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    Matlab中用fminsearch实现参数估计


    文章的主要思想来源于Matlab|Simulink仿真世界的一篇类似的文章。我这里把这个思想引入到我们的体系来,并以一个新的例子讲解这一用法。

    fminsearch用来求解多维无约束的非线性优化问题,它的基本形式是:

    [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT] = FMINSEARCH(FUN,X0,OPTIONS).

    大段的Matlab帮助文档我就不翻译解释了,有兴趣的朋友可以参见Matlab联机帮助,我这里只介绍他在参数估计中的作用。

    在 参数估计中经常用到正态分布的参数估计。在matlab系统中有一个函数叫做normfit就直接可以完成这样的参数估计,返回均值mu和均方差 sigma的估计,但是这里有一个要求,就是它的输入信息必须是随机的数字序列。如得到1000个服从正态分布的随机数向量R,用命令[phat pci]=normfit(R),就可以得到参数估计了。然而如果我我们得知某些已经处于pdf函数曲线上的点时,这时需要对函数进行拟合运算。

    估计参数的原理是从已知的一序列数据中,对于给定的任何一组参数,计算用其估计数据得到的方差,然后利用fminsearch函数求当方差满足最小的时候的参数,这就是需要估计的参数。

    来看一下下面的列子:


    smu=10,ssig=25; %假设原来均值方差分别为:10,25 R=randn(1000,1)*ssig+smu; %生成满足要求的1000个随机数 [y x]=myhist(R); %生成统计信息,x,y分别表示分组中值序列和落入该组的统计数目 bar(x,y) %绘制直方图 hold on plot(x,y,'ro') %绘制对应点 [pms mse]=normpdffit(x,y,8,20); %根据得到的统计信息x,y对其进行参数估计,8,20分别代表均值和方差的初值 t=min(x):(max(x)-min(x))/200:max(x); %定义绘图区间 ny=normpdf(t,smu,ssig); %真实分布曲线数据 nyf=normpdf(t,pms(1),pms(2)); %拟合分布曲线数据 plot(t,ny,'r-') plot(t,nyf,'b-.') legend('hist','hist value','ture pdf','fit pdf') %绘制两条曲线作对比

    上面例子中所用的几个函数定义如下:

    function [h xout]=myhist(data,nbins) %用于统计信息,生成和pdf函数值相同的hist统计方式。 if nargin==1 nbins=uint32(1+log(length(data))/log(2)); end nbins=double(nbins); data=data(:); [h xout]=hist(data,nbins); ew=xout(2)-xout(1); h=h./(ew*length(data)); function [pab mse]= normpdffit(x,y,a0,b0) %正态分布pdf参数估计 p=[a0 b0]; opt=optimset('fminsearch'); opt.TolX=0.001; opt.Display='off'; [pab mse]=fminsearch(@normpdfse,p,opt,x,y); %这里需要注意,opt参数已经传递给fminsearch,但是对于原计算方差的函数来说,还需要两个参数x,y,这两个参数就写在opt参数的后面,这样可以完成其他参数的传递。 %这里说下以前探索的时候的失败经验:用global把参数公有化,然后函数只传递变化的参数(需要估计的参数),但是失败了。所以了解这种参数传递方法是非常有必要的。 function se= normpdfse(pab,X,Y) %计算对于任何一组参数pab(1),pab(2),给出当前数据下的方差来。 se=var(Y-normpdf(X,pab(1),pab(2)));


    运行结果如图所示:



    从图中可以看出,随机数在这里变成了统计信息,统计信息反映到了绘制的点信息上,图中圆圈所示。真实的pdf为红色曲线,估计的曲线为蓝色虚线。从图中可知,估计的效果非常满意。

    如果在函数中加上:

    disp 'the result of normfit function:' [mu sg]=normfit(R) disp 'the result of fminsearch:' [pms mse]=normpdffit(x,y,8,20)

