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  • 数理统计:参数估计

    千次阅读 2020-12-29 22:57:30
    learning why, thinking what, then forgetting how. 随着时间的流逝,知识总会被遗忘和...统计推断主要分为参数估计和假设检验,参数估计又分为点估计和区间估计。 2.1 参数的点估计 首先提出参数和参数的估计量的.

    learning why, thinking what, then forgetting how.

    随着时间的流逝,知识总会被遗忘和被沉淀,我们无法选择去遗忘那一部分,但是我们可以选择去沉淀那一部分

    教材为:《数理统计(孙海燕等)》


    第二章 参数估计

    在解决实际问题中,当确定了总体的分布族后,我们要从样本来推断总体的具体分布或感兴趣的总体特征数。例如,总体的数学期望方差等。统计推断主要分为参数估计假设检验,参数估计又分为点估计区间估计


    2.1 参数的点估计

    首先提出参数参数的估计量的概念。

    • 参数:任何与总体有关的待估计量都看成参数。它可以是决定总体分布的参数θ本身,也可以是θ的实函数。不局限于参数统计范围,总体数学期望和方差等特征数也看成参数。
    • 参数的估计量:用于估计参数或其实函数的实值统计量。其值称为估计值。

    参数估计的实质:构造合适的统计量,作为参数的实函数的估计

    常见的参数估计方法:

    • 替换原理法:
      1. 频率替换法
      2. 矩估计法
    • 极大似然估计法
    • EM 算法

    2.1.1 频率替换估计

    1. 根据样本已知的频率确定一个使用的概率
    2. 将概率表示成待估计量的函数。
    3. 将待估计量反解成概率的函数。
    4. 使用已知样本频率替换总体概率。

    频率替换法所获得的估计可能不是唯一的。需要评估那个较优。

    2.1.2 矩估计

    大数定律可知,若总体矩存在,则样本矩依概率几乎必然收敛于相应的总体矩。只要总体矩存在,就可以用相应的样本矩作为总体矩的合理估计

    1. 使用待求的参数的函数表示总体原点矩总体中心矩
    2. 将待求的参数反解为总体原点矩或总体中心距的函数。
    3. 使用已知的样本原点矩或样本中心距替换总体原点矩或总体中心距。

    无论总体服从何种分布,只要总体的二阶矩存在,则样本平均值和二阶中心距就分别是总体均值和方差的矩估计

    只有总体矩存在,且总体原点绝对矩存在的阶数大于待估计参数的维数时,才能使用矩估计法来求参数的估计。

    根据不同总体矩的选择,矩估计有不唯一性,尽量选择低阶矩来估计参数。

    因为样本矩与总体分布的具体表达式无关,因此当总体的分布形式已知时,矩估计法并没有充分利用总体分布形式所提供的有关参数的信息。建立在已知总体分布形式上的估计方法就是极大似然估计法

    2.1.3 极大似然估计

    极大似然估计的直观思想:若在一次试验中,某个试验结果发生,则一般认为试验条件对这个结果的发生有利,也就是说这个结果发生的机会最大

    极大似然估计的前提一定是要假设数据总体的分布,如果不知道数据分布,是无法使用极大似然估计的。

    1. 写出联合概率分布函数作为似然函数
    2. 对似然函数取对数,并整理;
    3. 求导数,令导数为 0,得到似然方程
    4. 解似然方程,得到的参数即为参数的极大似然估计

    若考虑的参数空间不同,则极大似然估计的值会有所不同。求极大似然估计时一定要顾及参数所属的范围

    如果似然函数的偏导数不存在,或者似然方程组不存在,就只能根据原始定义采用别的方法求极大似然估计。例如穷举法求极大似然估计。

    由因子分解定理得,极大似然估计值一定是充分统计量的函数,这是极大似然估计的优点。而矩估计则不具有这样的性质。

    扩展:EM 算法(Expectation-Maximization)

    求解似然方程组可以获得极大似然估计的显式解,但是在实际中常常会遇到似然方程组难以求解的情况,此时可以求似然估计的近似解数值解。常用的求解方法有(1)Newton 法;(2)Fisher 法;(3)EM 算法等。

