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  • 参数估计参数估计中,我们会遇到两个主要问题:(1)如何去估计参数的value。(2)估计出参数的value之后,如何去计算新的observation的概率,即进行回归分析和预测。首先定义一些符号:数据集X中

    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/51482120

    文本分析的三类参数估计方法-最大似然估计MLE、最大后验概率估计MAP及贝叶斯估计。

    参数估计

    参数估计中,我们会遇到两个主要问题:(1)如何去估计参数的value。(2)估计出参数的value之后,如何去计算新的observation的概率,即进行回归分析和预测。
    首先定义一些符号:

    图片1


    数据集X中的所有Xi,他们是独立同分布的,因此后面求X 的概率的时候,xi可以相乘。

    贝叶斯公式


    这个公式也称为逆概率公式,可以将后验概率转化为基于似然函数和先验概率的计算表达式,即

    [概率图模型:贝叶斯网络与朴素贝叶斯网络]


    最大似然估计MLE

    [参数估计:最大似然估计MLE ]



    最大后验估计MAP

    最大后验估计与最大似然估计相似,不同点在于估计的函数中允许加入一个先验,也就是说此时不是要求似然函数最大,而是要求由贝叶斯公式计算出的整个后验概率最大,不是在整个后验概率上积分,而是搜索该分布的最大值,即



    Note: 这里P(X)与参数无关,因此等价于要使分子最大。

    通过加上这个先验分布项,我们可以编码额外的信息,并且可以避免参数的过拟合问题。

        与最大似然估计相比,现在需要多加上一个先验分布概率的对数。在实际应用中,这个先验可以用来描述人们已经知道或者接受的普遍规律。例如在扔硬币的试验中,每次抛出正面发生的概率应该服从一个概率分布,这个概率在0.5处取得最大值,这个分布就是先验分布。先验分布的参数我们称为超参数(hyperparameter)即我们认为,theta也是服从一个先验分布的:alpha是他的超参数

    同样的道理,当上述后验概率取得最大值时,我们就得到根据MAP估计出的参数值。


    给定观测到的样本数据,一个新的值发生的概率是

      

    Note: 这里积分第一项与theta无关(使用的是MAP值),所以第二项积分为1(也就是后验概率不随新来的数据变化,为1?)。

    扔硬币的伯努利实验示例

        我们期望先验概率分布在0.5处取得最大值,我们可以选用Beta分布(lz:实际上选择beta分布的原因是beta分布和二项分布是共轭分布)即


    其中Beta函数展开是


    当x为正整数时

    \Gamma(n) = (n-1)!\,

    Beta分布的随机变量范围是[0,1],所以可以生成normalized probability values。下图给出了不同参数情况下的Beta分布的概率密度函数


    我们取,这样先验分布在0.5处取得最大值(观察上面的图,因为我们先验认为p约等于0.5,因此超参数a和b是相等的,我们这里选择等于5)。

    现在我们来求解MAP估计函数的极值点,同样对p求导数,得到参数p的的最大后验估计值为

    后面两项是对log(p(p|alpha,beta))的求导


    和最大似然估计ML的结果对比可以发现结果中多了,我们称这两者为pseudo count伪计数,这两项的作用是使总概率p向0.5拉近,因为我们的先验认为就是约等于0.5的。这样的pseudo-counts就是先验在起作用,并且超参数越大,为了改变先验分布传递的belief所需要的观察值就越多,此时对应的Beta函数越聚集,紧缩在其最大值两侧。

    如果我们做20次实验,出现正面12次,反面8次,那么,根据MAP估计出来的参数p为16/28 = 0.571,小于最大似然估计得到的值0.6,这也显示了“硬币一般是两面均匀的”这一先验对参数估计的影响。

    [主题模型TopicModel:LDA中的数学模型]

    MAP估计*

    MAP参数的敏感性以及后验概率形式的不敏感性

    MAP表示独立性

    [PGM原理与技术]

    最大后验查询的一个示例


    皮皮blog



    贝叶斯思想和贝叶斯参数估计

    [贝叶斯思想和贝叶斯参数估计 ]



    MLE,MAP和贝叶斯估计对参数估计的比较

    综上所述我们可以可视化MLE,MAP和贝叶斯估计对参数的估计结果如下

    lz:从MLE到MAP再到贝叶斯估计,对参数的表示越来越精确(由易到难,估计的value也越来越perfect),得到的参数估计结果也越来越接近0.5这个先验概率,越来越能够反映基于样本的真实参数情况。

    Why the MLE doesn’t work well?

