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  • 最大似然参数估计的基本原理 前导知识:【概率密度函数估计的引入】 在最大似然估计中,我们做以下基本假设: 我们把要估计的参数记作θ\thetaθ,它是确定但未知的量(多个参数时向量)。 每类的样本集记作Xi,i=1,...

    最大似然参数估计的基本原理

    前导知识:【概率密度函数估计的引入】

    在最大似然估计中,我们做以下基本假设:

    • 我们把要估计的参数记作 θ \theta θ,它是确定但未知的量(多个参数时向量)。
    • 每类的样本集记作 X i , i = 1 , 2 , . . . , c X_i,i=1,2,...,c Xi,i=1,2,...,c,其中的样本都是从密度为 ρ ( x ∣ w i ) \rho(x|w_i) ρ(xwi)的总体中独立抽取出来的,即所谓满足独立同分布条件。
    • 类条件概率密度函数 ρ ( x ∣ w i ) \rho(x|w_i) ρ(xwi)具有确定函数形式,只是其中的参数 θ \theta θ未知。比如在 x x x是一维正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)时,未知参数可能是 θ = [ μ , σ 2 ] T \theta=[\mu,\sigma^2]^T θ=[μ,σ2]T,对不同类别的参数可以记作 θ i \theta_i θi,为了强调概率密度中待估计的参数,可以把 ρ ( x ∣ w i ) \rho(x|w_i) ρ(xwi)写作 ρ ( x ∣ w i , θ i ) \rho(x|w_i,\theta_i) ρ(xwi,θi) ρ ( x ∣ t h e t a i ) \rho(x|theta_i) ρ(xthetai)
    • 各类样本只包含本类的分布信息,即:不同类别的参数是独立的。可以分别对每一类单独处理。

    在上述假设前提下,可以分别处理 c c c个独立的问题。即,在一类中独立地按照概率密度 ρ ( x ∣ θ ) \rho(x|\theta) ρ(xθ)抽取样本集 X X X,用 X X X来估计出未知参数 θ \theta θ

    设样本集包含 N N N个样本,即:
    X = { x 1 , x 2 , . . . , x N } (1) X=\{x_1,x_2,...,x_N\} \tag 1 X={x1,x2,...,xN}(1)
    由于样本是独立地从 ρ ( x ∣ θ ) \rho(x|\theta) ρ(xθ)中抽取的,所以在概率密度为 ρ ( x ∣ θ ) \rho(x|\theta) ρ(xθ)时获得样本集 X X X的概率即出现 X X X中的各个样本的联合概率是:
    l ( θ ) = ρ ( X ∣ θ ) = ρ ( x 1 , x 2 , . . . , x N ∣ θ ) = ∏ i = 1 N ρ ( x i ∣ θ ) (2) l(\theta)=\rho(X|\theta)=\rho(x_1,x_2,...,x_N|\theta)=\prod_{i=1}^{N} \rho(x_i|\theta) \tag 2 l(θ)=ρ(Xθ)=ρ(x1,x2,...,xNθ)=i=1Nρ(xiθ)(2)
    这个概率反映了在概率密度函数的参数是 θ \theta θ时,得到式 ( 1 ) (1) (1)中这组样本的概率。因为样本集已知,而参数 θ \theta θ未知,式 ( 2 ) (2) (2)就成为了 θ \theta θ的函数,它反映的是在不同参数取值下取得当前样本集的可能性,因此称作参数 θ \theta θ相对于样本集 X X X的似然函数,式 ( 2 ) (2) (2)中每一项 ρ ( x i ∣ θ ) \rho(x_i|\theta) ρ(xiθ)就是 θ \theta θ相对于每一个样本的似然函数。
    似然函数 l ( θ ) l(\theta) l(θ)给出了从总体中抽取 x 1 , x 2 , . . . , x N x_1,x_2,...,x_N x1,x2,...,xN这样 N N N个样本的概率。即,参数估计的过程即在参数空间中寻找使得似然函数 l ( θ ) l(\theta) l(θ)最大的那个 θ \theta θ
    一般来说,使似然函数的值最大的 θ ^ \hat{\theta} θ^的样本 x 1 , x 2 , . . . , x N x_1,x_2,...,x_N x1,x2,...,xN的函数,记为:
    θ ^ = d ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) (3) \hat{\theta}=d(x_1,x_2,...,x_N) \tag 3 θ^=d(x1,x2,...,xN)(3)
    此时称 θ ^ \hat{\theta} θ^叫做 θ \theta θ的最大似然估计量。
    下面给出 N = 1 N=1 N=1 x x x为一维且具有以均值为3,方差为1的正态分布(那么此时“最可能出现的”样本就是 x 1 ′ = 3 x_1'=3 x1=3):
    θ \theta θ在参数空间中取不同值时:(观察图像可以取定 x = 3 x=3 x=3

