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  • 文中从观测量分组的参数平差一般形式出发,参考两组相关观测量可变参数的序贯平差推导过程,详细推导三组及多组相关观测量可变参数的最小二乘序贯平差及其精度估计。通过算例表明,推导的公式是正确、有效
  • 层BP神经网络前馈公式推导

    千次阅读 2019-07-13 14:44:04
    以上图层神经网络为例。 1.网络参数命名: 输入为矩阵,输出矩阵为。...前馈进行的内容就是,根据Y和Y1之间的差别,来修改V和W,使得尽可能地对于任意一数据X、Y,能够使得网络估计的Y1和...

    以上图三层神经网络为例。

    1.网络参数命名:

    输入为矩阵 X = [x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{d} ]^{T} ,输出矩阵为Y = [y_{1},y_{2},y_{3},...y_{l}]^{T} 。隐藏层对于输入层的权值为V,输出层对于隐藏层的权值为W。

    2.前馈思想:

    网络前馈的目的是修改隐藏层和输出层中的权值,即图中的V和W。对于一组已知的数据,可以根据输入X得出网络计算出的估计Y1。前馈进行的内容就是,根据Y和Y1之间的差别,来修改V和W,使得尽可能地对于任意一组数据X、Y,能够使得网络估计的Y1和实际Y差别很小。

    3.梯度下降法:

    最常用的算法:梯度下降法来更新参数。函数永远是沿着梯度的方向变化最快,那么我们对每一个需要调整的参数求偏导数,如果偏导数>0,则要按照偏导数相反的方向变化;如果偏导数<0,则按照此方向变化即可。于是我们使用-1*偏导数则可以得到参数需要变化的值。同时我们设定一个学习率η,η的作用是控制单次迭代修改参数值的大小,学习率通常是小于1的,防止修改过大出现overfitting。综上所述,如果我们要对一个参数p进行调参,只需要:

                                                                                     p += -1\cdot \eta \cdot \frac{\partial Ek}{\partial p}.......................................................................(1)

    其中Ek = ||Y - Y1||^{2}

    4.网络前向传递计算公式:

    ①输入层→隐藏层:

                                                                                       a_{h} = \sum_{i = 0}^{d}v_{ih}\cdot x_{i}..........................................................................(2)

    h表示第h个隐藏神经元,其中h处于1—q之间,q为隐藏层神经元的个数。

    i表示第i个输入层神经元,其中i处于1—d之间,d为输入层神经元的个数。

    这个公式意思就是权值乘输入,累加求和得到单个神经元的输出。得到的这个输出ah在通过第②步后再作为第③步的输入。

    ②隐藏层激励函数:

                                                                                         b_{h} = f(a_{h})................................................................................(3)

    ③隐藏层→输出层:

                                                                                    \beta _{j} = \sum_{h=0}^{q} w_{hj}\cdot b_{h}..........................................................................(4)

    ④激励输出层:

                                                                                         y1_{j} = f(\beta _{j}).............................................................................(5)

    得出的y1_{1},y1_{2},y1_{3}...y1_{j}...y1_{l}形成的矩阵Y1就是预测的输出。

    ⑤误差计算:

                                                                                Ek = \frac{1}{2}\sum_{l}^{j=1}(y1_{j}-y_{j})^{2}...................................................................(6)

    怎么样,到这里很简单吧。


    在上述四个步骤中,哪些值是我们要修改的参数呢?

