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  • 关于参数估计(点估计和参数估计详细笔记。


    统计方法
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    参数估计概览
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    估计量与估计值
    估计量:用于估计总体参数的随机变量
    估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值

    参数点估计

    用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值
    例如:用样本均值直接作为总体均值的估计;
    用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计。
    无法给出估计值接近总体参数程度的信息
    虽然在重复抽样条件下,点估计的均值可望等于总体真值,但由于样本是随机的,抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值。
    一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的,这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量。

    矩估计法

    借助样本矩去估计总体的矩,得到总体相应的未知参数的估计值。
    1 .用样本的一阶原点矩来估计总体的均值μ
    2 .用样本的二阶中心矩来估计总体的方差σ2

    极大似然估计法

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    点估计的评价准则(无偏性一致性有效性)

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    无偏性
    估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数
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    无偏估计指的是所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数

    有效性
    对同一总体参数的两个无偏点估计量,有更小标准差的估计量更有效
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    一致性
    随着样本量的增大,估计量的值越来越接近被估计的总体参数
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    区间估计

    在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个区间范围,该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的。
    根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。
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    主要公式

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    置信水平
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    置信区间

    由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间
    统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数,所以给它取名为置信区间
    用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间,我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值
    我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个,但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
    总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的

    例:重复构造出μ的20个置信区间
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    影响区间宽度的因素
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    当样本量一定时,置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大。
    当置信水平一定时,置信区间的宽度随着样本的增大而减小。

    区间估计的步骤
    以总体均值的区间估计为例:
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    区间估计的内容

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    总体均值的区间估计(大样本)

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    例子:
    为了估计目前北京市场二手房交易的平均价格,制定相应的营销策略,某房地产中介公司在2005年第四季度的二手房交易中,随机抽取40个交易作为样本,得到二手房交易价格如下表所示(单位:万元)。
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    假定房地产中介公司从上季度的二手房交易记录中得到以下信息:交易价格的标准差为15万元,于是我们假定总体标准差σ=15。试在95%的置信水平下估计二手房平均价格的置信区间。
    答案:
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    一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本,得到每个投保人的年龄(单位:周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间。
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    总体均值的区间估计(小样本)

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    t 分布
    t 分布是类似正态分布的一种对称分布,它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大,分布也逐渐趋于正态分布。
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    自由度
    1.当样本统计量被计算出以后可以自由改变的观测值数目
    2.举例
    3个数之和是 6
    X1 = 1(或其他数)
    X2 = 2(或其他数)
    X3 = 3(不能改变)
    Sum=6
    自由度df=n-1=2

    例题
    沿用上例,假定该房地产公司在某日随机抽取16位二手房购买者,得到二手房交易价格如下表所示(万元)。
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    根据以往交易情况得知:二手房交易价格服从正态分布,但总体方差未知。
    试在95%的置信水平下估计二手房交易平均价格的置信区间。
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    已知某种灯泡的寿命服从正态分布,现从一批灯泡中随机抽取16只,测得其使用寿命(单位:h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间。
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    单一总体均值的区间估计总结

    当正态总体的方差未知时,在大样本条件下,估计总体均值使用的分布是正态分布。
    当正态总体的方差未知时,在小样本条件下,估计总体均值使用的分布是t分布。
    当正态总体的方差已知时,在小样本条件下,估计总体均值使用的分布是正态分布。
    当正态总体的方差已知时,在大样本条件下,估计总体均值使用的分布是正态分布。
    对于非正态总体,在大样本条件下,估计总体均值使用的分布是正态分布。
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    两个总体均值之差的区间估计(大样本)

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    例题
    沿用上例。从2006年初开始,北京二手房交易价格急剧攀升。为对比2006年第一季度与2005年第四季度二手房平均价格的差异,该房地产中介公司从2006年第一季度的交易中随机抽取36个,得到二手房交易价格如下表所示(单位:万元) 。
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    将以上数据和引例中2005年第四季度二手房交易价格进行整理,得到:
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    根据以上数据,试以95%置信水平估计2006年第一季度与2005年第四季度的二手房交易平均价格差值的置信区间。
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    某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差,为此在两所中学独立抽取两个随机样本,有关数据如表。试建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间。
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    总体比例的区间估计

