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  • 经过上一章,假设现在我们已经确定了ARIMA(p,d,q)中的阶数p,d,q 了,接下来我们要做的,就是参数估计。考虑ARIMA(p,d,q): 我们现在要估计的目标有这些: 。但是,R里边的截距项并不是这里的 ,重新转化计算起来可能...

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    经过上一章,假设现在我们已经确定了ARIMA(p,d,q)中的阶数p,d,q 了,接下来我们要做的,就是参数估计。

    考虑ARIMA(p,d,q):

    我们现在要估计的目标有这些:

    。但是,R里边的截距项并不是这里的
    ,重新转化计算起来可能会比较麻烦,于是我们也可以将ARIMA(p,d,q)按照R中的形式来写成:
    ,R 中估计出来的截距项事实上是这里的

    接下来我们介绍一下估计参数的方法:矩估计(MME),极大似然估计(MLE),条件最小二乘(CLS),以及无条件最小二乘(ULS) 。我们仅仅针对特定的模型进行分析,因为手算的话,像MA, ARMA非常非常麻烦。以下模型中我们都有

    的假设,而且模型都是平稳可逆的。

    矩估计(MME)

    矩估计最基本的思想就是用样本矩去估计总体矩。我们在数统和贝叶斯中都接触过这样的方法。当然,矩估计的结果并不是唯一的。

    对于一个结束确定的ARIMA(p,d,q),我们根据样本观测值用矩估计来估计参数的步骤如下:

    • 计算样本一阶矩、二阶矩
    • AR(p)
    1. 我们对期望的估计为
    2. 为了估计参数
      ,根据
      Yule-Walker equation
      ,将
      估计,可以得到
      的估计值
    3. 根据
      ,得到
    • MA(q)的估计算起来有点复杂 。这里只介绍MA(1):
    1. 我们对期望的估计为
    2. ,于是我们根据
      反解出
      。注意到这是一个一元二次方程,必定有两个根。但是我们必须要保证模型是可逆的,此时要求
      的两个解为
      ,此时必须保证
      才有实数解,然后我们选择小于1的

    条件最小二乘(CLS)

    • AR(p):
    • 可以看出以上对AR(p)参数的估计中,我们只是考察了
      时刻之后的噪声项,这就是“条件”。
    • MA(1):
      我们的“条件”是
      。于是就有了

    极大似然估计(MME)

    MME也是老朋友了。

    我们这里只考虑AR(1):

    ,其中
    服从正态分布。由于似然函数是联合密度,我们知道的是
    , 可是
    的分布怎么确定呢?平稳假设下,我们可写出AR(1)的
    MA representation:
    ,所以

    于是我们的似然函数是:

    之后按照取对数,求导方法得到相应的参数估计就可以了。

    无条件最小二乘(ULS)

    同样是上边的AR(1):

    ,其中
    服从正态分布,我们也可以通过最小化下边的式子来求出
    的估计值。这个式子包含了从时刻
    的所有白噪声项。

    求解出

    之后,利用
    估计方差。
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  • 1引言 参数估计分为点估计和区间估计,本讲主要进行点估计的分析以及求解思路。区间估计的考查形式会和之后的假设检验联系在一起,我们会在假设检验的那一章进行阐述。点估计顾名思义是对空间内一个点进行的估计,这...
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    1

    引言

        参数估计分为点估计和区间估计,本讲主要进行点估计的分析以及求解思路。区间估计的考查形式会和之后的假设检验联系在一起,我们会在假设检验的那一章进行阐述。

        点估计顾名思义是对空间内一个点进行的估计,这个点是一个对于总体样本值的一个函数,我们所要做的就是通过样本的观察值,去合理地计算出参数的值。

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    2

    要点提炼

    2.1矩估计

        矩估计简单来讲就是之前我们提到辛钦大数定律的实践版本,辛钦大数定律中所提到的样本k阶矩依概率收敛到总体的k阶矩。

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        正是这个公式代表了矩估计的强大之处,通过不同的k可以列出不同的方程。(样本k阶矩存在),根据线性代数的相关知识,未知数的个数等于方程数个数的时候,系数行列式满秩。我们就可以将未知数一一求解出来。例如需要估计的参数个数为2时(一般不超过2),我们就可以列出关于样本1阶和2阶矩的方程进行求解。