    得到结果:

    the result of normfit function: mu = 10.44306258428258 sg= 25.61945417031251 the result of fminsearch: pms = 10.30663244862284 25.32479396733891 mse = 7.093014695522283e-008

    与真实值相比,我们这里的拟合结果将比直接用normfit的结果更接近真实值。

    可 以这么解释:normfit函数是内部通用的拟合函数,适合范围广,而没有任何先验信息加入,而对于我们的fminsearch函数来说,它需要一个先验信息,即参数的初值。我们在调用的时候用了初值8,20.这个先验信息对更进一步的拟合最后的结果有着相当重要的作用!因此,对于参数估计,先验信息还是相当重要的。

    由于有这种技巧存在,了解了fminsearch函数之后,可以有很多的扩展应用。

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  • 参数估计(parameter estimation): 根据从总体中抽取随机样本来估计总体分布中未知参数过程。从估计形式看,区分为点估计与区间估计 点估计: 借助于总体中抽取一个样本来估计总体未知参数问题称为...

    参数估计

    参数估计(parameter estimation): 根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。从估计形式看,区分为点估计与区间估计

    点估计: 借助于总体中抽取的一个样本来估计总体的未知参数的值的问题称为参数的点估计问题

    构建点估计常用方法:

    1.矩估计法: 用样本矩估计总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计。它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩。矩估计法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布。缺点是,当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息。一般场合下,矩估计量不具有唯一性。

    设X是一维随机变量,若E(Xk)E(X^k)存在,则称他为X的k阶原点矩,简称k阶矩,
    我们称Ak=1ni=1nxikA_k = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k为样本k阶矩,样本k阶矩μk=Ak\mu_k = A_k是总体k阶矩E(Xk)E(X^k)的无偏估计

    然后我们就利用这个思路进行矩估计
    1.假设我们有k个要估计的参数,我们可以求样本的1阶矩、2阶矩、3阶矩……、k阶矩
    2.再写入总体1阶矩、2阶矩、3阶矩……、k阶矩的公式,因为他们是无偏估计,我们就可以得到k个方程,利用这k个方程求这k个要估计的参数

    例题:
    在这里插入图片描述

    2.极大似然估计(MLE)
    极大似然估计是频率派思想,对于一个已知的概率密度函数,根据样本数据,会有一组参数,使得这个参数带入概率密度函数后,这批样本出现概率最大,这个参数就是我们要估计的参数

    先设密度函数为f(xθ)θf(x|\theta),\theta就是我们要求的参数,对于一组相互独立样本数据X1,X2,X3……,Xn,我们可以得到这批独立样本出现的概率:L(θ)=f(X1,X2,X3Xnθ)=i=1nf(Xiθ)L(\theta) = f(X1,X2,X3……,Xn|\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(Xi|\theta)

    我们要求的就是
    argmaxθL(θ)\underset{\theta}{argmax}L(\theta)

    这个方程的解法为:
    首先把L(θ)L(\theta)转化为ln(L(θ))ln(L(\theta)),因为他们两个在同一点取得最大值
    转换之后公式就变为求argmaxθln(L(θ))=i=1nf(Xiθ)\underset{\theta}{argmax}ln(L(\theta)) = \sum_{i=1}^nf(X_i|\theta)

    然后我们对每个参数θj\theta_j求导,并令导数为0 ln(L(θ))θj=0j=012\frac{\partial ln(L(\theta))}{\partial \theta_j} = 0,j=0,1,2,……,求得参数θ\theta

    θ=(θ1,θ2,θ3,)\theta = (\theta_1,\theta_2,\theta_3,……)

    3.最大后验概率分布(MAP)
    最大似然估计认为使似然函数P(Xθ)P(X|\theta)最大的θ\theta就是最好的参数,最大似然估计把参数看为一个固定值。而MAP则是认为θ\theta是一个随机变量,也就是说θ\theta是一种概率分布,并且给定一个初始的概率分布,这个初始的概率分布称为先验分布

