首先，原码的尾数规格化形式是很简单的： 
 正数的形式是：0.1xxxxxx…x，自然最大值就是0.1111111….1, 最小值是0.10000….0 
 负数的形式是：1.1xxxxxx…x,自然最小值就是1.111111….1, 最大值是1.1000…..0
 
因为我们很轻松就能联系到：小数的最高位必须是1.
 
那么到补码表示的时候，这个规则就不成立了吗？
 
不是，这也是补码尾数规格化的依托。
 
因此，正小数的形式当然和原码一样：0.1xxxxxx…x，自然最大值就是0.1111111….1, 最小是0.10000….0
 
而负数是我们特别关注的： 
 1.0xxxxxx….x的形式，最大值是1.0111111…1, 最小值是1.000000….0
 
为什么说原则是一样的？因为需要满足数据位最高位是1，那么在补码下，负数自然就是0了。
 
这还体现出一种pattern,即规格化的小数符号位和最高的数据位相反。
 
以上是必要的铺垫，这里最想说的是基数不为2的时候该怎样理解？
 
 
 
设浮点数阶的基数是8，尾数采用模4补码表示，试指出下面的数那个是规格化数。 
 A. 11.111000 B. 00.000111 C. 11.101010 D. 11.111101
 
 
理解背后的逻辑后，就是非常简单的事情了。
 
基数是8，也即意味着用三位二进制位表示一个数。
 
还是那样，最高位必须不为0，这个说法有点变化，在基数为2的时候我们说不为0等价于为1，现在是基数为8了，最高位只要是1-7中的数字都可以，所以，只需要看数据的前三位是不是不为0即可！
 
加上这是补码表示的，很容易就锁定了，C是正确的！
 
以上。

 
文章目录
 
规格化数(基于浮点数)
特例1:
特例2:
为什么负数就为1.0xxxx..形式:
 

 
规格化数(基于浮点数)
 
规格化操作分为两类:
 左归和右归:
 规格化数的形式及其范围
 
 
 
特例1:
 
 
特例2:
 

 
 
为什么负数就为1.0xxxx…形式:
 
结合一般情况和两个特例,负数尾数补码的规格化数的范围解释如下:
 
 
补码规格化尾数的最大负数形式为 $1.01\cdots 1$ ,
 而不是原码的形式 $1.10\cdots 0_{原}$(对应真值为$-\frac{1}{2}$) ,
 
$1.10\cdots 0$ 不是补码规格化数，所以规格化尾数的最大负数是 $-(0.10\cdots 0+0.0\cdots 01{)}_{真}=-0.10\cdots 01_{真}$ ,
 而 $(-0.10\cdots 01{)}_{补}=1.01\cdots 1$

 
文章目录
 
1 浮点数的一般表示
2 IEEE 754标准的浮点数
2.1 浮点数的格式
2.2 浮点数的取值范围
2.3 类型转换时的精度损失和溢出
例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数
 

 
1 浮点数的一般表示
 
$J_f$
$J_1{J}_2\dots J_m$
$S_f$
$S_1{S}_2\dots S_n$
阶符
阶码
数符
尾数
阶码的位数决定了浮点数的表示范围的大小，尾数的位数决定了浮点数的表示精度
 
阶符：阶码的符号位。1为负；0为正
阶码：即幂的大小。设幂$e=(J_1{J}_2\dots J_m{)}_2$
数符：尾数的符号位。1为负；0为正
尾数：尾数的大小。设尾数$M=(S_1{S}_2\dots S_n{)}_2$
 
一般基数$r=2$，则浮点数真值$N=(-1{)}^{J_f}\ast r^e\ast (-1{)}^{S_f}\ast M$
 
2 IEEE 754标准的浮点数
 
2.1 浮点数的格式
 
$m_s$
$E$
$M$
数符
阶码，用移码表示
尾数，用原码表示
 
类型
数符
阶码
尾数
总位数
阶码偏置值（十进制）
指数范围(真值表示)
指数范围(移码表示)
短浮点数
1
8
23
32
127
[-126，+127]
[+1，+254]
长浮点数
1
11
52
64
1023
[-1022，+1023]
[+1，+2046]
临时浮点数
1
15
64
80
16383
[-16382，+16383]
[+1，+32766]
从上表可以看出，IEEE 754标准的浮点数有短浮点数（单精度、float型）、长浮点数（双精度、double型）、临时浮点数三种，且数据由三部分组成：
 