        方程构建的方法:样本矩只需要对观察值进行不同幂次的乘方和求解均值即可,难点在于如何建立总体矩。这时候基本概念就派上用场了。

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       一种相对朴素的矩估计方法:随机挑选若干个零件,已经量取出它们每个的尺寸,试问如何求解总体均值或者方差。

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        我们利用求平均数的方法求解出零件平均尺寸,套用方差公式得到方差。类似于中学的统计题目,这其实就是一种矩估计的思想。

    2.2最大似然估计

        和矩估计一样最大似然估计也是点估计的一种,但是本质思路上还是有着很大区别的。它在处理数据方式上选择了构造函数求极值的方法。在多数情况下,它的估计效果是要强于矩估计的

        其中似然函数是对样本中所有取值概率的连乘积。

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        这个公式乍看上去有些突兀,让人不明所以。下面给大家举一个简单的例子阐述一下。

        例如我从一个不透明装有黑白球的盒子里面随机取出若干个球,得知黑球的数量为25个,白球为5个。显然利用矩估计我们可以直接口算出摸到白球和摸到黑球的概率。

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        但是换一种思路呢,显然这是离散性随机变量分布中的二项分布,我可以设摸到黑球的概率为p,那么自然白球被摸到的概率为1-p。根据二项分布的分布律,我可以写出摸到25黑球和5个白球的概率。

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        发现只有后面两项才是关于p的函数,第一项跟待估计参数p并无直接联系,因此我们可以在构造新函数时不再考虑这一项。举出这个例子是为了让大家对最大似然估计有一个直观理解,形似条件分布的概率连乘积也是有其数学意义的。

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    3

    习题讲解

    例题

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    答案:

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    4

    学长谈经验

        矩估计作为点估计的重要方法,是辛钦大数定律完美诠释。通过出构造等于待估计参数的方程(不超过2)。方程建立并不困难,把握住期望和方差,剩下的便是顺理成章。

        最大似然估计的方法核心是对构造出的样本似然函数求极值,构造方式是对离散性分布率和连续性概率密度连乘积。但不经过处理的样本似然函数形式过于复杂,这时候只需要对其取对数就可以简化运算。最后对需要估计的参数求偏导令其为零。

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    第八期内容到这里就结束了,如果错过了前面几期的同学可以自行在公众号内回顾哦,每周四概率统计与您不见不散。

    感谢大家阅读!下期期待与你再见!

    若有问题请在评论区评论,欢迎各位的批评与指正!

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    责编|赵洪烨

    审核|牟育生 王子豪

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  • 目录1、LS最小二乘法,可以用于线性回归模型、ARMA等模型2、TSLS两阶段最小二乘法3、GMM广义矩估计方法4、ARCH自回归条件异方差,还可以估计其他各种ARCH模型,如 GARCH、T- GARCH5、BINARY用于估计二元选择模型,...

    目录

    • 1、LS最小二乘法,可以用于线性回归模型、ARMA等模型

    • 2、TSLS两阶段最小二乘法

    • 3、GMM广义矩估计方法

    • 4、ARCH自回归条件异方差,还可以估计其他各种ARCH模型,如 GARCH、T- GARCH

    • 5、BINARY用于估计二元选择模型,包括 Logit、 Probit和 Extreme value模型

    • 6、ORDERED用于估计有序选择模型

    • 7、CENSORED用于估计删截模型

    • 8、COUNT用于估计计数模型

    • 9、OREG分位数回归分析方法

    • 10、GLM义线性模型分析方法

    • 11、STEPLS分段最小二乘分析方法

    • 12、ROBUSTLS稳健最小二乘分析方法

    • 13、HECKIT赫克曼备择模型

    • 14、BREAKLS带断点的最小二乘分析方法

    • 15、THRESHOLD门限回归分析

    • 16、SWTCHREG转换回归

    • 17、ARDL自回归分布滞后模型

    • 18、IDAS混合数据抽样

    1

    TSLS两阶段最小二乘法

    一个典型的线性回归模型:y= β0 + β1x1+ βX + ε(1),这里y为被解释变量,x1为自变量,或者解释变量,也即“因”。大写的 X为外生控制项向量( 也即一组假定为外生的其他控制变量,例如年龄、性别等等) ,ε则为误差项。如果ε与x1不相关,那么我们可以利用OLS 模型对方程进行无偏估计。