    我们根据贝叶斯公式,由给定的样本X(X1,X2,X3,……,Xn),确定θ\theta, p(θX)=p(Xθ)p(θ)p(X)p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)}
    其中p(θ)p(\theta)为先验概率,p(Xθ)p(X|\theta)为似然函数,这里的X其实就是一个定值,和θ\theta没关系,这里我们要最大化的函数是p(θX)p(\theta|X),他是θ\theta的后验概率

    p(θX)=p(Xθ)p(θ)p(X)p(Xθ)p(θ)p(\theta|X) = \frac{p(X|\theta)p(\theta)}{p(X)} \propto p(X|\theta)p(\theta)

    我们要求的就是argmaxθln(p(θX))=argmaxθln(p(Xθ)p(θ))=argmaxθ(ln(p(Xθ))+ln(p(θ)))\underset{\theta}{argmax}ln(p(\theta|X)) = \underset{\theta}{argmax}ln(p(X|\theta)p(\theta)) = \underset{\theta}{argmax}(ln(p(X|\theta)) + ln(p(\theta)))

    如果将机器学习结构风险中的正则化项对应为上式的 ln(p(θ))ln(p(\theta)),那么带有正则化项的最大似然学习就可以被解释为MAP。当然,这并不是总是正确的,例如,有些正则化项可能不是一个概率分布的对数,还有些正则化项依赖于数据,当然也不会是一个先验概率分布。不过,MAP提供了一个直观的方法来设计复杂但可解释的正则化项,例如,更复杂的惩罚项可以通过混合高斯分布作为先验得到,而不是一个单独的高斯分布。

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  • 9 MATLAB参数估计与假设检验-核密度估计

    万次阅读 多人点赞 2017-02-22 08:49:36
    参数法是假定总体服从某种已知分布,即密度函数的形式是已知,需要由样本估计其中的参数,这种方法依赖于实现对总体分布假设,而做出这种假设往往是非常困难。非参数法则不存在这样“假设”困难,这里介绍...

     核密度估计

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      在很多统计问题中,需要由样本去估计总体的概率分布密度,常用的估计方法由参数法和非常数法。参数法是假定总体服从某种已知的分布,即密度函数的形式是已知的,需要由样本估计其中的参数,这种方法依赖于实现对总体分布的假设,而做出这种假设往往是非常困难的。非参数法则不存在这样的“假设”困难,这里介绍的就是一种非参数密度估计法--核密度估计。

    核密度估计需要指定核函数和窗宽,但是取不同的核函数对核密度估计影响不大。

     (1)常用的核函数

    Uniform(或Box)、Triangle、Epanechnikov、Quaritic、Triweight、Gaussian、Cosinus

    (2)窗宽对核密度估计的影响

       窗宽会影响光滑程度,如果窗宽h去较大的值,图形较为光滑,但同时也丢失了数据所包含的一些信息;如果窗宽取值较小,则图像是不光滑的曲线,但它能反映出每个数据所包含的信息。

    (4)核密度估计的MATLAB实现

      MATLAB统计工具箱中提供了ksdensity函数,用来求核密度估计,其调用格式如下:

      <1>[f,xi]=ksdensity(x)

             求样本观测向量x的核密度估计,xi是在x取值范围内等间隔选取的100个点构成的向量,f是与xi相对应的核密度估计值向量。在在所用的核函数是Gaussian核函数,窗宽也是默认值。

      <2>f=ksdensity(x,xi)

         根据样本观测向量x计算xi出的核密度估计值f,xi和f是等长的向量。

      <3>ksdensity(.......)

        不返回任何输出,此时在当前坐标系中绘制出核密度函数图。

     <4>ksdensity(ax,.......)

       不返回任何输出,此时在句柄在ax对应的坐标系中绘制出核函密度函数图。

     <5>[f,xi,u]=ksdensity(.......)

       返回窗宽u

     <6>[......]=ksdensity(.....,param1,val1,param2,val2,....)