    前提:EM 算法和极大似然估计的前提是一样的,都要假设数据总体的分布,如果不知道数据分布,是无法使用 EM 算法的。

    问题描述:有些问题中的参数分为隐含参数模型参数,且参数之间相互依赖,单个参数易求得,而直接求出所有参数十分困难。因此可以采用迭代的方法,随机初始化一个参数,之后每次迭代求出一个参数,最终会收敛到一个解。

    算法流程

    1. 随机初始化模型参数的初始值
    2. 迭代:
      • E 步:计算隐含参数的条件概率期望
      • M 步:计算模型参数的极大似然解
    3. 迭代 E-M 步骤直到算法收敛

    算法理解:EM 算法可以理解为坐标上升法,类似梯度下降法。梯度下降法的目的是最小化代价函数,坐标上升法的目的是最优化似然函数。如下图所示,为迭代优化的路径,因为优化的函数不能直接求导,因此无法直接使用梯度下降法(或许两部的梯度下降法会有效),E-M 算法每次固定一个变量对另外的变量求极值,逐步逼近极值。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qAiY6g0v-1609253314429)(./img_statistics/em.jpg)]

    算法分析:E-M 算法可以保证收敛到一个稳定点,但是却不能保证收敛到全局的极大值点,因此它是局部最优的算法。当然,如果我们的优化目标是凸的,则 E-M 算法可以保证收敛到全局极大值,这点和梯度下降法这样的迭代算法相同。

    更详细的步骤参见EM 算法详解:人人都懂 EM 算法


    2.2 估计量的评优准则

    对同一参数用不同估计方法可能得到不同的估计,即使使用相同的估计方法也可能得到不同的估计,甚至任何统计量都可以作为参数的估计。需要讨论估计量的优良性,以下主要讨论均方误差准则无偏性准则,以及满足最小均方误差和无偏的一致最小方差无偏估计

    2.2.1 均方误差准则

    评估估计好坏的一个直观标准就是绝对误差 ∣ T ( x ) − q ( θ ) ∣ | T(x) - q(θ)| T(x)q(θ。使用数学期望消除随机因素产生的影响,使用平方以获得良好的数学性质,使用均方误差(MSE)作为评估估计好坏的标准:

    M S E θ ( T ( X ) ) = E θ [ T ( x ) − q ( θ ) ] 2 = V a r θ ( T ( X ) ) + ( E θ [ T ( x ) − q ( θ ) ] ) 2 MSE_θ( T(X) ) = E_θ [ T(x) - q(θ) ]^2 = Var_θ( T(X) ) + (E_θ [ T(x) - q(θ) ])^2 MSEθ(T(X))=Eθ[T(x)q(θ)]2=Varθ(T(X))+(Eθ[T(x)q(θ)])2

    均方误差等于方差加偏差

    总体方差的两个估计量:样本方差和样本二阶中心距。样本方差无偏,但是均方误差较大;样本二阶中心距均方误差较小,但是有偏。

    对于待估计参数,均方误差最小的估计是不存在的,因为均方误差最小总是无限趋向于完全准确估计。即所考虑的估计类的范围太大了,因此可以提出额外的合理要求,在缩小的估计类范围内寻求最优估计。最常见的合理要求就是无偏性准则

    2.2.2 无偏估计

    无偏估计即偏差为零,其均方误差等于方差

    E θ [ T ( x ) ] = q ( θ ) E_θ [ T(x) ] = q(θ) Eθ[T(x)]=q(θ)

    E θ ( T ( X ) ) = V a r θ ( T ( X ) ) E_θ( T(X) ) = Var_θ( T(X) ) Eθ(T(X))=Varθ(T(X))

    无偏估计的性质

    1. 无偏估计要求对于所有的参数 θ,估计都是无偏的。
    2. 无偏估计可能不存在
    3. 若无偏估计存在,则一般是不唯一的。
    4. 在均方误差准则下,无偏估计不一定是好的估计。无偏但是方差很大
    5. 函数变换下,无偏性可能消失。