    While MLE is guaranteed to maximizes the probability of an observed data, we areactually interested in finding estimators that perform well on new data. A serious problemarises from this perspective because the MLE assigns a zero probability to elements thathave not been observed in the corpus. This means it will assign a zero probability to anysequence containing a previously unseen element.

    from: http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/51482120

    ref: Gregor Heinrich: Parameter estimation for text analysis*

    参数估计(极大似然估计,极大后验概率估计,贝叶斯估计)*

    文本语言模型的参数估计-最大似然估计、MAP及贝叶斯估计

    文本分析中的参数估计,以LDA为例,英文版:Heinrich-GibbsLDA.pdf

    Reading Note : Parameter estimation for text analysis 暨LDA学习小结

    统计学(四):几种常见的参数估计方法


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  • 参数估计

    2019-12-21 13:11:12
    1、点估计:矩估计法 2、区间估计:总体均值的区间...点估计和区间估计属于总体参数估计问题。 一、点估计 定义:是用样本统计量来估计总体参数,因为样本统计量为数轴上某一点值,估计的结果也以一个点的数值表...

    1、点估计:矩估计法
    2、区间估计:总体均值的区间估计、总体比例的区间估计、总体方差的区间估计、两个总体均值之差的区间估计、两个总体比例之差的区间估计、两个总体方差比的区间估计
    3、样本量的确定:估计总体均值时样本量的确定、估计总体比例时样本量的确定
    点估计和区间估计属于总体参数估计问题。

    一、点估计

    定义:

    是用样本统计量来估计总体参数,因为样本统计量为数轴上某一点值,估计的结果也以一个点的数值表示,所以称为点估计。
    ####估计量:统计量的样本的(不含未知总体参数的)函数,用于估计的统计量
    ####估计值:若得到一组观察值,代入估计量得到具体的数值
    例如,若总体分布服从正态分布: ,其中μ是总体均值, 是总体方差,未知参数可记为θ=(μ,σ)。σ/μ(μ≠0)称为变异系数,它是总体的一阶原点矩(即均值)μ与二阶中心矩(即方差) 的函数。设有样本X=(X1、X2…Xi),其一阶样本原点矩为,二阶样本中心矩为,而用估计 σ/μ,就是一个典型的矩估计方法。

    (1)最大似然估计法

    此法作为一种重要而普遍的点估计法,由英国统计学家R.A.费希尔在1912年提出。后来在他1921年和1925年的工作中又加以发展。设样本X=(X1,X2,…,Xn)的分布密度为L(X,θ),若固定X而将L视为θ的函数,则称为似然函数,当X是简单随机样本时,它等于ƒ(X1,θ)ƒ(X2,θ)…ƒ(Xn,θ),其中,ƒ(X,θ)是总体分布的密度函数或概率函数(见概率分布)。一经得到样本值x,就确定x,然后使用估计g(θ),这就是g(θ)的最大似然估计。例如,不难证明,前面为估计正态分布 中的参数μ和 而提出的估计量和2,就是μ和 的最大似然估计。 [1]

    (2)最小二乘估计法

    这个重要的估计方法是由德国数学家C.F.高斯在1799~1809年和法国数学家A.-M.勒让德在1806年提出,并由俄国数学家Α.Α.马尔可夫在1900年加以发展。它主要用于线性统计模型中的参数估计问题。贝叶斯估计法是基于“贝叶斯学派”的观点而提出的估计法(见贝叶斯统计)。

