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  • 基本无害】动态理性预期理论与广义矩估计01如果使用 GMM 对动态理性预期模型进行识别,主要是基于动态欧拉方程,昨天我们推文已经介绍了动态欧拉方程:我们举了若干不同经济学模型例子,最后都得到了动态...

    前期回顾

    【基本无害】动态理性预期理论与广义矩估计01

    如果使用 GMM 对动态理性预期模型进行识别,主要是基于动态欧拉方程,昨天我们的推文已经介绍了动态欧拉方程:

    我们举了若干不同的经济学模型的例子,最后都得到了动态欧拉方程,需要注意的是该方程(或称为模型)的参数只有两个,即:
    但是需要注意  的值算出来最后不符合经济学逻辑,比如利用美国股票数据,从 1959-1993,算出来  为 91.4097(1 步-GMM 法)或者 57.3992(迭代-GMM),这就是大名鼎鼎的“资产溢价之谜”。

    Lucas的C-CAPM模型

    今天我们主要介绍 Lucas 的 1978 年模型,即 C-CAPM 模型来说明“资产溢价之谜”。利用 C-CAPM 模型也可以得到动态欧拉方程。首先假设投资者仅能在股票和无风险债券中做出选择进行投资,则其试图优化一下问题:

    s.t  

    债券持有量(t 时对 1 单位消费的要求)  股票持有量 股票价格(相对于债券的价格) 红利 资产总价值
    需注意,假设债券价格为单位 1(比如:一元)。

    则一阶条件(FOCs)为: 

    而终值条件(TVCs)为:  

    需要注意的是,这些等式必须对所有投资者成立,无论市场是完备市场还是非完备市场。对于一些投资者来说,这些方程可能是以不等式形式存在,主要原因是投资者可处于借贷或卖空限制状态。

    因此,以上方程对资产价格+消费之间的关系施加了可检验的限制条件。无论市场是完备的还是不完备的,这些限制都是一样的。在实践中,因为很少有长时间序列的个人消费数据。这使得这些限制难以检验。但是,如果市场是完备的,因此存在一个代表性投资人,那么我们就可以检验对总数据的限制条件。

    也就是说,在完备市场或禀赋型经济体下,个体具有相同便好和相同的禀赋,导致在均衡时,每个人消费(人均)总禀赋,由资产的红利流组成(可参见“卢卡斯树模型”)。如同所示:

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    有两点需要注意:1)关于收益的调整,让每个人满足于消费自己的禀赋。在均衡状态下,不存在资产交易! 这些都是 "影子价格"。显而易见,出现在均衡处,因为债券的净供给为零)。

    2)注意,卢卡斯只是颠覆了弗里德曼的 "永久收入假说 "的逻辑。弗里德曼假设资产收益Rt是外生的,并利用消费欧拉方程对最优消费行为进行描述。该假说在Hall 78被正式检验。

    相比之下,卢卡斯模型中,卢卡斯假设消费是外生的,并使用欧拉方程对均衡资产价格做出描述。

    由此Lucas模型最有特色的是:在Lucas模型之前,经济学家一般认为资产价格满足随机游走,而在Lucas模型中,资产价格不满足随机游走设定。为了说明为何?我们举例说明:先看一下欧拉方程, 

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    上式的推导我们用到了以下概率统计基本特性:假设,分别为两个随机变量,则有 

    因为有 
    的存在,  导致不是鞅过程。请特别注意,随机游走满足鞅过程,但逆命题不成立。如果一个随机过程不满足鞅过程,那么该随机过程也一定不是随机游走。

    说明:已知满足的情形下,我们如果还强制认定是鞅过程,即存在,则必须满足。

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    由此可见,一般而言,即使在有效市场中,资产价格也可以不是随机游走,因为有项的存在。这反映了 "时变的风险溢价"。也就是说,价格满足鞅过程,我们可以说投资者处于风险中性环境中,仅此而已。

    此外还需要注意,鞅过程与随机游走之间的关系。

    从技术上讲,鞅过程仅对随机过程的(条件)一阶矩进行了要求。因此,它比随机漫步的限制性小,后者对随机过程的整个分布都进行了限制性要求。因此,ARCH/GARCH仍可以保持鞅特性,虽然我们明显知道,ARCH/GARCH模型不满足随机游走过程特性。

