今天由传智播客老师给大家讲解计算机的原码, 反码和补码. 并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码, 以及更进一步的论证了为何可以用反码, 补码的加法计算原码的减法.。
一. 机器数和真值
在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
机器数的第一位是符号位，后边才是真正的数值，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：
0000 0001的真值 = +000 0001 = +1
1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法.
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1](原码) = 0000 0001
[-1](原码) = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2. 反码
反码的表示方法是: 正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001](原码)= [00000001](反码)
[-1] = [10000001](原码)= [11111110](反码)
可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码
补码的表示方法是:正数的补码就是其本身，负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)
[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)
对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使用原码, 反码和补码
在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001](原码) = [00000001](反码) = [00000001](补码)
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001](原码) = [11111110](反码) = [11111111](补码)
可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

小数： x0.x1x2x3…xn,其中x0是符号位 

整数：x0x1x2x3…xn,其中x0是符号位

首先形成的概念是：原码和反码小数表示的范围是一样的，仅仅是二进制的存储不同罢了。

更有趣的是它们的存储范围是关于零点对称的！

原码小数，反码小数都是：−1+2−n=<x<=1−2−n

中间是+0，−0两种

x0x1x2x3…xn

原码整数，反码整数：−(2n−1)≤x≤2n−1//这个很好理解，例证是-127~127

补码里的0只有一种表示，因此多了一个离散状态可以表示其他的数，这个数在小数中是−1，整数中是−2n 

所以把数据给了最小的那个。 

自然而然就不是对称的。

因此补码小数：−1≤x≤1−2−n

补码整数：−2n≤x≤2n−1


总结一下三种表示方法的范围：

定点小数：
原码：  -（1-2-n）
≤ N ≤ 1-2-n
反码：  -（1-2-n）
≤ N ≤ 1-2-n
补码：   -1
≤ N ≤ 1-2-n
 
定点整数：
原码： -（2n -1）
≤ N ≤ 2n -1
反码： -（2n -1）
≤ N ≤ 2n -1
补码： - 2n  ≤
N ≤ 2n -1

数据在计算机里面都是以0和1存储和运算的，这是冯诺依曼体系的基础。
比如一个数在计算机中若有正负之分，则用一个数的最高位(符号位)用来表示它的正负，其中0表示正数，1表示负数。
原码就是整数绝对值的二进制形式，为了解决计算机中有负数的运算，提出了反码、补码。
1、原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，第一位表示符号，其余位表示值。对于4位的二进制，其取值范围就是[1000，0111]，即[-8，7]。
+5的原码：0101
-5的原码：1101
2、反码
正数的反码是其本身。
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余位取反。
+5的反码：0101
-5的反码：1010
可见如果一个反码表示的是负数，是无法直观地看出来它的数值，通常要将其先转换成原码再计算。
3、补码
正数的补码还是其本身。
负数的补码是在其原码的基础上，符号位保持不变，其余位取反，最后+1。即反码加1。
+5的补码：0101
-5的补码：1011
综上，计算机有三种编码方式来表示同一个数。
对于+5和-5，
[+5] = [0101]原 = [0101]反 = [0101]补
[-5] = [1101]原 = [1010]反 = [1011]补
计算机采用补码的形式来表示负数。欲知为何如此，请阅读计算机为何采用补码的形式来表示负数
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计算机为什么用二进制和十六进制

