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  • 参数估计统计总结

    2021-07-02 15:23:04
    一个总体的参数的检验 ... 总体标准差已知 总体标准差未知 正态分布 大于30(大样本) 小于30(小样本) ​​​​​​​​​​​​​​ 非正态分布 大于30(大样本) ​​​​​​

    目录

    一个总体的参数的检验

    总体均值的置信区间估计

    总体比例的置信区间估计

    总体方差的置信区间估计

    两个总体的参数检验

    两个总体的均值之差

    两个总体的比例之差的区间估计

    两个总体方差比的区间估计


    一个总体的参数的检验

    一般性问题有:

    1. 总体均值的置信区间估计
    2. 总体比例的置信区间估计
    3. 总体方差的置信区间估计

    一个总体的参数检验需要考虑的因素有总体分布是否为正太分布、总体方差是否已知、抽样样本量是大还是小。

    总结如下:

    总体均值的置信区间估计

    总体分布样本量总体标准差已知总体标准差未知
    正态分布大于30(大样本)\bar{x}\pm z_{a/2}*\frac{\alpha}{\sqrt{n}}\bar{x}\pm z_{a/2}*\frac{s}{\sqrt{n}}
    小于30(小样本)\bar{x}\pm z_{a/2}*\frac{\alpha}{\sqrt{n}}​​​​​​​​​​​​​​\bar{x}\pm t_{a/2}*\frac{\alpha}{\sqrt{n}}
    非正态分布大于30(大样本)\bar{x}\pm z_{a/2}*\frac{\alpha}{\sqrt{n}}​​​​​​​\bar{x}\pm z_{a/2}*\frac{s}{\sqrt{n}}​​​​​​​

    总体比例的置信区间估计

    总体比例只考虑大样本情况下的估计

    p\pm z_{a/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

    总体方差的置信区间估计

    总体方差只考虑正态总体方差的估计

    \frac{(n-1)s^{2}}{x_{a/2}^{2}}\leqslant\alpha ^{2}\leqslant \frac{(n-1)s^{2}}{x_{1-a/2}^{2}}

    两个总体的参数检验

    一般性问题有:

    1. 两个总体的均值之差
    2. 两个总体的比例之差
    3. 两个总体的方差比

    两个总体的均值之差

    • 两个总体均为大样本情况下

    其均值之差的抽样分布,服务期望为(\mu _{1}-\mu _{2}),方差为(\frac{\alpha _{1}^2{}}{n1}+\frac{\alpha _{2}^2{}}{n2})的正太分布,

    其均值之差的置信区间估计为:

    (\bar{x1}-\bar{x2})\pm z_{a/2}\sqrt{\frac{\alpha _{1}^2{}}{n1}+\frac{\alpha _{2}^2{}}{n2}}

    当两个总体的样本方差未知时,可以用样本的方差来代替。

    • 两个总体为小样本情况下

    需要作出一些假定:

    两个总体都服从正太分布

    两个随机样本都抽取自独立的两个个体

    在符合以上假定前提下,两个样本的均值之差都服从正太分布。

    当总体方差已知时,其置信区间同大样本情况一样

    当总体方差未知时,但相等时,需要用到样本方差来进行估计,这时,需要将两个样本的数据组合在一起,即总体方差估计量s_{p}^{2}

    这时,均值之差的分布符合,自由度为(n1+n2-2)的t分布,其置信区间表达式为:

    当总体方差未知,且不相等时,两个样本均值之差符合自由度为v的t分布:

    其置信区间为:

    两个总体的比例之差的区间估计

    当两个总体的比例(\pi _{1},\pi _{2})未知时,可用样本比例代替,其比例之差的置信区间为:

    两个总体方差比的区间估计

    两个总体方差比服从F(n1-1,n2-2)分布,其方差比的置信区间为:

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  • 第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准 文章目录第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准无偏性有效性相合性 无偏性 意义: 无系统误差 eg: 有效性 相合性 总结:

    第七章 参数估计 7.3估计量的评选标准

    无偏性

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    意义: 无系统误差

    eg:
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    有效性

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    相合性

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    总结:
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  • 参数估计评估标准

    2021-04-14 16:47:11
    前言: 前面对参数进行估计,但是估计出来有不同的参数, 这个参数是否有效,从下面几个给出了答案 在逻辑回归,通过不同的样本 Train 得到不同的权重系数 可以对权重系数进行归一化,... 参数估计量 如...

