前期回顾 
【基本无害】动态理性预期理论与广义矩估计01
如果使用 GMM 对动态理性预期模型进行识别，主要是基于动态欧拉方程，昨天我们的推文已经介绍了动态欧拉方程：
我们举了若干不同的经济学模型的例子，最后都得到了动态欧拉方程，需要注意的是该方程(或称为模型)的参数只有两个，即： 。
但是需要注意  的值算出来最后不符合经济学逻辑，比如利用美国股票数据，从 1959-1993，算出来  为 91.4097(1 步-GMM 法)或者 57.3992(迭代-GMM)，这就是大名鼎鼎的“资产溢价之谜”。
Lucas的C-CAPM模型 
今天我们主要介绍 Lucas 的 1978 年模型，即 C-CAPM 模型来说明“资产溢价之谜”。利用 C-CAPM 模型也可以得到动态欧拉方程。首先假设投资者仅能在股票和无风险债券中做出选择进行投资，则其试图优化一下问题：
s.t  
 债券持有量(t 时对 1 单位消费的要求)  股票持有量 股票价格(相对于债券的价格) 红利 资产总价值
需注意，假设债券价格为单位 1(比如：一元)。
则一阶条件(FOCs)为： 
而终值条件(TVCs)为：  
需要注意的是，这些等式必须对所有投资者成立，无论市场是完备市场还是非完备市场。对于一些投资者来说，这些方程可能是以不等式形式存在，主要原因是投资者可处于借贷或卖空限制状态。
因此，以上方程对资产价格+消费之间的关系施加了可检验的限制条件。无论市场是完备的还是不完备的，这些限制都是一样的。在实践中，因为很少有长时间序列的个人消费数据。这使得这些限制难以检验。但是，如果市场是完备的，因此存在一个代表性投资人，那么我们就可以检验对总数据的限制条件。
也就是说，在完备市场或禀赋型经济体下，个体具有相同便好和相同的禀赋，导致在均衡时，每个人消费(人均)总禀赋，由资产的红利流组成(可参见“卢卡斯树模型”)。如同所示：
有两点需要注意：1)关于收益的调整，让每个人满足于消费自己的禀赋。在均衡状态下，不存在资产交易! 这些都是 "影子价格"。显而易见，出现在均衡处，因为债券的净供给为零)。
2)注意，卢卡斯只是颠覆了弗里德曼的 "永久收入假说 "的逻辑。弗里德曼假设资产收益Rt是外生的，并利用消费欧拉方程对最优消费行为进行描述。该假说在Hall 78被正式检验。
相比之下，卢卡斯模型中，卢卡斯假设消费是外生的，并使用欧拉方程对均衡资产价格做出描述。
由此Lucas模型最有特色的是：在Lucas模型之前，经济学家一般认为资产价格满足随机游走，而在Lucas模型中，资产价格不满足随机游走设定。为了说明为何？我们举例说明：先看一下欧拉方程， 
上式的推导我们用到了以下概率统计基本特性：假设,分别为两个随机变量，则有 
因为有 
和的存在，  导致不是鞅过程。请特别注意，随机游走满足鞅过程，但逆命题不成立。如果一个随机过程不满足鞅过程，那么该随机过程也一定不是随机游走。
说明：已知满足的情形下，我们如果还强制认定是鞅过程，即存在，则必须满足。
由此可见，一般而言，即使在有效市场中，资产价格也可以不是随机游走，因为有和项的存在。这反映了 "时变的风险溢价"。也就是说，价格满足鞅过程，我们可以说投资者处于风险中性环境中，仅此而已。
此外还需要注意，鞅过程与随机游走之间的关系。
从技术上讲，鞅过程仅对随机过程的(条件)一阶矩进行了要求。因此，它比随机漫步的限制性小，后者对随机过程的整个分布都进行了限制性要求。因此，ARCH/GARCH仍可以保持鞅特性，虽然我们明显知道，ARCH/GARCH模型不满足随机游走过程特性。
用C-CAPM模型说明资产溢价之谜 
下面继续讨论。
我们可以定义资产的收益率，，于是欧拉方程可写为： ，此外不妨利用CRRA模型，
即认为效用函数满足 ，则欧拉方程化为： ，
然后为了便于计算，
我们再定义
消费增长率，
而 ，
则此时欧拉方程化为。
我们再定义一个函数， 并利用泰勒展开公式在 和 处进行二阶展开，则有
而假设也十分合理，于是可以化简得到：  ,  , ,  , ,
将以上结果带回欧拉方程，则有 令 ，于是有
，
然后化简得到定义无风险利率 ，其中：
 表示不耐烦性
 代表消费增长率的跨期替代效用
 审慎性储蓄
我们于是可以写为 这就是C-CAPM的最终结论。
 :表示风险价格
 : 表示风险量
如果令，则C-CAPM公式可以写为： 
由此可见，除了不可直接观测外，其余量皆可利用数据计算得到。下面介绍为何出现了美国股票市场的风险溢价之谜。我们不妨将美国的数据带入该模型，看看会发生什么？ 表示的是年化美国股票收益率均值，该数据可从市场上获得 表示美国国库券的年化收益率，该数据仍然可以从市场上获得
则，而 ,, 都可以通过经济数据计算得出，于是，将结果带入，得到，这个结果太夸张了。即是我们认为， 也非常诡异。
美国的资产溢价之谜的本质就是太高，完全不符合实情。
可能的经济学解释：
1、消费增长相对于股票的收益过于平滑；
2、消费增长与股票的收益的相关性还是太低，潜台词是：消费增长了，股票的收益增长并没有那么相关(老百姓在消费增长时，为什么不去买股票？)
那为什么的值不能太高呢？为何太高就违反经济学直觉？
1、 将导致  ，而无风险收益并不高啊！！！
2、值越高表示的是投资者的风险厌恶程度， 经济学家一般认为该值小于3比较合理。
我们举个例子。
为了避免在同等概率的情况下获得或失去一份财富的风险，你愿意支付多少份额的财富？(在CRRA下，答案不取决于财富水平)。 
由此可见，gamma值仍然非常的不正常........
(待续未完)

