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  • 参数估计 已经知道观测数据符合某些模型的概率下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。 ...

    参数估计

    已经知道观测数据符合某些模型的概率下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。

    (https://www.cnblogs.com/wt869054461/p/5935981.html)

    个人理解:概率密度函数形式已知,求出形式中的参数。

    非参数估计(无参密度估计)

    实际中,概率密度形式往往未知,往往有多个局部最大;对于高纬度样本,一些高纬度的概率密度函数可以用低纬度密函数的乘积表示的假设通常也不成立。所以概率密度函数形式未知,只能用别的方法求概率密度。

    概率密度估计--参数估计与非参数估计

    我们观测世界,得到了一些数据,我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界,一般来说,在概率上我们有一个一般性的操作步骤

    1. 观测样本的存在

    2. 每个样本之间是独立的

    3. 所有样本符合一个概率模型

    我们最终想要得到的是一个概率密度的模型,有了概率密度模型以后,我们就可以统计预测等非常有用的地方,因此,首要任务是找出一些概率分布的概率密度模型。

    我们来分析一下上面的三个步骤,第一第二都很好解决,关于第三点,我们可以有不同的处理方式

    如果我们已经对观测的对象有了一些认识,对观测的现象属于那种类型的概率密度分布已经了解了,只是需要确定其中的参数而已,这种情况就是属于参数估计问题。

    如果我们研究观测的对象,也很难说这些观测的数据符合什么模型,参数估计的方法就失效了,我们只有用非参数估计的办法去估计真实数据符合的概率密度模型了。

    因此,本文主要讨论 参数估计和非参数估计问题

    1. 参数估计

    对我们已经知道观测数据符合某些模型的情况下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。

    一般来说,参数估计中,最大似然方法是最重要和最常用的,我们重点介绍参数估计方法

    我们在《无基础理解贝叶斯》中已经讲过似然性,那么我们就可以先写出似然函数。

    假设有N个观测数据,并且概率模型是一个一维的高斯模型,用f(x)表示高斯模型,参数待定,因此我们可以写出似然函数

    L(x1,x2,...xn) = f(x1,x2,...xn) = f(x1)*f(x2)*......*f(xn),第二个等式用到了样本之间是独立性这个假设(上面提到的一般步骤的第二条)

    然后把对似然函数取对数

    logL(x1,x2,...xn) = log(f(x1)*f(x2)*......*f(xn)) = log(f(x1)) + log(f(x2))+......+log(f(xn))

    我们既然提到了极大释然方法,那就是要求出使得logL(x1,x2,...xn) 取最大值得参数。

    因此对 logL(x1,x2,...xn) 求导等于0的参数就是符合要求的参数。

    注意,如果似然函数求导有困难,通常我们会用迭代方法去求得这些参数,后面我们讲EM算法就是属于此类型

    2. 贝叶斯方法

    在我们谈到参数估计方法中,我们假定了参数是固定值,但是贝叶斯观点会人文,模型的参数值不是固定的,也是属于某种分布的状态。

    因此我们做参数估计的时候其实是不准确的,因此贝叶斯方法会把参数的也作为一个概率考虑进来,然后再去观测。

    我个人理解,这种方式也只能算是参数估计里面的一个变种而已

    后验概率 ∝ 似然性 * 先验概率

    先验概率,我们可以看成是待估计模型的参数的概率分布,后验模型是在我们观测到新的数据以后,结合先验概率再得出的修正的参数的分布

    注意,如果似然函数的形式和先验概率的乘积有同样的分布形式的话,得到的后验分布也会有同样的分布模型

    因此,人为的规定,如果先验概率与似然函数的乘积在归一化以后,与先验分布的形式上是一致的话,似然函数与先验概率就是共轭的,注意共轭不是指先验与后验的共轭

    至于满足这个条件的共轭分布有很多种,二项分布与贝塔分布,多项式分布于狄利克雷分布等

    后面有时间再更新一些贝叶斯方法相关的内容

    3. 非参数估计

    看过了参数估计后,我们知道,如果有模型的知识可以利用的话,问题就会变得很简单,但是如果没有关于模型的知识,我们怎么办?