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    某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例,随机地抽取了100名下岗职工,其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间。
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    总体方差的区间估计

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    沿用上例,假定二手房的交易价格服从正态分布。试在95%的置信水平下估计二手房交易价格方差的置信区间。
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    样本容量的确定
    假定E (Error)是在一定置信水平下允许的误差范围,又称边际误差,于是有:
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    沿用上例,假定房地产中介公司想要估计2005年第四季度二手房的平均交易价格。按照历史经验,总体标准差为15万元。试问:在95%的置信水平下,使二手房平均交易价格的误差范围小于5万元,样本容量应定为多少?
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    拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元,假定想要估计年薪95%的置信区间,希望估计误差为400元,应抽取多大的样本量?
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    根据以往的生产统计,某种产品的合格率约为90%,现要求估计误差为 5% , 在 求95%的置信区间,应抽取多少个产品作为样本?
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  • 统计学 参数估计之点估计(矩估计,最大似然估计) 详解含推导 ...现在我们将总体参数笼统的称为 θ ,而用于估计总体参数 θ 的统计量我们称为 θ^ ,参数估计的实际含义就是如何用 θ^ 来表示 θ 估计量 估计参数时计算

    统计学

    参数估计之点估计(矩估计,最大似然估计) 详解含推导

    1.何为点估计

    在了解点估计之前,我们先介绍一下估计量与估计值的概念

    1.1估计量与估计值

    参数估计

    • 就是用样本统计量去估计总体的参数,如用样本均值 x\vec x 去估计总体均值 μ ,用样本比例 p 估计总体比例 π ,样本方差 s2s^2 估计总体方差 δ2δ^2 .
    • 现在我们将总体参数笼统的称为 θ ,而用于估计总体参数 θ 的统计量我们称为 θ^ ,参数估计的实际含义就是如何用 θ^ 来表示 θ

    估计量

    估计参数时计算出来的统计量的具体值: θ^

    1.2点估计

    点估计,顾名思义就是用 θ^的某个取值作为总体参数 θ 的估计值
    下面便介绍点估计的两种方法: 矩估计和最大似然估计

    2.矩估计

    2.1概念解析

    ps: 如果想直接记做题结论的可以跳过这一步
    也许第一眼看上去十分复杂,其实他们代表的含义十分简单
    这里的 μ 表示的是根据分布计算出的期望 它就是我们之前提到的 θ
    这里的 A 表示的是根据实际情况,也就是样本数据计算出的均值 ,也就是我们用来估计的 θ^
    下面我们便结合实际的例子来讲解
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    2.2案例分析

    这里的案例分为2种情况:

    • 分布情况属于我们已知的五大分布
    • 分布情况未知,但是给出了密度函数

    注:五大分布的期望方差表已放在文末


    解题步骤

    • 1.判断分布
    • 2.构造方程(有几个参数就构造几个方程)
    • 3.计算结果

    矩估计,例题一

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    分析
    显然,这道题属于已知分布函数的类型,并且只有一个参数

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    矩估计,例题二!

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    分析
    显然,这道题属于已知分布函数的类型,并且有2个参数

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    矩估计,例题三

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    分析
    显然,这道题属于未知分布函数但知道密度函数的类型,并且有1个参数
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    3.最大似然估计

    3.1概念解析

    下面两张图可以简单的看看过,如果真的想了解似然估计的话可以阅读一下下面的文章
    这里推荐一篇之前看到过的非常好的文章
    读懂最大似然估计
    简单的概括来说,最大似然估计就是利用求导找出概率的最大值,来作为 θ^ 估计 θ
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    3.2案例分析

    这里的案例同样分为2种情况:

    • 分布情况属于我们已知的五大分布
    • 分布情况未知,但是给出了密度函数

    注:五大分布的期望方差表已放在文末


    解题步骤

    • 1.写似然函数
    • 2.取对数
    • 3.求导,令导数=0
    • 4.得出结果,如果求估计值就小写,求估计量就大写

    最大似然估计,例题一

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    解答
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    最大似然估计,例题二

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    最大似然估计,例题三

    这种情况是已知密度函数的,解题过程仍类似
    图片来自https://blog.csdn.net/zhengyikuangge/article/details/80934547