    用C-CAPM模型说明资产溢价之谜

    下面继续讨论。

    我们可以定义资产的收益率,,于是欧拉方程可写为: ,此外不妨利用CRRA模型,

    即认为效用函数满足 ,则欧拉方程化为: , 然后为了便于计算, 我们再定义 消费增长率, 而 , 则此时欧拉方程化为

    我们再定义一个函数, 并利用泰勒展开公式在 和 处进行二阶展开,则有

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    假设也十分合理,于是可以化简得到: ,

    将以上结果带回欧拉方程,则有 令 ,于是有

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    , 然后化简得到定义无风险利率 ,其中:

    • 表示不耐烦性
    • 代表消费增长率的跨期替代效用
    • 审慎性储蓄

    我们于是可以写为 这就是C-CAPM的最终结论。

    • :表示风险价格
    • : 表示风险量

    如果令,则C-CAPM公式可以写为: 

    由此可见,除了不可直接观测外,其余量皆可利用数据计算得到。下面介绍为何出现了美国股票市场的风险溢价之谜。我们不妨将美国的数据带入该模型,看看会发生什么? 表示的是年化美国股票收益率均值,该数据可从市场上获得 表示美国国库券的年化收益率,该数据仍然可以从市场上获得 则,而 ,, 都可以通过经济数据计算得出,于是,将结果带入,得到,这个结果太夸张了。即是我们认为 也非常诡异。

    美国的资产溢价之谜的本质就是太高,完全不符合实情。

    可能的经济学解释:
    1、消费增长相对于股票的收益过于平滑;
    2、消费增长与股票的收益的相关性还是太低,潜台词是:消费增长了,股票的收益增长并没有那么相关(老百姓在消费增长时,为什么不去买股票?) 那为什么的值不能太高呢?为何太高就违反经济学直觉?

    1、 将导致  ,而无风险收益并不高啊!!!
    2、值越高表示的是投资者的风险厌恶程度, 经济学家一般认为该值小于3比较合理。

    我们举个例子。

    为了避免在同等概率的情况下获得或失去一份财富的风险,你愿意支付多少份额的财富?(在CRRA下,答案不取决于财富水平)。 

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    由此可见,gamma值仍然非常的不正常........

    (待续未完)

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  • 美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter ...Lars Peter Hansen得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)...

    美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter Hansen)、罗伯特-希勒(Robert Shiller)因为对资产价格的实证分析获得2013年诺贝尔经济学奖。

    Lars Peter Hansen的得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。

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    拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名宏观经济学家、芝加哥经济学派代表人物之一、芝加哥大学经济和社会科学资深讲座教授(David Rockefeller Distinguished Service Professor),专注于金融和实体经济部门之间的联系。因对资产价格的实证分析方面的杰出成就,在2013年与另一位芝加哥大学教授、芝加哥经济学派代表人物之一尤金·法玛和罗伯特·希勒一同获得了诺贝尔经济学奖。

    广义矩方法(generalized method of moments GMM)是关于参数估计的一种原理,关于GMM的一般表述是由汉森(1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM的特例,这些估计量包括普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等,在很多情况下即使极大似然估计量也可看作是GMM的一个特例。

    如果使用GMM对动态理性预期模型进行识别?

    这是今天我们需要介绍的。

    我们今天还会介绍基本的宏观经济模型以及动态欧拉方程。

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    约束条件可以由很多不同的经济学理论所构成的假设,比如以下若干公式就是一种经济学理论的假说,我们不妨称其为:模型I。

    模型I

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    或者这种经济学模型,我们不妨称其为:模型II

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    或者这种经济学模型,我们不妨称其为:模型III

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    需要注意的是,James Hamilton的经典教材《Time Series Analysis》中,也有专门一章介绍了GMM。

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    我们下面验证模型II和模型III中都有跨期欧拉方程,且形式都类似,即都有

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    待续未完

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  • 美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter ...Lars Peter Hansen得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)...

