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  • 虽然非计算机专业,但因为一些原因打算学习西瓜书,可由于长时间没有碰过概率统计的知识,有所遗忘。所以特意重新复习了一遍类似的知识,写在这里权当总结。...参数估计的方法有多种,各种估计方法得出的结果不一定...

     

    虽然非计算机专业,但因为一些原因打算学习西瓜书,可由于长时间没有碰过概率统计的知识,有所遗忘。所以特意重新复习了一遍类似的知识,写在这里权当总结。主要参考《概率论与数理统计》(陈希孺)。

    参数估计就是根据样本推断总体的均值或者方差、或者总体分布的其他参数。可以分两种,一种是点估计(估计一个参数的值),另一种是区间估计(估计一个参数的区间)。参数估计的方法有多种,各种估计方法得出的结果不一定相同,很难简单的说一个必定优于另一个。

    点估计

    点估计主要有三种方法:矩估计、最大似然估计、贝叶斯估计。

    矩估计

    定义kk 阶样本原点矩为 $$a_k=\frac{1}{n}\sumn_{i=1}X_ik$$若k=1k=1则原点矩显然就是样本均值 X¯X¯;再定义kk 阶样本中心矩

     

    mk=1n∑i=1n(Xi−X¯)k.mk=1n∑i=1n(Xi−X¯)k.

     

    另一方面,总体分布设为

    f(x;θ1,θ2,...,θk)f(x;θ1,θ2,...,θk)


    则有mm阶原点矩

    αm=∫xmf(x;θ1,θ2,...,θk)dx.αm=∫xmf(x;θ1,θ2,...,θk)dx.


    矩估计的思想就是:令样本kk 阶矩等于总体kk 阶矩,得到一组方程,由此反解出{θi}{θi}.
    一般原则是要求解nn个参数,就选nn个最低阶的矩,令它们相等并反解。

    例题:设X1,...,XnX1,...,Xn为区间 [θ1,θ2][θ1,θ2] 上均匀分布总体中抽出的nn个样本,估计出θ1,θ2θ1,θ2.
    计算出样本中心矩m1=∑iXi/nm1=∑iXi/n和m2=∑iX2i/nm2=∑iXi2/n.再计算出总体中心矩分别为θ1+θ22θ1+θ22 和 (θ1+θ2)212(θ1+θ2)212,令它们对应相等,解出来两个 θθ 即可。

    极大似然估计

    符号同前,样本(X1,...,Xn)(X1,...,Xn)的联合概率密度(PDF)为

    f(x1;θ1,...,θk)f(x2;θ1,...,θk)...f(xn;θ1,...,θk).f(x1;θ1,...,θk)f(x2;θ1,...,θk)...f(xn;θ1,...,θk).


    现在反过来,固定样本{Xi}{Xi}而把上面PDF看作关于{θi}{θi}的“密度函数”,加引号是因为实际上{θi}{θi}是固定参数而非随机变量,这里可以叫做似然函数(likehood, 而非probability)。既然似然函数的{Xi}{Xi}固定,那么可以认为最可能的{θi}{θi}取值必然是使得似然函数最大的那组取值。也就是说{θi}{θi}的估计值是使得下面表达式最大的那个值

    L(X−1,⋯,Xn;θ1,⋯,θk)=∏i=1nf(Xi;θ1,⋯,θk)L(X−1,⋯,Xn;θ1,⋯,θk)=∏i=1nf(Xi;θ1,⋯,θk)

    上式为累乘,取对数变为求和累加,称为对数似然函数(因为对数函数也同一点取得最大值)

    lnL=∑i=1nlnf(Xi;θ1,⋯,θk)lnL=∑i=1nlnf(Xi;θ1,⋯,θk)

    如果函数性质足够好,用上式分别对{θi}{θi}求导令其为零,求得驻点再验证极值点和最值点。

    例题:设X1,⋯,XnX1,⋯,Xn为从[0,θ][0,θ]均匀分布总体中抽取的样本,估计参数θθ.
    直接看出来单个样本密度函数为θ−1θ−1,所以似然函数为

