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  • 参数估计计算方法

    千次阅读 2020-05-27 19:21:58
    参数估计计算方法极大后验(MAP)及拉普拉斯逼近基于马尔可夫链的蒙特卡洛参数推断(MCMC)期望极大化(EM) (参数估计所有内容) 极大后验(MAP)及拉普拉斯逼近 极大后验估计: MAP是通过确定后验分布的极大值得到的,...

    参数估计所有内容

    极大后验(MAP)及拉普拉斯逼近

    极大后验估计:
    MAP是通过确定后验分布的极大值得到的,在点估计中的表达式为:在这里插入图片描述MAP 估计可等效为能量函数的极小值:
    在这里插入图片描述其中,能量函数表达式为:
    在这里插入图片描述参数的极大似然估计即为一种标准先验概率满足下式的MAP估计:
    在这里插入图片描述

    能量函数的极小值可通过多种基于无梯度或梯度的广义最优算法计算得到。
    若要利用基于梯度的广义最优化算法,需要计算能量函数的导数。计算能量函数导数有两种方法:
    1). 对能量函数的递归方程用一种特殊的方法进行微分,所得的结果称为灵敏度函数,可由类似于滤波过程中递归方程计算得到。
    2). 利用Fisher特性,将能量函数的梯度表示为平滑分布所有数据对数似然导数的期望值。该方法相比于直接微分法优点在于不要计算额外的递归方程。

    MAP估计的缺点:该方法实际运用了狄拉克 δ\bm{\delta} 方程逼近后验分布,即:
    在这里插入图片描述从而忽略了后验分布的变化。

    拉普拉斯逼近法:
    利用能量函数的二阶导数(Hessian) 实现对后验分布的高斯逼近,表达式为:
    在这里插入图片描述式中,H(θ^MAP)\bm{H(\hat\theta^{MAP})}MAP 估计值出的 Hessian 矩阵。该方法需要计算或者逼近能量函数的二阶导数。

    基于马尔可夫链的蒙特卡洛参数推断(MCMC)

    MH算法:
    Metropolis-Hastings(MH)算法是最为常见的一种MCMC方法。MH引入建议密度 q(θ(i)θ(i1))\bm{q(\theta^{(i)}|\theta^{(i-1)})},通过结合已知采样点 θ(i1)\bm{\theta^{(i-1)}},给出新的建议采样点 θ(i)\bm{\theta^{(i)}}
    MH算法步骤为:
    首选由任意初始分布得到起始点 θ(0)\bm{\theta^{(0)}}
    然后,对于 i=1,2,,N\bm{i=1,2,\cdot\cdot\cdot,N},有

    1). 从建议密度中选择一个参考点 θ\bm{\theta^{*}}:
    在这里插入图片描述2). 计算接受概率:
    在这里插入图片描述3). 产生均匀分布随机变量 uU(0,1)\bm{u \sim U(0,1)},并令:
    在这里插入图片描述

    Metropolis算法为Metropolis-Hastings算法的一种特例,其建议分布为对称的,即 q(θ(i)θ(i1))=q(θ(i1)θ(i))\bm{q(\theta^{(i)}|\theta^{(i-1)})}=\bm{q(\theta^{(i-1)}|\theta^{(i)})},此时,接受概率缩减为:
    在这里插入图片描述
    建议分布的选取对Metropolis-Hastings算法的性能影响较大,通常采用高斯部分作为建议分布。即:
    在这里插入图片描述式中,i1\bm{\sum^{i-1}} 为合适的协方差矩阵。
    选定协方差矩阵其中一种方法是自适应马尔可夫链蒙特卡洛法(AMCMC\bm{AMCMC}),该方法可以载解算MCMC\bm{MCMC}时,自动调整所需要的高斯建议分布协方差阵。
    AMCMC\bm{AMCMC} 的思想为:利用先前采样点产生的协方差阵作为后验分布实际协方差阵的估计值。在已知先前的协方差矩阵的情况下,就可以计算建议分布的协方差阵。

