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  • 协方差cov(X),cov(X,Y);变异系数c.v

    千次阅读 2019-09-20 11:37:27
    目录协方差 cov(x)- x 为一个样本向量- x 为一个样本矩阵协方差 cov(x,y)变异系数 c.v 首先看看 均值,样本方差,样本协方差 公式区别 其中样本方差公式中为什么除的n-1而不是n,样本协方差同样除的是n-1而不是n...

    首先看看 均值,样本方差,样本协方差 公式区别

    Xˉ\bar{X} = 1Ni=1Nxi\frac{ 1}{N}\sum_{i=1}^N x_i

    S = 1N1i=1N(xixˉ)\frac{ 1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})

    cov(x,y) = 1N1i=1N(xixˉ)(yiyˉ)\frac{ 1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})

    其中,样本方差公式中为什么除的n-1而不是n,样本协方差同样除的是n-1而不是n,请看此处:http://blog.csdn.net/maoersong/article/details/21819957,如果除的是n,那么求的方差就不是随机抽取变量组成样本的方差,而是整个空间的方差。

    协方差 cov(x)

    - x 为一个样本向量

    cov(x)计算的是样本方差的无偏估计,但不是真正的方差s2s^2,真正的方差是样本的最大似然估计,可以用cov(x,1)计算。
    cov(x) = i=1n(xxˉ)n1\frac{\sum_{i=1}^{n} (x-\bar{x})}{n-1}

    cov(x,1) = s2s^2 = i=1n(xxˉ)n\frac{\sum_{i=1}^{n}( x-\bar{x})}{n}

    - x 为一个样本矩阵

    若x=(x1,x2,...,xn)T(x_1,x_2,...,x_n)^T是n维矩阵,即n个样本变量,cov(x)得到n×n的矩阵
    在这里插入图片描述
    其中对角线元素是每个维度的方差,非对角线上的元素则是不同维度间的协方差,c12=c21c_{12}=c_{21}

    协方差 cov(x,y)

    x=[a1,a2,...,ama_1,a_2,...,a_m]
    y=[b1,b2,...,bmb_1,b_2,...,b_m]
    z=(a1a2...amb1b2...bm)\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_m \\ b_1 & b_2 & ... & b_m \end{pmatrix}

    cov(x,y) = cov(z)
    cov(z)其实就是把cov(x,y)中两个变量纵向拼接在一起作为z参与运算。

    所以,协方差矩阵运算时,首先要明确矩阵的一行是一组样本还是一列。

    变异系数 c.v

    比较两组数据离散程度,如果两组数据的测量尺度相差太大,或者数据量纲的不同,直接使用标准差来进行比较不合适,此时就应当消除测量尺度和量纲的影响。
    c.v = (标准差 s / 平均值 xˉ\bar{x})× 100%
    进行数据分析时,若变异系数大于15%,则考虑该数据可能不正常,应该剔除。

    ————————————————
    版权声明:部分内容参考「月亮是蓝色」的文章,
    原文链接:https://blog.csdn.net/lyl771857509/article/details/79439184

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  • 求sinh(x)的值

    千次阅读 2015-01-12 21:46:22
    输入代码: /* ... * All rights reserved. * 文件名称:sum123.cpp * 作 者:林海云 * 完成日期:2015年1月12日 ... * 问题描述:写一函数求sinh(x)的值,求sinh(x)的近似公式为 sinh(x)=(ex-e-x)/2,其中用一个函数

      输入代码:

    /*
     * Copyright (c) 2014, 烟台大学计算机学院
     * All rights reserved.
     * 文件名称:sum123.cpp
     * 作    者:林海云
     * 完成日期:2015年1月12日
     * 版 本 号:v2.0
     *
     * 问题描述:写一函数求sinh(x)的值,求sinh(x)的近似公式为 sinh(x)=(ex-e-x)/2,其中用一个函数求ex,结果保留两位小数。
     * 输入描述:x
     * 程序输出:sinh(x)的值
     */
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include<iomanip>
    using namespace std;
    int main()
    {
     double x,sinh;
     cin>>x;
     sinh=(exp(x)-exp(-x))/2;
     cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(2)<<sinh<<endl;
     return 0;
    }
    

    运行结果:


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  • OJ循环——求sinh(x)

    2015-01-09 12:50:14
    /* ...  * All rights reserved.  * 文件名称:test.cpp  * 作 者:李晓凯  * 完成日期:2015年 1 月 9 日 ... * 版 本 号:v1.0 ...写一函数求sinh(x)的值,求sinh(x)的近似公式为 sinh(x) = (ex-
    /*
     * Copyright (c) 2014, 烟台大学计算机学院
     * All rights reserved.
     * 文件名称:test.cpp
     * 作    者:李晓凯
     * 完成日期:2015年 1 月 9 日
     * 版 本 号:v1.0

