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  • 第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准 文章目录第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准无偏性有效性相合性 无偏性 意义: 无系统误差 eg: 有效性 相合性 总结:

    第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准

    无偏性

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    意义: 无系统误差

    eg:
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    有效性

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    相合性

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    总结:
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  • 参数估计评估标准

    2021-04-14 16:47:11
    前言: 前面对参数进行估计,但是估计出来有不同的参数, 这个参数是否有效,从下面几个给出了答案 在逻辑回归,通过不同样本 Train 得到不同权重系数 可以对权重系数进行归一化,... 参数的估计量 如...

    前言:

               前面对参数进行估计,但是估计出来有不同的参数,

    这个参数是否有效,从下面几个给出了答案

             在逻辑回归,通过不同的样本 Train 得到不同的权重系数

    可以对权重系数进行归一化,然后通过求各个维度的权限系数的分布函数

    对所有维度的分布函数进行乘积。

           综合得到概率最高的权重系数组合

    目录

    1: 无偏性(数学期望)

    2: 有效性(方差)

    3: 均方误差

    4: 相合性(大数定理)

     


    一  无偏性

         参数\theta的估计量\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,x_2,...x_n)

        如果  E(\hat{\theta}=\theta,则称\hat{\theta}\theta的无偏估计

        例 1 :

               E(\bar{X})=u,E(S^2)=\sigma^2

               则  \bar{X},S^2为 u,\sigma^2的无偏估计

        例2  均匀分布 U(0,\theta),\theta为未知参数,

               2.1 \theta的矩估计是无偏估计

                   证明:

                      总体矩: u_1=\int_{0}^{\theta}\frac{1}{\theta}xdx=\frac{\theta}{2}

                       参数估计:\hat{\theta}=2u_1

                       样本矩替代总体矩 \hat{\theta}=2 \bar{X}

                     

                        参数估计: E(\hat{\theta})=2E(X)=\theta

                        所以是无偏估计

               2.2 极大似然估计是无偏的吗?

                          L(x_1,x_2,...x_n,\theta)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\theta^n},x\in[0,\theta]\\ 0,else \end{matrix}\right.

                         该值要最大,\theta要最小,其最小值为\hat{\theta}=max\begin{Bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{Bmatrix}

                        Z=max\begin{Bmatrix} x_1 & x_2 &.... & x_n \end{Bmatrix}

                        F(Z)=P(Z<z)=P(x_1<z)..P(x_n<z)=F^n(x)

                       f(z)=\frac{nx^{n-1}}{\theta^n}

                      E(\hat{\theta})=\int_{0}^{\theta}x\frac{nx^{n-1}}{\theta^n}dx

                                  =n\theta \int_{0}^{\theta}(\frac{x}{\theta})^nd\frac{x}{\theta}

     

                                 =n\theta \int_{0}^{1}t^ndt

                                 =\frac{n}{n+1}\theta

                        不是无偏估计,但是当n趋近无穷的时候,是无偏估计,所以是渐进无偏估计。


    二 有效性

        如果在无偏性的基础上,参数估计的方差小,则其更有效

        \hat{\theta_1}(x_1,x_2,...x_n)<\hat{\theta_2}(x_1,x_2,...,x_n)

       

         总体X \sim U[0,\theta],x_1,....,x_n 为样本,\hat{\theta_1}=2\bar{x},\hat{\theta_2}=\frac{n+1}{n}x_n

          试问哪个参数更有效

          D(\theta_1)=D(2\bar{X})=4*\frac{\sigma^2}{12}=\frac{\sigma^2}{3}

          D(\theta_2)=\frac{(n+1)^2}{n^2}D(x_n)

        其中 D(x_n)=E(x_n^2)-E^2(x_n)

           =(\frac{n}{n+2}-(\frac{n}{n+1})^2)\theta^2

      所以  D(\hat{\theta_1})=\theta_1^2/(3n)>D(\hat{\theta_2})=\frac{\theta_2^2}{n(n+2)}

      似然估计更有效


    三  均方误差

           \hat{\theta}\theta的点估计,方差存在。

           MSE(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^2

           如果是无偏估计D(\hat{\theta})=MSE(\hat{\theta})