    L={θ−n0<Xi<θ,i=1,⋯,n\0otherL={θ−n0<Xi<θ,i=1,⋯,n\0other

    函数性质不够好,需要直接求最大值:在函数非零区间内,θθ越小函数值越大,而θθ最小值为max{Xi}max{Xi},这就是估计值。
    所以直观看来,极大似然估计给出了一个比较奇怪的估计值: 它认为样本的最大值就是总体的上界

    贝叶斯估计

    贝叶斯估计参数时,最好需要对参数的分布状况有一个先验的了解,以单参数θθ为例,假设根据经验,其先验分布为h(θ)h(θ).这里虽然θθ的确是一个确定的参数,谈不上概率分布,但是在贝叶斯估计这套理论中,必须根据经验或者历史给出这么一个"先验分布"。h(θ)h(θ)必须非负,但不要求归一,不归一时称为"广义先验密度"。
    参数为θθ且样本为{Xi}{Xi}的概率为(PDF)

     

    h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta)$$这样,它关于$\{X_i\}$的边缘密度为
    $$p(X_1,\cdots,X_n)=\int h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta){\rm d}\theta$$由此得到在$\{X_i\}$给定条件下,$\theta$的条件概率密度为
    $$h(\theta|X_1,\cdots,X_n)=h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta)/p(X_1,\cdots,X_n)$$上式给出来了在抽到样本$\{X_i\}$情况下的参数$\theta$的概率密度,称为“后验密度”,**形式上看就是一个带有连续参数的贝叶斯公式**。获得上面条件概率表达式以后,$\theta$的估计值如何求,有多种方式,比如,求这个分布的均值作为$\theta$的估计值。

    > 例题:做$n$次独立重复试验,每次观察事件$A$是否发生,$A$在每次试验中发生的概率为$p$,用试验结果估计$p$.
    > 设先验密度为$h(p)$,设$A$发生记为$X_i=1$,否则记为$X_i=0$. 对于样本$X_i$,$P(X_i=1)=p$而$P(X_i=0)=1-p$,所以事件$(X_1,\cdots,X_n)$概率密度为$$p^S(1-p)^{n-S}$$其中$S=\sum_iX_i$,所以后验密度为$$h(p|X_1,\cdots,X_n)=\frac{h(p)p^S(1-p)^{n-S}}{\int_0^1h(p)p^S(1-p)^{n-S}{\rm d}p}$$不妨取上式均值$\hat{p}$为$p$的估计值。如果取$h(p)$为均匀分布,则经过化简计算可得$\hat{p}=(S+1)/(n+2)$.
    > 用期望(一阶原点矩)去估计的结果是$S/n$,在$n$很大时,两者相同;在$n$很小,比如$n=1,S=1$时,期望估计给出$\hat{p}=1$,而贝叶斯估计给出$\hat{p}=2/3$.

    ###点估计的准则
     前面提到的参数的点估计方法有三种,在确定的情况下,应该选择哪种估计更恰当,这就是估计优良性准则的问题。
    ####无偏性
    字面意思就是一个估计没有偏差。
    > 定义:假设某总体的分布包含位置参数$\theta_1,\cdots,\theta_k$,而$X_1,\cdots,X_n$为抽取出的样本,要估计的统计量设为$g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$,$g(\cdot)$为一已知函数,设$\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)$为一个估计量,如果对于任何的$\theta_1,\cdots,\theta_k$取值,都有
    $$E_{\theta_1,\cdots,\theta_k}[\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)]=g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$$则称$\hat{g}(\cdot)$为$g$的一个无偏估计量。

    上式$E(\cdot)$求期望算符有下标,表示在系统参量分别为某$\theta_1,\cdots,\theta_k$时,抽取样本$\{X_i\}$,计算$\hat{g}$,再对不同抽取的样本进行求期望操作(**固定**$\theta$,**对样本求期望**)。**上面定义并未对样本容量**$n$**提出要求。**
    注意,$E(\cdot)$**括号里面本质上是一个随机变量**,所以这才能求期望。