    当固定 x = 3 x=3 x=3时:(观察图像令参数取不同值)

    最大似然估计量:令 l ( θ ) l(\theta) l(θ)为样本集 X X X的似然函数, X = { x 1 , x 2 , . . . , x N } X=\{x_1,x_2,...,x_N\} X={x1,x2,...,xN},如果 θ ^ = d ( X ) = d ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) \hat{\theta}=d(X)=d(x_1,x_2,...,x_N) θ^=d(X)=d(x1,x2,...,xN)是参数空间中能使似然函数 l ( θ ) l(\theta) l(θ)极大化的 θ \theta θ值,那么 θ ^ \hat{\theta} θ^就是 θ \theta θ的最大似然估计量,或者记作:
    θ ^ = a r g   m a x   l ( θ ) (4) \hat{\theta} = arg \ max \ l(\theta) \tag 4 θ^=arg max l(θ)(4)
    其中, a r g   m a x arg \ max arg max是一种常用的表示方法,表示使后面的函数取得最大值的变量的取值。为了便于分析,还可以定义对数似然函数:
    H ( θ ) = ln ⁡ l ( θ ) = ln ⁡ ∏ i = 1 N ρ ( x i ∣ θ ) = ∑ i = 1 N ln ⁡ ρ ( x i ∣ θ ) (5) H(\theta)=\ln l(\theta)=\ln \prod_{i=1}^{N} \rho(x_i|\theta) =\sum_{i=1}^{N} \ln \rho(x_i|\theta) \tag 5 H(θ)=lnl(θ)=lni=1Nρ(xiθ)=i=1Nlnρ(xiθ)(5)
    容易证明,使对数似然函数最大的 θ \theta θ值也使似然函数最大。

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  • 第 4 卷 第 11 期 中 国 水 运 Vol.4 No.11 2006 年 11 月 China Water Transport Novembdr 2006 收稿日期:2006-9-16 作者简介:张丹丹 武汉理工大学土木工程与建筑学院 (430070) 基于 MATLAB 的 AR 模型参数估计 ...