           相对于之前的,它不需要\theta是无偏性的

          应用: 梯度下降中的损失函数 loss = MSE(\hat{y})=E(\hat{Y}-Y)^2

     

     

          例子: 样本方差S^2和样本二阶中心矩B_2分别作为正态总体\sigma^2进行评估

           解:

                因为   E(S^2)=\sigma^2  ,所以MSEMSE(S^2)=D(S^2)

             因为     \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi (n-1)

             所以 \frac{(n-1)^2}{\sigma^4}D(S^2)=2(n-1)

                    D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}

     

             MSE(B_2)=D(B_2)+(E[B_2-\sigma^2])^2

            因为

           B_2=\frac{n-1}{n}S_2

          所以

          D(B_2)=\frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}

         因为

        E(B_2)-\sigma^2=\frac{n-1}{n}E(S^2)-\sigma^2=\frac{-1}{n}\sigma^2

        所以

      (E[B_2-\sigma^2])^2= \sigma^4\frac{1}{n^2}

     

       综合得到 MSE(B_2)=\frac{(2n-1)\sigma^4}{n^2}

       所以均方误差 B_2优于S^2,但是如果样本容量小的时候

    由于偏差大,选择S^2


    四  相合性

        设参数\hat{\theta}为参数\theta的估计量

        如果P\begin{Bmatrix} \hat{\theta}-\theta \end{Bmatrix}_{n->\infty }=0, 则成为相合估计

       原理: 切比雪夫不等式

                    P\begin{Bmatrix} |\hat{\theta}-\theta|>\varepsilon \end{Bmatrix}<\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2 }

       4.1 例: 总体X \sim U[0,\theta],x_1,....,x_n 为样本,\hat{\theta_1}=2\bar{x},\hat{\theta_2}=\frac{n+1}{n}x_n

          求证都是相合估计

     

        证明:

            1   因为 E(\hat{\theta_1})=\theta,所以\hat{\theta_1}=2\bar{x} 为相合估计

            2   E(\hat{\theta_2})=\theta 

                  D(\hat{\theta_2})=\frac{\theta_2^2}{n(n+2)}

                根据切比雪夫不等式,当n趋近无穷的时候,为相合估计

          

       

     

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  • 前言参数估计,是统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。从估计形式看,区分为点估计和区间估计;从构造估计量的方法讲,有矩法估计、最小二乘估计、似然估计、贝叶斯估计等。...

    前言

    参数估计,是统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。从估计形式看,区分为点估计和区间估计;从构造估计量的方法讲,有矩法估计、最小二乘估计、似然估计、贝叶斯估计等。要处理两个问题:

    1. 求出未知参数的估计量;
    2. 在一定信度(可靠程度)下指出所求的估计量的精度。

    信度一般用概率表示,如可信程度为95%;精度用估计量与被估参数(或待估参数)之间的接近程度或误差来度量。本文主要是简单记录求置信区间所用到的python代码~

    代码

    1、导入数据

    import pandas as pd
    import numpy as np
    from scipy import stats
    path = 'D:\数据\data\data.xlsx'
    data = pd.read_excel(path)
    age = data['Age']
    age.mean()
    8558cb36c1be0d7710dc34dc10df7d12.png
    # 抽取100个样本
    age_sam = age.sample(100)
    x1 = age_sam.mean()
    age_sam.describe()
    fcb4f7fbfdff7d3582dfe40150b23615.png

    2、 计算置信区间

    1. pandas.std()默认是除以n-1,即是无偏大,如果想和numpy.std() 一样有偏,需要加上参数 doff=0,即pandas(doff-0);DataFrame的describ()中就包含有std();
    2. numpy.std() 求标准差的时候默认是除以n的,即是有偏大,np.std() 无偏样本标准差方式为加入参数 doff=1;
    # 正态分布下的置信区间
    def norm_conf (data,confidence=0.95):
        # https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.norm.html
        sample_mean = np.mean(data)
        sample_std = np.std(data,ddof=1)
        sample_size = len(data)
        conf_intveral = scipy.stats.norm.interval(confidence, loc=sample_mean, scale=sample_std)
        print(conf_intveral)
        
