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  • 所需的总体特征称为参数,相应样本特征为样本统计量或参数估计值。由于统计量对从样本获取的参数的信息的摘要,因此统计量值取决于从总体中取的特定样本。其值随机地从一个随机样本更换到下一个随机样本,因此统计...

    当您需要确定特定某总体特征(例如均值)的信息时,通常从总体中取一些随机样本,因为对总体进行度量是不可行的。通过使用该样本,您可以计算对应样本的特征,其用于概括关于未知总体特征的信息。所需的总体特征称为参数,相应样本特征为样本统计量或参数估计值。由于统计量是对从样本获取的参数的信息的摘要,因此统计量值取决于从总体中取的特定样本。其值随机地从一个随机样本更换到下一个随机样本,因此统计量是一个随机量(变量)。此随机变量的概率分布称为取样分布。(样本)统计量的采样分布很重要,因为它使我们能够基于随机抽样得出关于相应总体参数的结论。

    例如,当我们从一个正态分布总体中取随机样本时,样本均值就是一个统计量。基于样本的样本均值是对总体均值的估计。如果从该同一正态总体中取不同的样本,该估计值将随机变化。用于描述这些变化的概率分布是样本均值的抽样分布。统计量的采样分布指定了统计量的所有可能值,以及统计量值的极差的变化频率。如果总体为正态,则样本均值的采样分布也为正态。

    以下各节提供有关参数、参数估计值和采样分布的详细信息。

    关于参数
    参数是整个总体的描述性度量,它可用作概率分布函数 (PDF) 的输入以生成分布曲线。参数通常用希腊字母表示,以与样本统计量区别开来。例如,总体均值由希腊字母 mu (μ) 表示,总体标准差由希腊字母 sigma (σ) 表示。参数是固定常量,也就是说,它们不会像变量一样变化。不过,它们的值通常是未知的,因为对整个总体进行度量是不可行的。
    每个分布完全由若干个特定参数来定义,参数的个数通常为一到三个。下表提供了三种分布所需参数的示例。参数值决定了分布图上的曲线的位置和形状,参数值的每个唯一组合可产生唯一的分布曲线。分布参数 1参数 2参数 3卡方自由度 正态均值标准差 3 参数 Gamma形状尺度阈值
    例如,正态分布由两个参数定义,即均值和标准差。如果指定了这两个参数,可以精确确定整个分布。

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    关于参数估计值(也称为样本统计量)
    参数是对整个总体的描述性度量。不过,它们的值通常是未知的,因为对整个总体进行度量是不可行的。因此,您可以从总体取一个随机样本以获得参数估计值。统计分析的一个目标是获得总体参数的估计值,以及与这些估计关联的误差量。这些估计值也称为样本统计量。
    存在若干种类型的参数估计值:

    • 点估计值是参数的单一且最可能值。例如,总体均值(参数)的点估计值是样本均值(参数估计值)。
    • 置信区间是可能包含总体参数的值范围。


    对于参数估计值的示例,假设您为一家火花塞制造商工作,该公司正在研究火花塞间隙存在的问题。要检验其所生产的每个火花塞,成本太高。于是,您随机抽取了 100 个火花塞,并以毫米为单位度量间隙。样本均值为 9.2。这是总体均值 (μ) 的点估计值。您还为 μ 创建了一个 95% 置信区间,该区间为 (8.8, 9.6)。您也可以为 μ(8.8,9.6)创建一个 95% 的置信区间。