    (3)矩估计

    定义:最简单的矩估计法是用一阶样本原点矩来估计总体的期望而用二阶样本中心矩来估计总体的方差。

    二、区间估计

    区间估计(interval estimate)是在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个区间范围,该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

    置信度:重复构造置信区间,这些区间中包含总体参数真值得区间数所占的比率。

    与点估计的区别:
    进行区间估计时,根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。
    基本概念:置信系数
    用数轴上的一段距离或一个数据区间,表示总体参数的可能范围.这一段距离或数据区间称为区间估计的置信区间。
    1.每一个置信区间都是随机的,因样本不同二不同,不是所有的区间都包含总体参数的真值。
    2.实际问题中,往往只取一个样本,得到一个置信区间。无法确定这个区间是否包含总体参数真值,只能希望它是大量包含了总体参数真值得区间中的一个。

    (1)总体均值的区间估计-正态总体,方差已知

    在这里插入图片描述

    总体均值的区间估计-大样本、方差
    在这里插入图片描述
    总体均值的区间估计-正态总体、方差未知
    在这里插入图片描述
    总体比例的区间估计
    在这里插入图片描述

    总体方差的区间估计
    方差估计需要假设总体是服从正态分布的
    已知:样本方差(改造一下后)服从自由度为n-1的卡方分布,即~。构建置信水平为1-α的置信区间的过程如下:
    ① 确定的1-α/2分位点和α/2分位点;

    ② 则在这里插入图片描述的置信度为1-α;

    ③ 转换一下,α^2的置信水平为1-α的置信区间为在这里插入图片描述

    两个总体均值之差的区间估计、

    两个总体比例之差的区间估计:
    跟单个总体的比例的区间估计很类似,总之,两个总体比例之差(\pi_1 - \pi_2)的置信水平为1-α的置信区间为在这里插入图片描述
    两个总体方差比的区间估计
    在这里插入图片描述

    3、样本量的确定:
    估计总体均值时样本量的确定、
    估计总体比例时样本量的确定

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  • (1)参数估计问题定义如果一个系统的参数随时间而改变,那么称它为“时变的参数”;如果系统的参数不随时间而改变,那么称它为“时不变的参数”。对参数 (时不变)的估计问题定义如下: 其中 是第 次观测量, 是第...

    93f37da8fd5a310eceecf437a78a9d38.png

    (1)参数估计问题定义

    如果一个系统的参数随时间而改变,那么称它为“时变的参数”;如果系统的参数不随时间而改变,那么称它为“时不变的参数”。

    对参数

    (时不变)的估计问题定义如下:

    其中

    是第
    次观测量,
    是第
    次观测噪声量;我们要找到一个关于
    次观测
    的函数
    ,在某种意义下作为 对
    的统计量。

    我们称这个函数

    估计量(estimator),函数值被称为
    估计值(estimate)。由于估计量是样本的函数,因此对于不同的样本值,估计值一般是不同的。

    (2)参数估计的模型

    在(时不变)参数估计中,有两种常用的模型:

    1. 非随机变量:存在一个未知的真值
      。这种方法被称为
      非贝叶斯或者Fisher方法。
    2. 随机变量:参数
      是一个有着先验分布
      的随机变量。这种方法被称为
      贝叶斯方法。

    贝叶斯方法

    贝叶斯方法运用贝叶斯公式先验分布来导出后验分布

    其中

    是归一化常数。

    非贝叶斯方法

    与贝叶斯方法不同,非贝叶斯方法中待估计参数

    是固定的,有真值的。所以我们定义
    的分布,称之为参数的
    似然函数

    它表示的是给定

    时,其观测值为
    的概率。

    (3)总结

    04be6921adfc744c4fd7bc4910517ad3.png

    参考资料

    1. Bar-Shalom Y, Li X R, Kirubarajan T. Estimation with applications to tracking and navigation: theory algorithms and software[M]. John Wiley & Sons, 2004.
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  • 参数估计简介及概念介绍(上)参数估计简介及概念介绍(上) 参数估计简介及概念介绍(上)参数绑定参数绑定是把当前请求的变量作为操作方法(也包括架构方法)的参数直接传入,参数绑定并不区分请求类型。参数绑定传入的值...