    norm_conf(scale_means)
    2d56c2b998f740491303b8fa1fd93601.png
    # T分布下的置信区间
    def ttest_conf (data,confidence=0.95):
        sample_mean = np.mean(data)
        sample_std = np.std(data,ddof=1)
        sample_size = len(data)
        conf_intveral = scipy.stats.t.interval(confidence,df = (sample_size-1) , loc=sample_mean, scale=sample_std)
        print(conf_intveral)
        
    ttest_conf(scale_means)
    965835da57299d6e1f81eef0617e6ed6.png

    3、重复抽取数据

    scale_means = []
    for _ in range(1000):
       scale_sample = age.sample(100, replace=True)
       mean = scale_sample.mean()
       scale_means.append(mean)
       
    norm_conf(scale_means)
    4f1d8a40f2ac7e60c6665136e09fc01f.png
    ttest_conf(scale_means)
    ab686403ffe6f8e4c38bbee981385fbe.png

    4、绘制数据

    import seaborn as sns 
    from matplotlib import pyplot as plt

    sns.set_palette("hls"#设置所有图的颜色,使用hls色彩空间
    sns.distplot(scale_means,color="r",bins=10,kde=True)
    plt.title('Age')
    plt.xlim(25,35)
    plt.grid(True)

    plt.show()
    2cfe0c3d8c51da1b8b8d3c62e7949bea.png
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  • 从总体中抽取一个样本(batchsize=n),得到样本均值u’,样本标准差σ‘,(推荐系统中)样本点击率ctr等,这些样本参数都是对总体一个点估计。 标注误差SE 抽取n个样本,分别计算其均值u’1,u’2,… 这些值...

    1. 摘要

    本文主要讨论了推荐系统中小样本的问题,首先提出推荐系统中可能遇到小样本的问题,然后介绍了必要的数据知识——点估计和区间估计,之后结合具体案例解答“多少样本量算是小样本“和“小样本该如何处理”这两个问题。


    2. 应用场景

    推荐系统中,构建离线召回列表或利用模型进行pCTR或pCVR打分,就是利用最近一段时期的历史行为预估最近一段时期的未来行为,这里有两个基本假设:
    1,历史行为和未来行为具有相同或相近的数据分布;
    2,一段时期的历史行为数据可以反映真实的数据分布;
    对于假设1,在场景和用户相对稳定的情况下基本成立,不过实际推荐系统中,很多badcase就是因为这个假设不成立,比如某直播平台人气女主播解说篮球吸引了大量用户,推荐系统以为这些用户喜欢篮球,下一时段推荐系统给这些用户推荐其他篮球类节目,发现效果并不好,因为很多是冲着女主播去的。再如某电商平台的“秒杀”场景,上一时段火爆的商品,下一时段已经下架了。关于假设1,这里不展开说,我们的重点是假设2。
    关于假设2,一段时期的历史行为数据可以看作真实数据分布的一个采样,真实的数据分布通过这个采样进行估计。我们直观的知道当样本数据量越大则统计特征越可靠,模型泛化能力越强。
    以电商商品推荐为例:单位时间内,商品A曝光1万次,点击100次,样本点击率1%;商品B曝光50次,点击1次,样本点击率2%。我们显然不能说,商品B比商品A总体点击率高,更值得被推荐。
    对于样本不足的问题,我们也叫小样本问题,后面我们将介绍:
    1,多少样本算小样本?
    2,如何处理小样本?


    3. 点估计和区间估计

    假设数据总体数量是N,总体均值u,总体标准差σ,总体点击率ctr,样本大小是n,样本均值u’,样本标准差σ’,样本点击率ctr’。

    点估计

    从总体中随机抽取一个样本(batchsize=n),得到样本均值u’,样本标准差σ’,样本点击率ctr’,这些样本参数都是对总体的一个点估计。样本点击率ctr’是对总体点击率ctr的点估计。
    衡量点估计的标准有:无偏性,有效性,相合性。

    • 无偏性:样本容量n确定的情况下,参数估计值的数学期望等于被估计的参数值。足够多次采样,应该有:E(u’)=u,E(σ’)=σ,E(ctr’)=ctr。
    • 有效性:当一个参数有多个无偏估计时,估计方差越小则越有效。
    • 相合性:样本容量n趋于无穷大时,估计量的期望等于估计参数,估计量的方差为0。