    回过头来看我们的目标,求出观测数据的概率密度模型。因此我们就会从概率密度这个定义开始分析,看有没有可以入手的地方。

    概率密度,直观的理解就是在某一个区间内,事件发生的次数的多少的问题,比如N(0,1)高斯分布,就是取值在0的很小的区间的概率很高,至少比其他等宽的小区间要高。

    我们把所有可能取值的范围分成间隔相等的区间,然后看每个区间内有多少个数据?这样我们就定义出了直方图,因此直方图就是概率密度估计的最原始的模型。

    直方图我们用的是矩形来表示纵轴,当样本在某个小区间被观测到,纵轴就加上一个小矩形。

    这样用矩形代表的模型非常粗糙,因此可以用其他的形状来表示,进一步就是核密度估计方法,这个后面会有一个翻译文章来具体讲解

    基本上,参数估计和非参数估计是概率模型里面用的非常多的基本概念,希望自己在后面忘记的时候还能想起来曾经写过的东西

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  • 点击上方“3D视觉工坊”,选择“星标”干货第一时间送达在三维重建中,标定是很重要的一环,而在所有标定中,单目相机标定是最基础的,对于新手而言,跑通了一个相机标定代码,得到了一堆参数结果,...

     

    在三维重建中,标定是很重要的一环,而在所有标定中,单目相机标定是最基础的,对于新手而言,跑通了一个相机标定代码,得到了一堆参数结果,如何判断自己的标定的是对的呢?RMS(重投影误差)小标定就一定准确吗? 在这篇文章中,笔者将简单聊聊如何在标定之前估算你要标定的相机内参值。以下方法仅针对普通工业相机镜头,鱼眼相机和全景相机不考虑在内。

    首先要知道的是,相机标定时,需要优化的参数有,相机内参 – 其中包括 相机“焦距“”(f/dx f/dy)相机图片中心(u0,v0), 相机畸变系数(k1 k2 k3 p1 p2)。由于参与优化的系数较多,在有些情况下,会优化到一个局部最优解上,导致你的RMS看着挺不错的,甚至比较小,但是在实际使用中如去畸变的时候,发现图片变得畸形。或者在双目极线矫正的时候,对应点没有到同一条直线上,这都是因为优化时落入了一个局部最优解。在开始估计参数之前,我们需要知道以下两点,

    1 )对普通工业相机镜头来说,畸变系数通常不会很大;

    2 )相机内参标定结果应该在理论的线性系统附近(即不考虑畸变下的计算值)

    相机图片中心很好理解,它即指的是你图像的中心点,通常是相机分辨率的一半,即如果你的图像像素大小是 800*600,那么你的图像中心应该是(400,300),在接下来的内容中,笔者要重点介绍如何估计相机“焦距”,这个焦距的表达式是 f

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  • 参数估计问题 在第一课中,提到使用样本估计模型(比如高斯分布)的参数,并说明了常用的极大似然估计法。假设现在有一枚硬币,但它质地不均匀,导致抛硬币的正面朝上与反面朝上的概率不相等,现在还是想研究正面...

    参数估计问题

    在第一课中,提到使用样本估计模型(比如高斯分布)的参数,并说明了常用的极大似然估计法。假设现在有一枚硬币,但它质地不均匀,导致抛硬币的正面朝上与反面朝上的概率不相等,现在还是想研究正面朝上的概率是多少,所以可以抛硬币 N N N次,正面朝上的次数为 n 1 n_{1} n1,则就使用 n 1 / N n_{1}/N n1/N作为正面朝上概率的估计值。

    再举例一个问题,假设已知某个班级内的男同学身高服从正态分布,现在要研究这个正态分布的均值和方差,我们可以随机挑选 N N N个男同学的身高数据作为样本,分别统计他们的身高 x 1 , x 2 , . . . , x N x_{1},x_{2},...,x_{N} x1,x2,...,xN,通过极大似然估计法得到均值和方差:
    μ m l e = 1 N ∑ i = 1 N x i , σ m l e 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ m l e ) 2 \mu_{mle}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i},\sigma_{mle}^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2} μmle=N1i=1Nxi,σmle2=N1i=1N(xiμmle)2
    若考虑无偏性时,需要对方差进行修正:
    σ 2 = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − μ m l e ) 2 \sigma^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2} σ2=N11i=1N(xiμmle)2