    > 例题:可以证明,样本均值$\bar{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计,样本方差$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i(X_i-\bar{X})^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计;但是样本中心二阶矩$\frac{1}{n}\sum_i(X_i-\bar{X})^2$并非总体方差的无偏估计,而且样本标准差$s$并非总体标准差的无偏估计。

    在前面的极大似然估计那里的例题,给出的$\theta$的估计值是抽取到的样本的最大值,可以证明它并非无偏估计。
    >例题:如何把上面的$\hat{\theta}$修正为无偏估计。
    >先计算出$E_{\theta}(\hat{\theta})$.前面说过$E(\cdot)$里面的$\hat{\theta}$本质上是一个随机变量,为求其期望,需要求出它的密度分布函数PDF,为此可以先求出它的累积分布函数CDF。下式为$\hat{\theta}$的CDF$$G_{\theta}(x)=\begin{cases}0&x\leqslant0\\\displaystyle\left( \frac{x}{\theta}\right)^n&0< x<\theta\\1&x\geqslant\theta\end{cases}$$对于上式第二行的解释:当$0< x<\theta$,则想要事件$\{\hat{\theta}<x\}$发生,则必须有$$\{X_1<x\},\{X_2<x\},\cdots,\{X_n<x\}$$同时发生(因为$\hat{\theta}$为它们中的最大值),而它们是独立事件,每个事件发生的概率$P(X_i<x)=x/\theta$ (因为均匀分布)。对上式求导得到随机变量$\hat{\theta}$的PDF为$$g_{\theta}(x)=\begin{cases}nx^{n-1}/\theta^n&0<x<\theta\\0&\text{other}\end{cases}$$有了PDF就可以求期望$$E_{\theta}(\hat{\theta})=\int_0^{\theta}xg_\theta(x){\rm d}x=\frac{n}{n+1}\theta$$所以如果要使用这个估计值,就应该**乘以**$\frac{n+1}{n}$**因子才能成为无偏估计**。

    ####相合性
    相合性的字面意思和无偏性几乎一样,但数学本质是不同的,是对参数估计量**完全不同的两个方面的描写**。大数定理说的是,如果$X_1,\cdots,X_n$独立同分布均值为$\mu$,则对于任意给定的正数$\varepsilon$都有$$\lim_{n\to\infty}P(|\bar{X}-\mu|\geqslant\varepsilon)=0.$$相合性大致相当于大数定理的一种“推广”。