    区间估计

    以相同的抽样方式,获得K组抽样样本,样本大小是n,每组样本按某一置信度,比如说95%,计算出置信区间,那么将会有0.95*K组所计算出来的置信区间中包含有总体待估计参数值。
    对于标准正态分布,0.95置信度的区间半径是1.96σn\frac{1.96*\sigma}{\sqrt{n}},其中σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}是标准误差(SE),公式看出,样本足够大时,区间半径就变得很小。
    形象地说,区间估计就像在池塘撒网捕鱼,网的半径就是区间,半径大小由置信度、样本大小、样本方差共同决定。样本大小和方差一定时,0.99的置信区间比0.95要大,对于0.95置信区间,一百次网下去,可能会有95次网到我想要的鱼,但是我们并不知道是不是现在这一网捕到的这条。


    4. 大样本和小样本

    在推荐场景下,点击-曝光构成的样本数据理论上符合0-1分布。0-1分布是一种特殊的二项分布(n=1),回顾一下0-1分布特性:事件发生概率为p,不发生概率为1-p,期望均值p,方差p(1-p).根据中心极限定理,实验足够多次,样本数据量足够大时,二项分布按概率逼近正态分布
    这里的“足够多”到底是多少呢?其实就是需要多少数据,在误差允许的范围内,可以使得样本以一定程度逼近正态分布。这个“误差”就是样本方差(或标准差),“一定程度”就是置信度。

    t检验

    假设检验是用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。如果能通过假设检验方式,验证样本和总体差异不大,那么就可以说样本量足够多了。
    针对小样本问题,也可以用t检验来处理,t检验用于检测样本平均数与总体平均数差距是否显著。t检验适应于:
    1,已知总体均值,未知总体标准差;
    2,已知样本均值,标准差;
    3,总体满足或近似正态分布。
    t检验公式:
    t=xˉμ0σn1t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n-1}}}
    一般当n>30时,也可以用公式:
    t=xˉμ0σnt=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
    举例:难产儿出生数n = 35,体重均值xˉ\bar{x} = 3.42,σ{\sigma} = 0.40,一般婴儿出生体重 μ0\mu_0= 3.30(大规模调查获得),问相同否?
    1,建立假设:H0H_0: μ=μ0\mu=\mu_0(零假设); H1H_1: μμ0\mu\neq\mu_0(备择假设),双侧检验检验水准:α=0.05
    2,计算检验统计量:
    t=xˉμ0σn=3.423.30.435=1.77t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{3.42-3.3}{\frac{0.4}{\sqrt{35}}}=1.77
    υ=n1=34\upsilon=n-1=34(其中υ\upsilon是自由度)
    3,查t界值表,确定P值:
    tα/υ=t0.025/34=2.032>t=1.77t_{\alpha}/{\upsilon}=t_{{0.025}/{34}}=2.032>t=1.77
    因此,p>0.05,按α=0.05水准,不拒绝H0{H_0}.

    t界值表


    最小样本量

    上面的t检验的例子中,我们已知样本量,检验样本是否跟总体一致。那么,我们也可以假设样本跟总体一致,来反推临界样本量值。至于总体分布,如前所述,根据中心极限定理,0-1分布在样本足够多时服从正态分布,设总体XX服从N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2),那么统计量u=Xˉμσ/nu=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}服从标准正态分布N(0,1)N(0,1).
    t分布公式可以改写为:
    n=t2σ2(xˉμ0)2=t2σ2err2n=\frac{{t^2}{\sigma^2}}{(\bar{x}-\mu_0)^2}=\frac{{t^2}{\sigma^2}}{err^2}
    其中,σ\sigma是样本标准差,err是误差。
    试看下面的例子:
    举例:某电商app中某个广告位最近1小时的行为数据120条,其中点击行为18条,样本点击率15%,请问该点击率是否能反映真实点击率?
    1,假设置信度95%,边际误差3%(也就是点击率置信区间[12%,18%][12\%,18\%]),查t分布表,当样本趋于无穷大时,t=1.96,也就是标准正态分布N(0,1)N(0,1)分布的95%置信区间对应的x值。
    2,带入最小样本公式:
    n=t2σ2err2=1.9620.15(10.15)0.032544n=\frac{{t^2}{\sigma^2}}{err^2}=\frac{{1.96^2}*{0.15*(1-0.15)}}{0.03^2}\approx544
    也就是至少需要544个样本,统计的点击率15%才比较可信,显然120个样本是不够的。