    含隐变量的问题

    如果在实际场景中,由于情景的细微改变,极大似然估计将难以解决问题。假设现在有两枚硬币,硬币 A A A和硬币 B B B,它们都是不均匀的,而且两者的正面朝上概率 p A p_{A} pA p B p_{B} pB也不相等。每次从这两枚硬币随机摸出一枚投掷(但不知道取出哪一枚),现在依然记录每次投掷的结果是正面还是反面,其中,正面朝上的次数为 N 1 N_{1} N1,反面朝上的次数为 N 2 N_{2} N2,现在想用这些数据直接估计硬币 A A A和硬币 B B B各自正面朝上的概率就变得很困难。

    对于统计班级内男同学的身高,如果获得的样本中,既有男同学,又有女同学,当获取 N N N个同学的身高数据后,显然不能直接求出男同学身高的均值和方差,因为男同学,女同学各自会服从不同的正态分布。

    以上两个问题,不能直接用极大似然估计参数,因为两个问题都变成了混合模型,不仅仅存在观测变量,还存在隐变量。通常,第 i i i个样本的观测变量记为 x i x_{i} xi,隐变量记为 z i z_{i} zi

    • 对于抛硬币问题,每次抛硬币的正反面记录是观测变量,但某次抛出的硬币是 A A A还是 B B B则属于隐变量;
    • 对于身高统计问题,每次得到的身高数据是观测变量,但某个数据是属于男同学还是女同学则为隐变量。

    迭代法解决含隐变量的问题

    对于混合模型,不能直接用极大似然法估计参数,因此,考虑用迭代法去逐步尝试:即EM算法;

    EM算法包含较多计算技巧,较为复杂,因此,本例先不详细展开,而是针对抛硬币问题做简单计算,先感性认识迭代法探索参数的大致过程;

    假设有不均匀的硬币 A A A B B B,重复5次实验,每次实验都是同样的操作:任取一枚硬币,连续投掷该硬币10次,记录正反面次数。5组实验结果如下:

    组别正面次数反面次数
    155
    291
    382
    446
    573

    问题为:求出硬币 A A A和硬币 B B B正面朝上的概率 p A p_{A} pA p B p_{B} pB

    目前面临的问题是不知道每一组投掷的到底是哪一个硬币,但如果已经知道每组用什么硬币投掷,我们将能快速计算出答案,比如,已知第二组,第三组,第五组使用硬币 A A A,而第一组和第四组使用的是硬币 B B B,则对于硬币 A A A的参数估计可利用所有关于硬币 A A A的实验数据求出:
    p A = 9 + 8 + 7 30 = 0.8 p_{A}=\frac{9+8+7}{30}=0.8 pA=309+8+7=0.8
    同理,硬币 B B B的参数为:
    p B = 5 + 4 20 = 0.45 p_{B}=\frac{5+4}{20}=0.45 pB=205+4=0.45
    但是并不知道每组实验是用哪个硬币,所以用迭代的步骤反复估计 p A p_{A} pA p B p_{B} pB以及 A , B A,B A,B各自的出现概率 P A , P B P_{A},P_{B} PA,PB。首先随机给定初始值:
    p A 0 = 0.6 , p B 0 = 0.5 p_{A}^{0}=0.6,p_{B}^{0}=0.5 pA0=0.6,pB0=0.5
    因此,在第一组实验中,记使用硬币 A A A的概率为 P A 1 P_{A1} PA1,使用硬币 B B B的概率为 P B 1 P_{B1} PB1,在实验1中,若完全用 A A A投掷,出现5正5反的概率为:
    ( p A 0 ) 5 ( 1 − p A 0 ) 5 = 0. 6 5 0. 4 5 = 0.000796 (p_{A}^{0})^{5}(1-p_{A}^{0})^{5}=0.6^{5}0.4^{5}=0.000796 (pA0)5(1pA0)5=0.650.45=0.000796
    同理,若完全用 B B B投掷,出现5正5反的概率为:
    ( p B 0 ) 5 ( 1 − p B 0 ) 5 = 0. 5 5 0. 5 5 = 0.000976 (p_{B}^{0})^{5}(1-p_{B}^{0})^{5}=0.5^{5}0.5^{5}=0.000976 (pB0)5(1pB0)5=0.550.55=0.000976
    所以,第一组实验使用硬币 A A A和硬币 B B B的概率为:
    P A 1 = 0. 6 5 0. 4 5 0. 6 5 0. 4 5 + 0. 5 5 0. 5 5 = 0.45 P_{A1}=\frac{0.6^{5}0.4^{5}}{0.6^{5}0.4^{5}+0.5^{5}0.5^{5}}=0.45 PA1=0.650.45+0.550.550.650.45=0.45
    P B 1 = 0. 5 5 0. 5 5 0. 6 5 0. 4 5 + 0. 5 5 0. 5 5 = 0.55 P_{B1}=\frac{0.5^{5}0.5^{5}}{0.6^{5}0.4^{5}+0.5^{5}0.5^{5}}=0.55 PB1=0.650.45+0.550.550.550.55=0.55
    按照同样的方式,可以分别计算出另外四组实验中,使用硬币 A A A和硬币 B B B的概率:

    组别硬币 A A A硬币 B B B
    10.450.55
    20.800.20
    30.730.27
    40.350.65
    50.650.35

    现在考虑第1组实验的 P A 1 = 0.45 P_{A1}=0.45 PA1=0.45 P B 1 = 0.55 P_{B1}=0.55 PB1=0.55,第一组实验结果为5正5反,则使用硬币 A A A投掷的结果应有:

    • 正: 0.45 × 5 = 2.25 0.45\times 5=2.25 0.45×5=2.25
    • 反: 0.45 × 5 = 2.25 0.45\times 5=2.25 0.45×5=2.25

    使用硬币 B B B投掷的结果为:

    • 正: 0.55 × 5 = 2.75 0.55\times 5=2.75 0.55×5=2.75
    • 反: 0.55 × 5 = 2.75 0.55\times 5=2.75 0.55×5=2.75

    进一步,用同样的流程得到各组实验中,硬币 A A A和硬币 B B B的投掷结果:

    组别硬币 A A A硬币 B B B
    1正:2.25,反:2.25正:2.75,反:2.75
    2正:7.2,反:0.8正:1.8,反:0.2
    3正:5.84,反:1.46正:2.16,反:0.54
    4正:1.4,反:2.1正:2.6,反:3.9
    5正:4.55,反:1.95正:2.45,反:1.05
    合计正:21.24,反:8.56正:11.76,反:8.44

    基于以上表,重新估计硬币 A A A和硬币 B B B正面朝上的概率:
    p A 1 = 21.24 21.24 + 8.56 = 0.71 , p B 1 = 11.76 11.76 + 8.44 = 0.58 p_{A}^{1}=\frac{21.24}{21.24+8.56}=0.71,p_{B}^{1}=\frac{11.76}{11.76+8.44}=0.58 pA1=21.24+8.5621.24=0.71,pB1=11.76+8.4411.76=0.58
    再重复之前的操作,于是得到 ( p A 2 , p B 2 ) (p_{A}^{2},p_{B}^{2}) (pA2,pB2),依次类推,得到:
    ( p A 3 , p B 3 ) , ( p A 4 , p B 4 ) , . . . , ( p A T , p B T ) (p_{A}^{3},p_{B}^{3}),(p_{A}^{4},p_{B}^{4}),...,(p_{A}^{T},p_{B}^{T}) (pA3,pB3),(pA4,pB4),...,(pAT,pBT)
    直到参数 ( p A T , p B T ) (p_{A}^{T},p_{B}^{T}) (pAT,pBT)收敛;