    关于采样分布
    采样分布是给定统计量(例如均值)的概率分布。为了说明抽样分布,让我们来看一个简单示例,其中完整总体是已知的。例如,下表显示了整个总体(6 个南瓜)的重量。这些南瓜的重量只能是下表中列出的重量值之一。南瓜123456重量191415121617
    虽然整个总体是已知的,但是为了便于说明,我们从总体中取包含 3 个南瓜的所有可能随机样本(20 个随机样本)。然后,计算各样本的均值。样本均值的取样分布由每个可能随机样本(包含 3 个南瓜)的所有样本均值描述,其显示在下表中。
    样本重量平均重量概率2, 3, 414, 15, 1213.71/202, 4, 514, 12, 16141/202, 4, 614, 12, 1714.32/203, 4, 515, 12, 163, 4, 615, 12, 1714.71/201, 2, 419, 14, 12153/202, 3, 514, 15, 164, 5, 612, 16, 172, 3, 614, 15, 1715.32/201, 3, 419, 15, 121, 4, 519, 12, 1615.72/202, 5, 614, 16, 171, 2, 319, 14, 15163/203, 5, 615, 16, 171, 4, 619, 12, 171, 2, 519, 14, 1616.31/201, 2, 619, 14, 1716.72/201, 3, 519, 15, 161, 3, 619, 15, 17171/201, 5, 619, 16, 1717.31/20
    此图显示了平均重量值的采样分布。此分布围绕 15.5(这也是总体均值的真值)。其样本均值较接近 15.5 的随机样本的发生概率,比其样本均值较远离 15.5 的随机样本的发生概率更高。

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    在实际中,生成以上所示的采样分布表是不可行的。即使在最佳情况下(即知道样本的父级总体),可能仍无法确定所需样本统计量的精确采样分布。但是,在某些情况下,可能能够大致地确定样本量统计的采样分布。例如,如果从正态总体中取样,则样本平均值具有完全的正态分布。
    但是,如果从一个非正态分布中抽样,则可能无法确定样本均值的准确分布。但是,由于中心极限定理,样本均值近似地呈正态分布,前提是您的样本足够大。然后,如果总体未知并且样本足够大,则您也许能够做出判断(例如,85% 地判断样本均值在一定数量的总体均值的标准差之内)。

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  • 什么是参数估计

    千次阅读 2020-10-20 20:06:51
    参数估计属于统计推断的范畴,根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。 统计推断数理统计研究的核心问题,指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。 参数估计分为:点估计...

    参数估计(parameter estimation)

    目录

    参数估计(parameter estimation)

    点估计(point estimation)

    矩估计法(method  of  moments),

    区间估计(interval estimation)

    参数估计属于统计推断的范畴,是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
    统计推断是数理统计研究的核心问题,是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。
    参数估计分为:点估计、区间估计

    点估计(point estimation)

    点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值,如数学期望、方差和相关系数等。点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量,作为未知参数或未知参数的函数的估计值。例如,设一批产品的废品率为θ。为估计θ,从这批产品中随机地抽出n 个作检查,以X记其中的废品个数,用X/n估计θ,这就是一个点估计。

    构造点估计常用方法:

    • 矩估计法:用样本矩估计总体矩,比如:用样本均值估计总体均值。
    • 最大似然估计法:于1912年由英国统计学家R.A.费希尔提出,利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。
    • 最小二乘法:主要用于线性统计模型中的参数估计问题。比如:Y=a0+a1X的参数估计就可以用最小乘法。
    • 贝叶斯估计法:基于贝叶斯学派的观点而提出的估计法。可以用来估计未知参数的估计量很多,于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。首先必须对优良性定出准则,这种准则是不唯一的,可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。优良性准则有两大类:一类是小样本准则,即在样本大小固定时的优良性准则;另一类是大样本准则,即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计,其次有容许性准则, 最小化最大准则,最优同变准则等。大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。

    点估计能够明确告知人们“未知参数是多少”,但不能反映估计的可信程度。

    矩估计法(method  of  moments),

    矩估计法也称"矩法估计",原理是用样本矩作为相应的总体矩估计来求出估计量的方法,其思想是如果总体中有 K个未知参数,可以用前 K阶样本矩估计相应的前k阶总体矩,然后利用未知参数与总体矩的函数关系,求出参数的估计量。
    矩法估计一般求的是一阶原点矩二阶中心矩

    假设总体X的k阶原点矩:

    令总体的k阶原点矩等于它样本的k阶原点矩
     


    注:矩法相比于极大似然法、最小二乘法,效率很低。目前很少使用。

     

     

    区间估计(interval estimation)

    区间估计是依据抽取的样本,根据一定的正确度与精确度的要求,构造出适当的区间,作为总体分布的未知参数或参数的函数的真值所在范围的估计。

    例如人们常说的有百分之多少的把握保证某值在某个范围内,即是区间估计的最简单的应用。

    求置信区间常用的三种方法:

    • 利用已知的抽样分布。
    • 利用区间估计与假设检验的联系。
    • 利用大样本理论。

    区间估计可以告知置信区间范围,但不能直接告知人们“未知参数是多少”。

    置信区间

    区间估计(interval estimation)是从点估计值和抽样标准误出发,按给定的概率值建立包含待估计参数的区间。其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平(confidence level),这个建立起来的包含待估计参数的区间称为置信区间(confidence interval),指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。

    所谓置信水平就是给出一个区间的信心,这个信心以概率来表示,绝大多数情况下取 0.95,表示你对所估计的总体参数有95%的信心落在你所给的区间内。通常置信水平以1-α表 示,α称为显著性水平

    置信区间的建立就与中心极限定理和抽样分布有关了,在给定置信度的条件下,置信区间的宽度决定于抽样分布。 建立置信区间的意思是在设定的置信水平(如取0.95)下,总体参数落在这个区间的概率为 0.95,大致的理解是如果抽100次样,建立100个置信区间,大约95个区间包含总体参数,约5个区间不包含总体参数(注意不是一定有5个,可能会多,也可能会少)。

    划定置信区间的两个数值分别称为置信下限(lower confidence limit,lcl)和置信上限(upper confidence limit,ucl)

    置信区间最主要的应用是用于假设检验

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  • 最大似然估计的目的就是:利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。 原理:极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,概率论在统计学中的应用。 ... 记已知的样本集为...

    最大似然估计的目的就是:利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。 原理:极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,是概率论在统计学中的应用。 ... 记已知的样本集为: 似然函数(linkehood function):联合概率密度函数 称为相对于 的θ的似然函数

     

    连续概率密度函数

    如果抛硬币10次,出现8次正面;最大似然估计就是反推正面的概率是多少,能使这种结果出现的可能性最大;在参数theta的所有取值(0到1无数个取值可能性)中,这里的参数theta就是正面向上的概率值;最大似然估计结果:theta=p(正面)=0.8;

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  • 注:本文以简单的案例,解释了最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别。假如你有一个硬币。你把它投掷 3 次,出现了 3 次正面。下一次投掷硬币正面朝上的概率多少? 这一个从数据中估计参数的...

    注:本文以简单的案例,解释了最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别。

    假如你有一个硬币。你把它投掷 3 次,出现了 3 次正面。下一次投掷硬币正面朝上的概率是多少? 这是一个从数据中估计参数的基础机器学习问题。在这种情况下,我们要从数据 D 中估算出正面朝上 h 的概率。

    最大似然估计


    一种方法是找到能最大化观测数据的似然函数(即 P(D;h))的参数 h 的值。在这里,我们用「;」来表示 h 是一个关于概率分布 P 的参数,意味着参数 h 定义了分布 P,但是分布 P 只是说明了观测数据 D 成立的可能性有多大。



    这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法,我们估计出 h=1.0。


    但是直觉告诉我们,这是不可能的。对于大多数的硬币来说,还是存在反面朝上的结果的可能性,因此我们通常希望得到像 h=0.5 这样的结果。


    先验和后验


    如何将这种直觉数学化地表述出来呢?我们可以定义一个观测数据和参数的联合概率:p(D, h) = p(D|h)p(h)。我们定义一个先验分布 p(h) 来表示在观测前关于 h 应该是什么值的直觉,以及在给定参数 h 的情况下的条件概率 p(D|h)。


    如何利用现有的数据 D 估计参数 h 呢?我们需要得到后验分布 p(h|D),但是目前只有分布 P(D|h) 和 p(h)。这时候,你需要贝叶斯公式来帮忙!