    是隐藏层的参数v_{ih}和输出层的参数w_{hj}。那我们接下来根据公式(1)与链式求导法则计算两个参数的偏导。

    根据(4)(5)(6)三式:

    \Delta w_{hj} = -\eta\frac{\partial Ek}{\partial w_{hj}}=--\eta\frac{\partial Ek}{\partial y1_{j}}\cdot \frac{\partial y1_{j}}{\partial \beta _{j}}\cdot \frac{\partial \beta _{j}}{\partial w_{hj}}(偏导数,很容易的)

    由(3)得

    \frac{\partial \beta _{j}}{\partial w_{hj}}=b_{n}

    bn是从隐藏层计算的中间变量,在前馈过程已经计算出来了,可看作已知的。

    由(4)得:

    \frac{\partial y1_{j}}{\partial \beta _{j}}=f^{'}(\beta _{j})

    \beta _{j}是隐藏层计算出的输出,也可以看作已知的。而激活函数f的导数就看激活函数具体选择什么了,以sigmoid为例子:

    f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}},f^{'}(x) =f(x)\cdot (1-f(x))

    由(5)得:

    \frac{\partial Ek}{\partial y1} = (y1_{j}-y_{j})

    综上,\Delta w_{hj} = -\eta \cdot (y1_{j}-y_{j})\cdot \beta _{j}\cdot (1-\beta _{j})\cdot b_{n}


    由(2)(3)(4)(5)(6)式得:

    \Delta v_{ih} = -\eta \frac{\partial Ek}{\partial v_{ih}}=-\eta \frac{\partial Ek}{\partial y1_{j}}\cdot \frac{\partial y1_{j}}{\partial \beta _{j}}\cdot \frac{\partial \beta _{j}}{\partial b_{n}}\cdot \frac{\partial b_{n}}{\partial v_{ih}},

    其中\frac{\partial Ek}{\partial y1_{j}}, \frac{\partial y1_{j}}{\partial \beta _{j}}在上一步计算w修改值时已经算过了。\frac{\partial \beta_{j}}{\partial b _{n}} = w_{hj},可以由(4)得出。

    接下来只需要计算\frac{\partial b_{n}}{\partial v_{ih}} = \frac{\partial b_{n}}{\partial a _{h}}\cdot \frac{\partial a_{h}}{\partial v_{ih}} = x_{i}\cdot a_{h}\cdot (1-a_{h}) ,可以由(2)(3)根据链式求导得出,与上一步骤类似,不再赘述。

    综上,\Delta v_{ih} = -\eta \cdot (y1_{j}-y_{j})\cdot y1_{j} \cdot (1-y1_{j})\cdot w_{hj} \cdot x_{i} \cdot a_{h} \cdot (1-a_{h})


    这样,简单的3层BP前馈过程中的公式推导就完成了。这个问题也是我在三年级时候一门课的期末考试题,虽然当时考了99但是这个问题的一些细节也没有明白,今天终于梳理了一下。

     

     

     

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  • 最小二乘法: 最小二乘思想就是要使得观测点和估计点距离平方和达到最小。...对于极大似然法,当从模型总体随机抽取n样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n样本观测值概率最大。 在

    最小二乘法:

    最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小。比如下图,我们有三个样本点,如何划出他的线性回归直线呢?那我们就可以找到一条直线,这条直线到三个样本点的距离的平方和是最小的。这就是最小二乘法。公式如下。



    极大似然估计:

    对于极大似然法,当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。

    在最大似然法中,通过选择参数,使已知数据在某种意义下最有可能出现,而某种意义通常指似然函数最大,而似然函数又往往指数据的概率分布函数。与最小二乘法不同的是,最大似然法需要已知这个概率分布函数,这在时间中是很困难的。一般假设其满足正态分布函数的特性,在这种情况下,最大似然估计和最小二乘估计相同。

    二者的举例说明参考知乎:https://www.zhihu.com/question/20447622

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    近期一客户提出需求,要在我们软件中实现一元二次函数的曲线拟合。这个内容之前没有接触过,有点摸不着边。

    需求具体一点就是:给出一组数据(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)....(xn,yn),求多项式 y = ax² + bx +c 中的a、b、c三个参数分别是多少,java实现。

    严格来说,a, b, c三个参数只是根据现有数据和特定公式拟合出来的,属于“估计”值。

    首先从百度查,基本查不到;

    然后用bing,英文查,大概找到了一点门道,了解到了Apache的commons-math这个包;