    小样本的处理——威尔逊区间估计

    大样本时可以简单地用点估计来估计总体参数,比如上面电商的例子,如果样本量大于544个,我们就可以说该广告位的点击率15%是可靠的。但是,实际场景中,往往会遇到小样本问题。小样本的点估计不可信,区间估计又不能简单作为正态分布区间估计处理。

    针对小样本问题,业界常用的是威尔逊置信区间:
    p+z22n1+z22n±z1+z22np(1p)n+z24n2\frac{\overline p +\frac{z^2}{2n}}{1+\frac{z^2}{2n}} \pm \frac{z}{1+\frac{z^2}{2n}} \sqrt{ \frac{\overline p(1- \overline p)}{n} + \frac{z^2}{4n^2}}
    其中,p\overline p表示的是样本统计概率,n表示发生的总次数,z表示置信参数,置信度95%时等于1.96。以上面电商app点击率为例,其威尔逊置信区间为:[0.1634-0.0648, 0.1634+0.0648]. 实际我们一般按照下限进行估计,即0.0986,起到一定的打压作用。
    参考知乎排序规则


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  • 在完成重要的参数测量后,使用估计的标准误差(SEE),确定系数(R2),偏差(B)和误差绝对值的平均值(MAE)进行模型性能评估和最佳拟合模型的选择。 因此,总体积模型Vt = -5.466 + 0.959Dbh0.005H003和B = 0....
  • [转] 无偏估计

    2018-06-02 17:33:09
    无偏估计 无偏估计:估计量的均值等于真实值,即具体每一次估计值可能大于真实值,也可能小于真实值,而不能总是大于或小于真实值(这就产生了系统误差)。估计量评价的标准:(1)无偏性 如上述(2)有效性 有效...
  • 统计学:参数估计 概念 1.利用总体统计不方便甚至是无法完成的现实状况,采用抽样的方式,利用样本提供的信息来推断总体的特征。 2.点估计:point estimate, 用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估值。 但一个...
  • 估计量是用于估计总体参数的样本统计量 不可能是总体参数的精确值 所以经常在点估计上加减边际误差的值来计算区间估计 点估计±±\pm边际误差 总体均值区间估计:σσ\sigma 已知情形 对总体均值进行区间估计 ...
  • 分类问题评价指标是准确率,那么回归算法评价指标就是MSE,RMSE,MAE、R-Squared。...设t是根据子样确定总体参数θ一个估计量,(θ-t)2数学期望,称为估计量t均方误差。它等于σ2+b2,其中σ2...
  • C D 2 参数 b 的估计参数 a 的估计值 3 参数 b 的标准误差 参数 a 的标准误差 4 判定系数 R 2 y 值估计标准误差 5 F 统计值 自由度 6 回归平方和 残差平方和 表 9-1 LINEST 函数输出结果对应的统计 图 9-13 ...
  • 为什么方差分母是n-1?

    千次阅读 2018-06-02 14:56:09
    无偏估计:估计量的均值等于真实值,即具体每一次估计值可能大于真实值,也可能小于真实值,而不能总是大于或小于真实值(这就产生了系统误差)。估计量评价的标准:(1)无偏性 如上述(2)有效性&nbsp;有效性...
  • MATLAB**Bootstrap------2019/7/30

    千次阅读 2019-07-31 15:33:35
    (1) 估计量的标准误差的Bootstrap估计 将估计量θ^\widehat{\theta}θ的标准差σθ^=D(θ^)\sigma_{\widehat{\theta}}=\sqrt{D(\widehat{\theta})}σθ​=D(θ)​称为估计量θ^\widehat{\theta}θ的标准误差。 求D...
  • 摘要 在本文中给出了最佳直方图单元格宽度公式,该公式渐近地使积分均方误差最小化。 蒙特卡罗方法用于验证该公式对小样本有效性。提出了一种基于数据选择箱宽...直方图是经典参数密度估计量可以追溯到1...

空空如也

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参数估计量的标准误差