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  • 参数估计

    2015-10-31 10:34:50
    参数估计主要目的是借助总体X一个样本来计算总体未知参数近似值,即在已知总体X分布函数的形式的情况下,同样本来估计未知参数值。 1、最大似然估计法 假设已知总体X分布律P={X=x}=p(x;θ)p(x;\theta)...

    参数估计主要目的是借助总体X的一个样本来计算总体未知参数的近似值,即在已知总体X的分布函数的形式的情况下,同样本来估计未知参数的值。
    1、最大似然估计法
    假设已知总体X的分布律P={X=x}=p(x;θ)X1,X2,…,Xn是来自X的n个样本,x1,x2,…,xn是样本相应的一个样本值,则X1,X2,…,Xn的联合分布律,即事件{X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn}发生的概率为

    L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=ni=1p(xi;θ)

    L(θ)称为样本的似然函数。参数θ的最大似然估计值为θ的值使得L(θ)的取值最大,即
    L(x1,x2,...,xn;θ)=maxL(x1,x2,...,xn;θ)
    而相应的统计量θ(X1,X2,...,Xn)称为参数θ的最大似然估计量。

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  • 1引言 参数估计分为点估计和区间估计,本讲主要进行点估计的分析以及求解思路。区间估计的考查形式会和之后的假设检验联系在一起,我们会在假设检验的那一章进行阐述。点估计顾名思义是对空间内一个点进行的估计,这...
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    引言

        参数估计分为点估计和区间估计,本讲主要进行点估计的分析以及求解思路。区间估计的考查形式会和之后的假设检验联系在一起,我们会在假设检验的那一章进行阐述。

        点估计顾名思义是对空间内一个点进行的估计,这个点是一个对于总体样本值的一个函数,我们所要做的就是通过样本的观察值,去合理地计算出参数的值。

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    要点提炼

    2.1矩估计

        矩估计简单来讲就是之前我们提到辛钦大数定律的实践版本,辛钦大数定律中所提到的样本k阶矩依概率收敛到总体的k阶矩。

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        正是这个公式代表了矩估计的强大之处,通过不同的k可以列出不同的方程。(样本k阶矩存在),根据线性代数的相关知识,未知数的个数等于方程数个数的时候,系数行列式满秩。我们就可以将未知数一一求解出来。例如需要估计的参数个数为2时(一般不超过2),我们就可以列出关于样本1阶和2阶矩的方程进行求解。

        方程构建的方法:样本矩只需要对观察值进行不同幂次的乘方和求解均值即可,难点在于如何建立总体矩。这时候基本概念就派上用场了。

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       一种相对朴素的矩估计方法:随机挑选若干个零件,已经量取出它们每个的尺寸,试问如何求解总体均值或者方差。

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        我们利用求平均数的方法求解出零件平均尺寸,套用方差公式得到方差。类似于中学的统计题目,这其实就是一种矩估计的思想。

    2.2最大似然估计

        和矩估计一样最大似然估计也是点估计的一种,但是本质思路上还是有着很大区别的。它在处理数据方式上选择了构造函数求极值的方法。在多数情况下,它的估计效果是要强于矩估计的

        其中似然函数是对样本中所有取值概率的连乘积。

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        这个公式乍看上去有些突兀,让人不明所以。下面给大家举一个简单的例子阐述一下。

        例如我从一个不透明装有黑白球的盒子里面随机取出若干个球,得知黑球的数量为25个,白球为5个。显然利用矩估计我们可以直接口算出摸到白球和摸到黑球的概率。

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        但是换一种思路呢,显然这是离散性随机变量分布中的二项分布,我可以设摸到黑球的概率为p,那么自然白球被摸到的概率为1-p。根据二项分布的分布律,我可以写出摸到25黑球和5个白球的概率。

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        发现只有后面两项才是关于p的函数,第一项跟待估计参数p并无直接联系,因此我们可以在构造新函数时不再考虑这一项。举出这个例子是为了让大家对最大似然估计有一个直观理解,形似条件分布的概率连乘积也是有其数学意义的。

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    3

    习题讲解

    例题

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    答案:

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    4

    学长谈经验

        矩估计作为点估计的重要方法,是辛钦大数定律完美诠释。通过出构造等于待估计参数的方程(不超过2)。方程建立并不困难,把握住期望和方差,剩下的便是顺理成章。

        最大似然估计的方法核心是对构造出的样本似然函数求极值,构造方式是对离散性分布率和连续性概率密度连乘积。但不经过处理的样本似然函数形式过于复杂,这时候只需要对其取对数就可以简化运算。最后对需要估计的参数求偏导令其为零。

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    第八期内容到这里就结束了,如果错过了前面几期的同学可以自行在公众号内回顾哦,每周四概率统计与您不见不散。

    感谢大家阅读!下期期待与你再见!

    若有问题请在评论区评论,欢迎各位的批评与指正!

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    责编|赵洪烨

    审核|牟育生 王子豪

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    1. 点估计
    用一个数θ^来估计θ值,常用的方法有矩法(最)极大似然估计法
    1.1 矩估计
    将样本总体看做总体,实质上是一种替换的思想,比较简单,不展开了。
    1.2极大似然估计
    极大似然法的基本思想是一次试验就出现的事件有较大的概率。比如说一个班的学生考试,只把一次考试成绩给一个不相关的人查阅,就可以知道成绩好的同学有很大概率是那些学习好的同学。或者说两个人打猎朝着同一只兔子开枪,兔子被打死了,可以认为很大概率上是其中那个会打猎的人打死了兔子。
    (抄课本)极大似然原理的基本思想是:设总体分布的函数形式已知,但有未知参数θθ可以取很多值,在一次抽样中,获得了样本X的一组观测值x,说明该组观测值x出现的概率最大,θ的真实值应是θ的全部可能取值中使样本观察值出现概率最大的那个值,以此作为θ的估计,记作θ^,称为θ的极大似然估计,这种求估计的方法称为极大似然估计法。
    极大似然估计首先要求得其似然函数,实际上也就是样本观测值出现的概率积,对于离散型总体X和连续性总体X,这个是不完全相同的。极大似然估计就是要求得使似然函数最大的θ作为估计值。
    。。待续

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    参数估计就是用样本统计量去估计总体的未知参数(或参数的函数),如估计总体均值、估计总体比率和总体方差等等。参数估计有两种最基本形式:点估计和区间估计。点估计是用一个数值作为未知参数θ的估计值,而区间估计是给出具体的上限和下限,把θ包括在这个区间内。

    点估计,主要有矩估计法和最大似然统计法。矩估计法是用样本矩去估计总体矩(或用样本矩的函数去估计总体矩的相应函数)的一种估计方法,由此获得的估计量称作矩估计量;最大似然估计法是把待估计的总体参数看作一个可以取不同数值的变量,计算当总体参数取上述不同数值的时候,发生我们当前所得到的样本观测值的不同概率,总体参数取哪一个数值的时候这种概率最大,便把这个数值作为对总体参数的估计结果。



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