一、什么是原码、反码和补码
我们知道,在计算机内部存储的带符号数都是以补码形式存储,用补码形式进行运算的。什么是一个数的补码?为什么要用补码?这要从数的原码、反码开始讲。我们以整型数为例,且假定字长为8位。
1、原码
整数X的原码是指:其符号位为0表示正,为1表示负;其数值部分就是X的绝对值的二进制数。X的原码通常用【X】原表示。如:
【+100】原=01100100 【+0】原=00000000
【-100】原=11100100 【-0】原=10000000
注意:在原码中,零有两种表示形式。
原码表示法简单易懂,与真值(带符号数本身)转换方便,只要符号还原即可,但当两个正数相减或不同符号数相加时,必须比较两个数哪个绝对值大,才能决定谁减谁,才能确定结果是正还是负,所以原码不便于加减运算。
2、反码
X的反码是指:对于正数,反码与原码相同;对于负数,符号位不变,其数值位X的绝对值取反(1变0,0变1)。X的反码通常用【X】反来表示。如
【+100】反=01100100 【+0】反=00000000
【-100】反=10011011【-0】反=11111111
注意:在反码中,零也有两种表示形式。
反码运算也不方便,通常用来作为求补码的中间过渡。
3、补码
X的补码是指:对于正数,补码与原码相同;对于负数,符号位不变,其数值位X的绝对值取反后在最低位加1。X的补码通常用【X】补来表示,实际上,【X】补=【X】反+1。如:
【+100】补=01100100 【+0】补=00000000
【-100】补=10011100 【-0】补=00000000
注意:在补码中,零有唯一的编码,【+0】补=【-0】补=00000000。
补码运算简单方便,符号位可以作为数据的一位参与运算,不必单独处理;二进制的减法可用其补码的加法来实现,简化了硬件电路。
二、补码的意义
首先,我们来看几个例子。
【例子1】用8位二进制数分别表示+0和-0 。
解:我们知道,对于有符号数,我们规定最高位为符号位,0表示正数,1表示负数。剩余位为数值位,用来表示数的大小。
所以+0就表示为0000 0000,而-0表示为1000 0000。
【例子2】计算9-6的结果。
解:我们知道:9-6=9+(-6)=3
0000 1001
+1000 0110
1000 1111
结果为-15,明显不对。
而如果我们采用补码来进行计算呢?
我们知道,9的补码是0000 1001,-6的补码是11111010,重新进行运算,
0000 1001
+1111 1010
1 0000 0011
最高位的1溢出,剩余8位二进制表示的是3的补码。结果为3,正确。
【例子3】分析程序运行结果。
main()
{int a=100,b=-1;
Printf(“a=%d,%x,%o,%u”,a,a,a,a);
Printf(“b=%d,%x,%o,%u”,b,b,b,b);}
运行结果:
a=100,64,144,100
b=-1,ffff,177777,65535
【例子1】中,为什么同样一个0有两种不同的表示方法呢?
【例子2】中,为什么第一种计算方法会错,而用补码计算结果才对呢?
而【例子3】中,为什么-1以十六进制、八进制以及无符号整型输出的结果分别变成了ffff,177777,65535?
这是因为在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。
主要原因:
1、统一了零的编码;
2、将符号位和其它数值位统一处理;
3、将减法运算转变为加法运算;
4、两个用补码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。
三、补码的计算
1、定义法:
(1)正数的补码:与原码相同。
【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。
【例2】求-9的补码。
因为给定数是负数,则符号位为“1”。
后七位:+9的原码(0001001)→按位取反(1110110)→加1(1110111)
所以-7的补码是11110111。
2、查零法
原码是用1来表示数值的大小,属于正逻辑,对原码的计算我们主要是计算1的个数;而反码和补码是用0来表示数值的大小,属于负逻辑,所以我们可以采取 逆向逻辑思维来理解,通过计算0的个数来求负数的补码。由于补码是在反码的基础上加了一个1,所以0的个数应该比原数的绝对值小1。
例如:求-5的补码
零的个数应为4个,所以-5的补码为:11111011。
再如:求-97的补码
零的个数应为96个,96=64+32,对应的权值位为0,其余位为1。所以-97的补码为:10011111。
3、零减法
负数的补码=全零-正数的原码,如-5的补码=0-5的原码。
用该数的十六进制计算,得到的结果转换为二进制即可。
例如:求-5的补码
算法1:算法2:
00000000 00H
﹣00000101 ﹣05H
11111011 0 FBH
4、找1法
例如:求-15的补码
第一步:+15:00001111
第二步:从右向左找到第一个1,然后把左边的所有位取反。
11110001
再举一个例子验证下:求-64的补码
+64:01000000
11000000
四、几点补充
1、已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:
(1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,其原码就是补码。
(2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
【例3】已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7)。
因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”。
其余七位1111001取反后为0000110;
再加1,所以是10000111。
2、数值范围
8位二进制原码所表示数的范围是-127~+127;
五、总结：
1、原码表示法
除了符号位外，其他二进制位为数值的绝对值，这种方案称为“原码”表示法。例如：
+20的原码：0 000 0000 0001 0100
-20的原码： 1 000 0000 0001 0100
2、反码表示法
除了符号为以外，负数的反码表示是在原码的基础上其他二进制取反，而正数的反码表示与原码相同。如：
+20的反码为： 0 000 0000 0001 0100
-20的反码为： 1 111 1111 1110 1011
3、补码表示法
负数的补码表示是在反码基础上加1，而正数的反码表示与原码相同。
4、为什么计算机一般采用补码表示法
原码、反码和补码是由于表示负数的三种方案，三种方案中，原码最适合与乘除类运算，补码适合于加减类运算，而反码则加减与乘除都不是很理想，由于加减运算的频率远高于乘除运算，所以多数计算机系统采用的是补码方案。所以所有计算机的加减运算都要将相应的数转换成补码，然后再进行运算。