    2.2.3 一致最小方差无偏估计

    一致最小方差无偏估计(UMVUE):在无偏估计中,方差最小的估计。

    建立在充分统计量基础上,寻找一致最小方差无偏估计的方法:利用无偏估计量对充分统计量取条件期望,可以降低无偏估计量的方差

    提出完全统计量的概念, E θ ( g ( T ) ) = 0 E_θ(g(T)) = 0 Eθ(g(T))=0,则 T 为完全统计量。

    完全充分统计量

    p ( x 1 , x 2 , … … , x n ; θ ) = c ( θ ) h ( x 1 , x 2 , … … , x n ) e x p { ∑ k = 1 m w k ( θ ) T k ( x 1 , x 2 , … … , x n ) ) } p(x_1, x_2, ……, x_n; θ) = c(θ)h(x_1, x_2, ……, x_n) exp\{ \sum^m_{k=1} w_k(θ)T_k(x_1, x_2, ……, x_n)) \} p(x1,x2,,xn;θ)=c(θ)h(x1,x2,,xn)exp{k=1mwk(θ)Tk(x1,x2,,xn))}

    如果 w(θ) 值域包含内点,则统计量 T 是完全充分的。

    Lehmann-Scheffe 定理提供了两种寻求可估函数 q(θ) 的一致最小方差无偏估计 T(x) 的方法,前提条件是必须知道完全充分统计量 S(x):

    1. q(θ) 的无偏估计 φ(x) 关于 S(x) 的条件数学期望 T ( x ) = E θ ( φ ( x ) ∣ S ( x ) ) T(x) = E_θ(φ(x) | S(x)) T(x)=Eθ(φ(x)S(x)),即为一致最小方差无偏估计。
    2. 使用 S(x) 的函数 h(S(x)) 将完全充分统计量无偏化,就可以得到一致最小方差无偏估计。

    实际的求解一致最小方差无偏估计的方法:

    1. 求解完全充分统计量,分解后w(θ) 值域包含内点
    2. 求解完全充分统计量是否无偏
    3. 构造函数使其无偏化

    2.3 信息不等式

    无偏估计方差的下界是多少?一致最小方差无偏估计的方差是否可以达到方差的下界?提出Fisher 信息量信息不等式

    Fisher 信息量为

    I ( θ ) = ( E θ [ ∂ ∂ θ l n p ( x ; θ ) ] ) 2 = − E θ [ ∂ 2 ∂ θ 2 l n p ( x ; θ ) ] I(θ) = (E_θ[\frac {\partial} {\partial θ} lnp(x;θ)])^2 = - E_θ[\frac {\partial^2} {\partial θ^2} lnp(x;θ)] I(θ)=(Eθ[θlnp(x;θ)])2=Eθ[θ22lnp(x;θ)]

    n I ( θ ) = I n ( θ ) nI(θ) = I_n(θ) nI(θ)=In(θ),而信息不等式给出了方差的下界

    V a r θ ( q ^ ) ≥ [ q ′ ( θ ) ] 2 n I ( θ ) Var_θ(\hat q) ≥ \frac {[q^{'}(θ)]^2} {nI(θ)} Varθ(q^)nI(θ)[q(θ)]2

    若信息不等式取到等号,则达到了方差的下界,为有效估计,否则可以计算有效率 [ q ′ ( θ ) ] 2 n I ( θ ) / V a r θ ( q ^ ) \frac {[q^{'}(θ)]^2} {nI(θ)} / Var_θ(\hat q) nI(θ)[q(θ)]2/Varθ(q^)

    一致最小方差无偏估计不一定是有效的,但是有效估计一定是一致最小方差无偏估计


    考试题型

    1. 均方误差
    2. 频率替换估计
    3. 矩估计
    4. 极大似然估计
    5. 一致最小方差无偏估计
    6. 凑无偏估计
    7. Fisher 信息量
    8. 判断一致最小方差无偏估计是否有效

    历年考题

    2019

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    2016

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    2015

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    2014

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  • [转载]参数估计(matlab)

    2021-04-20 14:00:41
    参数估计包含两种常用方式: 点估计和区间估计.Matlab统计工具箱给出了常用概率分布中参数的点估计 (采用最大似然估计法) 与区间估计,另外还提供了部分分布的对数似然函数的计算功能.由于点估计中的矩估计法的实质是...

    参数估计包含两种常用方式: 点估计和区间估计.

    Matlab统计工具箱给出了常用概率分布中参数的点估计 (采用最大似然估计法) 与区间估计,

    另外还提供了部分分布的对数似然函数的计算功能.