    第 4 卷 第 11 期 中 国 水 运 Vol.4 No.11 2006 年 11 月 China Water Transport Novembdr 2006 收稿日期:2006-9-16 作者简介:张丹丹 武汉理工大学土木工程与建筑学院 (430070) 基于 MATLAB 的 AR 模型参数估计 张丹丹 徐 振 孙希宁 万 平 夏亚伟 摘 要:分析在地震作用下建筑物扭转振动效应的模型参数估计,根据系统振动加速度作为时间序列,来建立 AR ( n )模型,并利用时序模型参数与模态参数之间的关系,求解振动系统的模态参数。 关键词:时间序列 AR模型 参数估计 MATLAB 中图分类号:TP311.51 文献标识码:A 文章编号:1006-7973(2006)11-0109-02 一、时间序列的建模 1.ARMA 模型的定义 对于一个振动系统,某测点的输出(响应)为{} tx ,可 有 n 阶自回归—m 阶滑动平均混合时序模型来描述这个振动 系统,记为 AR MA( n , m )。即: 1 1 1 1t t i t i n t n t t j t j m t mx x x x a a a a ϕ ϕ ϕ θ θ θ − − − − − − − − − − − = − − − − 式中, i ϕ 为自回归系数,( i =1,2,⋯, n) ; j θ 为滑动平 均系数,( j =1,2,⋯, m ); t a 为白噪声序列, 2 (0, ) ta a NID σ ∼ , 2 a σ 为白噪声方差。 用线性后移算子 B,上式可表示为: ( ) ( ) ttB x B a ϕθ = 式中 1 ()1 in inB B B B ϕϕϕϕ = − − − − −, 1()1 im im B B B B θθθθ = − − − − −, 特殊地,若 n =0,模型称为纯滑动平远近模型,记为 MA ( m );若 m =0,模型称为纯自回归模型,记为 AR ( n );若 n = m =0,模型(1)退化为 tt x a= 即{} tx 为白噪声序列。 2.数据的采集与标准化处理 时序模型的建立需要离散的时间序列{} tx 。在本文所涉及的算例分析和试验分析中,所获取的加速度信号均为离散 信号,且信号的时间间隔Δ=0.02 s ,信号的持续时间为 16 s 。 对于时间序列{} tx ,当其取值过大或过小时,为保证计算精度、减少误差、避免溢出,可对{} tx 进行标准化处理。 记所得的时序为{} tx ,当{} tx 满足均值为 ˆx µ 、方差为 2ˆ x σ 的正态分布时,对{} tx 中各数据进行如下标准化处理: ˆ ˆ tx t x x y µ σ − = 注意:为了方便起见,本文将经过预处理的时间 序列仍然记为{} tx 。 3.模型阶次的确定 对时间序列的{} tx ( t =1,2,⋯ N ),首先要进行相关 性分析。相关性分析的任务是计算序列{} tx 的样本自相关函数 和样本偏自相关函数,并由他们的截尾性来进行模型类别的判断。可根据表1进行模型结构的初选。 表1 ARMA(n,m)模型的序列特征表 AR( n ) MA( m ) ARMA( n , m ) 自相关函数 拖尾 截尾 k = m 处 拖尾 偏自相关函数 截尾 k = n 处 拖尾 拖尾 ARMA( n , m )中的 n , m 参数的确定: n , m 并不能直接确定,而是需要先假定一组值,一般是 从(1,1)开始,建立模型,然后逐步升高 n , m 的值,求 出一系列模型

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  • 参数估计 已经知道观测数据符合某些模型的概率下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。 ...

    参数估计

    已经知道观测数据符合某些模型的概率下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。

    (https://www.cnblogs.com/wt869054461/p/5935981.html)

    个人理解:概率密度函数形式已知,求出形式中的参数。

    非参数估计(无参密度估计)

    实际中,概率密度形式往往未知,往往有多个局部最大;对于高纬度样本,一些高纬度的概率密度函数可以用低纬度密函数的乘积表示的假设通常也不成立。所以概率密度函数形式未知,只能用别的方法求概率密度。

    概率密度估计--参数估计与非参数估计

    我们观测世界,得到了一些数据,我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界,一般来说,在概率上我们有一个一般性的操作步骤

    1. 观测样本的存在

    2. 每个样本之间是独立的

    3. 所有样本符合一个概率模型

    我们最终想要得到的是一个概率密度的模型,有了概率密度模型以后,我们就可以统计预测等非常有用的地方,因此,首要任务是找出一些概率分布的概率密度模型。

    我们来分析一下上面的三个步骤,第一第二都很好解决,关于第三点,我们可以有不同的处理方式

    如果我们已经对观测的对象有了一些认识,对观测的现象属于那种类型的概率密度分布已经了解了,只是需要确定其中的参数而已,这种情况就是属于参数估计问题。

    如果我们研究观测的对象,也很难说这些观测的数据符合什么模型,参数估计的方法就失效了,我们只有用非参数估计的办法去估计真实数据符合的概率密度模型了。

    因此,本文主要讨论 参数估计和非参数估计问题

    1. 参数估计

    对我们已经知道观测数据符合某些模型的情况下,我们可以利用参数估计的方法来确定这些参数值,然后得出概率密度模型。这个过程中用到了一个条件,就是概率分布符合某些模型这个事实。在这个事实上进行加工。

    一般来说,参数估计中,最大似然方法是最重要和最常用的,我们重点介绍参数估计方法

    我们在《无基础理解贝叶斯》中已经讲过似然性,那么我们就可以先写出似然函数。

    假设有N个观测数据,并且概率模型是一个一维的高斯模型,用f(x)表示高斯模型,参数待定,因此我们可以写出似然函数

    L(x1,x2,...xn) = f(x1,x2,...xn) = f(x1)*f(x2)*......*f(xn),第二个等式用到了样本之间是独立性这个假设(上面提到的一般步骤的第二条)