    实例演示

    硬币投掷问题的实例演示如下:

    import numpy as np
    # 二项分布
    from scipy.stats import binom
    """
    Bernoulli:伯努利分布,是关于布尔变量的概率分布
    Binomial:二项分布,重复多次的独立伯努利实验
    """
    
    #一轮迭代处理
    def single_iter(theta_priors, observations):
        """
        param observations:五组试验的观测值
        param theta_priors:上一轮迭代形成的 p_A 和 p_B
        """
        counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}
        theta_A = theta_priors[0]
        theta_B = theta_priors[1]
        
        #迭代计算每组试验的数据
        for observation in observations:
            len_observation = len(observation)
            num_heads = observation.sum()
            num_tails = len_observation-num_heads
            
            # binom.pmf(k,n,p)返回n次伯努利实验中结果为目标事件的概率,单次实验目标事件的概率为p,目标事件出现了k次
            P_A = binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_A)
            P_B = binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_B)
            # 计算出硬币A和硬币B各自出现的概率
            weight_A = P_A / (P_A + P_B)
            weight_B = P_B / (P_A + P_B)
            # 更新在当前硬币A和硬币B各自出现的概率下,硬币A和硬币B各自的正反面次数
            counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
            counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
            counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
            counts['B']['T'] += weight_B * num_tails
    
        #重新估计新一轮的硬币A和硬币B正面向上的概率
        new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
        new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
        return [new_theta_A,new_theta_B]
    
    
    observations = np.array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
                                [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
                                [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
                                [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
                                [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])
    
    prior = [0.6, 0.5] #设定初始的参数值
    iteration = 0
    iterations = 10000 #最多的迭代次数
    tol = 1e-6         #判断参数收敛的阈值
    while iteration < iterations:
        new_prior = single_iter(prior,observations)
        print(new_prior)
        delta_change = np.abs(prior[0] - new_prior[0])
        if delta_change < tol:
            break
        else:
            prior = new_prior
            iteration += 1
    
    print('迭代结束,总共迭代轮数{}'.format(iteration))
    print('最终估计的参数{}'.format(new_prior))
    
    """
    [0.683267379440028, 0.5794860533160178]
    ...
    [0.7222502854992598, 0.5554380899384829]
    迭代结束,总共迭代轮数36
    最终估计的参数[0.7222502854992598, 0.5554380899384829]
    """
    

    经过36次迭代,得到收敛的结果为: p A = 0.72225 , p B = 0.55543 p_{A}=0.72225,p_{B}=0.55543 pA=0.72225,pB=0.55543,由于问题较简单,过程容易理解,但是实际问题总是复杂的,最好能总结出一个统一形式的算法,处理这种类似 p t p^{t} pt p t + 1 p^{t+1} pt+1的迭代关系,所以人们提出了EM算法,它广泛应用于处理混合模型(包含隐变量的模型),后面的部分内容将会深入分析EM算法。

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  • 本发明属于信号处理技术领域,具体涉及一种广义帕累托分布参数估计方法,可用于海杂波背景下的目标检测。背景技术:海杂波背景下的目标检测技术是雷达应用技术中一个至关重要的研究方向,在军事和民用领域已经得到...

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    本发明属于信号处理技术领域,具体涉及一种广义帕累托分布参数估计方法,可用于海杂波背景下的目标检测。

    背景技术:

    海杂波背景下的目标检测技术是雷达应用技术中一个至关重要的研究方向,在军事和民用领域已经得到广泛应用。而对于海杂波统计特性的准确分析是海杂波背景下目标检测技术能否取得良好效果的重要因素。因此,给出合适的模型并对于其模型参数进行准确估计成为我们需要解决的重要问题。

    随着现代雷达系统距离分辨力的提高,雷达回波出现以往低分辨力雷达系统所没有的统计特性,通常表现为其回波包络的拖尾变长,异常值变多的特点。而广义帕累托分布作为复合高斯模型的一种,在对于高分辨低擦地角海杂波的功率分布拟合上取得了很好的效果。因此在海杂波统计特性的研究中占据重要地位。而在海杂波背景下的目标检测中,杂波模型参数的估计质量又对于目标检测效果有很大影响,因此在重拖尾的杂波数据下给出广义帕累托的分布参数具有重要的研究意义。