    RAM(robust adaptive Metropolis)算法:
    RAM步骤为:
    1). 有初始分布 p0(θ)\bm{p_0(\theta)} 获得 θ(0)\bm{\theta^{(0)}},利用初始协方差阵的下三角阵 Chollesky\bm{Chollesky} 因子对 S0\bm{S_0} 进行初始化。
    2). 获取一个采样点 θ=θi1+Si1ri,riN(0,I)\bm{\theta^*=\theta_{i-1}+S_{i-1}r_i},r_i\sim N(0,I)
    3). 计算接受概率:
    在这里插入图片描述4). 从均匀分布 U(0,1)\bm{U(0,1)} 中采样的到一个服从均匀分布的随机变量 u\bm{u}
    5).
    在这里插入图片描述6). 计算下三角矩阵 Si\bm{S_i},使得该矩阵满足对角线元素为正,且该阵满足:
    在这里插入图片描述式中,{η}i1(0,1]\bm{\{\eta\}_{i\ge1}\subset(0,1]},为一个自适应步长序列,并逐渐衰减为零。可任意选取,在其他文献中给出一个选取建议:ηi=iγ,γ(1/2,1]\bm{\eta_i=i^{- \gamma},\gamma\in(1/2,1]}
    7).ii+1\bm{i\leftarrow i+1},跳至步骤2),直到获取足够多的采样点。

    期望极大化(EM)

    EM\bm{EM} 算法适用于边缘似然无法计算但仍能计算得到似然函数下界的情形。设 q(x0:T)\bm{q(x_{0:T})} 为状态的任意概率密度函数,则有:
    在这里插入图片描述式中,函数 F\bm{F} 的定义为:
    在这里插入图片描述
    EM\bm{EM} 算法中国最重要的就是通过迭代最大化下界 F[q(x0:T),θ]\bm{F[q(x_{0:T}),\theta]},进而实现 logp(y1:Tθ)\bm{logp(y_{1:T}|\theta)} 的最大化。

    简易的EM算法
    对函数 F\bm{F} 的最大化,可通过协调提升下述步骤实现:
    假设初始值为:q(0),θ(0)\bm{q^{(0)},\theta^{(0)}}
    对于 n=0,1,2,\bm{n=0,1,2,\cdot\cdot\cdot},执行如下步骤:
    1). E-步骤:获取:
    在这里插入图片描述2). M-步骤:获取:
    在这里插入图片描述
    为实现 EM\bm{EM} 算法,上式的极大化必行是可行的,所幸在其他文献中给出 E\bm{E} 步骤极大化后的结果:
    在这里插入图片描述将上式带入 F\bm{F} 函数中,得:
    在这里插入图片描述
    由于在实行 M\bm{M} 步骤中,上式右边第二项与 θ\bm{\theta} 无关,故极大化 函数 F\bm{F} 就得等价于对等式右边第一项对极大化,因此,在 EM\bm{EM} 算法中,可表示为:
    在这里插入图片描述上式为 EM\bm{EM} 算法得到关于 p(x0:T,y0:Tθ)\bm{p(x_{0:T},y_{0:T}|\theta)} 的期望,p(x0:T,y0:Tθ)\bm{p(x_{0:T},y_{0:T}|\theta)}是在参数 θ\bm{\theta} 条件下关于全部状态量和量测量的联合后验似然分布。

    EM\bm{EM} 算法:
    假设初始值为 θ(0)\bm{\theta^{(0)}}。对于 n=0,1,2,\bm{n=0,1,2,\cdot\cdot\cdot},执行如下步骤:
    1). E-步骤:计算 Q(θ,θ(n))\bm{\mathcal{Q(\theta,\theta^{(n)})}}
    2). M-步骤:计算:
    在这里插入图片描述结合下式:状态空间模型的马尔可夫链结构:
    在这里插入图片描述完全数据的对数似然表达式为:
    在这里插入图片描述因此,Q\bm{\mathcal{Q}} 的表达式及上述算法的 E\bm{E} 步骤可以简化为:
    在这里插入图片描述式中:
    在这里插入图片描述上式均为关于平滑分布的期望,即可不必在计算完全后验分布的期望。