	

美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter Hansen)、罗伯特-希勒(Robert Shiller)因为对资产价格的实证分析获得2013年诺贝尔经济学奖。
Lars Peter Hansen的得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。
拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)，著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)，著名宏观经济学家、芝加哥经济学派代表人物之一、芝加哥大学经济和社会科学资深讲座教授(David Rockefeller Distinguished Service Professor)，专注于金融和实体经济部门之间的联系。因对资产价格的实证分析方面的杰出成就，在2013年与另一位芝加哥大学教授、芝加哥经济学派代表人物之一尤金·法玛和罗伯特·希勒一同获得了诺贝尔经济学奖。
广义矩方法(generalized method of moments GMM)是关于参数估计的一种原理，关于GMM的一般表述是由汉森(1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM的特例，这些估计量包括普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等，在很多情况下即使极大似然估计量也可看作是GMM的一个特例。
如果使用GMM对动态理性预期模型进行识别？
这是今天我们需要介绍的。
我们今天还会介绍基本的宏观经济模型以及动态欧拉方程。
约束条件可以由很多不同的经济学理论所构成的假设，比如以下若干公式就是一种经济学理论的假说，我们不妨称其为：模型I。
模型I
或者这种经济学模型，我们不妨称其为：模型II
或者这种经济学模型，我们不妨称其为：模型III
需要注意的是，James Hamilton的经典教材《Time Series Analysis》中，也有专门一章介绍了GMM。
我们下面验证模型II和模型III中都有跨期欧拉方程，且形式都类似，即都有
待续未完

	