    然而,如果一个重要变量x2被模型(1) 遗漏了,且x1和x2也相关,那么对β1的OLS 估计值就必然是有偏的。

    此时,x1被称作“内生”的解释变量,这就是 “内生性”问题。遇到“内生性”问题肿木办?有一个方法就是找工具变量Z。

    如果存在内生性,则称解释变量为 “内生变量”(endogenousvariable);反之,则称为 “外生变量”(exogenous variable)。

    内生性的严重后果是使得 OLS估计量不一致(inconsistent),即无论样本容量多大,OLS 估计量也不会收敛至真实的参数值。

    在计量经济学中,把所有与扰动项相关的解释变量都称为“内生变量”。这与一般经济学理论中的定义有所不同。1。与误差项相关的变量称为内生变量(endogenous variable)。2。与误差项不相关的变量称为外生变量(exogenous variable)。

    二阶段最小二乘法Eviews操作介绍:二阶段最小二乘法的第一阶段就是利用原模型的内生解释变量对工具变量进行OLS,得到解释变量的拟合值;第二步,利用得到解释变量的拟合值对原模型进行最小二乘法,从而得到方程模型的估计值,这样就可以消除内生性的影响。

    原文阅读:一文读懂内生性问题之二阶段最小二乘法(TSLS)Eviews操作

    2

    THRESHOLD门限回归分析

    阈值回归模型描述了一种简单的非线性回归模型。 TR规范很受欢迎,因为它们很容易。 估计和解释,并能产生有趣的非线性和丰富的动力学。 在TR的应用中,有样品分裂,多重平衡。 非常流行的阈值自回归(TAR)和自激励阈值自回归(SETAR)(Hansen 1999, 2011;波特2003)。

    在功能强大的特性中,Eviews有选择最佳阈值TR模型选择工具。能够从候选列表中,并且能够指定两种状态的变化和非变化的变量。例如,您可以轻松地指定两种模式的门限模型并允许EViews 估计最优变量和参数、阈值、系数和协方差。并对变化和回归参数的估计。

    门限回归模型是一种重要的结构变化模型,当观测变量通过未知门限时,函数模型具有分段线性的特征,并且区制发生变化。门限回归模型很容易估计和解释,再加上它具备动态性,所以应用比较广泛。门限回归能够应用于多种模型中。

    门限变量qt和解释变量Xt、Zt的特征决定了门限函数的类型。如果qt是yt的d期滞后值,则称为自激励(SE)模型;如果门限变量不是被解释变量的滞后变量,则为一般的门限回归(TR)模型。如果解释变量Xt、Zt中仅包含截距项和滞后的被解释变量,则表示自回归(AR)模型。在此基础上易于得出,自激励门限自回归(SETAR)模型中则包括自回归设定和滞后被解释变量两类要素。

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    Estimation Output

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    Criteria Graph and Table If you select View/Model Selection Summary from an estimated threshold equation you will be offered a choice of displaying a Criteria Graph or a Criteria Table:

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    3

    BREAKLS带断点的最小二乘分析方法

    基本普通最小二乘法假设模型的参数不随观测值的变化而变化。尽管这种假设。结构的变化,以及样本区间参数的变化 ,在应用时间序列分析中起着重要的作用。

    因此,有大量的研究针对回归方程中参数结构变动的问题。EViews 8提出了结构变动的线性回归估计工具。在Bai (1997), Bai and Perron (1998)中的断点都是已知,先前指定的。

    一、Estimating Least Squares with Breakpoints in EViews

    案例所需数据介绍,本节以hansen_jep为例,具体数据如下:

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    要估计一个具有断点的最小二乘方程,请选择Object/New Object….../ Equation or Quick/Estimate Equation,或者从EViews主菜单中选择BREAKLS - Method下拉菜单中带有断点的最小二乘法,或者在命令窗口中简单输入关键字BREAKLS:

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    接下来,单击Options选项卡,显示计算系数协方差矩阵、断点说明、权重和系数名的附加设置。

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    Break Specification包括如下选项:

    The Break specification section of the dialog contains a Method drop-down where you may specify the type of test you wish to perform. You may choose between: 

    • Sequential L+1 breaks vs. L

     • Sequential tests all subsets 

    • Global L breaks vs. none 

    • L+1 breaks vs. global L 

    • Global information criteria 

    • Fixed number - sequential

     • Fixed number - global

     • User-specified

    这些选项在结构突变检验章节将再次介绍。为了说明断点方程估计的输出,我们使用Han- sen’s (2001)劳动生产率的例子。Hansen的示例使用了1947年2月至2001年4月美国劳动生产率在制造业耐用品行业的测量。工业生产指数与每周平均工时之比增长率。

    我们估计一个断点模型,使用DDUR与DDUR(-1)和一个常数的回归。输出如下:

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    Breakpoint Specification View显示一个断点回归的总结,该方法用于确定断点。输出的顶部显示断点摘要以及剩下的部分显示了断点确定的中间结果:

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    二、Example

    为了说明这些工具在实践中的使用,我们采用了美国出口实际利率的数据(from Garcia and Perron (1996) that is used as an example by Bai and Perron (2003a).)

    选择对象/新对象…从主菜单中 或在命令行中输入命令断点并单击enter。

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    Next, click on the Options tab and specify HAC (Newey-West) standard errors, check Allow error distributions to differ across breaks, choose the Bai-Perron Global L breaks vs. none method using the Unweighted-Max F (UDMax) test to determine the number of breaks, and set a Trimming percentage of 15, and a Significance level of 0.05.

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    Lastly, to match the test example in Bai and Perron (2003a), we click on the HAC Options button and set the options to use a Quadratic-Spectral kernel with Andrews automatic bandwidth and single pre-whitening lag:

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    输出结果为:

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    点击视图/实际,拟合,剩余/实际,拟合,残差图,在原始序列和残差的旁边,查看样本内的拟合数据:

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    未完待续!

    ◆◆◆◆

    精彩回顾

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    点击上图查看:

    计量经济学小白必修课--网课《高级计量经济学及Eviews应用》震撼上架!

    ef3db6a39302c218d2047802eec9c595.png

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    《初级计量经济学及Stata应用:Stata从入门到进阶》

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    点击上图查看:

    《高级计量经济学及Stata应用:Stata回归分析与应用

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  • 参数估计

    2020-11-13 18:41:07
    一、参数估计的一般问题 1.1 估计量与估计值 估计量:用于估计总体参数的随机变量 估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值 1.2 点估计和区间估计 ∙ 点估计: 用样本的估计值的某个取值直接作为总体参数的估计...

    一、参数估计的一般问题

    1.1 估计量与估计值

    估计量:用于估计总体参数的随机变量
    估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值

    1.2 点估计和区间估计

    ∙ 点估计:

    用样本的估计值的某个取值直接作为总体参数的估计值
    无法给出估计值接近总体参数程度的信息

    ∙ 区间估计:

    在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个区间范围,该区间由样本统计量加减估计误差得到
    根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量

    ∙ 置信水平:

    将构造置信区间的步骤重复多次,置信区间包含总体参数真值的次数所占比例为置信水平

    ∙ 置信区间:

    由样本统计量所构造的总体参数的估计区间为置信区间

    1.3 评价估计量的标准

    ∙ 无偏性:

    估计量抽样分布的期望等于被估计的总体参数

    ∙ 有效性:

    对同一总体参数的两个无偏点估计量,由更小标准差的估计量更有效

    ∙ 一致性:

    随着样本量增大,估计量的值愈来愈接近被估计的总体参数

    1.4 点估计

    设总体X的分布函数形式已知,但它的参数未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题为点估计问题

    估计量的求法:

    ∙ 矩估计:

    用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计方法为矩估计

    ∙ 最大似然估计:(概率模型)

    最小二乘估计(描述损失)
    贝叶斯估计(因果)
    EM估计

    二、一个总体参数的区间估计

    2.1 总体均值的区间估计

    在这里插入图片描述
    t分布:
    在这里插入图片描述
    总体均值的区间分布(小样本):
    在这里插入图片描述
    t_scale:
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    2.2 总体比例的区间估计

    在这里插入图片描述

    2.3 总体方差的区间估计

    在这里插入图片描述

    2.4 小结

    在这里插入图片描述

    三、两个总体参数的区间估计

    在这里插入图片描述

    3.1 两个总体均值之差的区间估计

    两个总体均值之差的区间估计(独立大样本):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    z_scale:
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    两个总体均值之差的区间估计(独立小样本):

    小样本:方差不等

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    小样本:方差相等
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    两个总体均值之差的区间估计(匹配大样本):
    在这里插入图片描述

    3.2 两个总体比例之差的区间估计

    在这里插入图片描述

    3.3 两个总体方差比的区间估计

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.4 小结

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 新闻与传播学院2020级博士生王怡欢作为领学人,为在场同学们介绍了抽样分布(卡方分布、t分布、F分布)、参数估计(点估计、区间估计)、假设检验等相关知识,带领在场同学们探索数理统计世界。概率论 → 数理统计...
  • PCBN模型的参数估计及模拟算法,赵子然,王斌会,本文给出了建立Pair-Copula Bayesian Network(PCBN)模型时参数估计和模拟抽样的步骤,并以具体的算法表示. 参数估计和模拟抽样算法的关键在于
  • 本文将以车辆三自由度模型为基础,利用扩展卡尔曼滤波...在这里,脚主把卡尔曼参数估计仿真分为四个步骤:1)车辆模型搭建;2)扩展卡尔曼滤波算法搭建;3)模型整合及仿真工况设置;4)仿真及结果分析。01 车辆模型...
  • 参数估计——点估计

    2020-06-05 10:39:42
    ①、最大似然估计也适用于多个未知参数的情况,对每个未知参数分别求偏导 ②、似然函数单调时,最大值在定义域端点取到 三、估计评选标准 1、无偏性 意义: ①、矩估计 ②、似然估计 注 2、有效性 注: ...
  • 贝叶斯参数估计

    2017-02-09 11:20:00
    (学习这部分内容约需要1.9小时) ... 术语"贝叶斯参数估计"会让我们误以为对参数进行了估计, 实际上我们通常可以完全跳过参数估计步骤. 我们把参数积分掉, 并直接进行预测. 预备内容 弄清楚这个概念需要一些预备知识...
  • 关于指数分布的参数估计,可见下面网址: https://wenku.baidu.com/view/e88aa871168884868762d699.html 关键步骤截图如下: 这样,在假设神经元脉冲是完全符合泊松分布下推理。当然,神经元spikes不是完全...
  • 集中趋势和离散趋势的度量: 众数、中位数和平均数: 方差和标准差: 相对离散程度:离散系数的作用: 怎样理解置信区间 影响区间宽度的因素 解释95%的置信区间 ...参数估计和假设检验的区别和联系 假设检验的步骤
  • 目前较为常见的参数估计方法有极大似然估计、最大后验概率估计、贝叶斯估计。以下以抛硬币为例比较三种参数估计方法。极大似然估计:根据样本概率分布,写出样本联合概率似然函数,通过最大化似然函数,得到参数...
  • 我们最终想要得到是一个概率密度模型,如果我们已经对观测对象有了一些认识,对观测现象属于那种类型概率密度分布已经了解,只是需要确定其中的参数而已,这种情况就是属于参数估...
  • 我们观测世界,得到了一些数据,我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界,一般来说,在概率上我们有一个一般性操作步骤 1. 观测样本存在2. 每个样本之间是独立3. 所有样本符合一个概率模型 我们最终想要...
  • 本章要熟悉如何对样本进行加工(第六章的三大类公式)以及两类估计的具体步骤。本章要注重公式的推导和统计思想的理解,切不可死记硬背。知识结构图如下:二、本章典型问题总结 本章题型相对固定,主要有如下...
  • 在低中频预失真器构架基础上,提出了一种基于坐标变换预失真参数估计方法,从而降低了传统数字基带预失真系统硬件成本和数值计算量。算法将传统算法中复数乘法转换为极坐标中幅度乘法和相位加法,使同样...
  • 数理统计之参数估计