    贝叶斯公式:P(h|D)=P(D|h)*P(h)/P(D)


    但是,这里的分母是一个问题:



    一般来说,计算这个积分是不可能的。对于这个投硬币的例子来说,如果使用非常特殊的共轭先验分布,就可以绕过这个问题。


    最大后验估计


    但实际上,我们可以抛开归一化常数 P(D) 以更巧妙的方式讨论 p(h|D)。也就是说归一化常数不改变分布的相对大小,我们可以在不做积分的情况下找到模式:



    这就是人们所熟知的最大后验估计(MAP)。有很多种方法可以算出变量 h 的确切值,例如:使用共轭梯度下降法。


    贝叶斯参数估计


    有了最大后验估计,可以通过先验分布来引入我们的直觉,并且忽略归一化积分,从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。


    但是如果我们试着用近似方法求积分呢?如果按通常的独立同分布假设,我们可以利用这个事实:未来可能出现的数据样本值 x 条件独立于给定参数 h 时的观测值 D。



    这并非使用与后验概率 p(h|D) 模式相应的参数 h 的单一值来计算 P(x|h),而是一个更加「严格」的方法,它让我们考虑到所有可能的 h 的后验值。这种方法被称为贝叶斯参数估计。


    注意,存在两个关于概率分布的重要任务:


    • 推断:给定已知参数的联合分布,通过其它变量的边缘概率和条件概率估计一个变量子集上的概率分布。

    • 参数估计:从数据中估计某个概率分布的未知参数


    贝叶斯参数估计将这两项任务构造成了「同一枚硬币的两面」:


    估计在一组变量上定义的概率分布的参数,就是推断一个由原始变量和参数构成的元分布。


    当然,实际上要做到这一点,需要计算困难的积分,我们将不得不用类似于「马尔可夫链蒙特卡洛算法」或者变分推断等方法取近似。



    这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法,我们估计出 h=1.0。


    但是直觉告诉我们,这是不可能的。对于大多数的硬币来说,还是存在反面朝上的结果的可能性,因此我们通常希望得到像 h=0.5 这样的结果。


    先验和后验


    如何将这种直觉数学化地表述出来呢?我们可以定义一个观测数据和参数的联合概率:p(D, h) = p(D|h)p(h)。我们定义一个先验分布 p(h) 来表示在观测前关于 h 应该是什么值的直觉,以及在给定参数 h 的情况下的条件概率 p(D|h)。


    如何利用现有的数据 D 估计参数 h 呢?我们需要得到后验分布 p(h|D),但是目前只有分布 P(D|h) 和 p(h)。这时候,你需要贝叶斯公式来帮忙!


    贝叶斯公式:P(h|D)=P(D|h)*P(h)/P(D)


    但是,这里的分母是一个问题:



    一般来说,计算这个积分是不可能的。对于这个投硬币的例子来说,如果使用非常特殊的共轭先验分布,就可以绕过这个问题。


    最大后验估计


    但实际上,我们可以抛开归一化常数 P(D) 以更巧妙的方式讨论 p(h|D)。也就是说归一化常数不改变分布的相对大小,我们可以在不做积分的情况下找到模式:



    这就是人们所熟知的最大后验估计(MAP)。有很多种方法可以算出变量 h 的确切值,例如:使用共轭梯度下降法。


    贝叶斯参数估计


    有了最大后验估计,可以通过先验分布来引入我们的直觉,并且忽略归一化积分,从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。


    但是如果我们试着用近似方法求积分呢?如果按通常的独立同分布假设,我们可以利用这个事实:未来可能出现的数据样本值 x 条件独立于给定参数 h 时的观测值 D。



    这并非使用与后验概率 p(h|D) 模式相应的参数 h 的单一值来计算 P(x|h),而是一个更加「严格」的方法,它让我们考虑到所有可能的 h 的后验值。这种方法被称为贝叶斯参数估计。


    注意,存在两个关于概率分布的重要任务:


    • 推断:给定已知参数的联合分布,通过其它变量的边缘概率和条件概率估计一个变量子集上的概率分布。

    • 参数估计:从数据中估计某个概率分布的未知参数


    贝叶斯参数估计将这两项任务构造成了「同一枚硬币的两面」:


    估计在一组变量上定义的概率分布的参数,就是推断一个由原始变量和参数构成的元分布。


    当然,实际上要做到这一点,需要计算困难的积分,我们将不得不用类似于「马尔可夫链蒙特卡洛算法」或者变分推断等方法取近似。

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