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    美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter Hansen)、罗伯特-希勒(Robert Shiller)因为对资产价格的实证分析获得2013年诺贝尔经济学奖。

    Lars Peter Hansen的得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。

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    拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen),著名宏观经济学家、芝加哥经济学派代表人物之一、芝加哥大学经济和社会科学资深讲座教授(David Rockefeller Distinguished Service Professor),专注于金融和实体经济部门之间的联系。因对资产价格的实证分析方面的杰出成就,在2013年与另一位芝加哥大学教授、芝加哥经济学派代表人物之一尤金·法玛和罗伯特·希勒一同获得了诺贝尔经济学奖。

    广义矩方法(generalized method of moments GMM)是关于参数估计的一种原理,关于GMM的一般表述是由汉森(1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM的特例,这些估计量包括普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等,在很多情况下即使极大似然估计量也可看作是GMM的一个特例。

    如果使用GMM对动态理性预期模型进行识别?

    这是今天我们需要介绍的。

    我们今天还会介绍基本的宏观经济模型以及动态欧拉方程。

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    模型I

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    我们下面验证模型II和模型III中都有跨期欧拉方程,且形式都类似,即都有

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    待续未完

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  • 一、本章知识结构 参数估计是统计推断基本问题之一,分为点估计和区间估计。其研究任务是:总体分布已知,但含有未知参数;我们要通过对样本进行加工,提取有用信息,对未知参数作出估计。本章要熟悉如何对...

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    一、本章知识结构

          参数估计是统计推断的最基本问题之一,分为点估计和区间估计。其研究任务是:总体的分布已知,但含有未知参数;我们要通过对样本进行加工,提取有用信息,对未知参数作出估计。本章要熟悉如何对样本进行加工(第六章的三大类公式)以及两类估计的具体步骤。本章要注重公式的推导和统计思想的理解,切不可死记硬背。知识结构图如下:ed294324b9dccf30324b8ce40b744c5f.png

    二、本章典型问题总结

       本章题型相对固定,主要有如下三类:

    1、求点估计量/值。解题只需严格按照步骤进行,无太多技巧。

       矩估计:核心是记住第六章第二大类公式——样本矩与总体矩。注意的是:一个参数令一阶原点矩相等;二个参数分别令一阶原点矩、二阶中心矩相等,建立关于待估参数的方程。

        极大似然估计:第一步写出似然函数(样本的联合分布);第二步求其最大值点,有求导和观察两种常用方法。

    2、点估计量的评选标准。严格按照无偏性、有效性、相合性的定义进行判定。主要是无偏性,解题技巧主要是第六章“统计量数字特征”的计算。

    3、求置信区间。以单个正态总体的区间估计为主,无任何技巧。解题时,一是分清楚应该用哪个置信区间的公式;二是代入计算要精确。不建议死记硬背公式,务必掌握推导过程。

    三、期末应对重点

       本章是期末考试数理统计部分的重点,至少两道题:

    1、求置信区间   (必考,客观题,4分)

    2、求点估计量/值,通常分矩估计和极大似然估计两个小题 (必考,计算题,10分)

    3、点估计量的评选标准(可能考,客观题或与题型2结合考大题,4分)

    四、考研展望

     

        本章是毫无疑问的数理统计部分考研重点,每年必考。尤其是点估计量(矩估计和极大似然估计),几乎每年都出一道11分的大题(概率统计考研只有两道大题)。其次是点估计量的评选标准,通常会出一道客观题或者与作为点估计量大题的第三小问呈现。至于区间估计,只有个别年份考察,频率不高,而且是以客观题的形式出现。

    五、习题解答

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    p.s:本部分课件由数学系王纪城老师无私奉献,衷心感谢!同时感谢那些温暖留言的童鞋以及click  advertisement 的同学。

    end

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  • 根据公式的基本表达式: 所以最后,进行估计得到的参数为: 我们的程序设计中,按照论文中的说明进行设计,对于非连续时间的函数方程式: 普罗尼算法步骤: 3)特征解求取: 由式递推求解 ...
  • 【IT168 评论】本节尝试独立于机器学习算法, 单纯地来讲梯度下降算法 [Gradient Descent, GD], 以使梯度下降更具一般性.开始之前, 先放 2 个基本概念, 带着这... 常以成本函数 [Cost Function] 作为参数估计的函数, ...
  • 一、最大似然估计最大似然估计的基本原理:当从模型总体随机抽取n组样本观测值之后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大最大似然估计的前提条件:必须已知 的分布估计步骤,对于一元...
  • 基本的全局阈值处理