    2019-01-12 09:49:59
    数理统计@TOC ...区间估计的主要方法为枢轴量法,主要分为以下几个步骤: 构造枢轴量,只包含估计的目标参数这一个未知量,并确定枢轴量的分布类型; 通过枢轴量的分布和置信度来确定区间。 ...
  • 二、正态总体均值与方差区间估计 1、单正态总体 (1)、均值μ 置信水平为1-α (2)、方差σ2 2、双正态总体 (1)、两个总体均值差μ1-μ2 ①、σ12、σ22已知 ②、σ12=σ22=σ2,但σ2未知 (3)、两个总体方差比...
  • 参数估计介绍最大似然估计 Maximum-Likelihood前提(似然与概率)极大似然估计介绍模型推导例题特点补充贝叶斯估计前提MAP贝叶斯估计步骤 介绍 参数估计:是根据从总体中抽取样本估计总体分布中包含未知参数方法...
  • 一、参数估计的基本原理 估计量:在参数估计中,用来估计总体参数的统计量 估计值:根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值 点估计:用样本统计量theta的某个取值直接作为总体参数的估计值 区间估计:在点...
  • 本文详细介绍了EM算法的步骤 分析,以及应用与高斯混合模型和隐马尔可夫过程参数估计的详细过程,英文版
  • 目的: 利用观测到样本,估计出未知参数 目录: 1: 算法基本步骤 2: 原理 3: 例子 4: Code 一 算法原理 1.1 写出 概率密度|分布律 1.2 极大似然函数: 似然估计 1.3 对对数似然...
  • 极大似然估计四个步骤

    千次阅读 2020-04-20 12:46:05
    极大似然估计参数估计的四个步骤 (1) 写出似然函数; (2) 对似然函数取对数,并整理; (3) 求导数 ; (4) 解似然方程 。 极大似然估计的概念 极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数...
  • 首先,观察题中所给是指数分布,利用极大似然估计参数的步骤是:1、得到联合密度函数 2、对联合密度函数取对数 3、求导 4、求出待估参数的表达式 指数分布的密度函数为f(λ;x)=∏i=1nλe−λxif(\lambda;x)=\prod_...
  • 贝叶斯决策与贝叶斯参数估计

    千次阅读 2017-01-12 13:12:44
    1/11/2017 11:02:08 PM 考试结束了重新看了...第二张PPT讲得很清楚了,关于贝叶斯参数估计的基本条件和步骤。 需要注意的的是p(x|θ)表示的是参数θ给定时,x(也就是数据)的一般分布;而p(D|θ)则表示实际上生成手上
  • 区间估计求解步骤: 1.构造统计量u(X1,X2⋯ ,Xn;θ)u(X_1,X_2\cdots ,X_n;\theta)u(X1​,X2​⋯,Xn​;θ) 2.P{c<u(X1,X2⋯ ,Xn;θ)<d}=1−αP\left \{ c< u(X_1,X_2\cdots ,X_n;\theta)<d \right \}=1-...
  • 采用EM估计GMM的参数

    千次阅读 2010-12-02 13:27:00
    首先利用样本对参数进行估计,然后在M-step中将需要估计的参数最大化(通常是求其最大似然估计),不断地迭代此两个步骤,直到收敛。 下面写一下采用EM估计GMM的步骤: 1、初始值确定。 方案1:将协方差矩阵设为单位...
  • 第七章 参数估计与假设检验一、参数估计的种类 点估计 区间估计 二、点估计(一)、方法一:矩估计总体 X∼f(,θ)X \sim f(, \theta),但参数 θ\theta 未知,需要对参数 θ\theta 进行估计。 步骤 1. 取样X1,X2,...

空空如也

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