    前言:

               前面对参数进行估计,但是估计出来有不同的参数,

    这个参数是否有效,从下面几个给出了答案

             在逻辑回归,通过不同的样本 Train 得到不同的权重系数

    可以对权重系数进行归一化,然后通过求各个维度的权限系数的分布函数

    对所有维度的分布函数进行乘积。

           综合得到概率最高的权重系数组合

    目录

    1: 无偏性(数学期望)

    2: 有效性(方差)

    3: 均方误差

    4: 相合性(大数定理)

     


    一  无偏性

         参数\theta的估计量\hat{\theta}=\hat{\theta}(x_1,x_2,...x_n)

        如果  E(\hat{\theta}=\theta,则称\hat{\theta}\theta的无偏估计

        例 1 :

               E(\bar{X})=u,E(S^2)=\sigma^2

               则  \bar{X},S^2为 u,\sigma^2的无偏估计

        例2  均匀分布 U(0,\theta),\theta为未知参数,

               2.1 \theta的矩估计是无偏估计

                   证明:

                      总体矩: u_1=\int_{0}^{\theta}\frac{1}{\theta}xdx=\frac{\theta}{2}

                       参数估计:\hat{\theta}=2u_1

                       样本矩替代总体矩 \hat{\theta}=2 \bar{X}

                     

                        参数估计: E(\hat{\theta})=2E(X)=\theta

                        所以是无偏估计

               2.2 极大似然估计是无偏的吗?

                          L(x_1,x_2,...x_n,\theta)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\theta^n},x\in[0,\theta]\\ 0,else \end{matrix}\right.

                         该值要最大,\theta要最小,其最小值为\hat{\theta}=max\begin{Bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{Bmatrix}

                        Z=max\begin{Bmatrix} x_1 & x_2 &.... & x_n \end{Bmatrix}

                        F(Z)=P(Z<z)=P(x_1<z)..P(x_n<z)=F^n(x)

                       f(z)=\frac{nx^{n-1}}{\theta^n}

                      E(\hat{\theta})=\int_{0}^{\theta}x\frac{nx^{n-1}}{\theta^n}dx

                                  =n\theta \int_{0}^{\theta}(\frac{x}{\theta})^nd\frac{x}{\theta}

     

                                 =n\theta \int_{0}^{1}t^ndt

                                 =\frac{n}{n+1}\theta

                        不是无偏估计,但是当n趋近无穷的时候,是无偏估计,所以是渐进无偏估计。


    二 有效性

        如果在无偏性的基础上,参数估计的方差小,则其更有效

        \hat{\theta_1}(x_1,x_2,...x_n)<\hat{\theta_2}(x_1,x_2,...,x_n)

       

         总体X \sim U[0,\theta],x_1,....,x_n 为样本,\hat{\theta_1}=2\bar{x},\hat{\theta_2}=\frac{n+1}{n}x_n

          试问哪个参数更有效

          D(\theta_1)=D(2\bar{X})=4*\frac{\sigma^2}{12}=\frac{\sigma^2}{3}

          D(\theta_2)=\frac{(n+1)^2}{n^2}D(x_n)

        其中 D(x_n)=E(x_n^2)-E^2(x_n)

           =(\frac{n}{n+2}-(\frac{n}{n+1})^2)\theta^2

      所以  D(\hat{\theta_1})=\theta_1^2/(3n)>D(\hat{\theta_2})=\frac{\theta_2^2}{n(n+2)}

      似然估计更有效


    三  均方误差

           \hat{\theta}\theta的点估计,方差存在。

           MSE(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^2

           如果是无偏估计D(\hat{\theta})=MSE(\hat{\theta})

           相对于之前的,它不需要\theta是无偏性的

          应用: 梯度下降中的损失函数 loss = MSE(\hat{y})=E(\hat{Y}-Y)^2

     

     

          例子: 样本方差S^2和样本二阶中心矩B_2分别作为正态总体\sigma^2进行评估

           解:

                因为   E(S^2)=\sigma^2  ,所以MSEMSE(S^2)=D(S^2)

             因为     \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi (n-1)

             所以 \frac{(n-1)^2}{\sigma^4}D(S^2)=2(n-1)

                    D(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}

     

             MSE(B_2)=D(B_2)+(E[B_2-\sigma^2])^2

            因为

           B_2=\frac{n-1}{n}S_2

          所以

          D(B_2)=\frac{2(n-1)\sigma^4}{n^2}

         因为

        E(B_2)-\sigma^2=\frac{n-1}{n}E(S^2)-\sigma^2=\frac{-1}{n}\sigma^2

        所以

      (E[B_2-\sigma^2])^2= \sigma^4\frac{1}{n^2}

     