    然后把对似然函数取对数

    logL(x1,x2,...xn) = log(f(x1)*f(x2)*......*f(xn)) = log(f(x1)) + log(f(x2))+......+log(f(xn))

    我们既然提到了极大释然方法,那就是要求出使得logL(x1,x2,...xn) 取最大值得参数。

    因此对 logL(x1,x2,...xn) 求导等于0的参数就是符合要求的参数。

    注意,如果似然函数求导有困难,通常我们会用迭代方法去求得这些参数,后面我们讲EM算法就是属于此类型

    2. 贝叶斯方法

    在我们谈到参数估计方法中,我们假定了参数是固定值,但是贝叶斯观点会人文,模型的参数值不是固定的,也是属于某种分布的状态。

    因此我们做参数估计的时候其实是不准确的,因此贝叶斯方法会把参数的也作为一个概率考虑进来,然后再去观测。

    我个人理解,这种方式也只能算是参数估计里面的一个变种而已

    后验概率 ∝ 似然性 * 先验概率

    先验概率,我们可以看成是待估计模型的参数的概率分布,后验模型是在我们观测到新的数据以后,结合先验概率再得出的修正的参数的分布

    注意,如果似然函数的形式和先验概率的乘积有同样的分布形式的话,得到的后验分布也会有同样的分布模型

    因此,人为的规定,如果先验概率与似然函数的乘积在归一化以后,与先验分布的形式上是一致的话,似然函数与先验概率就是共轭的,注意共轭不是指先验与后验的共轭

    至于满足这个条件的共轭分布有很多种,二项分布与贝塔分布,多项式分布于狄利克雷分布等

    后面有时间再更新一些贝叶斯方法相关的内容

    3. 非参数估计

    看过了参数估计后,我们知道,如果有模型的知识可以利用的话,问题就会变得很简单,但是如果没有关于模型的知识,我们怎么办?

    回过头来看我们的目标,求出观测数据的概率密度模型。因此我们就会从概率密度这个定义开始分析,看有没有可以入手的地方。

    概率密度,直观的理解就是在某一个区间内,事件发生的次数的多少的问题,比如N(0,1)高斯分布,就是取值在0的很小的区间的概率很高,至少比其他等宽的小区间要高。

    我们把所有可能取值的范围分成间隔相等的区间,然后看每个区间内有多少个数据?这样我们就定义出了直方图,因此直方图就是概率密度估计的最原始的模型。

    直方图我们用的是矩形来表示纵轴,当样本在某个小区间被观测到,纵轴就加上一个小矩形。

    这样用矩形代表的模型非常粗糙,因此可以用其他的形状来表示,进一步就是核密度估计方法,这个后面会有一个翻译文章来具体讲解

    基本上,参数估计和非参数估计是概率模型里面用的非常多的基本概念,希望自己在后面忘记的时候还能想起来曾经写过的东西

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  • 参数估计

    千次阅读 2020-12-25 22:24:51
    出发点:我们以前在参数估计中都是先假设样本点的分布有一个概率密度函数形式,比如高斯分布,然后从样本中估计参数。但是,有可能根本不是,所以也有非参数法研究的必要,比如我们中学就学过频率分布直方图,但是...

    引入

    出发点:我们以前在参数估计中都是先假设样本点的分布有一个概率密度函数形式,比如高斯分布,然后从样本中估计参数。但是,有可能样本点的分布根本不是高斯分布,那么我们的结果就错了。

    本文提出的非参数法讲究不需要先假设样本服从一个什么分布,而是直接从样本中统计得到,比如频率分布直方图。

    在这里插入图片描述
    这种情况下:我们要记录的是每一组的边界和每一组的数量,然后就能描述我们的样本分布。

    理论上,如果我们样本足够多,同时将频率分布直方图组距设置得特别小,组特别多,这就是在逼近样本点的真实概率密度函数。

    一般地,样本足够多的时候其可以表示出任意类型的分布!