    千次阅读 2018-10-04 14:48:27
    1.为全局阈值T选择一个初始估计值。 2.利用T分割图像,将产生两组像素:G1由灰度值大于T所有像素组成,G2由所有小于等于T像素组成。...5.重复2到步骤4,直到连续迭代中T值间差小于一个预定义的参数ΔT\D...
  • -在上篇文章中,介绍了假设检验的基本方法和原理,并在文章的最后用Excel实现了主要的假设检验,见下文:数据分析 | 统计之参数假设检验这篇文章,用Python实现常用的假设检验...建设检验的基本步骤:前言假设检验...
  • 使用R语言做极大似然估计

    万次阅读 2017-12-20 22:34:36
    Roadmap因为常用语言为python,所以在要做最大似然估计的时候第一直觉先去找... 1st、 先确定要估计的参数,并对其命名 2nd、将似然函数表示成关于待估计参数的表达式 3rd、给待估计参数赋初值 4th、直接调用max
  •  基本思想是:当从模型总体随机抽取n组样本观测值后,最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值概率最大。一般步骤包括: 写出似然函数 对似然函数取对数,并整理 求导数 解似然方程 对于思想...
  • 该算法是一种通过迭代求解隐含变量充分统计量和最大化似然函数以达到估计参数的算法。该算法广受关注,不仅是因为其含有隐含变量似然函数提供解法,更是因为其完备数学模型得以保证其求解结果正确性。EM算法...
  • Bootstraping: 名字来自成语“pull up by your own bootstraps”,意思是依靠你自己的资源,称为自助法,它是一种有放回的抽样方法,它是非参数统计中一种重要的估计统计量方差进而进行区间估计的统计方法。...
  • (1)设定参数,并选择一个初始的估计阈值。 (2)用阈值分割图像。将图像分成两部分:是由灰度值大于像素组成,是由灰度值小于或等于像素组成。 (3)计算和中所有像素平均灰度值和,以及新阈值。 ...
  • 根据样本信息,求得未知参数的估计。 主要思想:样本信息出现概率最大,也就是说我们想要找到一个参数,使得我们所有样本出现概率最大。 步骤: 写出关于似然函数。 取对数(方便后来求极值运算)。 对未知...
  • 模式识别复习笔记

    2020-12-22 21:16:09
    极大似然估计(1)极大似然估计的基本假设(2)求极大似然函数估计值的一般步骤:2.贝叶斯估计(1)贝叶斯估计的基本假设(2)求贝叶斯估计值的一般步骤3.极大似然估计法和贝叶斯估计法选择标准二、概率密度函数的非...
  • 其次,针对HSMM模型的参数估计问题,引入最大似然估计法,并提出了小样本条件下求解状态持续时间方法;再次,基于建立HSMM模型,给出了两阶段设备缺陷状态早期识别计算公式及步骤,通过对状态停留时间概率...
  • 在深度学习中,参数估计是最基本的步骤之一了,也就是我们所说模型训练过程。为了训练模型就得有个损失函数,而如果没有系统学习过概率论读者,能想到最自然损失函数估计是平均平方误差,它也就是对应于我们...
  • 一、 电子电路设计基本步骤:  1、 明确设计任务要求:  充分了解设计任务具体要求如性能指标、内容及要求,明确设计任务。  2、 方案选择:  根据掌握知识和资料,针对设计提出任务、要求和条件,...
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  • 参数估计与假设检验的区别: 参数估计与假设检验是统计推断的两个组成部分,都是利用样本...假设检验的基本思想和原理 假设检验的步骤 一个总体参数的检验 两个总体参数的检验 P值的计算与应用 用Excel进行检验 8....

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参数估计的基本步骤