin(2x_0+\cfrac{\pi}{4})\),即\(-y_0=sin(2\cdot(-x_0)-\cfrac{\pi}{4})\)

    即点\(P'(-x_0,-y_0)\)在函数\(g(x)=sin(2x-\cfrac{\pi}{4})\)上,

    也即点\(P'(-x_0,-y_0)\)在函数\(g(x)=cos(2x-\cfrac{3\pi}{4})\)上,

    又由点\(P(x_0,y_0)\)的任意性可知,

    函数\(f(x)\)和函数\(g(x)\)的图像必然关于原点对称,

    故为真命题。

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6414981.html

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  • 首先要引入图像坐标系的概念,按照自己看到的资料,比如数字图像处理教材,图像坐标系应该是左上角被定义为坐标原点,这样图像的像素位置就能用坐标表示了:笔记包含两部分:第一部分:图像平移,水平和垂直对称原理...

    今天的笔记为图像的平移、水平和垂直对称。前半部分是原理记录,后半部分将三种算法用python实现,定义一个便于扩展的类整合多个功能,如果有bug请帮我找出。

    首先要引入图像坐标系的概念,按照自己看到的资料,比如数字图像处理教材,图像坐标系应该是左上角被定义为坐标原点,这样图像的像素位置就能用坐标表示了:

    笔记包含两部分:

    第一部分:图像平移,水平和垂直对称原理

    第二部分:算法python实现

    1.1、图像平移

    图像平移的次序:图像的平移就是像素点的平移,首先选定一个像素点(x0,y0),目的就是把这个像素点移动到(x,y),自行设定移动的偏移量为(dx,dy)。如下图所示:

    用方程组的形式表示为:

    x = x0 + dx

    y = y0 + dy

    个人认为,接下来将方程组写成矩阵的形式目的是矩阵计算更快,而且能和其它的变换统一形式,后面写代码就能体现这种优势了,可以把几种变换统一通过3x3的核表示。查阅资料发现,三维的变换矩阵可以实现与缩放和旋转的连续变换,也就需要采用齐次坐标的形式:

    1.2 图像垂直对称

    由于这里的x和y轴与中学阶段学习的坐标轴不太一样,容易把水平和垂直混淆起来。我觉得垂直对称应该是沿着y轴方向的。也就是说x=x0不变,但是y和y0翻转过来。另外,平移和对称操作与之前记录的图像增强是不同的,之前都是“值变换”,将像素值改变,图像的颜色纹理等会变换;这里是“位置变换”,像素值不变,仅仅是像素值的位置变换。

    写成矩阵形式如下:

    可以验证,这个矩阵计算展开就是前面的方程组。这个变换阵和平移变换阵都是3x3的,所以它们就这样可以统一计算了。

    1.3 图像水平对称

    水平对称和垂直对称的原理是类似的。研究的对象依旧是像素点的初试坐标(x0,y0),找到一个矩阵计算关系把它移动到新的位置(x,y),保持像素值大小不变。变换示意图如下:

    水平对称的时候y=y0不变,x进行反转。

    这个矩阵计算展开就是水平对称的变换方程组。(最后面少写了1,应该是[x0, y0, 1])。

    2、算法python实现

    下面从数据准备,平移和对称函数以及变换函数开始记录,最后给出Transform类的整体代码。

    2.1 数据读取:

    为了更好的看出平移效果,可以给小图片加上一个大背景:

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    from PIL import Image

    def read_image(image_path, if_show=True, if_dark=False):

    """ read a image and put it into a bigger dark imageArgs:image_path:like data/1.jpg,string typeif_show: show result numpy array imageif_dark: make a larger black background for imageReturns:numpy image"""

    image = np.array(Image.open(image_path))

    if if_dark:

    w, h, c = image.shape

    # create new image container

    result_image = np.zeros(shape=(w*3, h*3, c))

    result_image[w:2*w, h:2*h] = image

    else:

    result_image = image

    if if_show:

    plt.imshow(result_image/255)

    plt.show()

    return result_image

    image = read_image("ida.jpg", if_show=True, if_dark=True)

    print(image.shape)

    这样就得到了宇智波鼬:

    当然也可以不选择加黑色的背景。

    2.2 平移、水平、垂直对称的“核”

    不知到把变换矩阵称为核是不是合适,但是我觉得这个卷积的原理是类似的。通过第一部分得到变换矩阵就能得到下面的几种核。

    def get_move_kernel(self, dx, dy):