       综合得到 MSE(B_2)=\frac{(2n-1)\sigma^4}{n^2}

       所以均方误差 B_2优于S^2,但是如果样本容量小的时候

    由于偏差大,选择S^2


    四  相合性

        设参数\hat{\theta}为参数\theta的估计量

        如果P\begin{Bmatrix} \hat{\theta}-\theta \end{Bmatrix}_{n->\infty }=0, 则成为相合估计

       原理: 切比雪夫不等式

                    P\begin{Bmatrix} |\hat{\theta}-\theta|>\varepsilon \end{Bmatrix}<\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2 }

       4.1 例: 总体X \sim U[0,\theta],x_1,....,x_n 为样本,\hat{\theta_1}=2\bar{x},\hat{\theta_2}=\frac{n+1}{n}x_n

          求证都是相合估计

     

        证明:

            1   因为 E(\hat{\theta_1})=\theta,所以\hat{\theta_1}=2\bar{x} 为相合估计

            2   E(\hat{\theta_2})=\theta 

                  D(\hat{\theta_2})=\frac{\theta_2^2}{n(n+2)}

                根据切比雪夫不等式,当n趋近无穷的时候,为相合估计

          

       

     

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  • 参数估计

    千次阅读 2019-09-02 22:09:01
    参数估计包括点估计和区间估计两类。 点估计 点估计是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量,并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。 点估计(point estimate)是用样本统计量的某个...

    参数估计包括点估计和区间估计两类。

    点估计

    点估计是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量,并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。

    点估计(point estimate)是用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。例如,用样本均值x直接作为总体均值μ的估计值,用样本方差s2直接作为总体方差σ2的估计值。点估计的方法有:矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法。

    矩估计法:矩是指以期望为基础而定义的数字特征,一般分为原点矩和中心矩。设X为随机变量,对任意正整数k,称E(Xk)为随机变量X的k阶原点矩,记为:
    m k = E ( X k ) m_k=E(X^k) mk=E(Xk)
    当k=1时,m1=E(X)=μ,可见一阶原点矩为随机变量X的数学期望。

    把Ck=E[X-E(X)]k称为以E(X)为中心的k阶中心矩。显然,当k=2时,C2=E[X-E(x)]22,可见二阶中心矩为随机变量X的方差。

    顺序统计量法:用样本中位数估计总体的数学期望的方法称数学期望的顺序统计量估计法。顺序统计量估计法的优点是计算简便,且中位数不易受个别异常数据的影响.如果一组样本值某一数据异常(如过于小或过于大),则这个异常数据可能是总体的随机性造成的,也可能是受外来干扰造成的(如工作人员粗心,记录错误),当原因属于后者,用样本平均值\overline{x}估计E(x)显然受到影响,但用样本中位数估计总体期望时,由于一个(甚至几个)异常的数据不易改变中位数的取值,所以估计值不易受到影响。

    最大似然法(Maximum Likelihood):它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。

    最小二乘法(generalized least squares):是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。 最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值,而令误差平方之和为最小。 最小二乘法通常用于曲线拟合。很多其他的优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表达。

    区间估计

    区间估计(interval estimate)是在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个区间范围,该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。与点估计不同,进行区间估计时,根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

    区间估计中,由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间(confidence interval),其中区间的最小值称为置信下限,最大值称为置信上限。

    如果将构造置信区间的步骤重复多次,置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平(confidence level),也称为置信度或置信系数(confidence coefficient)。

    区间估计的正确理解方式:区间估计并不是总体参数落在某个区间的概率,而是抽取的多个样本中有多大的概率包含总体参数,由此通过概率可以知道在多次抽样得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值。

    一个总体参数的区间估计

    研究一个总体时,所关心的参数主要有总体均值μ、总体比例π和总体方差σ2等。

    1. 总体均值的区间估计

      对总体均值进行区间估计时,需要考虑总体是否为正态分布,总体方差是否已知,用于构造估计量的样本是大样本(通常要求n≥30)还是小样本(n<30)等几种情况。下面分两种情况来分析:

      (1)正态总体、方差已知,或非正态总体、大样本

      当总体服从正态分布且方差已知,或总体非正态分布但样本为大样本时,样本均值x的抽样分布服从正态分布,其数学期望为总体均值μ,方差为σ2/n。样本均值经过标准化后的随机变量则服从正态分布,即
      z = x ‾ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) z=\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\thicksim N(0,1) z=σ/n xμN(0,1)
      根据式上式和正态分布的性质可以得出总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为:
      x ‾ ± z α / 2 σ n \overline{x}\pm{z_{\alpha/2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} x±zα/2n σ

      (2)正态总体、方差未知、小样本

      在总体服从正态分布的情况下,如果总体方差σ2未知,且样本较小的情况下,需要用样本方差s2代替σ2。这时,样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为(n-1)的t分布,即
      t = x ‾ − μ s / n ∼ t ( n − 1 ) t=\frac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}\thicksim{t(n-1)} t=s/n xμt(n1)
      因此需要采用t分布来建立总体均值μ的置信区间。根据t分布建立的总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为:
      x ‾ ± t α / 2 s n \overline{x}\pm{t_{α/2}\frac{s}{\sqrt{n}}} x±tα/2n s

    2. 总体比例的区间估计

      在大样本的前提下,样本比例p的抽样分布可用正态分布近似。p的数学期望为E§=π,p的方差为σ2p=π(1-π)/n。而样本比例经标准化后的随机变量则服从标准正态分布,即
      z = p − π π ( 1 − π ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) z=\frac{p-\pi}{\sqrt{\pi(1-\pi)/n}}\thicksim{N(0,1)} z=π(1π)/n pπN(0,1)
      与总体均值的区间估计类似,在样本比例p的基础上加减估计误差zα/2σp,即得总体比例π在1-α置信水平下的置信区间为:
      p ± z α / 2 π ( 1 − π ) n p\pm{z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}} p±zα/2nπ(1π)
      当通过上式计算总体比例π的置信区间时,π值应该是已知的。但实际情况不然,π值恰好是要估计的,所以需要用样本比例p来代替π。这种情况下,总体比例的置信区间可表示为:
      p ± z α / 2 p ( 1 − p ) n p\pm{z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} p±zα/2np(1p)

    3. 总体方差的区间估计

      对于总体方差的估计,这里只讨论正态总体方差的估计。根据样本方差的抽样分布可知,样本方差服从自由度为n-1的χ2分布。因此用χ2分布构造总体方差的置信区间。

      总体方差σ2在1-α置信水平下的置信区间为:
      ( n − 1 ) s 2 χ α / 2 2 ≤ σ 2 ≤ ( n − 1 ) s 2 χ 1 − α / 2 2 \frac{(n-1)s^2}{{\chi^2_{\alpha/2}}}\leq\sigma^2\leq\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}} χα/22(n1)s2σ2χ1α/22(n1)s2

    两个总体参数的区间估计后续讨论。

    样本量的确定

    通过区间估计可以了解到样本量的选择对于问题的求解至关重要,大样本(n≥30)和小样本(n<30)求解的方法不同。同样是大样本选择多大的样本来估计参数比较合适?

    通常,样本量的确定与可以容忍的置信区间的宽度以及对此区间设置的置信水平有一定关系。因此如何确定一个适当的样本量,也是抽样估计中需要考虑的问题。

    估计总体均值时样本量的确定

    总体均值的置信区间是由样本均值x和估计误差两部分组成的。在重复抽样或无限总体抽样条件下,估计误差为:
    z α / 2 σ n z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} zα/2n σ
    其中zα/2的值和样本n共同确定了估计误差的大小。当确定了置信水平1-α,zα/2的值就确定了。对于给定的zα/2的值和总体标准差σ,就可以确定任一希望的估计误差所需要的样本量。令E代表所希望达到的估计误差,即:
    E = z α / 2 σ n E=z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} E=zα/2n σ
    通过上式可以推导出确定样本量的公式如下:
    n = ( z α / 2 ) 2 σ 2 E 2 n=\frac{(z_{\alpha/2})^2\sigma^2}{E^2} n=E2(zα/2)2σ2
    式中的E值是使用者在给定的置信水平下可以接受的估计误差,zα/2的值可直接由区间估计中所用到的置信水平确定。当σ未知时,可以用样本的标准差来代替;也可以用试验调查的办法,选择一个初始样本,以该样本的标准差作为σ的估计值。

    从上式可以看出,样本量与置信水平成正比,在其他条件不变的情况下,置信水平越大,所需要的样本量也就越大;样本量与总体方差成正比,总体的差异越大,所要求的样本量也越大;样本量与估计误差的平方成反比,即可以接受的估计误差的平方越大,所需的样本量就越小。