数符：尾数的符号位。1表示负；0表示正
阶码：表示数的幂，基为2，用移码表示
尾数：表示数的小数部分，基为2，用原码表示。且隐藏了一位1，这样是为了多表示一位有效位（临时浮点数无隐含的1）
 
因此可知，一个IEEE 754标准的浮点数的值为$N=(-1{)}^{m_s}\ast 2^E\ast (1.M{)}_2$
 
 
两点说明
 
1、关于阶码
 
为什么用移码表示。补码不能直观的表示数据的大小，比如一个8位的数据：用补码表示$(-1{)}_{10}=(11111111{)}_2=FFH，(8{)}_{10}=(00001000{)}_2=08H$，8是大于-1的，但是补码的话 FFH > 08H，这与实际结果正好相反；而移码通过加上一个偏置值（若数据为 n 位，则通常取偏置值为$2^{n-1}$，将符号位取反即可），能够反映数据之间的实际大小关系，移码表示$(-1{)}_{10}=(01111111{)}_2=7FH，(8{)}_{10}=(10001000{)}_2=88H$，88H > 7FH，这与预期结果相符合
阶码的偏置值。阶码部分用移码表示，假设阶码为 n 位，则规定阶码偏置值取 $2^{n-1}-1$，因此短浮点数、长浮点数、临时浮点数阶码偏置值为$2^{8-1}-1=127、2^{11-1}-1=1023、2^{15-1}-1=16383$。移码偏置值不是$2^{n-1}$吗，这里为什么取 $2^{n-1}-1$，这是规定，记住即可
阶码的取值范围。假设阶码为 n 位，则可表示的范围为 $0到2^n-1$，，因此短浮点数、长浮点数的阶码取值范围为 0到255、0到2047。又规定当阶码全0时用来表示非规格化数，阶码全1时用来表示无穷大，所以阶码E的实际取值范围为 1到254、1到2046、1到32766（去掉阶码全0和全1）
阶码的实际大小。阶码采用移码的形式表示，阶码的实际大小需要减去对应的偏置值，通过这种方式来表示阶码的正负值。所以短浮点数、长浮点数的阶码实际大小为 $E-偏置值$，即 $1-127=-126到254-127=127、1-1023=-1022到2046-1023=1023$
 
2、关于尾数
 
假设尾数位数为 m 位，因为尾数部分隐含了一位整数1，所以尾数的实际位数为 m+1 位，因此短浮点数、长浮点数尾数实际有效位数为24、53，真值为 $1.M$，故：
 
短浮点数的真值为
 $$(-1{)}^{m_s}\ast (1.M)\ast 2^{E-127}$$
 长浮点数的真值为
 $$(-1{)}^{m_s}\ast (1.M)\ast 2^{E-1023}$$
 
2.2 浮点数的取值范围
 
以短浮点正数为例：
 
当阶码和尾数都取最小时（E=1，M=0），表示的数值最小，阶码部分为 $1-127=-126$，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0；
 
当阶码和尾数都取最大时（E全1，M全1），表示的数值最大，阶码部分为 $254-127=127$，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1；
 
所以取值范围为 $1.0\times 2^{-126}$到$\begin{array}{c}24个1\\ \overbrace{1.11\dots 1}\times 2^{127}\end{array}$，即
 
格式
正数
负数
单精度
$2^{-126}到(2-2^{-23})\times 2^{127}$
$-2^{-126}到-(2-2^{-23})\times 2^{127}$
双精度
$2^{-1022}到(2-2^{-52})\times 2^{1023}$
$-2^{-1022}到-(2-2^{-52})\times 2^{1023}$
 
2.3 类型转换时的精度损失和溢出
 
这里以C语言为例。C语言中的float、double型分别对应IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数，一个int型数据占4个字节、float占4字节、double占8字节。
 
1 溢出
 
当float、double向int转换时可能会发生溢出，比如有符号int型表示的数据范围为 $2^{-31}到2^{31}-1$，而float、double类型的数据的表示范围超过了int类型
当double向float、int转换时可能会发生溢出、float向int转换时也可能会溢出
 