    附页:几种常见的抽样分布

    在这里插入图片描述

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  • 参数估计之矩估计

    2021-01-15 09:12:07
    介绍参数估计中点估计的常用方法:矩估计法。并通过例题加深理解

    1. 点估计定义

    • 点估计定义

      x1,x2,,xnx_1,x_2,\cdots,x_n 是来自总体的一个样本,用于估计位置参数θ\theta的统计量θ^=θ^(x1,x2,,xn)\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,x_2,\cdots,x_n)称为θ\theta的估计量,或称为θ\theta点估计,简称估计

    • 构造估计量的方式有很多,常用的有矩估计法最大似然估计法

    2. 矩估计法

    • 矩估计法简单点的说,就是用样本的矩,替换(估计)总体的矩。

      记总体kk阶原点矩为 μk=E(Xk)\mu_k=E(X^k)

      样本kk阶原点矩为 Ak=1ni=1n(Xik)A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (X_i^k)

      记总体kk阶中心矩为 vk=E[(XE(X))k]v_k=E[(X-E(X))^k]

      样本kk阶中心矩为 Bk=1ni=1n(XiX)kB_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^k

    3. 通过例题理解矩估计法

    • 例1,设总体XX的均值μ\mu和方差σ2\sigma^2都存在,且有σ2>0\sigma^2>0,但μ,σ2\mu,\sigma^2均为未知,又设X1,X2,,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 为来自XX的样本,试求μ,σ2\mu,\sigma^2的矩估计量。

      解:

      样本的一阶矩 为X\overline{X} ,总体的一阶矩为E(X)=μE(X)=\mu

      因此有μ^=X\hat{\mu} = \overline{X}

      样本的二阶矩为A2=1ni=1nXi2A_2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2 ,总体的一阶矩为E(X2)E(X^2)

      则有 E(X2)=1ni=1nXi2E(X^2)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2

      由于D(X)=E(X2)(EX)2D(X)=E(X^2)-(EX)^2

      因此有

      σ2^=1ni=1nXi2X2=1ni=1n(XiX)2\begin{aligned}\hat{\sigma^2} &= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_i^2 - \overline{X}^2 \\&= \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \end{aligned}

    • 例2,设离散型随机变量XX ,其分布律如下

      X123Pθ22θ(1θ)(1θ)2\begin{array}{c|lc} X & 1 & 2 &3 \\ \hline P & \theta^2 & 2\theta(1-\theta) & (1-\theta)^2 \end{array}

      XX中取得样本1,2,1{1,2,1} ,求θ\theta的矩估计量

      解:样本一阶矩A1=13(1+2+1)=34A_1 = \frac{1}{3}(1+2+1) = \frac{3}{4}

      总体一阶矩μ1=1θ2+22θ(1θ)+3(1θ)3\mu_1 = 1*\theta^2+2*2\theta(1-\theta)+3(1-\theta)^3

      μ1=A1\mu_1 =A_1 ,很容易解出 θ^=56\hat {\theta}= \frac{5}{6}

    4. 矩估计优缺点

    • 优点
      1. 矩估计法原理简单、使用方便,使用时可以不知总体的分布,而且具有一定的优良性质
      2. 样本数量足够大时,矩估计的优势也就越明显
    • 缺点
      1. 当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息,因此矩估计不一定是理想估计
      2. 样本数较少时,矩估计的结果将非常糟糕
      3. 一般场合下,矩估计不具有唯一性(关于这一点,后面我们会介绍估计值的优良性准则)
      4. 矩估计应用的前提是总体的矩存在
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    统计学 参数估计

    总体比例的估计

    • 总体比例的估计
    • 样本容量的估计

    1.概念

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    2.假定条件

    因为只有大样本的条件下可以采用中心极限定理
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    3.统计量z

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    3.置信区间

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    实际计算时用p代替π
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    4.大样本的判定

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    大样本选取规则

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    5.例题

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    样本容量的确定

    1.公式

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    如果不知道π可以取0.5

    2.例题1 已知p

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    2.例题2 未知p

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    因为不知道p.没有π的估计值,所以选取理论上π的最大值0.5来使用,但是所得到的的结果会偏大
    在这里插入图片描述.

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空空如也

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参数估计的例题