    估计总体比例时样本量的确定

    与估计总体均值时样本量确定的方法类似,在重复抽样或无限总体抽样条件下,估计总体比例置信区间的估计误差为:
    z α / 2 π ( 1 − π ) n {z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}} zα/2nπ(1π)
    由上式可知,zα/2的值、总体比例π和样本量n共同确定了估计误差的大小。令E代表所希望达到的估计误差,即:
    E = z α / 2 π ( 1 − π ) n E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}} E=zα/2nπ(1π)
    据此可以推导出重复抽样或无限总体抽样条件下确定样本量的公式如下:
    n = ( z α / 2 ) 2 π ( 1 − π ) E 2 n=\frac{(z_{\alpha/2})^2\pi(1-\pi)}{E^2} n=E2(zα/2)2π(1π)
    式中的估计误差E必须是使用者事先确定的,大多数情况下,一般取E的值小0.10。zα/2的值可直接由区间估计中所用导的置信水平确定。如果π未知,可以用类似的样本比例来代替;也可以用试验调查的办法,选择一个初始样本,以该样本的比例作为π的估计值。当π的值无法知道时,通常取使π(1-π)最大时的0.5。

    参考文献

    点估计

    顺序量统计法

    最大似然估计

    最小二乘法

    《统计学(第六版)》:贾俊平

    展开全文
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  • 关于参数估计

    千次阅读 2018-01-25 18:11:08
    虽然非计算机专业,但因为一些原因打算学习西瓜书,可由于长时间没有碰过概率统计的知识,有所遗忘。所以特意重新复习了一遍类似的知识,写在这里权当...参数估计的方法有多种,各种估计方法得出的结果不一定相同,...
  • 统计学之参数估计

    千次阅读 2019-12-29 22:48:48
    参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量,用符号θ^表示,如样本均值、样本方差。根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 点估计与区间估计 点估计:用样本统计量θ^的某个取值直接...
  • 从总体中抽取一个样本(batchsize=n),得到样本均值u’,样本标准差σ‘,(推荐系统中)样本点击率ctr等,这些样本参数都是对总体的一个点估计。 标注误差SE 抽取n个样本,分别计算其均值u’1,u’2,… 这些值的...
  • python实现参数估计

    2020-12-03 22:12:42
    一、前言参数估计(parameter estimation),统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。从估计形式看,区分为点估计与区间估计:从构造估计量的方法讲,有矩法估计、最小二乘估计、...
  • 7.1.3 评价估计量标准 无偏性 有效性 一致性 7.2 一个总体参数的区间估计 7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.3.1 两个总体均值之...
  • 参数估计和最大似然估计

    千次阅读 2018-05-12 19:37:52
    设总体XXX的分布函数的形式已知,但它的一个或多个参数未知,借助于总体XXX的一个样本来估计总体未知参数的值得问题称为参数的点估计问题。 举例: 某炸药厂,一天中发生着火现象的次数XXX是一个随机变量,...
  • 参数估计中,用来估计总体参数的统计量称为估计量。样本均值、样本比例、样本方差等都可以是一个估计量。 估计值 estimated value 根据一个具体的样本计算出来的估计量称为估计值。例如估计一个班学生考试的平均...
  • 有效性:对同一总体参数的两个无偏点估计量,有更小标准差估计量更有效。 一致性:随着样本量的增大,估计量的值越来越接近被估计的总体参数。 点估计 定义:设总体X 的分布函数形式已知,但它的一个或多...
  • 参数估计就是用样本指标(统计)来估计总体指标(参数)。 一、参数估计基础-Z分布 在统计应用中,可以把任何一个均数为,标准差为的正态分布转变为,的标准正态分布,即将正态变量值用来代替,由于服从正态...
  • 极大似然估计值的标准差

    千次阅读 2017-01-09 19:28:40
    极大似然估计有很好的渐进性质,在一定正则条件下具有强相合性和渐进正态性。 预备知识 设X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_n为独立同分布样本,X1∼f(x1,θ),l(θ,x1)=logf(x1,θ)X_1\sim f(x_1,\theta), \quad l(\...
  • 最小二乘法估计(Ordinary Least Squared, OLS)3. 极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate, MLE)4. 结论参考文献写在最后 1. 前文回顾 在上一篇文章中,我们建立了多元回归正 yi=β0+∑j=1pxijβj+ϵi, ...

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参数估计量的标准误差

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