    由于点估计中的矩估计法的实质是求与未知参数相应的样本的各阶矩, 统计工具箱提供了常用的求矩函数(见第一章),

    读者可根据需要选择合适的矩函数进行点估计.

    表2.1 统计工具箱中的参数估计函数 (fit / like)

    函数名称

    函数说明

    调用格式

    unifit

    均匀分布数据的参数点估计和区间估计

    [ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X,alpha)

    expfit

    指数分布数据的参数点估计和区间估计

    [muhat,muci] = expfit(x,alpha)

    normfit

    正态分布数据的参数点估计和区间估计

    [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]

    = normfit(X,alpha)

    binofit

    二项分布数据的参数点估计和区间估计

    [phat,pci] = binofit(x,n,alpha)

    poissfit

    泊松分布数据的参数点估计和区间估计

    [lambdahat,lambdaci]

    = poissfit(X,alpha)

    说明: 调用格式只罗列了其中的一种. 需另外说明的是:

    (1) unifit和normfit的格式与其它函数均不同, 此二者要求左边的输出变量必须将参数 或 分别列出.

    (2) binofit (x,n,alpha)根据试验成功的次数x和总的试验次数n, 对 中的p进行最大似然估计,

    同时返回置信度为100(1-alpha)%的置信区间pci.

    【例2-1】(书P692.3) 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量, 其结果为 (单位:

    mm)

    232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30, 232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30

    试用矩法估计测量的真值和方差 (设仪器无系统误差).

    ·编写命令文件exercise2_3.m:

    %P66_2.3 mu与sigma^2的矩估计

    x=[232.50, 232.48, 232.15, 232.52, 232.53, 232.30,...

    232.48, 232.05, 232.45, 232.60, 232.47, 232.30];

    mu_ju=mean(x)

    sigma2_ju=var(x,1)

    ·运行命令文件exercise2_3.m:

    >> exercise2_3

    mu_ju = 232.4025

    sigma2_ju

    = 0.0255

    【例2-2】(书P692.22) 随机地从一批零件中抽取16个, 测得长度 (单位: cm) 为:

    2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10,

    2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11

    设零件长度的分布为正态的, 试求总体均值的90%的置信区间:

    (1)若

    (cm); (2) 若 未知.

    (1)·编写函数文件zestimate.m:

    %P69_2.22(1)sigma已知时mu的区间估计

    function muci=zestimate(x,sigma,alpha)

    n=length(x);

    xhat=mean(x);

    u_alpha=norminv(1-alpha/2,0,1);

    delta1=sigma/sqrt(n)*u_alpha;

    muci=[xhat-delta1,xhat+delta1];

    ·调用函数文件zestimate.m:

    >> x=[2.14, 2.10, 2.13, 2.15,

    2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14,

    2.11];

    >> sigma=0.01;

    >> alpha=0.1;

    >>

    muci=zestimate(x,sigma,alpha)

    muci = 2.1209 2.1291

    (2)·编写命令文件exercise2_22_2.m:

    %P69_2.22(1)sigma未知时mu的区间估计

    x=[2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12,

    2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11];

    alpha=0.1;

    [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]= normfit(x,alpha);

    muci

    ·运行命令文件exercise2_22_2.m:

    >> exercise2_22_2

    muci = 2.1175 2.1325

    【例2-3】(书P66例2.31) 对一批产品, 欲通过抽样检查其合格率. 若产品不合格率在5%以下,

    则该批产品可出厂. 检验时要求结果具有0.95的置信水平. 今抽取产品100件, 发现不合格品有4件, 问这批产品能否出厂?

    >>

    [phat,pci]=binofit(4,100,0.05)

    phat = 0.0400

    pci = 0.0110 0.0993

    由于置信区间的上限超出了规定指标(不合格率在5%以下), 因此不能出厂.

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  • 题目 1利用均匀分布U[-1,1],使用中心极限定理产生正态分布的随机数1000个,其中每次用来产生正态分布随机数的均匀分布样本容量个数 ≥ 50。 理论分析 由中心极限定理可知, 随机变量X1,X2,......Xn独立同分布,...