    EM\bm{EM} 算法的 E\bm{E} 步骤中,需要对 Q\bm{\mathcal{Q}} 的表达式关于参数 θ\bm{\theta} 的极大化。
    实用的方法为将梯度设为零,求的此时极大值时候的 θ\bm{\theta} 取值:
    在这里插入图片描述
    EM\bm{EM} 算法,
    E\bm{E} 步骤:利用上一步得到的表达式 Q(θ,θn)\bm{\mathcal{Q(\theta,\theta^n)}} 求出满足表达式 Q(θ,θn)\bm{\mathcal{Q(\theta,\theta^n)}} 极大值的 参数 θn\bm{\theta^n}
    M\bm{M} 步骤:将 E\bm{E} 步骤求出的参数 θn\bm{\theta^n} 作为下一步已知的值 θn+1\bm{\theta^{n+1}} 带入表达式 Q(θ,θn)\bm{\mathcal{Q(\theta,\theta^n)}} 中得到Q(θ,θn+1)\bm{\mathcal{Q(\theta,\theta^{n+1})}},进而最大化函数 F\bm{F} 的下限。
    循环重复 E,M\bm{E,M} 步骤,直到满足要求。

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  • 参数估计_参数估计

    2020-12-18 11:31:23
    一、估计量与估计值、点估计、区间估计1、参数估计:用样本统计量去估计总体的参数。2、估计量:用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值,样本比例,样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量3、参数用...

    一、估计量与估计值、点估计、区间估计

    1、参数估计:用样本统计量去估计总体的参数。

    2、估计量:用于估计总体参数的统计量的名称

    如样本均值,样本比例,样本方差等
    例如:样本均值就是总体均值
    的一个估计量

    3、参数用

    表示

    4、估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值

    如果样本均值
    =80,则80就是
    的估计值

    5、点估计

    • 用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值
    例如:用样本均值直接作为总体均值的估计
    • 无法给出估计值接近总体参数程度的信息
    一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的,这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量

    6、区间估计

    • 区间由样本统计量加减估计误差而得到,即
    • 能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量
    比如,某班级平均分数在75~85之间,置信水平是95%
    • 常用的置信水平值有 99%、95%、90%,相应的
      为0.01,0、0.05、0.1

    e9b4959d56df59d2380d7495c928d540.png

    二、无偏性、有效性、一致性

    1、无偏性:估计量抽样分布的数据期望值等于估计的总体参数,否则为有偏

    c9d87b20d7d46b3583ec965f5f58161a.png

    2、有效性:对同一总体参数的两个无偏点估计量,有更小标准差的估计量更有效

    6fd041ac083c864572d8fcc1b9cb01b0.png

    3、一致性:随着样本量的增大,估计量的值越来越近被估计的总体参数(用的较少)

    三、参数估计

    1、总体均值的区间估计

    • 总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为:

    展开全文
  • 参数估计

    2020-05-27 19:23:35
    参数估计状态空间模型中参数的贝叶斯估计参数估计计算方法状态空间模型中实际参数估计方法 状态空间模型中参数的贝叶斯估计 参数估计计算方法 状态空间模型中实际参数估计方法
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  • 点击上方“3D视觉工坊”,选择“星标”干货第一时间送达在三维重建中,标定是很重要的一环,而在所有标定中,单目相机标定是最基础的,对于新手而言,跑通了一个相机标定代码,得到了一堆参数结果,...