    > 定义:设总体分布依赖于参数$\theta_1,\cdots,\theta_k$,而$g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$是一个给定的函数。设$X_1,\cdots,X_n$为抽取的样本,而$\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)$为一个估计量,则对于任意的正数$\varepsilon$,有$$\lim_{n\to \infty}P_{\theta_1,\cdots,\theta_k}(|\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)-g(\theta_1,\cdots,\theta_k)|\geqslant\varepsilon)=0h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta)$$这样,它关于$\{X_i\}$的边缘密度为$$p(X_1,\cdots,X_n)=\int h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta){\rm d}\theta$$由此得到在$\{X_i\}$给定条件下,$\theta$的条件概率密度为$$h(\theta|X_1,\cdots,X_n)=h(\theta)\prod_{i=1}^nf(X_i,\theta)/p(X_1,\cdots,X_n)$$上式给出来了在抽到样本$\{X_i\}$情况下的参数$\theta$的概率密度,称为“后验密度”,**形式上看就是一个带有连续参数的贝叶斯公式**。获得上面条件概率表达式以后,$\theta$的估计值如何求,有多种方式,比如,求这个分布的均值作为$\theta$的估计值。> 例题:做$n$次独立重复试验,每次观察事件$A$是否发生,$A$在每次试验中发生的概率为$p$,用试验结果估计$p$.> 设先验密度为$h(p)$,设$A$发生记为$X_i=1$,否则记为$X_i=0$. 对于样本$X_i$,$P(X_i=1)=p$而$P(X_i=0)=1-p$,所以事件$(X_1,\cdots,X_n)$概率密度为$$p^S(1-p)^{n-S}$$其中$S=\sum_iX_i$,所以后验密度为$$h(p|X_1,\cdots,X_n)=\frac{h(p)p^S(1-p)^{n-S}}{\int_0^1h(p)p^S(1-p)^{n-S}{\rm d}p}$$不妨取上式均值$\hat{p}$为$p$的估计值。如果取$h(p)$为均匀分布,则经过化简计算可得$\hat{p}=(S+1)/(n+2)$.> 用期望(一阶原点矩)去估计的结果是$S/n$,在$n$很大时,两者相同;在$n$很小,比如$n=1,S=1$时,期望估计给出$\hat{p}=1$,而贝叶斯估计给出$\hat{p}=2/3$.###点估计的准则 前面提到的参数的点估计方法有三种,在确定的情况下,应该选择哪种估计更恰当,这就是估计优良性准则的问题。####无偏性字面意思就是一个估计没有偏差。> 定义:假设某总体的分布包含位置参数$\theta_1,\cdots,\theta_k$,而$X_1,\cdots,X_n$为抽取出的样本,要估计的统计量设为$g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$,$g(\cdot)$为一已知函数,设$\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)$为一个估计量,如果对于任何的$\theta_1,\cdots,\theta_k$取值,都有$$E_{\theta_1,\cdots,\theta_k}[\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)]=g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$$则称$\hat{g}(\cdot)$为$g$的一个无偏估计量。上式$E(\cdot)$求期望算符有下标,表示在系统参量分别为某$\theta_1,\cdots,\theta_k$时,抽取样本$\{X_i\}$,计算$\hat{g}$,再对不同抽取的样本进行求期望操作(**固定**$\theta$,**对样本求期望**)。**上面定义并未对样本容量**$n$**提出要求。**注意,$E(\cdot)$**括号里面本质上是一个随机变量**,所以这才能求期望。> 例题:可以证明,样本均值$\bar{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计,样本方差$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i(X_i-\bar{X})^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计;但是样本中心二阶矩$\frac{1}{n}\sum_i(X_i-\bar{X})^2$并非总体方差的无偏估计,而且样本标准差$s$并非总体标准差的无偏估计。在前面的极大似然估计那里的例题,给出的$\theta$的估计值是抽取到的样本的最大值,可以证明它并非无偏估计。>例题:如何把上面的$\hat{\theta}$修正为无偏估计。>先计算出$E_{\theta}(\hat{\theta})$.前面说过$E(\cdot)$里面的$\hat{\theta}$本质上是一个随机变量,为求其期望,需要求出它的密度分布函数PDF,为此可以先求出它的累积分布函数CDF。下式为$\hat{\theta}$的CDF$$G_{\theta}(x)=\begin{cases}0&x\leqslant0\\\displaystyle\left( \frac{x}{\theta}\right)^n&0< x<\theta\\1&x\geqslant\theta\end{cases}$$对于上式第二行的解释:当$0< x<\theta$,则想要事件$\{\hat{\theta}<x\}$发生,则必须有$$\{X_1<x\},\{X_2<x\},\cdots,\{X_n<x\}$$同时发生(因为$\hat{\theta}$为它们中的最大值),而它们是独立事件,每个事件发生的概率$P(X_i<x)=x/\theta$ (因为均匀分布)。对上式求导得到随机变量$\hat{\theta}$的PDF为$$g_{\theta}(x)=\begin{cases}nx^{n-1}/\theta^n&0<x<\theta\\0&\text{other}\end{cases}$$有了PDF就可以求期望$$E_{\theta}(\hat{\theta})=\int_0^{\theta}xg_\theta(x){\rm d}x=\frac{n}{n+1}\theta$$所以如果要使用这个估计值,就应该**乘以**$\frac{n+1}{n}$**因子才能成为无偏估计**。####相合性相合性的字面意思和无偏性几乎一样,但数学本质是不同的,是对参数估计量**完全不同的两个方面的描写**。大数定理说的是,如果$X_1,\cdots,X_n$独立同分布均值为$\mu$,则对于任意给定的正数$\varepsilon$都有$$\lim_{n\to\infty}P(|\bar{X}-\mu|\geqslant\varepsilon)=0.$$相合性大致相当于大数定理的一种“推广”。> 定义:设总体分布依赖于参数$\theta_1,\cdots,\theta_k$,而$g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$是一个给定的函数。设$X_1,\cdots,X_n$为抽取的样本,而$\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)$为一个估计量,则对于任意的正数$\varepsilon$,有$$\lim_{n\to \infty}P_{\theta_1,\cdots,\theta_k}(|\hat{g}(X_1,\cdots,X_n)-g(\theta_1,\cdots,\theta_k)|\geqslant\varepsilon)=0