    本文包括以下内容:

    • 三道题的分析与代码实现
    • 实验值与理论值的比较
    • 完整代码附录

    题目 1  利用均匀分布U[-1,1],使用中心极限定理产生正态分布的随机数1000个,其中每次用来产生正态分布随机数的均匀分布样本容量个数 ≥ 50。

    理论分析


    由中心极限定理可知, 随机变量X1,X2, ......Xn独立同分布,且具有有限的数学期望和方差,则下面公式中的Yn将近似地服从标准正态分布N(0,1)。
     
    因此我们可以利用-1到1的均匀分布得到一系列Xi,随后分别产生1000个近似服从标准正态分布的单个随机数。

    MATLAB代码实现详解


    仅利用MATLAB中的rand()函数来产生均匀分布的随机数
    由于rand()函数仅产生(0,1)区间的均匀分布,因此还需做一些处理如下:
    function result = my_rand()
      below_zeros = -rand(1,50);
      above_zeros = rand(1,50);
      rand_sum = sum(below_zeros) + sum(above_zeros);
      total = 100;
      result = (rand_sum - total*0.5) / (10*total*total/12);
    end
    上方我们自定义的函数(非MATLAB内置的)是用于产生标准正态分布的单个随机数,所以循环执行该函数1000次并将其返回结果添加至数组之中就得到了我们需要的符合正态分布的随机数组rand_x。
    rand_x = [];
    for  time = 1:1000
        rand_x = [rand_x,my_rand()];
    end
     
    题目 2  在产生的1000个随机数中,均匀随机地抽取一个容量为100的样本。选择有效的点估计量给出基于该样本的总体均值和方差的点估计值,并将其与理论的推导的值比较。

    理论分析


    这一步涉及到了借助样本来估计总体的未知参数,也就是点估计。
    在这里采用了矩估计的方法,由于总体矩可以表现为未知参数的函数,我们用样本矩去替换总体矩,就构建了样本矩与未知参数的关系式。
    由以上公式可看出正态分布中的两个参数都可以由样本矩的式子表示出来,从而实现了对未知总体参数的估计。

    MATLAB代码实现详解


    第二题中需要随机抽取容量为100的样本。
    index = [];
    for time = 1:1000
        index = [index,time]; %产生1~1000的下标数组
    end
    rand_index = randperm(1000,100); %产生1~1000的100个不重复的随机下标
    sample = [];
    for time = 1:100
        sample = [sample,rand_x(rand_index(time))];
    end
    计算基于该样本估计的总体均值与方差:
    predict_ex = sum(sample)/100; %由样本估计出的均值
    sample1 = sample.^2; %将sample数组中的每一个值都平方
    square_sum = sum(sample1);
    predict_dx = square_sum/100 - predict_ex*predict_ex;
    %由样本估计的方差
     
    题目 3  基于抽取的容量的为100的样本给出总体均值和方差的置信度为0.95的置信区间,并考察总体参数是否落在置信区间内。

    理论分析


    这一步中要给出总体参数的置信区间。
    我们先在方差未知的情况下求均值的置信区间,有双侧置信区间公式如下图所示:
    该公式中n为样本容量100,由置信度=0.95,可知 α为0.05,查t分布表可知t0.025(99) = 1.9842
    然后在均值未知情况下求方差的置信区间, 有双侧置信区间公式如下图所示:
    该公式中n为样本容量100,由置信度=0.95,可知 α为0.05,同样的我们去查卡方分布表也能知道公式中有关量的具体值。

    MATLAB代码实现详解


    第三题中代入公式计算基于样本的总体均值和方差的置信区间。
    left_ex = predict_ex - 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    %均值置信区间左侧
    right_ex = predict_ex + 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    %均值置信区间右侧
    left_dx = (99*predict_dx)/128.422;
    %方差置信区间左侧
    right_dx = (99*predict_dx)/73.361;
    %方差置信区间右侧

    实验值与理论值比较


     
    第一次运行结果展示:
    可以看出由样本估计的均值为0.0103,由样本估计的方差为0.8851。
    均值的置信区间为(-0.1764,0.1970),方差的置信区间为(0.6823,1.1944)。
     
    第二次运行结果展示:
    可以看出由样本估计的均值为0.1013,由样本估计的方差为0.7502。
    均值的置信区间为(-0.0706,0.2731),方差的置信区间为(0.5783,1.0124)。
     