     *

    题目描述

    写一函数求sinh(x)的值,求sinh(x)的近似公式为 sinh(x) = (ex-e-x)/2 ,其中用一个函数求ex 。结果保留两位小数。

    输入

    x

    输出

    sinh(x)的值。

    样例输入

    1

    样例输出

    1.18
    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    double udf_sinh(int x)
    {
        double sinh;
        sinh=(exp(x)-exp(-x))/2;
        return sinh;
    }
    int main()
    {
        double x;
        cin>>x;
        cout<<setiosflags(ios::fixed);
        cout<<setprecision(2);
        cout<<udf_sinh(x)<<endl;
        return 0;
    }
    




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  • 某些二阶线性偏微分方程,可分解为两个一阶线性偏微分方程,有可能积分求出通解。例如,二阶方程 ∂2u∂x∂y+∂u∂x=0 \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+\frac{\...∂vx=0和∂u∂y+u=v \frac{\partial v}...

    某些二阶线性偏微分方程,可分解为两个一阶线性偏微分方程,有可能积分求出通解。例如,二阶方程
    2uxy+ux=0 \frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+\frac{\partial u}{\partial x}=0
    等价于两个一阶线性偏微分方程
    vx=0uy+u=v \frac{\partial v}{\partial x}=0 \quad 和 \frac{\partial u}{\partial y}+u=v
    第一个方程对x积分,得v(x,y)=f(y)v(x,y)=f(y)f(y)f(y)为任意C函数。第二个方程对y积分,解得u(x,y)=eyg(y)+h(y)u(x,y)=e^{-y}g(y)+h(y)g(y)g(y)是任意C1C^1函数,h(y)=eyf(y)eydyh(y)=e^{-y}\int f(y)e^ydy也是任意C1C^1函数。

    接下来用此分解降阶的方法求出一维波动方程的通解(行波解),并通过若干例子介绍由通解确定特解的方法,并从物理上对解的行波特点作简要分析。

    1.4.1 一维波动方程的通解和初值问题的达朗贝尔(d’ Alembert)公式

    一维波动方程
    2ut2=a22ux2(1) \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \tag{1}
    a>0a>0为常数时可分解为
    (t+ax)(tax)u=0 (\frac{\partial}{\partial t}+a\frac{\partial}{\partial x})(\frac{\partial}{\partial t}-a\frac{\partial}{\partial x})u=0
    等价于两个一阶线性偏微分方程的方程组
    {vt+avx=0utaux=v \begin{cases} \frac{\partial v}{\partial t}+a\frac{\partial v}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=v \end{cases}
    这两个方程各有一族独立的特征线,分别是
    xat=c1,x+at=c2 x-at=c_1, \quad x+at=c_2
    引入新的自变量
    ξ=xat,η=x+at \xi=x-at,\quad \eta=x+at
    利用链式法则,u=u(t,x)u=u(t,x)的方程(1)变为u=u(ξ,η)u=u(\xi,\eta)的新方程
    2uηξ=0 \frac{\partial^2u}{\partial \eta \partial \xi}=0
    相继对η,ξ\eta,\xi积分,代回源自变量,得一维波动方程(1)的通解
    u=f(ξ)+g(η)=f(xat)+g(x+at)(2) u=f(\xi)+g(\eta)=f(x-at)+g(x+at) \tag{2}
    其中,f,gf,g是任意一元C2C^2函数。

    可见,一维波动方程的解是由速度同为aa的两列反向行进的波组成,称为行波解。其中,f(xat)f(x-at)为右行波,g(x+at)g(x+at)为左行波,波形f(ξ),g(η)f(\xi),g(\eta)则需由定解条件确定。

    例1:无限长弦的自由振动
    {2ut2=a22ux2,t>0,<x<+ut=0=φ(x),utt=0=ψ(x)(3) \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\psi(x) \end{cases} \tag{3}
    解:讲初始条件代入通解(2),得
    ut=0=f(x)+g(x)=φ(x)utt=0=af(x)+ag(x)=ψ(x) u|_{t=0}=f(x)+g(x)=\varphi(x) \\ \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=-af'(x)+ag'(x)=\psi(x)
    积分第二式,得
    f(x)+g(x)=1a0xψ(ξ)dξ+c -f(x)+g(x)=\frac{1}{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi+c
    f(x),g(x)f(x),g(x)的联立方程组,得
    f(x)=12[φ(x)1a0xψ(ξ)dξc]g(x)=12[φ(x)+1a0xψ(ξ)dξ+c] f(x)=\frac{1}{2}[\varphi(x)-\frac{1}{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi-c] \\ g(x)=\frac{1}{2}[\varphi(x)+\frac{1}{a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi+c]
    从而,初值问题(3)式的解必有形式
    u(t,x)=12[φ(xat)+φ(x+at)]+12axatx+atψ(ξ)dξ u(t,x)=\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi
    称为
    达朗贝尔公式