      通过可选的成对出现的参数名与参数值来控制核密度估计,可用的参数名与参数值如下表

    参数名                   参数值                             说明

    ‘censoring’      与x等长的逻辑向量           指定哪些项是截尾观测,默认是没有截尾


                              ‘normal’                          指定用Gaussian(高斯或正态)核函数,默认情况

                               ‘box’                                指定用Uniform核函数

    ‘bernel’              ‘triangle’                        指定用Triangle核函数

                               ‘epanechnikov’               指定用Epanechnikov核函数

                                 函数句柄或函数名            自定义核函数


    ‘npoints’              正整数                                指定xi中包含的等间隔点的个数,默认100


                                 ‘unbounded’                     指定密度函数的支撑集为全体实数集,默认情况

    ‘support’              ‘positive’                          指定密度函数的支撑集为正实数集

                                   包含两个元素的向量     指定密度函数的支撑集的上下限


    ‘weights’               与x等长的向量                 指定x中元素的权重


                                 ‘pdf’                               指定对密度函数进行估计

                                   ‘cdf’                               指定对累积分布函数估计

    ’function’               ‘icdf’                              指定对逆概率分布函数估计

                                  ‘survior’                           指定对生存函数进行估计

                                   ‘cumhazard’                  指定对累积危险函数进行估计


    (5)核密度估计的例子

       调用ksdensity函数对总成绩数据进行密度函数估计,并通过改变窗宽和核函数类型,来观察窗宽参数对函数平滑程度的影响和观察核函数类型对估计结果的影响。

      <1>总成绩数据的核密度估计

       采用默认的最佳窗宽和默认的Gaussian核函数,调用ksdensity函数进行核密度估计,并将核密度估计图、频率直方图和前面章节中求出的总成绩的正态分布的密度函数图放在一起对比。


    %读取文件中的第一个工作表中的总成绩数据,即G2:G52
    score=xlsread('成绩.xls','G2:G52');
    score=score(score>0);

    %调用ecdf函数计算xc处的经验分布函数值f_ecdf
    [f_ecdf,xc]=ecdf(score);
    %新建图形窗口,然后绘制评论直方图,直方图对应7个小区间
    figure;
    ecdfhist(f_ecdf,xc,7);
    hold on;
    xlabel('考试成绩');
    ylabel('f(x)');

    %调用ksdensity函数进行核密度估计
    [f_ks1,xi1,u1]=ksdensity(score);
    %绘制核密度估计图,并设置线条为黑色实线,宽度为3
    plot(xi1,f_ks1,'k','linewidth',3);

    %计算正态分布的密度函数图
    ms=mean(score);  %均值
    ss=std(score);   %方差
    %计算xi1处的正态分布密度函数值,正态分布的均值是ms,方差是ss
    f_norm=normpdf(xi1,ms,ss);
    %绘制正态分布密度函数图,并设置线条颜色为红色点画线,宽3
    plot(xi1,f_norm,'r-.','linewidth',3);

    %给图形加入标注框
    legend('频率直方图','核密度估计图','正态分布密度图');

    %查看默认的窗宽u1
    u1

    u1 =

        5.0474


    可以看到,在默认窗宽下,利用Gaussian核函数求出的密度曲线与N(ms,ss)分布的密度曲线非常接近,与总成绩的频率直方图附和的也很好。


    <2>固定核函数为Gaussian和函数,让窗宽进行变动,观察不同的窗宽对核密度估计的影响。

     %读取文件中的第一个工作表中的总成绩数据,即G2:G52
    score=xlsread('成绩.xls','G2:G52');
    score=score(score>0);

    %设置窗宽分别为0.1,1,5,9,调用ksdensity函数进行核密度估计
    [f_ks1,xi1]=ksdensity(score,'width',0.1);
    [f_ks2,xi2]=ksdensity(score,'width',1);
    [f_ks3,xi3]=ksdensity(score,'width',5);
    [f_ks4,xi4]=ksdensity(score,'width',9);
    figure;
    %分别绘制不同窗对应的核密度估计图,他们对应不同的线型和颜色
    plot(xi1,f_ks1,'c-.','linewidth',2);
    hold on;
    xlabel('考试成绩');
    ylabel('核密度估计');
    plot(xi2,f_ks2,'r:','linewidth',2);
    plot(xi3,f_ks3,'k','linewidth',2);
    plot(xi4,f_ks4,'b--','linewidth',2);

