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  • 本文将以车辆三自由度模型为基础,利用扩展卡尔曼滤波...在这里,脚主把卡尔曼参数估计仿真分为四个步骤:1)车辆模型搭建;2)扩展卡尔曼滤波算法搭建;3)模型整合及仿真工况设置;4)仿真及结果分析。01 车辆模型...

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    本文将以车辆三自由度模型为基础,利用扩展卡尔曼滤波,通过车辆的侧向加速度来估计横摆角速度、质心侧偏角、纵向速度等三个参数,通过一个实际的仿真案例来进行具体介绍扩展卡尔曼滤波的使用。

    一般地,卡尔曼滤波会选择比较容易获取的参数,来估计不易测量的参数。

    在这里,脚主把卡尔曼参数估计仿真分为四个步骤:

    1)车辆模型搭建;

    2)扩展卡尔曼滤波算法搭建;

    3)模型整合及仿真工况设置;

    4)仿真及结果分析。

    01 车辆模型搭建

    本例中,利用车辆三自由度模型(如下图)进行参数估计,需要知道车辆的输入信号(车轮转角、纵向加速度)和输出信号(侧向加速度),所以需要自己搭建一个车辆模型来创造这些数据。即对车辆模型输入一个方向盘转角和纵向加车速,得到侧向加速度。

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    在实车上,这一步是可以忽略的,因为我们可以通过传感器直接测量卡尔曼滤波所需的信号。

    脚主暂时选择比较简便的方法,借助carsim中的车辆模型来完成这项工作,仅需要设置好我们关注的车辆基本参数及信号接口即可。

    质心到前后轴距离、沿Z轴转动惯量、质量设置位置如下图。

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    前后轮侧偏刚度设置位置如下图。

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    方向盘转角到车轮转角的传动比设置位置如下图。

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    输出接口选择输出横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速、方向盘转角、纵向加速度、侧向加速度。前三个是待估计的参数,用于与仿真结果对比;后三个是车辆的输入输出信号,会作为卡尔曼滤波算法的输入。

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    一直用别人的车辆模型也不合适,后面脚主会自己动手搭建车辆模型,这样就可以避免联合仿真的麻烦,仿真可以全部在simulink中实现了。更重要的是自己搭建车辆模型更加能加深对车辆的理解,这个是商业软件所无法替代的。

    02 扩展卡尔曼滤波算法搭建

    扩展卡尔曼滤波算法就是把上文提到的5个核心公式表达出来。再次强调一下:需要使用非线性函数f、h来表示状态方程和输出方程;系统矩阵A、输出矩阵H需要用f、h函数求偏导后的雅克比矩阵表示。

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    脚主这里借助以前搭建的卡尔曼滤波算法,稍微改动一下,得到如下图的扩展卡尔曼滤波算法。

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    用5个function表达卡尔曼滤波算法其实比较繁琐,但是可以更好地表达5个公式之间的时序关系,便于初学者理解。

    03 模型整合及仿真工况设置

    把上述两部分内容组合起来就是整个基于扩展卡尔曼滤波的参数估计仿真模型,如下图。基本思路就是,carsim模型输出滤波算法所需的信号,然后进行参数估计,输出估计的结果,最后将估计结果与车辆实际信号对比,来验证算法的有效性。

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    为了验证算法,还需要在carsim中设置一下仿真工况。

    1)初始车速为30km/h进行滑行。

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    2)方向盘转角按下图的曲线执行。

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    04 仿真及结果分析

    运行模型,得到估计的横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速,与车辆实际的状态对比如下图。

    横摆角速度估计结果:

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    质心侧偏角估计结果:

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    纵向车速估计结果:

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    从图中可以看出,横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速的估计值与实际值基本一致,算法可靠有效。

    以上,介绍了扩展卡尔曼滤波算法进行参数估计的一个实例,仅供大家参考。

    本文首发于微信公众号“新能源汽车控制”。

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  • 《无未知参数先验信息的非线性自适应观测器设计》文献中的案例,使用matlab simulink实现,状态估计仿真结果基本一致,参数估计仿真结果不完全一致,仅供参考
  • 注:本文以简单的案例,解释了最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别。假如你有一个硬币。你把它投掷 3 次,出现了 3 次正面。下一次投掷硬币正面朝上的概率是多少? 这是一个从数据中估计参数的...

    注:本文以简单的案例,解释了最大似然估计、最大后验估计以及贝叶斯参数估计的联系和区别。

    假如你有一个硬币。你把它投掷 3 次,出现了 3 次正面。下一次投掷硬币正面朝上的概率是多少? 这是一个从数据中估计参数的基础机器学习问题。在这种情况下,我们要从数据 D 中估算出正面朝上 h 的概率。

    最大似然估计


    一种方法是找到能最大化观测数据的似然函数(即 P(D;h))的参数 h 的值。在这里,我们用「;」来表示 h 是一个关于概率分布 P 的参数,意味着参数 h 定义了分布 P,但是分布 P 只是说明了观测数据 D 成立的可能性有多大。



    这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法,我们估计出 h=1.0。


    但是直觉告诉我们,这是不可能的。对于大多数的硬币来说,还是存在反面朝上的结果的可能性,因此我们通常希望得到像 h=0.5 这样的结果。


    先验和后验


    如何将这种直觉数学化地表述出来呢?我们可以定义一个观测数据和参数的联合概率:p(D, h) = p(D|h)p(h)。我们定义一个先验分布 p(h) 来表示在观测前关于 h 应该是什么值的直觉,以及在给定参数 h 的情况下的条件概率 p(D|h)。


    如何利用现有的数据 D 估计参数 h 呢?我们需要得到后验分布 p(h|D),但是目前只有分布 P(D|h) 和 p(h)。这时候,你需要贝叶斯公式来帮忙!