    """ get move kernel by dx dy"""

    return np.array([[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]])

    def get_flip_vertical_kernel(self, image_height):

    """ get vertical filp kernel"""

    return np.array([[1, 0, 0], [0, -1, image_height], [0, 0, 1]])

    def get_flip_horizontal_kernel(self, image_width):

    """ get horizontal filp kernel"""

    return np.array([[-1, 0, image_width], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])

    2.3 统一处理变换的函数trans

    因为前面已经将几种变换矩阵获得了,接下来就能根据类的调用者指定的变换类型,从get_xxx()中取得相应的核,不需要调用者去考虑变换矩阵是什么。

    def trans(self,image, trans_type, params_list):

    """

    excute transform by specific type

    Args:

    image: image with numpy type

    trans_type: a string within ["move", "flip_vertical", "flip_horizontal", "rotate"]

    params_list: put the dx/dy or rotate angle into this list

    Returns:

    processd image

    """

    #

    if not isinstance(image, np.ndarray):

    raise ValueError("desire np.ndarray but input is: {}".format(image.__class__))

    if not trans_type in self.__transform_type.keys():

    raise ValueError("no such transform type : {} in Tansfrom's functions".format(trans_tpye))

    kernel = eval("self.get_" + trans_type + "_kernel")(*params_list)

    target_image = np.zeros(shape=image.shape)

    # 平移的目的,对于原图的某个位置(x0,y0)的像素“值”

    # 把这个“值”放到新的位置(x,y)处

    # 那么计算核心就是计算出这个“值”要放到“哪个新的位置”

    # 所以下面的双层循环的目的是通过原始位置和偏移量计算出新位置

    for x0 in range(image.shape[0]):

    for y0 in range(image.shape[1]):

    original_position = np.array([x0, y0, 1])

    target_position = np.dot(kernel, original_position)

    def fill_value():

    x, y, _ = target_position

    x, y = int(x), int(y)

    # 检查变换后的位置是不是超过图片尺寸边界

    if x>(image.shape[0]-1) or y>(image.shape[1]-1) or x<0 or y<0:

    pass

    else:

    target_image[x, y, :] = image[x0, y0, :]

    fill_value()

    return target_image

    trans()函数首先进行类型检查和变换是不是包含在类属性内,self.__transfrom_type是一个私有的属性,定义在类初始化函数内,类的初始化函数如下:

    def __init__(self):

    """ initialize the transform type

    """

    self.__transform_type = {"move":2, "flip_vertical":1, "flip_horizontal":1, "rotate":1}

    另外,trans()函数内部定义了fill_value()函数,这个函数单独用来对新位置进行赋值。

    调用这个函数可以得到几种变换结果:

    2.4 完整代码如下

    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    from PIL import Image

    def read_image(image_path, if_show=True, if_dark=False):

    """ read a image and put it into a bigger dark image

    Args:

    image_path:like data/1.jpg,string type

    if_show: show result numpy array image

    if_dark: make a larger black background for image

    Returns:

    numpy image

    """

    image = np.array(Image.open(image_path))

    if if_dark:

    w, h, c = image.shape

    # create new image container

    result_image = np.zeros(shape=(w*3, h*3, c))

    result_image[w:2*w, h:2*h] = image

    else:

    result_image = image

    if if_show:

    plt.imshow(result_image/255)

    plt.show()

    return result_image

    image = read_image("ida.jpg", if_show=True, if_dark=True)

    print(image.shape)

    class Transform:

    """

    custom image transform operations

    """

    def __init__(self):

    """ initialize the transform type

    """

    self.__transform_type = {"move":2, "flip_vertical":1, "flip_horizontal":1, "rotate":1}

    def get_move_kernel(self, dx, dy):

    """ get move kernel by dx dy"""

    return np.array([[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]])

    def get_flip_vertical_kernel(self, image_height):

    """ get vertical filp kernel"""

    return np.array([[1, 0, 0], [0, -1, image_height], [0, 0, 1]])

    def get_flip_horizontal_kernel(self, image_width):

    """ get horizontal filp kernel"""

    return np.array([[-1, 0, image_width], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])

    def get_rotate_kernel(self, beta):

    """ get rotate kernel by rotate angle """

    return np.array([[np.cos(beta), np.sin(beta), 0],

    [-np.sin(beta), np.cos(beta), 0], [0, 0, 1]])

    def trans(self,image, trans_type, params_list):

    """

    excute transform by specific type

    Args:

    image: image with numpy type

    trans_type: a string within ["move", "flip_vertical", "flip_horizontal", "rotate"]

    params_list: put the dx/dy or rotate angle into this list

    Returns:

    processd image

    """