    近年来,很多研究者对广义帕累托分布的参数估计方法,提出了一些基于特定条件下的广义帕累托分布参数估计理论。

    文献“Castillo,E.,Hadi,A.S.,1997.Fitting the generalized Pareto distribution to data.J.Amer.Statist.Assoc.92,1609–1620.”中给出广义帕累托分布的矩估计以及最大似然估计方法,分别根据样本矩以及似然函数对于参数进行估计,但是由于矩估计本身容易受到样本数量和异常数据的影响,其估计精度难以保证。而最大似然估计的估计精度虽然能够满足要求,但是算法时间复杂度高,因此工程实现较为困难。

    文献“Arnold,B.C.,Press,S.J.,1989.Bayesian estimation and prediction for Pareto data.J.Amer.Statist.Assoc.84,1079–1084.”给出了基于先验信息的广义帕累托分布参数估计方法,但是其计算相对复杂,并且估计效果受到先验信息准确程度的影响,应用较为不便。

    技术实现要素:

    本发明的目的在于提出一种基于对数矩的广义帕累托分布参数估计方法,以提高估计精度和执行效率,进而提升后续海杂波背景下目标检测的性能。

    实现本发明目的的技术方案是:通过将杂波样本功率归一化,获取其形状参数和尺度参数之间的确定关系,然后利用样本的对数矩进行广义帕累托分布参数的估计,其实现步骤包括如下:

    (1)利用雷达发射机发射脉冲信号,利用雷达接收机接收经过海面散射形成的回波数据,该回波数据的每个分辨单元中的回波序列为

    X=[x1,x2,…xi,…xN],

    其中xi表示第i个回波数据,i=1,2,...,N,N表示脉冲数;

    (2)获取当前杂波数据的功率信息,并将其按功率进行归一化,得到功率归一化后的海杂波数据:

    Y=[y1,y2,…yi,…yN],

    其中yi是Y的第i个数据,其中是杂波样本功率PX的第i个数据,是杂波样本功率PX的平均值。

    (3)计算功率归一化后的海杂波数据Y的一阶对数矩估计量κ1、二阶对数矩估计量κ2和均值κ3:

    (4)利用功率归一化后海杂波数据Y的一阶对数矩估计量κ1、二阶对数矩估计量κ2和均值κ3计算形状参数的估计值和尺度参数的估计值

    本发明通过利用对数域内的样本信息,实现广义帕累托分布参数的估计,与现有技术相比具有以下优点:

    1)相比于矩估计方法,降低了矩估计的阶数,提高了参数估计的精度;

    2)相比于最大似然估计方法,本发明具有解析表达式,无需通过搜索的方式获得其最优解,运算速度快,能够适应雷达系统信号实时处理的要求;

    附图说明

    图1为本发明的实现流程图;

    图2为采用本发明和现有两种估计方法在不同参数取值下的估计效果对比;

    图3为采用本发明和现有两种估计方法在不同样本数量下的估计效果对比。

    具体实施方式

    下面结合附图对本发明作进一步说明:

    参照图1,本发明的实现步骤如下:

    步骤1,利用雷达发射机发射脉冲信号,利用雷达接收机接收经过海面散射形成的回波数据。

    回波数据是一个包括脉冲维,距离维和波位维的三维矩阵,每个距离维和波位维构成一个分辨单元,每个分辨单元中的回波序列为X:

    X=[x1,x2,...,xi,...,xN]

    其中xi表示第i个回波数据,N表示脉冲数。

    步骤2,获取当前杂波数据的功率信息,并将其按功率进行归一化,得到功率归一化后的杂波数据样本Y。

    2a)计算当前样本数据X的功率PX:

    PX=|X|2=[|x1|2,|x2|2,…|xi|2,…|xn|2]