    贝叶斯公式:P(h|D)=P(D|h)*P(h)/P(D)


    但是,这里的分母是一个问题:



    一般来说,计算这个积分是不可能的。对于这个投硬币的例子来说,如果使用非常特殊的共轭先验分布,就可以绕过这个问题。


    最大后验估计


    但实际上,我们可以抛开归一化常数 P(D) 以更巧妙的方式讨论 p(h|D)。也就是说归一化常数不改变分布的相对大小,我们可以在不做积分的情况下找到模式:



    这就是人们所熟知的最大后验估计(MAP)。有很多种方法可以算出变量 h 的确切值,例如:使用共轭梯度下降法。


    贝叶斯参数估计


    有了最大后验估计,可以通过先验分布来引入我们的直觉,并且忽略归一化积分,从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。


    但是如果我们试着用近似方法求积分呢?如果按通常的独立同分布假设,我们可以利用这个事实:未来可能出现的数据样本值 x 条件独立于给定参数 h 时的观测值 D。



    这并非使用与后验概率 p(h|D) 模式相应的参数 h 的单一值来计算 P(x|h),而是一个更加「严格」的方法,它让我们考虑到所有可能的 h 的后验值。这种方法被称为贝叶斯参数估计。


    注意,存在两个关于概率分布的重要任务:


    • 推断:给定已知参数的联合分布,通过其它变量的边缘概率和条件概率估计一个变量子集上的概率分布。

    • 参数估计:从数据中估计某个概率分布的未知参数


    贝叶斯参数估计将这两项任务构造成了「同一枚硬币的两面」:


    估计在一组变量上定义的概率分布的参数,就是推断一个由原始变量和参数构成的元分布。


    当然,实际上要做到这一点,需要计算困难的积分,我们将不得不用类似于「马尔可夫链蒙特卡洛算法」或者变分推断等方法取近似。



    这是被称为「最大似然估计」的最常用的参数估计方法。通过该方法,我们估计出 h=1.0。


    但是直觉告诉我们,这是不可能的。对于大多数的硬币来说,还是存在反面朝上的结果的可能性,因此我们通常希望得到像 h=0.5 这样的结果。


    先验和后验


    如何将这种直觉数学化地表述出来呢?我们可以定义一个观测数据和参数的联合概率:p(D, h) = p(D|h)p(h)。我们定义一个先验分布 p(h) 来表示在观测前关于 h 应该是什么值的直觉,以及在给定参数 h 的情况下的条件概率 p(D|h)。


    如何利用现有的数据 D 估计参数 h 呢?我们需要得到后验分布 p(h|D),但是目前只有分布 P(D|h) 和 p(h)。这时候,你需要贝叶斯公式来帮忙!


    贝叶斯公式:P(h|D)=P(D|h)*P(h)/P(D)


    但是,这里的分母是一个问题:



    一般来说,计算这个积分是不可能的。对于这个投硬币的例子来说,如果使用非常特殊的共轭先验分布,就可以绕过这个问题。


    最大后验估计


    但实际上,我们可以抛开归一化常数 P(D) 以更巧妙的方式讨论 p(h|D)。也就是说归一化常数不改变分布的相对大小,我们可以在不做积分的情况下找到模式:



    这就是人们所熟知的最大后验估计(MAP)。有很多种方法可以算出变量 h 的确切值,例如:使用共轭梯度下降法。


    贝叶斯参数估计


    有了最大后验估计,可以通过先验分布来引入我们的直觉,并且忽略归一化积分,从而得到后验分布模式下的关于 h 的点估计。


    但是如果我们试着用近似方法求积分呢?如果按通常的独立同分布假设,我们可以利用这个事实:未来可能出现的数据样本值 x 条件独立于给定参数 h 时的观测值 D。



    这并非使用与后验概率 p(h|D) 模式相应的参数 h 的单一值来计算 P(x|h),而是一个更加「严格」的方法,它让我们考虑到所有可能的 h 的后验值。这种方法被称为贝叶斯参数估计。


    注意,存在两个关于概率分布的重要任务:


    • 推断:给定已知参数的联合分布,通过其它变量的边缘概率和条件概率估计一个变量子集上的概率分布。

    • 参数估计:从数据中估计某个概率分布的未知参数


    贝叶斯参数估计将这两项任务构造成了「同一枚硬币的两面」:


    估计在一组变量上定义的概率分布的参数,就是推断一个由原始变量和参数构成的元分布。


    当然,实际上要做到这一点,需要计算困难的积分,我们将不得不用类似于「马尔可夫链蒙特卡洛算法」或者变分推断等方法取近似。

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  • 该资源是李竹渝、鲁万波和龚金国编著的《经济、计量中的非参数估计技术》一书的电子版,该书是学习非参数核估计非常经典的入门书籍,书中详细介绍了相关的方法和案例,其中附录中也有相应的程序。
  • 一个模型拟合实例中车辆刹车距离案例中的最小二乘法参数估计内容及其源代码 一、原始数据 二、我的计算结果 三、视频计算结果 四、思考发现 实际计算结果和视频中的计算结果不同,即出现了较大的误差。 五、最小...