     

    由上面的定义,大数定理无非就是表达了"样本均值是总体均值的相合的估计量"这层意思。注意这里没有对不同的样本求期望,而是令样本容量趋于无穷,这是和无偏性的差别

    最小方差误差

    如果现在有两个无偏估计,要在一起比较性能,则可以比较其方差的大小,方差越小,估计量越稳定。上面说过了,估计量g^(X1,⋯,Xn)g^(X1,⋯,Xn)本质上还是一个随机变量,其随机性来自于{Xi}{Xi}的随机性。所以估计量的方差,就是这个随机变量通常意义下的方差而已。
    如果一个无偏估计g^g^对于任何其他的无偏估计g^1g^1以及任何的{θi}{θi}取值,都有更小的方差,则称此g^g^为一个最小方差无偏估计(MVU)。

    区间估计

    前面说的参数估计,是利用各种方法把一个分布中的未知参数根据样本求出估计值,所以叫做点估计。区间估计则是把未知参数估计到一个区间中,并给出置信系数。

    定义:给定一个小量α∈[0,1]α∈[0,1],下式概率等于1−α1−α,对于参数θθ的任何取值都成立,则称区间估计[θ^1,θ^2][θ^1,θ^2]的置信系数为1−α1−α.

    Pθ(θ^1(X1,⋯,Xn)⩽θ⩽θ^2(X1,⋯,Xn))Pθ(θ^1(X1,⋯,Xn)⩽θ⩽θ^2(X1,⋯,Xn))

    有时候难以找到恰当的αα恰好使得上式概率为1−α1−α,常常找到一个稍大的ββ,使得上式不小于1−β1−β。所以如果找到这样的ββ,则称1−β1−β为区间的置信水平。置信系数为最大的置信水平

    枢轴变量法

    先来定义某分布(比如正态分布)的上ββ分位点Φ(μβ)=1−βΦ(μβ)=1−β,其中Φ(⋅)Φ(⋅)为一个累积分布函数CDF. 或者如下图,图中是一个分布的PDF,μβμβ为其上ββ分位点。

    例题:样本X1,⋯,XnX1,⋯,Xn来自于正态总体N(μ,σ2)N(μ,σ2),σ2σ2已知,根据样本求μμ的区间估计。
    由概率论知识,n−−√(X¯−μ)/σ∼N(0,1)n(X¯−μ)/σ∼N(0,1),以ΦN(x)ΦN(x)表示标准正态分布的CDF,则有

    P(−μα/2<n−−√(X¯−μ)/σ<μα/2)=Φ(μα/2)−Φ(−μα/2)=1−αP(−μα/2<n(X¯−μ)/σ<μα/2)=Φ(μα/2)−Φ(−μα/2)=1−α

    ⇒P(X¯−σμα/2⩽μ⩽X¯+σμα/2)=1−α⇒P(X¯−σμα/2⩽μ⩽X¯+σμα/2)=1−α

    依据定义,μμ的置信系数为1−α1−α的区间估计是[X¯−σμα/2,X¯+σμα/2][X¯−σμα/2,X¯+σμα/2].