    #

    if not isinstance(image, np.ndarray):

    raise ValueError("desire np.ndarray but input is: {}".format(image.__class__))

    if not trans_type in self.__transform_type.keys():

    raise ValueError("no such transform type : {} in Tansfrom's functions".format(trans_tpye))

    kernel = eval("self.get_" + trans_type + "_kernel")(*params_list)

    target_image = np.zeros(shape=image.shape)

    # 平移的目的,对于原图的某个位置(x0,y0)的像素“值”

    # 把这个“值”放到新的位置(x,y)处

    # 那么计算核心就是计算出这个“值”要放到“哪个新的位置”

    # 所以下面的双层循环的目的是通过原始位置和偏移量计算出新位置

    for x0 in range(image.shape[0]):

    for y0 in range(image.shape[1]):

    original_position = np.array([x0, y0, 1])

    target_position = np.dot(kernel, original_position)

    def fill_value():

    x, y, _ = target_position

    x, y = int(x), int(y)

    if x>(image.shape[0]-1) or y>(image.shape[1]-1) or x<0 or y<0:

    pass

    else:

    target_image[x, y, :] = image[x0, y0, :]

    fill_value()

    return target_image

    t = Transform()

    # 旋转算法尚未完成,因为出现了某些位置无法对应的bug,可能需要辅助插值算法

    # rotate_image = t.trans(image=image, trans_type="rotate", params_list=[np.pi/4])

    hor_image = t.trans(image=image, trans_type="flip_horizontal", params_list=[image.shape[0]])

    ver_image = t.trans(image=image, trans_type="flip_vertical", params_list=[image.shape[1]])

    move_image = t.trans(image=image, trans_type="move", params_list=[20, 20])

    # rotate_image = t.trans(image=image, trans_type="rotate", params_list=[30])

    # plot_image = [hor_image, ver_image, move_image, rotate_image]

    plot_image = {"original image":image, "horizontal flip":hor_image,

    "vertical flip":ver_image, "move":move_image}

    plt.figure(figsize=(15, 10))

    for i, temp_image in enumerate(plot_image.values()):

    plt.subplot(1, len(plot_image)+1, i+1)

    plt.title(list(plot_image.keys())[i])

    plt.imshow(temp_image/255)

    plt.show()

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  • 周期ZOUQIXING周期性是函数的一个重要性质,只是在教材中篇幅较小,介绍的也不够深入,好像也只是在讲三角函数时捎带着提了下,所以很多同学可能就不...周期函数简解0不能作为函数周期周期函数定义域关于原点对称,...

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    ee67285384470733ae0444b0c6659768.png0ecd32d71f9915d32c2106ad1cc53705.gif


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    周期

    ZOUQIXING

    周期性是函数的一个重要性质,只是在教材中篇幅较小,介绍的也不够深入,好像也只是在讲三角函数时捎带着提了下,所以很多同学可能就不太在意了吧,对其研究也只是浅尝辄止。其实,作为研究函数图像平移的一个重要概念,我认为,周期性还是有研究的必要的。

    今天,主要想就函数的周期性做稍深入点的研究,权当作为对教材的一种补充吧。


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    周期函数简解0不能作为函数周期周期函数定义域关于原点对称,且无上、下界不是所有周期函数都有最小正周期若T是函数的一个周期,则nT必为函数周期
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    当然,以后在考题中告诉你周期这个条件,不一定会这么直白的。所以,我们还要知道一些常规的能得到周期性的结论。

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    当然,记结论是次要的,重要的是心中要有这种感觉:看到类似上面的条件式,大概就能感觉出说的是周期就好了。

    否则,以后看到类似于下面的条件

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    你还怎么能再认识它吗?

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    所以,上面的结论,不仅要有印象,最好还是自己老实的独立推导一遍吧。

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    还记得对称性与周期性之间的关系吗?