    然后再用百度查commons-math,然后就找到了不少内容, 比如下面这篇文章:

    https://www.jb51.net/article/126265.htm

    经过一番尝试,实际发现可以非常简单地实现(查到的文章和博客写的代码都太多了,而且雷同),代码如下:

    import org.apache.commons.math3.fitting.PolynomialCurveFitter;
    import org.apache.commons.math3.fitting.WeightedObservedPoints;
    
    //...
    
    double[] x = new double[]{1, 2, 3, 4, 5};
    double[] y = new double[]{19,33,53,79,111};
    		  
    WeightedObservedPoints points = new WeightedObservedPoints(); 	 
    for(int i = 0; i < x.length; i++) { //把数据点加入观察的序列
    	points.add(x[i], y[i]);
    }
    		
    PolynomialCurveFitter fitter = PolynomialCurveFitter.create(2);  //指定多项式阶数 
    double[] result = fitter.fit(points.toList());  // 曲线拟合,结果保存于数组
    		 
    for(int i = 0; i < result.length; i++) {
    	System.out.println(result[i]);
    }
    
    //本例输出:
    /*
    10.999999999999996
     5.000000000000003
     2.9999999999999996
    */

    用的测试公式为 y = 3x² + 5x + 11, 数据点入上面代码中所示,拟合出来的三个参数根据阶数由低到高为:

    2.999,5.000,10.999 

    基本正确。

    这次收获不小。

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  • 通常是指通过迭代过程更新解的估计值来解决数学问题算法,而不是通过解析过程推导出公式来提供正确解方法。 常见操作包括优化(找到最小化或最大化函数值得参数)和线性方程求解 先介绍几个概念:导数、偏...

    应用数学与机器学习基础(三)

    数值计算:
    机器学习算法通常需要大量的数值计算。通常是指通过迭代过程更新解的估计值来解决数学问题的算法,而不是通过解析过程推导出公式来提供正确解的方法。
    常见的操作包括优化(找到最小化或最大化函数值得参数)和线性方程组求解
    先介绍几个概念:导数、偏导数、方向导数和梯度
    导数(Derivative):是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f’(x0)或df(x0)/dx。
    导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
    偏导数:坐标轴方向上的函数的变化率。
    方向导数: 对于多元函数,如果说偏导数表示的是多元函数在沿坐标轴的变化率,那么可以说方向导数是沿着任意一指定方向的变化率,不一定是沿着坐标轴。*、
    梯度:是一个矢量,其方向上的方向导数最大,其大小正好是此最大方向导数
    方向导数的定义和计算方法:
    这里写图片描述
    二元函数f(x,y)在L方向上的导数,其中L的单位向量是e=(cos α,cos β),该方向导数表示的是函数F沿着L方向的变化率。当让e=(1,0)时上述式子其实是 f 对于 x 的偏导数,即沿着 x 轴的变化率,而当让e=(0,1)时,上述式子便是 f 对于 y的偏导数,即沿着 y 轴的变化率
    方向导数的求解:
    这里写图片描述
    方向导数等于函数在x处的偏导数乘以单位向量的x部分,加上在y处的偏导数乘以单位向量的y部分,得到的值就是方向导数。
    梯度:
    在二元函数的情况下,如果函数f(x,y)具有一介连续偏导数,对于函数上任意一点p(x0,y0)都有这样一个向量 发(x0,y0)i + f(x0,y0)j,那么这个向量就称为f(x,y)在p点的梯度。
    方向导数和梯度的关系:
    这里写图片描述
    其中theta表示l的方向与梯度的方向的夹角
    当 theta = 0 时,e 与梯度方向相同时,方向导数最大,函数增加最快
    当 theta = pi 时,e 与梯度方向相反时,方向导数最小,函数减少最快
    *思考:为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向?
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/36503663*(参考这篇文章)
    梯度是一个向量,每一个分量表示函数f关于xi的偏导数。梯度向量指向函数增长最快的方向,负梯度向量指向函数减小最快的方向。

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