    基础知识

    既然非参数法这么好,下面开始介绍基础建筑。
    在这里插入图片描述
    这个很好理解,R是指这个一定区域, p ( x ′ ) p(x^{'}) p(x)是概率密度函数。就有点像二维的情况。
    在这里插入图片描述
    所以上上幅图求的是样本落在R空间的概率。
    我们继续下一个知识点。
    在这里插入图片描述
    该区域等概率密度,那么不就可以算该区域的概率密度了嘛!
    在这里插入图片描述
    而这个由最前面的概念知道,这个是在样本落在空间R中的概率,我们假设R里面有k个样本,整个空间有n个样本,那么样本落在空间R中的概率就是 k n \frac{k}{n} nk
    从而求得空间R中的概率密度函数为

    在这里插入图片描述
    我们要估计样本的概率密度函数,但是这个V如何选择呢?这就有点像你要画个频率分布直方图,组距选择多大呢?显然,我们都认为:如果样本数无穷多个,那么我们空间V就选小点,这样就可以表示得更加精确。就像下面这样:
    在这里插入图片描述
    因此:
    在这里插入图片描述
    解释:上面的 p ( x ) p(x) p(x)表示的是真实概率密度函数,我们希望可以逼近它。
    上面都是理论,下面探讨细节。
    在这里插入图片描述
    上面的大家好好看一下就行,没懂也没关系,后面会展开介绍。

    Parzen窗估计

    在这里插入图片描述
    解释:这里拓展到了高维的情况,但是低维也适用。样本空间是d维。
    然后定义了一个窗函数,即在落在窗口内则函数值为1,否则为0。这个窗口在一维是一个关于原点对称的线段,长度为1;在二维是一个关于原点中心对称的正方形,面积为1;在三维是一个关于原点中心对称的正方体,体积为1。
    在这里插入图片描述
    注:上面 h n h_n hn是边长。
    我们现在用上窗函数了,即对于任意一个样本点 x i x_i xi,只要满足向量 x − x i x-x_i xxi的某一个维度 < = h n / 2 <=h_n/2 <=hn/2,那么值为1(相当于计数器加1),这不正是我们要求的该区域内样本数吗?
    然后代入到之前的公式里。
    在这里插入图片描述
    我们发现,我们上面用的窗函数是一个超立方体内为1,我们希望推广,找到一些其他的窗函数,但要满足
    在这里插入图片描述
    即:
    在这里插入图片描述
    为什么窗函数需要满足积分为1?其实主要是因为概率密度函数积分要为1,所以推得窗函数也要。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    除了之前的方窗函数,我们也经常选用如下形式的高斯窗函数。
    在这里插入图片描述
    然后用这个来估计样本概率密度。(我们先假设1维的情况下)
    在这里插入图片描述
    例子:下面展示的是只有一个样本点,我们使用高斯窗函数,选用不同的窗口大小得到的估计结果。
    在这里插入图片描述
    请注意,这里的纵轴没有标刻度,实际上 h = 0.1 h=0.1 h=0.1的时候函数是最高的,但是很窄,方差小。即:
    在这里插入图片描述

    例子:
    假设有一批样本点,我们选定一个 h n h_n hn,有如下结果。
    在这里插入图片描述
    解释:
    显然,估计的方法是:对每一个样本点的头上套一个窗(红色),然后叠加起来求平均,就是最终的样本概率密度了(蓝色)。(上面展示的图是直接相加,没有求平均,为了好看而已)
    显然上面的窗就是下面这个式子(对比 p n ( x ) p_n(x) pn(x)的表达式即可):
    在这里插入图片描述
    注意到,这个式子积分也是为1的!自己可以推一下。
    我们知道:直观上样本数量无穷大的时候,然后我们把窗口设得比较小的时候,可以拟合真实的概率密度函数,下面也有一个理论证明:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上述求和除以n没有了是因为:
    在这里插入图片描述
    得到上述的积分等式之后,我们有结论:
    在这里插入图片描述

    我们继续举个分类的例子
    在这里插入图片描述
    使用parzen窗估计做法很简单,就是对每一类拟合一个样本概率密度函数,然后得到分界面如上所示。区别在于,在拟合样本概率密度的时候,选择窗口的大小不同会导致上面的不同,选择小的窗口可以带来过拟合。
    在这里插入图片描述
    改进办法:根据局部密度采用自适应窗口大小。
    在这里插入图片描述