    一句话总结

    如果一个函数的图像有两种对称性

    它必是周期函数

    具体点是这个样子的:

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    (其实,你还可以论证下:上面的三个条件,可以任意组合,由二推一。)

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    【来源】公众号:素人素言。

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  • 图像中矩的概念

    2019-07-01 08:52:23
    数学中矩的概念: 图像中的矩: 统计中矩的定义是各点对某一固定点A离差幂的平均值。如果A=0,则是原点矩,A=均值,则是中心距。K是阶数。 统计中引入矩是为了描述随机变量分布的形态。 数学期望是一阶...
  • 数学概念——矩

    千次阅读 2018-11-23 14:14:23
    矩: 统计中矩的定义是各点对某一固定点A离差幂的平均值。如果A=0,则是原点矩,A=均值,则是...偏态是三阶中心矩(表示分布偏离对称的程度) 峰态是四阶中心距(描述分布的尖峰程度,例如正态分布峰态系数=0)...
  • 首先要引入图像坐标系的概念,按照自己看到的资料,比如数字图像处理教材,图像坐标系应该是左上角被定义为坐标原点,这样图像的像素位置就能用坐标表示了:笔记包含两部分:第一部分:图像平移,水平和垂直对称原理...
  • 首先要引入图像坐标系的概念,按照自己看到的资料,比如数字图像处理教材,图像坐标系应该是左上角被定义为坐标原点,这样图像的像素位置就能用坐标表示了:笔记包含两部分:第一部分:图像平移,水平和垂直对称原理...
  • 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题:1.给出原胞的定义。答:最小平行单元。2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。答:以一个格点为原点,作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线),由这些中垂面(或中垂线)...
  • 一、复习目标1.理解并掌握旋转的性质.2. 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形,欣赏旋转在现实生活中的应用.3.... 理解两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的...
  • 第一章 函数

    2019-04-28 11:03:00
    奇函数关于原点对称 偶函数关于轴对称 三 函数的类型 四 指数函数 指数函数运算法则 : ① ② ③ ④ 与 的图像关于y轴对称 五 对数函数 注意:负数和0没有...
  • 二维变换及二维观察 ...关于原点对称 关于y=x对称 关于y=-x对称 错切变换 沿x方向错切 沿y方向错切 沿两个方向错切 二维图形几何变换的计算 点的变换 直线的变换 多边形的变换 曲线的变换 复合变换
  • 三维变换及三维观察 三维图形变换包括三维几何变换和投影变换 通过它可由简单图形得到复杂图形 可以用二维图形表示三维对象基于三维变换 可以在用户对图形进行交互式...关于坐标原点对称 错切变换 沿x方向错切 沿y方
  • 从此篇开始,采用电子科技大学《线性代数与空间解析》的课件。...3. 一些特殊的对称点(某一点关于坐标面、坐标轴、原点对称的点的坐标的特点) 4. 一些特殊的点(坐标轴与坐标面上的点的特点) 5. 在空间直...
  • 映射 函数 函数概念 :y=f(x),多个x可对应一个y,多个y不用对应一个x两个基本要素:定义域,对应法则 绝对值函数:y=|x| ...函数的奇偶性:先观察定义域是否关于原点对称,偶f(-x)=f(x)奇f(-x)=-f(x) 函数...
  • 奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数 f(x)f(x) 的定义域内任意一个 xx,都有 f(-x)= -f(x)f(−x)=−f(x),那么函数 f(x)f(x) 就叫做奇函数(odd function)。 一般地,如果对于函数 f(x)f(x) 的定义...
  • 先前确定纯脊柱形式主义的世界原点的尝试并未完全成功,但是引入了似乎与其基本结构有关的重要概念,例如,超对称性和重新参数化对称性的作用。 在这项工作中,基于Berkovits的类似捻线的约束的扩展,提出了对纯净超...
  • 极坐标其实很简单,但...目 录—、极坐标的基本概念二、极坐标和直角坐标的转换三、直角坐标系下的曲线方程转换为极坐标系下的曲线方程 (1)圆心在原点的圆: (2)圆心过原点的椭圆方程: (3)直线四、对称中心不在原...
  • CNN中各种卷积核

    千次阅读 2019-03-14 21:51:22
    一、卷积概念 通俗易懂的说,就是,输出 = 输入 * 系统。 对于图像处理来说,用一个模板和一幅图像进行卷积,对于图像上的一个点,让模板的原点和该点重合,然后模板上的点和图像上对应的点相乘,然后各点的积相加...
  • 关于所谓反需求函数山西农业大学经管学院张建华这两天不断有人问所谓...在平面直角坐标系中,一个函数的几何曲线与其反函数的几何曲线是关于从原点出发的45度线对称的。在一对函数与反函数中,二者反映的是同一个函...
  • 要了解面向对象编程(OOP)的基本概念,需要理解 OOP 的三个主要概念,它们撑起 了整个 OOP 的框架。这三个概念是:封装、继承性和多态性。除此以外,还需了解对象、 类、消息、接口、及抽象等概念。 2.2.1 ...

空空如也

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原点对称概念