    参数估计简介及概念介绍(上)参数估计简介及概念介绍(上) 参数估计简介及概念介绍(上)

    参数绑定

    参数绑定是把当前请求的变量作为操作方法(也包括架构方法)的参数直接传入,参数绑定并不区分请求类型。

    参数绑定传入的值会经过全局过滤,如果你有额外的过滤需求可以在操作方法中单独处理。

    参数绑定方式默认是按照变量名进行绑定,例如,我们给Blog控制器定义了两个操作方法read和archive方法,由于read操作需要指定一个id参数,archive方法需要指定年份(year)和月份(month)两个参数,那么我们可以如下定义:<?php

    namespace app\controller;

    class Blog

    {

    public function read($id)

    {

    return 'id=' . $id;

    }

    public function archive($year, $month='01')

    {

    return 'year=' . $year . '&month=' . $month;

    }

    }

    URL的访问地址分别是:http://serverName/index.php/blog/read/id/5

    http://serverName/index.php/blog/archive/year/2016/month/06

    两个URL地址中的id参数和year和month参数会自动和read操作方法以及archive操作方法的同名参数绑定。

    输出的结果依次是:id=5

    year=2016&month=06

    按照变量名进行参数绑定的参数必须和URL中传入的变量名称一致,但是参数顺序不需要一致。也就是说http://serverName/index.php/blog/archive/month/06/year/2016

    和上面的访问结果是一致的,URL中的参数顺序和操作方法中的参数顺序都可以随意调整,关键是确保参数名称一致即可。

    如果用户访问的URL地址是(至于为什么会这么访问暂且不提):http://serverName/index.php/blog/read/

    那么会抛出下面的异常提示: 参数错误:id

    报错的原因很简单,因为在执行read操作方法的时候,id参数是必须传入参数的,但是方法无法从URL地址中获取正确的id参数信息。由于我们不能相信用户的任何输入,因此建议你给read方法的id参数添加默认值,例如:public function read($id = 0)

    {

    return 'id=' . $id;

    }

    这样,当我们访问 http://serverName/index.php/blog/read/ 的时候 就会输出id=0

    为了更好的配合前端规范,支持自动识别小写+下划线的请求变量使用驼峰注入,例如:http://serverName/index.php/blog/read/blog_id/5

    可以使用下面的方式接收blog_id变量,所以请确保在方法的参数使用驼峰(首字母小写)规范。public function read($blogId = 0)

    {

    return 'id=' . $blogId;

    }

    任务

    ?不会了怎么办

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  • 参数估计优秀资料

    2013-07-28 11:22:03
    钱学森教授曾对\系统" 给出一个简明的定义: \系统是指依一定秩序相互联系的一组事物". 一般说来, 系统辨识可 以认为是利用已知先验信息和输入{ 输出数据来建立系统数学模型的科学. 经过半个多世纪的发展, 系统辨识已...
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  • 朴素贝叶斯的参数估计

    千次阅读 2016-10-31 22:50:22
    输入空间 X⊆Rn\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^n 为 nn 维向量的集合,输出空间 Y={c1,c2,...,cK}\mathcal{...XX 为定义在输入空间上的随机向量,YY 是定义在输出空间上的随机向量。P(x,y)P(x,y) 为 XX 和 YY 的联合
  • 参数估计的有效性

    2017-07-13 11:21:55
    Fisher 信息量 ...Sθ(x)对一切θ∈Θ有定义; EθSθ(x)=0,∀θ∈Θ; Eθ∥Sθ(.)∥2∞ 称 I(θ)=Var(Sθ(x))=Eθ[Sθ(x)S′θ(x)] 为Fisher信息阵,k=1时称作Fisher信息量. C-R下界 设g(θ)

空空如也

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