    K近邻估计

    如何计算样本概率密度?
    在这里插入图片描述
    个人觉得V也是一个与k有关的数,k越大,V也越大。
    那么如何选择k呢?
    在这里插入图片描述
    例子:
    在这里插入图片描述
    有人难以理解,为什么是这样,我们可以假设k=1,那么变成最近邻,在任意样本点 x i x_i xi上面,其概率密度函数为 p n ( x i ) = 1 / n 0 = ∞ p_n(x_i)=\frac{1/n}{0}=\infty pn(xi)=01/n=。即k越小越突兀。为什么 V n V_n Vn为0?因为对于 x i x_i xi而言,最近的样本点是 x i x_i xi,所以,在一维平面上,有 V n = x i − x i = 0 V_n=x_i-x_i=0 Vn=xixi=0。即 V n V_n Vn是指最近的那个样本点到 x x x的距离的两倍(在一维中是距离或叫线段长度)。
    一般地,一维中有:
    在这里插入图片描述
    x k N N x_{kNN} xkNN是指离 x x x第k个最近的点。
    拓展,在二维中 V n V_n Vn是圆的面积,三维中是球体的体积。
    使用KNN来贝叶斯分类:
    在这里插入图片描述
    非常精彩,红色公式中下面是 p ( x ) p(x) p(x),上面是 p ( x , w i ) p(x,w_i) p(x,wi)联合概率密度。而且,这和我们的投票方法是一样的, k i k_i ki中谁大就分给谁。
    当然还有使用KNN分类的办法,上面不是唯一的。
    在这里插入图片描述
    原因很简单,因为 n n n趋于无穷的时候, p ( x ) p(x) p(x)估计准确,所以趋近于贝叶斯错误率。
    下面介绍一个特殊情况:最近邻分类。
    在这里插入图片描述

    K近邻的快速计算

    先计算部分欧式距离,总共d维,先计算前r维的距离。

    在这里插入图片描述
    假设:我们是快速计算最近邻。
    那么快速计算的方法是:先计算x对第一个样本的全部距离,设为最小值,然后计算与第二个样本的部分距离,一旦超过最小值,后面的部分距离就不用算了。
    再介绍一个思路
    在这里插入图片描述
    即先将样本预处理,将圆形黑色删除,因为删除不会导致误判!

    还有一些其他的算法,比如人工智能中很多非常重要的搜索算法,这里可能用得上!总之,应该意识到,快速计算非常重要,否则如果100万个点,k近邻很慢。

    Parzen窗方法的快速计算

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    其中:
    在这里插入图片描述
    这样,预测x的类别的时候就方便了。 b j b_j bj早就算好了,算个 p n ( x ) p_n(x) pn(x)就行。
    例子:
    在这里插入图片描述
    展开到第2项。
    在这里插入图片描述
    从而提前计算好 b 1 , b 2 , b 0 b_1,b_2,b_0 b1,b2,b0即可。

    总结

    非参数估计和参数估计有联系但有很大区别,两者都非常重要。前者假定有一个概率密度函数形式,后者可以处理具有任意概率分布形式的数据。
    讨论:非参数估计中,在我们对所有训练样本非参数估计后,按理可以得到一个概率密度函数,一般这个是一个具有非常多参数的函数,我们可以保存起来,然后丢弃所有样本,就像在参数估计一样。但是也要注意到,正文中两个快速计算方法都是基于局部空间临时计算概率密度,即所有样本都还要保留,可见这是另一种做法。

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    千次阅读 2021-02-06 13:19:38
    原标题:18种Eviews方程参数估计方法汇总​目录1、LS最小二乘法,可以用于线性回归模型、ARMA等模型2、TSLS两阶段最小二乘法3、GMM 广义矩估计方法4、ARCH 自回归条件异方差,还可以估计其他各种ARCH模型,如 GARCH...
  • 大体上还是遵循着贝叶斯决策论,主要有两个非参数估计的方向: 从训练样本中估计类条件概率密度:p(x∣ωi)p(\textbf{x}|\omega_i)p(x∣ωi​) 直接估计后验概率:P(ωj∣x)P(\omega_j|\textbf{x
  • end %参数估计 predict_ex = sum(sample)/100; sample1 = sample.^2; square_sum = sum(sample1); predict_dx = square_sum/100 - predict_ex*predict_ex; %求置信区间 left_ex = predict_ex - 1.9842*sqrt(predict...
  • 文章目录一 参数估计二 最大似然估计2.1 参数分量2.2 基本原理2.3 高斯情况2.3.1 协方差矩阵Σ\SigmaΣ已知,而均值μ\muμ未知2.3.2 协方差矩阵Σ\SigmaΣ和均值μ\muμ都未知三 贝叶斯估计3.1 基本原理3.2 高斯...
  • 描述性统计、参数估计和假设检验