    其中xi表示第i个回波数据,i=1,2,...,N,N表示脉冲数,PX服从广义帕累托分布,广义帕累托分布定义式如下:

    其中,σ表示尺度参数,k表示形状参数;

    2b)计算当前杂波数据样本功率PX的平均功率

    其中pXi表示PX的第i个数据;

    2c)根据平均功率和当前杂波样本数据X的功率PX,得到功率归一化后的杂波数据样本Y:

    其中,表示功率归一化后的杂波数据样本Y的第i个数据。

    步骤3,计算功率归一化后的海杂波数据Y的一阶对数矩估计量κ1、二阶对数矩估计量κ2和均值κ3:

    步骤4,利用功率归一化后的海杂波数据Y的一阶对数矩估计量κ1、二阶对数矩估计量κ2和均值κ3,计算形状参数的估计值和尺度参数的估计值

    本发明的效果可以通过以下仿真实验进一步说明:

    1.仿真参数

    仿真实验采用仿真产生的广义帕累托数据。

    2.仿真实验内容

    仿真实验中分别采用本发明、矩估计以及最大似然估计方法对于仿真产生的帕累托分布数据进行参数的估计,通过相对误差和均方根误差比较三种不同方法的估计效果。

    实验1,使用matlab软件中的gprnd函数分别产生不同形状参数和尺度参数下的帕累托分布数据,测试样本数量为1000,分别使用本发明、矩估计以及最大似然估计对于仿真产生的帕累托分布数据的形状参数和尺度参数进行估计,通过比较参数估计的相对误差和均方根误差RMSE比较不同估计方法的效果,每个参数取值下的实验重复2000次,最终给出2000次实验相对误差和均方根误差RMSE的平均值,结果如图2,其中,

    图2(a)为用三种方法对于尺度参数估计的相对误差随尺度参数取值的变化曲线,其中横坐标表示尺度参数取值,纵坐标表示相对误差

    图2(b)为用三种方法对于形状参数估计的相对误差随形状参数取值的变化曲线,其中横坐标表示形状参数取值,纵坐标表示相对误差。

    图2(c)为用三种方法对于尺度参数估计的均方根误差RMSE随尺度参数取值的变化曲线,其中横坐标表示尺度参数取值,纵坐标表示均方根误差RMSE。

    图2(d)为用三种方法对于形状参数估计的均方根误差RMSE随形状参数取值的变化曲线,其中横坐标表示形状参数取值,纵坐标表示均方根误差RMSE。

    实验2,使用matlab软件中的gprnd函数分别产生不同样本数量下的帕累托分布数据,形状参数取值为0.4,尺度参数取值为0.6,分别使用本发明、矩估计以及最大似然估计对于仿真产生的帕累托分布数据的形状参数和尺度参数进行估计,通过比较参数估计的相对误差和均方根误差RMSE比较不同估计方法的效果,每个样本数量下的实验重复2000次,最终给出2000次实验相对误差和均方根误差RMSE的平均值。结果如图3,其中,

    图3(a)为用三种方法对于尺度参数估计的相对误差随样本数量的变化曲线,其中横坐标表示样本数量,纵坐标表示相对误差。

    图3(b)为用三种方法对于形状参数估计的相对误差随样本数量的变化曲线,其中横坐标表示样本数量,纵坐标表示相对误差。

    图3(c)为用三种方法对于尺度参数估计的均方根误差RMSE随样本数量的变化曲线,其中横坐标表示样本数量,纵坐标表示均方根误差RMSE。

    图3(d)为用三种方法对于形状参数估计的均方根误差RMSE随样本数量的变化曲线,其中横坐标表示样本数量,纵坐标表示均方根误差RMSE。

    从图2和图3中可以看出,本发明得到的参数估计精度高于矩估计且接近于最大似然估计。表明本发明提出的基于对数矩的广义帕累托分布参数估计方法,可以通过降低估计的阶数,提高帕累托分布参数的估计精度,并且计算速度快,能够满足雷达系统的实时处理要求,有利于后续海杂波背景下目标检测性能的提高。

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