    总体均值与方差的理论值是0和1,这两次运行的样本估计值与理论值已经比较接近,且都落在了置信区间中。

    完整代码附录


     
    %产生标准正态分布,该部分涉及的my_rand()函数定义在最后
    rand_x = [];
    for time = 1:1000
        rand_x = [rand_x,my_rand()];
    end
    %样本抽取
    index = [];
    for time = 1:1000
        index = [index,time];
    end
    rand_index = randperm(1000,100);
    sample = [];
    for time = 1:100
        sample = [sample,rand_x(rand_index(time))];
    end
    %参数估计
    predict_ex = sum(sample)/100;
    sample1 = sample.^2;
    square_sum = sum(sample1);
    predict_dx = square_sum/100 - predict_ex*predict_ex;
    %求置信区间
    left_ex = predict_ex - 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    right_ex = predict_ex + 1.9842*sqrt(predict_dx)/10;
    left_dx = (99*predict_dx)/128.422;
    right_dx = (99*predict_dx)/73.361;
    %展示结果数据
    disp(left_ex);
    disp(right_ex);
    disp(left_dx);
    disp(right_dx);
    disp(predict_ex);
    disp(predict_dx);
    %自定义函数用于产生单个正态分布随机数
    function result = my_rand()
      below_zeros = -rand(1,50);
      above_zeros = rand(1,50);
      rand_sum = sum(below_zeros) + sum(above_zeros);
      total = 100;
      result = (rand_sum - total*0) / (10*4/12);
    end
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  • LOGISTIC模型参数估计及预测实例.pdf

    千次阅读 2021-01-17 18:45:58
    LOGISTIC模型参数估计及预测实例维普资讯ELogistic模型参数估计及预测实例 13Logistic模型参数估计及预测实例’杨昭军 义民 o2l,/7、(湖南税务高专 411100) (西北工业大学)摘 ...

    LOGISTIC模型参数估计及预测实例

    维普资讯

    E

    Logistic模型参数估计及预测实例 13

    Logistic模型参数估计及预测实例’

    杨昭军 义民 o2l,/7

    (湖南税务高专 411100) (西北工业大学)

    摘 要

    檑昭军,师义昂Logistic模型参数估计夏预测实例.数理统计与f理,1997,16(3),13~15.

    本文提出了对Logistic模型中的参数进行迭代估计的新算法,通过比较分析,说明了本文

    算法的有效性。 ,

    关键词\————兰———;墨—型———J墨——型一_ 送‘LI·

    、 引言

    荷兰生物数学家Verhult为预测和控制人 口建立了Logistic模型,该模型在经济学中有着

    重要应用,可用于耐用消费品销售量预测等许多类似问题。模型缺点之一是参数增长极限Ⅳ

    的估计不易确定,为此,有时人们只好由经验预先取Ⅳ 为某个已知值,这显然有很大主观性,

    难以符合客观实际[1];有时我们可以采用最速下降法 高斯一牛顿法或阻尼最小二乘法求出

    参数的非线性最小二乘估计,但这种算法复杂,收敛性差。本文提出参数交替迭代估计的新算

    法,计算简单,收敛性好,通过比较分析,说明了它的有效实用性。

    二、Logistic模型

    很多新生事物的发展都遵循规律:在其发展初期,数量(规模)增长得越来越快,到了一定

    时候增长速度达到最大,随后便逐步慢下来,直到数量 (规模)不再增长,稳定在增长极限Nm。

    记 时刻数量为M ,则Ⅳl可通过如下微分方程描述:

    警一r(1一)M,初始条件 已知,其中r为比例常数。易得其解为

    Nr 、

    N 一 ——— —一 (1)

    1+ ( 一 1

    』 a

    即Logistic模型。下面给出由观测数据(,Ⅳ1), 0,1,2,…,求参数Ⅳ 及r估计值的算法。

    三、迭代算法

    算法基本思想是已知 ^ ,求得r的最优估计,然后把r作为已知,求出Ⅳ 的最优估计,

    收稿 日期:1996年 2月9日

    维普资讯

    14 数理统计与管理 l6卷 3期 1997年5月

    这样交替循环迭代直到收敛为止。

    记 (^,f)§N两‘m一1 N

    』v:一1),于是由(1)有

    n (^r_.f)+rg一 0 (2)

    因存在模型误差,应以下述带误差的方程代替

    n (Ⅳ.,f)+ 一

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