    一个模型拟合实例中车辆刹车距离案例中的最小二乘法参数估计内容及其源代码

    一、原始数据在这里插入图片描述
    二、我的计算结果
    在这里插入图片描述
    三、视频计算结果
    在这里插入图片描述
    四、思考发现
    实际计算结果和视频中的计算结果不同,即出现了较大的误差。

    五、最小二乘准则拟合多项式的相关知识
    在matlab里使用ployfit函数进行拟合
    在这里插入图片描述

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  • 本文将以车辆三自由度模型为基础,利用扩展卡尔曼滤波...在这里,脚主把卡尔曼参数估计仿真分为四个步骤:1)车辆模型搭建;2)扩展卡尔曼滤波算法搭建;3)模型整合及仿真工况设置;4)仿真及结果分析。01 车辆模型...

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    本文将以车辆三自由度模型为基础,利用扩展卡尔曼滤波,通过车辆的侧向加速度来估计横摆角速度、质心侧偏角、纵向速度等三个参数,通过一个实际的仿真案例来进行具体介绍扩展卡尔曼滤波的使用。

    一般地,卡尔曼滤波会选择比较容易获取的参数,来估计不易测量的参数。

    在这里,脚主把卡尔曼参数估计仿真分为四个步骤:

    1)车辆模型搭建;

    2)扩展卡尔曼滤波算法搭建;

    3)模型整合及仿真工况设置;

    4)仿真及结果分析。

    01 车辆模型搭建

    本例中,利用车辆三自由度模型(如下图)进行参数估计,需要知道车辆的输入信号(车轮转角、纵向加速度)和输出信号(侧向加速度),所以需要自己搭建一个车辆模型来创造这些数据。即对车辆模型输入一个方向盘转角和纵向加车速,得到侧向加速度。

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    在实车上,这一步是可以忽略的,因为我们可以通过传感器直接测量卡尔曼滤波所需的信号。

    脚主暂时选择比较简便的方法,借助carsim中的车辆模型来完成这项工作,仅需要设置好我们关注的车辆基本参数及信号接口即可。

    质心到前后轴距离、沿Z轴转动惯量、质量设置位置如下图。

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    前后轮侧偏刚度设置位置如下图。

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    方向盘转角到车轮转角的传动比设置位置如下图。

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    输出接口选择输出横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速、方向盘转角、纵向加速度、侧向加速度。前三个是待估计的参数,用于与仿真结果对比;后三个是车辆的输入输出信号,会作为卡尔曼滤波算法的输入。

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    一直用别人的车辆模型也不合适,后面脚主会自己动手搭建车辆模型,这样就可以避免联合仿真的麻烦,仿真可以全部在simulink中实现了。更重要的是自己搭建车辆模型更加能加深对车辆的理解,这个是商业软件所无法替代的。

    02 扩展卡尔曼滤波算法搭建

    扩展卡尔曼滤波算法就是把上文提到的5个核心公式表达出来。再次强调一下:需要使用非线性函数f、h来表示状态方程和输出方程;系统矩阵A、输出矩阵H需要用f、h函数求偏导后的雅克比矩阵表示。

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    脚主这里借助以前搭建的卡尔曼滤波算法,稍微改动一下,得到如下图的扩展卡尔曼滤波算法。

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    用5个function表达卡尔曼滤波算法其实比较繁琐,但是可以更好地表达5个公式之间的时序关系,便于初学者理解。

    03 模型整合及仿真工况设置

    把上述两部分内容组合起来就是整个基于扩展卡尔曼滤波的参数估计仿真模型,如下图。基本思路就是,carsim模型输出滤波算法所需的信号,然后进行参数估计,输出估计的结果,最后将估计结果与车辆实际信号对比,来验证算法的有效性。

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    为了验证算法,还需要在carsim中设置一下仿真工况。

    1)初始车速为30km/h进行滑行。

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    2)方向盘转角按下图的曲线执行。

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    04 仿真及结果分析

    运行模型,得到估计的横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速,与车辆实际的状态对比如下图。

    横摆角速度估计结果:

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    质心侧偏角估计结果:

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    纵向车速估计结果:

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    从图中可以看出,横摆角速度、质心侧偏角、纵向车速的估计值与实际值基本一致,算法可靠有效。

    以上,介绍了扩展卡尔曼滤波算法进行参数估计的一个实例,仅供大家参考。

    本文首发于微信公众号“新能源汽车控制”。

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