     

    在三维重建中,标定是很重要的一环,而在所有标定中,单目相机标定是最基础的,对于新手而言,跑通了一个相机标定代码,得到了一堆参数结果,如何判断自己的标定的是对的呢?RMS(重投影误差)小标定就一定准确吗? 在这篇文章中,笔者将简单聊聊如何在标定之前估算你要标定的相机内参值。以下方法仅针对普通工业相机镜头,鱼眼相机和全景相机不考虑在内。

    首先要知道的是,相机标定时,需要优化的参数有,相机内参 – 其中包括 相机“焦距“”(f/dx f/dy)相机图片中心(u0,v0), 相机畸变系数(k1 k2 k3 p1 p2)。由于参与优化的系数较多,在有些情况下,会优化到一个局部最优解上,导致你的RMS看着挺不错的,甚至比较小,但是在实际使用中如去畸变的时候,发现图片变得畸形。或者在双目极线矫正的时候,对应点没有到同一条直线上,这都是因为优化时落入了一个局部最优解。在开始估计参数之前,我们需要知道以下两点,

    1 )对普通工业相机镜头来说,畸变系数通常不会很大;

    2 )相机内参标定结果应该在理论的线性系统附近(即不考虑畸变下的计算值)

    相机图片中心很好理解,它即指的是你图像的中心点,通常是相机分辨率的一半,即如果你的图像像素大小是 800*600,那么你的图像中心应该是(400,300),在接下来的内容中,笔者要重点介绍如何估计相机“焦距”,这个焦距的表达式是 f/dx. 代表着理想焦距/相机像元大小,是一个无单位的值(f 和 dx单位要统一后比值计算)。 由于f是一个理想焦距,它并不是我们拿到的工业镜头的焦距大小,所以不可以拿工业镜头焦距直接代替。 接下来笔者带大家探究下这个理想焦距的实际意义,以及在相机透镜成像系统中,如何估计这个理想焦距f的大小。

    图1

    图2

    在相机标定时我们用的是小孔成像模型,如下图1所示,光透过小孔在成像平面形成物像,在大部分讲相机标定的书中,我们为了使坐标系方便,会把这个模型稍稍做个变形,如图2,把像平面和物平面放到同一侧(虽然违背物理意义,但是很方便建立模型),于是图1中的小孔就是我们通常所说的光心位置,这个位置是一个虚拟位置,不具备实际测量的可能。小孔到像平面的距离就是我们的理想焦距f。

    图3

    在实际使用时,我们通常会使用如图3所示的透镜系统,此时,图1中的小孔,即是透镜的中心,我们要标定的理想焦距f,则是像平面到透镜中心的距离。

    现在我们知道了f的意义,但是不可能实际去量像平面到透镜中心的距离,那如何估计这个值呢?实际上非常简单,使用简单的初中物理知识我们就可以很好的估计了。

    在透镜系统中有如下公式:

    其中d代表像距,D代表物距,f代表透镜焦距。d即为我们要求得的理想焦距。

    f 是我们工业镜头所标示的焦距。D可以通过测量物体对焦时到镜头的距离测得,这样理想焦距d就可以顺利求得啦。 如果觉得用测量的方式求D不是很准,或者不方便测量D,也可以通过测量D/d 的值,并结合上述公式和f求D的大小。

    D/d 的求法如下: 找到一个已知长度的物体(标定板即可),拍摄其在对焦时在相机图片中的像素长度(为了更精确要竟可能使物体的长度和图像边长平行),则D/d = 物体的实际长度/(像素长度*像元大小)  注意统一像元大小和实际长度之间的单位。

    通过以上计算,我们就可以很快的得到相机的参数估计值,有了这个值,就可以去对比标定的结果,如果相机内参和实际估计值的差别过大的话,即使是RMS看起来很小,也有可能出现较大误差。 这种情况下,可能是标定输入的参数,比如棋盘格的格点长度出错,也可能是畸变陷入了一个奇怪的局部优化点。

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