2.精度损失
 
当int向float转换时可能会产生精度损失，因为int类型共四字节32位，而float尾数的有效位数为24位（包括隐含的1），当int型数据的有效位数超过24的话就会发生精度损失。比如
 $$\begin{gathered} unsignedintm=FFFFFFFFH \\ 即（2-2^{-31})\times 2^{31} \end{gathered}$$
 因为 m 的二进制表示为32位1，超过了float的24位，超出的1会被舍掉，所以就会产生精度损失。
当double向float、int转换时可能会有精度损失，因为double类型尾数的有效位数位53，超过了float的24；而且浮点数向整数转换时，若是小数部分不为0，一定会有精度损失，因为整数没有小数部分
 
例: 将十进制小数转换成IEEE 754标准的浮点数
 
例：现有一个十进制小数43.875，请将其转换成IEEE 754类型的短浮点数（即float类型），并将最终结果用二进制或十六进制表示。
 
分析：
 IEEE 754标准的短浮点数要符合如下几个标准
 
阶码用移码表示，占8位。其值为阶码真值加偏置值127
尾数用原码表示，占23位。另有一位隐含的整数1
最高位为数符，占1位。0表示正数、1表示负数
 
解答：
 第一步 将十进制小数转换成二进制表示
 一定要转换成 1.M 的形式，其中 M 为尾数，$(43.875{)}_{10}=(101011.111{)}_2=(1.01011111)\times 2^5$
 
第二步 求出数符、阶码、尾数的二进制表示
 由题意知：数符 $m_s=0$
 由第一步知：阶码 $E=5=(101{)}_2$，尾数$M=(01011111{)}_2$
 因此：
 
1位数符为 0
8位阶码为（移码表示）$5+127=132=(10000100{)}_2$
23位尾数为（原码表示）$(01011111000000000000000{)}_2$
 
第三步 整理结果
 
数符
阶码
尾数
0
1000 0100
010 1111 1000 0000 0000 0000
即 $43.875=01000010001011111000000000000000=422F8000H$
 
public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        float f = 43.875f;
        // 输出浮点数的 二进制表示
        System.out.println(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)));
        // 输出浮点数的 十六进制表示
        System.out.println(Integer.toHexString(Float.floatToIntBits(f)));
    }
}
 

一、浮点数的表示格式
 
 
浮点数表示法是指以适当的形式将比例因子表示在数据中，让小数点的位置根据需要而浮动。这样，在位数有限的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持了数的有效精度。
 

 
 
 阶码：阶码是整数，阶符和 m 位阶码的数值部分共同反映 浮点数的表示范围及小数点的实际位置 ，常用移码或补码表示。IEEE754标准中采用移码的表示形式。
 
尾数：数符表示浮点数的符号，尾数的数值部分的位数 n 反映浮点数的 精度 ，常用原码或补码表示。IEEE754标准中采用原码的表示形式
 

 
 
 

 由于 b 的尾数含6位，而存储空间仅剩下5位，故舍弃了最后一位，导致 b 的精度下降
 
 
二、规格化浮点数
 
 
规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值。非规格化浮点数要进行规格化操作才能变成规格化浮点数。
 
左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算术左移一位，阶码减1（基数为2时）。
 
 
右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时，将尾数算术右移一位，阶码加1（基数为2时）。
 
 
三、规格化浮点数的特点
 
 

 
 
当浮点数尾数的基数为2时，原码规格化数的尾数最高位一定是1，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。
 
基数不同，浮点数的规格化形式也不同。当基数为4时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为0；当基数为8时，原码规格化形式的尾数最高3位不全为0
 
四、浮点数的表示范围
 
 
 
由于阶码可以用移码或补码表示，尾数可以用原码或补码表示，所以不同形式的浮点数的表示范围是不同的。（但必须遵守规则，原码规格化数的尾数最高位一定是1，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。）
运算结果大于最大正数时称为正上溢，小于绝对值最大负数称为负上溢。数据一旦发生上溢，计算机必须中断运算操作，进行溢出处理。
运算结果在0至最小正数之间时称为正下溢，在0至绝对值最小负数之间时称为负下溢。数据发生下溢时，浮点数值趋于0，计算机仅将其当作机器0处理。