    在此问题中,随机变量Y=n−−√(X¯−μ)/σY=n(X¯−μ)/σ起到了中间人的作用,所以叫它枢轴变量。总的思路是,先利用概率论知识找枢轴变量,使得枢轴变量整体服从某个完全已知的分布(此问题中为N(0,1)N(0,1)),再根据分位点的意义,列出方程P(A<Y<B)=1−αP(A<Y<B)=1−α,其中A,BA,B为和αα有关的分位点。最后将不等式A<Y<BA<Y<B改写成a<θ<ba<θ<b的形式,结合区间估计的定义即可得出结论。

    另外,此问题中σ2σ2已知,如果未知也可以做,做法如下:
    根据概率论知识,有枢轴变量n−−√(X¯−μ)/sn(X¯−μ)/s服从自由度为n−1n−1的tt分布(此分布完全确定),其余步骤模仿例题,得出置信系数为1−α1−α的区间估计为

    [X¯−stn−1(α/2)/n−−√,X¯+stn−1(α/2)/n−−√][X¯−stn−1(α/2)/n,X¯+stn−1(α/2)/n]

    其中tn−1(α/2)tn−1(α/2)为分位点。

    如果找到的枢轴变量不严格满足某特定已知分布,但nn很大以至于可以近似满足某已知分布,则可以结合中心极限的思想,做一个近似,姑且认为枢轴变量满足。这叫做大样本近似。

    置信界(单侧估计)

    前面的枢轴变量法找的是区间的两个端点,有时候不需要两个端点,而只需要估计参数是不是大于(小于)某个值。

    若对参数θθ的一切取值,有

    Pθ(Θ(X1,⋯,Xn)⩾θ)=1−αPθ(Θ(X1,⋯,Xn)⩾θ)=1−α

    成立,则称ΘΘ为一个置信系数为1−α1−α的置信上界。若将⩾⩾换为⩽⩽则称ΘΘ为一个置信系数为1−α1−α的置信下界。

    解决问题的方法和两个端点的枢轴变量法一样,只不过不等式都变成了单边的了而已。

    贝叶斯法

    贝叶斯法处理统计问题的思路都是相似的,这里还是必须先假定一个先验密度函数h(θ)h(θ),设样本X1,⋯,XnX1,⋯,Xn,计算出后验密度函数h(θ|X1,⋯,Xn)h(θ|X1,⋯,Xn),找出两个值θ1,θ2θ1,θ2使得

    ∫θ2θ1h(θ|X1,⋯,Xn)dθ=1−α∫θ1θ2h(θ|X1,⋯,Xn)dθ=1−α

    成立,则区间[θ1,θ2][θ1,θ2]可以作为一个区间估计,后验信度为1−α1−α.
    一般来说会有很多θ1,θ2θ1,θ2满足条件,选择的原则通常是使得|θ1−θ2||θ1−θ2|最小。

    贝叶斯法和枢轴变量法的区别

    枢轴变量那一套方法是奈曼理论(J.Neyman),而贝叶斯(Bayes)理论与其观念上有根本区别。奈曼理论中,置信系数为0.950.95的确切意思是:对于给定的参数θθ,抽取样本,根据样本计算区间,则这样的行为每进行100100次,平均有且仅有9595次计算出来的区间包含真实的参数θθ;而贝叶斯法的后验信度为0.950.95的意思是:计算出来的区间包含真实参数的相信程度为0.950.95.