    %加标注
    legend('窗宽为0.1','窗宽为1','窗宽为5','窗宽为9');

    由图可以发现,不同的窗宽下,核密度估计曲线形状差距比较大,对于比较小的窗宽值,核密度估计曲线比较曲折,光滑性很差,但是反映了较多的细节;对于比较大的窗宽值,核密度估计曲线比较光滑,但是掩盖了许多细节。

    <3>固定窗宽为默认的最佳窗宽,让核函数变动,观察不同核函数对核密度曲线估计的影响。

    %读取文件中的第一个工作表中的总成绩数据,即G2:G52
    score=xlsread('成绩.xls','G2:G52');
    score=score(score>0);

    %设置核函数分别为Gaussian,Uniform,Triangle和Epanechnikov
    %调用ksdensity函数进行核密度检验
    [f_ks1,xi1]=ksdensity(score,'kernel','normal');
    [f_ks2,xi2]=ksdensity(score,'kernel','box');
    [f_ks3,xi3]=ksdensity(score,'kernel','triangle');
    [f_ks4,xi4]=ksdensity(score,'kernel','epanechnikov');
    figure;

    %分布绘制不同核函数所对应的核密度估计图
    plot(xi1,f_ks1,'k','linewidth',2);
    hold on;
    plot(xi2,f_ks2,'r:','linewidth',2);
    plot(xi3,f_ks3,'b-.','linewidth',2);
    plot(xi4,f_ks4,'c--','linewidth',2);
    xlabel('考试成绩');
    ylabel('核密度估计');
    legend('Gaussian','Uniform','Triangle','Epanechnikov');

    通过上图可以看出,不同的核函数对核密度估计的影响不大,就光滑性而言,Gaussian和Epanechnikov核函数对应的光滑性较好,Triangle次之,Uniform最差,在应用中,一般用Gaussian核函数。

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  • 参数估计基础(一)

    2015-10-23 13:26:33
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    Dji的导航算法题

    这都是当年上概率论与数理统计不好好听课的后果啊

    参数估计方法

    对于随机变量X的分布函数形式已知,但是其参数未知θ的情况,可以通过简单随机抽样获得其一组样本,利用样本数据去估计参数即参数估计,方法主要为点估计和区间估计(置信区间)。
    1. 点估计
    用一个数θ^来估计θ值,常用的方法有矩法(最)极大似然估计法
    1.1 矩估计
    将样本总体看做总体,实质上是一种替换的思想,比较简单,不展开了。
    1.2极大似然估计
    极大似然法的基本思想是一次试验就出现的事件有较大的概率。比如说一个班的学生考试,只把一次考试成绩给一个不相关的人查阅,就可以知道成绩好的同学有很大概率是那些学习好的同学。或者说两个人打猎朝着同一只兔子开枪,兔子被打死了,可以认为很大概率上是其中那个会打猎的人打死了兔子。
    (抄课本)极大似然原理的基本思想是:设总体分布的函数形式已知,但有未知参数θθ可以取很多值,在一次抽样中,获得了样本X的一组观测值x,说明该组观测值x出现的概率最大,θ的真实值应是θ的全部可能取值中使样本观察值出现概率最大的那个值,以此作为θ的估计,记作θ^,称为θ的极大似然估计,这种求估计的方法称为极大似然估计法。
    极大似然估计首先要求得其似然函数,实际上也就是样本观测值出现的概率积,对于离散型总体X和连续性总体X,这个是不完全相同的。极大似然估计就是要求得使似然函数最大的θ作为估计值。
    。。待续

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参数估计的常用形式