    不难直接验证,当初始条件φ(x)C2(R),ψ(x)C1(R)\varphi(x)\in C^2(R),\psi(x)\in C^1(R)时达朗贝尔公式给出的u确是初值问题(3)的古典解。因此,达朗贝尔公式是初值问题(3)式的唯一解。

    又设(3)式中的初始条件有微小变化,ut=0=φ(x)+h1(x),ut=0=ψ(x)+h2(x)u|_{t=0}=\varphi(x)+h_1(x), \frac{\partial u}{\partial}|_{t=0}=\psi(x)+h_2(x),其中,hj(x)δ(j=1,2)|h_j(x)|\leq \delta(j=1,2)。记在此初始条件下得到的达朗贝尔解为u^(t,x)\hat u(t,x),则
    u^(t,x)u(t,x)=12(h1(xat)+h1(x+at))+12axatx+ath2(ξ)dξ(1+t)δ |\hat u(t,x)-u(t,x)|=|\frac{1}{2}(h_1(x-at)+h_1(x+at))+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}h_2(\xi)d\xi|\leq (1+t)\delta
    故在任意有限时间范围内,只要初始条件的误差δ\delta足够小,解的误差可控制在一定,达朗贝尔公式给出的是稳定解。由此可见,一维波动方程的初值问题是适定的

    达朗贝尔公式清楚反映了初始扰动在弦上的传播过程。初位移φ(x)\varphi(x)12φ(x)\frac{1}{2}\varphi(x)的波形,以速度aa向弦的两边传播。如下图

    而且x点在t时刻由初位移引起的位移12[φ(xat)+φ(x+at)]\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]仅取决于x轴上xatx-atx+atx+at两点的初位移。而初速度的影响稍见复杂,是关于x轴对称的两个波形12a0xψ(ξ)dξ\frac{1}{2a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi12a0xψ(ξ)dξ-\frac{1}{2a}\int_0^x\psi(\xi)d\xi分别以速度aa向左、右传播,x点他时刻由初速度引起的位移12axatx+atψ(ξ)dξ\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi是一种累积效应,取决于初速度在[xat,x+at][x-at,x+at]整个区间内的值。称x轴上区间[xat,x+at][x-at,x+at]为点(x,t)(x,t)的依赖区间,可由经过(x,t)(x,t)的两条特征线确定。

    反过来看,初始时刻t=0t=0x0x_0点的初位移φ(x0)\varphi(x_0)经过时间t,仅沿过x0x_0点的两条特征线传播到x0atx_0-atx0+atx_0+at两点,而x0x_0点的初速度ψ(x0)\psi(x_0)则影响到区间[x0at,x0+at][x_0-at,x_0+at]中的所有点,是一种“弥漫作用”。

    若初始扰动发生在区间[h1,h2][h_1,h_2]上,则可唯一确定过左、右端点的右、左行特征线所围的特征三角形区域上的u(t,x)u(t,x),称此三角形为[h1,h2][h_1,h_2]上初始扰动的确定区域。而过左、右两端的左、右行特征线所围的无界特征形内各点的u(t,x)u(t,x)都受到[h1,h2][h_1,h_2]上初始扰动的影响,称此梯形为初始扰动的影响区域,如下图

    在这里插入图片描述

    例2:特征边值问题(Goursat问题)
    {2ut2=a22ux2uxat=0=φ(x),ux+at=0=ψ(x),φ(0)=ψ(0) \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\ u|_{x-at=0}=\varphi(x),\quad u|_{x+at=0}=\psi(x), \quad \varphi(0)=\psi(0) \end{cases}
    :将定解条件代入通解 u=f(xat)+g(x+at)u=f(x-at)+g(x+at),由
    uxat=0=f(0)+g(2x)=φ(x),ux+at=0=f(2x)+g(0)=ψ(x) u|_{x-at=0}=f(0)+g(2x)=\varphi(x), \\ u|_{x+at=0}=f(2x)+g(0)=\psi(x)
    解得
    f(ξ)=ψ(ξ2)g(0)g(ξ)=φ(ξ2)f(0) f(\xi)=\psi(\frac{\xi}{2})-g(0) \\ g(\xi)=\varphi(\frac{\xi}{2})-f(0)

    f(0)+g(0)=12[φ(0)+ψ(0)] f(0)+g(0)=\frac{1}{2}[\varphi(0)+\psi(0)]

    u=φ(x+at2)+ψ(xat2)φ(0) u=\varphi(\frac{x+at}{2})+\psi(\frac{x-at}{2})-\varphi(0)
    由于两条不同族的特征线上给出边界条件,对任意φ(x),ψ(x)\varphi(x),\psi(x),只要φ(0)=ψ(0)\varphi(0)=\psi(0),解都存在、唯一。

    展开全文
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