美国经济学家尤金-法玛(Eugene Fama)、彼得-汉森(Lars Peter Hansen)、罗伯特-希勒(Robert Shiller)因为对资产价格的实证分析获得2013年诺贝尔经济学奖。
Lars Peter Hansen的得奖理由是利用广义矩估计识别模型参数。
拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)，著名拉尔斯·彼得·汉森(Lars Peter Hansen)，著名宏观经济学家、芝加哥经济学派代表人物之一、芝加哥大学经济和社会科学资深讲座教授(David Rockefeller Distinguished Service Professor)，专注于金融和实体经济部门之间的联系。因对资产价格的实证分析方面的杰出成就，在2013年与另一位芝加哥大学教授、芝加哥经济学派代表人物之一尤金·法玛和罗伯特·希勒一同获得了诺贝尔经济学奖。
广义矩方法(generalized method of moments GMM)是关于参数估计的一种原理，关于GMM的一般表述是由汉森(1982)提出的。GMM最大的优点是仅需要一些矩条件而不是整个密度。很多的估计量都可以视为GMM的特例，这些估计量包括普通最小二乘估计量、工具变量法估计量、两阶段最小二乘估计量、非线性联立方程系统的估计量以及动态理性预期模型的估计量等，在很多情况下即使极大似然估计量也可看作是GMM的一个特例。
如果使用GMM对动态理性预期模型进行识别？
这是今天我们需要介绍的。
我们今天还会介绍基本的宏观经济模型以及动态欧拉方程。
模型I
或者这种经济学模型，我们不妨称其为：模型II
或者这种经济学模型，我们不妨称其为：模型III
我们下面验证模型II和模型III中都有跨期欧拉方程，且形式都类似，即都有
待续未完

	

一、本章知识结构
      参数估计是统计推断的最基本问题之一，分为点估计和区间估计。其研究任务是：总体的分布已知，但含有未知参数；我们要通过对样本进行加工，提取有用信息，对未知参数作出估计。本章要熟悉如何对样本进行加工(第六章的三大类公式)以及两类估计的具体步骤。本章要注重公式的推导和统计思想的理解，切不可死记硬背。知识结构图如下：
二、本章典型问题总结
   本章题型相对固定，主要有如下三类：
1、求点估计量/值。解题只需严格按照步骤进行，无太多技巧。
   矩估计：核心是记住第六章第二大类公式——样本矩与总体矩。注意的是：一个参数令一阶原点矩相等；二个参数分别令一阶原点矩、二阶中心矩相等，建立关于待估参数的方程。
    极大似然估计：第一步写出似然函数(样本的联合分布)；第二步求其最大值点，有求导和观察两种常用方法。
2、点估计量的评选标准。严格按照无偏性、有效性、相合性的定义进行判定。主要是无偏性，解题技巧主要是第六章“统计量数字特征”的计算。
3、求置信区间。以单个正态总体的区间估计为主，无任何技巧。解题时，一是分清楚应该用哪个置信区间的公式；二是代入计算要精确。不建议死记硬背公式，务必掌握推导过程。
三、期末应对重点
   本章是期末考试数理统计部分的重点，至少两道题：
1、求置信区间   (必考，客观题，4分)
2、求点估计量/值，通常分矩估计和极大似然估计两个小题 (必考，计算题，10分)
3、点估计量的评选标准(可能考，客观题或与题型2结合考大题，4分)
四、考研展望
 
    本章是毫无疑问的数理统计部分考研重点，每年必考。尤其是点估计量(矩估计和极大似然估计)，几乎每年都出一道11分的大题(概率统计考研只有两道大题)。其次是点估计量的评选标准，通常会出一道客观题或者与作为点估计量大题的第三小问呈现。至于区间估计，只有个别年份考察，频率不高，而且是以客观题的形式出现。
五、习题解答
p.s：本部分课件由数学系王纪城老师无私奉献，衷心感谢！同时感谢那些温暖留言的童鞋以及click  advertisement 的同学。
end