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  • 东北大学应用数理统计第二章知识点总结——参数估计,知识点总结PDF版本 内容详见https://blog.csdn.net/qq_36770651/article/details/109829564
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    常见的三种参数估计的方法:最大似然估计法、最大后验估计法、贝叶斯估计法

    示例情景:θ为抛一次硬币下面朝上的概率,其服从参数α和β的Beta分布,而X=(x1, x2)则是一个向量,表示观测结果,x1表示观测到正面的个数,x2表示观测到反面的个数。

    其中α、β、X为已知量,我们的目标是求参数θ

    ML:最大似然估计法

    MAP:最大后验估计法

    Bayesian Estimation:贝叶斯估计法

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  • 机器学习中的模型参数估计方法:极大似然估计、贝叶斯估计、最大后验估计。
  • 关于参数估计

    千次阅读 2018-01-25 18:11:08
    虽然非计算机专业,但因为一些原因打算学习西瓜书,可由于长时间没有碰过概率统计的知识,有所遗忘。所以特意重新复习了一遍类似的知识,写在这里权当...参数估计的方法有多种,各种估计方法得出的结果不一定相同,...
  • 参数估计、点估计、极大似然估计

    千次阅读 2019-04-19 09:01:28
    1.参数估计 随机变量XXX的分布函数已知,但它的一个或多个参数未知,我们需要根据已有样本,估计XXX分布函数的参数。 2. 点估计 随机变量XXX的分布函数已知,但它的一个或多个参数未知,根据XXX的一个样本估计...
  • 机器学习之参数估计

    千次阅读 2018-11-27 17:09:43
    学习,无论人还是机器,就是去总结归纳这个F(*)。 当这个规律异常复杂从而无法显式地用数学公式直接写出来或者编程,而同时我们又围绕这个规律掌握有大量的(x,y)因果样本时,就可以采取数据驱动的方式(data-...
  • 机器学习中的参数估计方法

    千次阅读 2018-08-24 13:31:31
    概率模型的训练过程就是参数估计(parameter estimation)的过程。对于参数估计,统计学界的两个学派分别提供了不同的解决方案: 频率主义学派(Frequentist)认为参数虽然未知,但却是客观存在的固定值,因此,可...
  • 本文总结了共七个类别的神经网络的计算量和参数量的估计方法,总的来说就是:减少参数,降低精度,融合计算单元步骤。 Github:本文代码放在该项目中:NLP相关Paper笔记和代码复现 ...
  • 三、抽样与参数估计

    千次阅读 2021-01-29 22:04:29
    令E代表所希望达到的估计误差,即: 据此可以推导出重复抽样或无限总体抽样条件下确定样本量的公式如下: 总结: 1、抽样分布是参数估计中的一个重要概念,是抽样估计的基础 抽样分布是指样本统计量的分布,样本均值...
  • 一、参数估计 什么叫做参数估计参数估计(parameter estimation),统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。 从估计形式看,区分为点估计与区间估计: 从构造估计量的方法...
  • 对目前参数估计的方法进行了总结与对比.针对不完整数据参数估计时的情况,分析了目前关于参数估计方法存在的问题.利用Mat1ab求解非线性方程,提出了一种高精度数值解析法.利用少量的实验数据便可求出一组参数的解,然后...
  • 第六章 参数估计(Parameter estimation) 样本估计整体: 在统计学中,由于大多数情况下难以获得总体的情况,所以人们通常选择通过样本去估计总体(主要是通过样本的统计量估计总体的统计量)。 参数估计:通常为...
  • R语言学习笔记(四)参数估计

    千次阅读 2020-07-04 22:42:27
    总结一下数理统计中的参数估计,即点估计(矩估计、极大似然估计)和区间估计(置信区间)部分的R语言实现
  • 进行非参数估计 首先,让我们尝试使用传统的普通最小二乘回归。 reg perf2 income grant Source | SS df MS Number of obs = 10,000 -------------+---------------------------------- F(2, 9997) = 5734.77 Model...
  • 几种常见的参数估计

    千次阅读 2015-04-29 09:29:15
    参数估计有点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)两种。 点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值,如数学期望、方差和相关系数等。点...
  • 【数学基础】参数估计之极大似然估计

    千次阅读 多人点赞 2018-08-07 00:05:20
    这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题,极大似然估计就是一种参数估计方法。当然了,概率密度函数的选取很重要, 模型正确 ,在样本区域无穷时,我们会得到较准确的估计值,如果模型都错了,那估计半天的参数...

空空如也

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