    万次阅读 多人点赞 2021-04-03 01:15:43
    描述性统计分析 描述性统计所提取的统计的信息称为统计量,包括频数与频率,反映集中趋势的均值、中位数、众数和分位数,反映离散程度的极差、方差和标准差,反映分布形状(相对于正态分布)的偏度和峰度。...
  • 在机器学习的参数估计(学习)中,常见三种更新方法:梯度下降,极大似然,EM算法;它们的本质目的均是让模型更好地拟合目标分布;在学习三种算法的联系前,需要先了解牛顿法; 牛顿法迭代 先从经典的牛顿法开始,...
  • C语言中宏定义分两种,无参的宏和有参的宏无参数的宏无参数定义的一般形式为:#define name value//name是你起的名字,就跟起函数名一样,value是你要给这个名字赋予什么值//示例:#include using namespace std;...
  • 问题描述 1. 最大似然估计 2. 贝叶斯参数估计 3. 顺序(sequential)贝叶斯学习
  • 极大似然估计定义:似然函数定义:极大似然估计二.点估计的优良性准则引入1.无偏性2.有效性3.一致性三.区间估计引入:定义:置信区间定义:区间估计单个正态总体参数的区间估计1.σ2\sigma^2σ2已知,μ\muμ的置信...
  • 第二章、多元正态分布及参数估计这一讲主要是给出概率论中若干概念向高维的推广2.1随机向量一、随机向量的联合分布、边缘分布和条件分布1、多元数据 维随机向量: ,其中每个 都是随机变量随机矩阵: ,其中每个 都...
  • 2 EKF参数估计 2.1 EKF法则 根据上一时刻状态变量的最优估计值 、状态变量方差阵 、状态转移矩阵 、状态转移噪声矩阵 ,根据EKF法则可以得到下一时刻的先验状态与先验方差阵 : 根据当前时刻的观测向量、观测...
  • 但是,我们可以稍微对进行一些变换,就可实现利用fminsearch进行参数估计。 例如,原始信号发生器模型为:Z=3*exp(-0.4*x)+12*exp(-3.2*x); 假设有两个参数我们未知,即我们要进行参数估计的模型为 z=a(1)*exp(a(2)...
  • 参数估计:根据观测到的服从分布的一个样本y,估计参数x的值。而最大似然估计,则是选择是的似然函数在y的观测值处最大的那个参数作为x,直白地说,已知y的观测值,找到使y得观测值出现的概率最大的参数x。 即,...
  • 前面,我们讨论了参数估计。它是用样本算得的一个值去估计未知参数。但是,点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围,使用起来把握不大。区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 。 ...
  • 本文主要参考“运动模糊图像PSF 参数估计与图像复原研究” 目录运动模糊图像的退化模型运动模糊参数估计,运动方向运动模糊尺度运动模糊图像的修复matlab实现 运动模糊图像的退化模型 图像修复的关键在于退化模型的...
  • 格兰杰检验定义如下:有两个经济变量 X、Y,在包 含了 X、Y 两个变量的过去信息的条件下对 Y 的 预测效果一定会优于仅在变量 Y 的过去信息条件下对 Y 所做出的预测效果,则我们可以认为变 量 X 是变量 Y 的 Granger ...
  • 第六章 参数估计

    2021-08-12 20:13:41
    第六章 参数估计点估计的几种方法:矩估计、最大似然估计、贝叶斯估计矩估计-替换原理最大似然估计点估计的评价标准相合性无偏性有效性综合:均方误差最小方差无偏估计贝叶斯估计引入统计推断的基础贝叶斯公式的密度...

空空如也

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