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  • 举例说明:(K相当于取得的样本数量个数去训练) K过小: ​ 容易受到异常点的影响 k过大: ​ 受到样本均衡的问题 K选择问题,李航博士的一书「统计学习方法」上所说: 1) 选择较小的K,就相当于用...

    举例说明:(K值相当于取得的样本数量个数去训练)

    k值的选择

    K值过小

    ​ 容易受到异常点的影响

    k值过大:

    ​ 受到样本均衡的问题

    K值选择问题,李航博士的一书「统计学习方法」上所说:

    1) 选择较小的K值,就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测,“学习”近似误差会减小,只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用,与此同时带来的问题是“学习”的估计误差会增大,换句话说,K值的减小就意味着整体模型变得复杂,容易发生过拟合;

    2) 选择较大的K值,就相当于用较大领域中的训练实例进行预测,其优点是可以减少学习的估计误差,但缺点是学习的近似误差会增大。这时候,与输入实例较远(不相似的)训练实例也会对预测器作用,使预测发生错误,且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。

    3) K=N(N为训练样本个数),则完全不足取,因为此时无论输入实例是什么,都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类,模型过于简单,忽略了训练实例中大量有用信息。

    在实际应用中,K值一般取一个比较小的数值,例如采用交叉验证法(简单来说,就是把训练数据在分成两组:训练集和验证集)来选择最优的K值。对这个简单的分类器进行泛化,用核方法把这个线性模型扩展到非线性的情况,具体方法是把低维数据集映射到高维特征空间。


    近似误差:对现有训练集的训练误差,关注训练集,如果近似误差过小可能会出现过拟合的现象,对现有的训练集能有很好的预测,但是对未知的测试样本将会出现较大偏差的预测。模型本身不是最接近最佳模型。

    估计误差:可以理解为对测试集的测试误差,关注测试集,估计误差小说明对未知数据的预测能力好,模型本身最接近最佳模型。

     

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  • 基本假设 原理阐释 公式 举例 优势劣势 ...样本之所以出现,是因为它出现的概率...说穿了就一句话:就是在参数空间中选取使得样本取得观测的概率最大的参数。 公式 L(θ1,θ2,...,θk)=∏i=1nf(xi;θ1,θ2,....

    基本假设

    样本之所以出现,是因为它出现的概率大。

    原理阐释

    极大似然估计是一种估计总体未知参数的方法。它主要用于点估计问题。所谓点估计是指用一个估计量的观测值来估计未知参数的真值。说穿了就一句话:就是在参数空间中选取使得样本取得观测值的概率最大的参数。

    公式

    L(θ1,θ2,...,θk)=i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θk)

    对于离散分布,f概率质量函数,对于连续分布,f概率密度函数.

    极大似然估计,就是在 (θ1,θ2,...,θk) 的参数空间内,寻得一组参数 (θ^1,θ^2,...,θ^k),使得 L取得最大值。这一组参数就是极大似然估计值。

    举例

    比如图像中角点的位置,我么可以观测得到 mij, 也可以通过我们构造的公式得到一个估计值 m^ij。如何优化我们构造的这个公式中的参数使得公式估计的值更准确呢?这就可以使用极大似然估计了。
    我们假设,图像是被高斯噪声污染的,角点周边的噪声分布满足二维高斯分布。角点 mij 处的 概率密度函数为,

    f(mij)=12πσ2exp(m^ijmij22σ2)
    ,由此,构造似然函数
    L(θ)=i=j=1m,nf(mij)=12πσ2exp(j=1ni=1mm^(θ)mij22σ2)
    ,最大化似然函数,就是最小化
    j=1ni=1mm^(θ)mij2

    这样,问题就转化为了上面这个多参数非线性系统的优化问题,常用的方法有 LM算法 等.

    优势劣势

    • 优势 : 不需要额外信息(先验信息),只需要获得的样本数据就可以进行构建优化模型进行计算

    Ref

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  • c语言实用代码举例

    2012-02-10 11:01:51
     实例21利用指针传递参数值  实例22结构体的应用  实例23链表的应用(1)  实例24链表的应用(2)  实例25链表的应用(3)  实例26共用体的应用  实例27枚举类型应用  实例28位运算  买例29义件加密  实例...
  • 参数估计问题 在第一课中,提到使用样本...再举例一个问题,假设已知某个班级内的男同学身高服从正态分布,现在要研究这个正态分布的均值和方差,我们可以随机挑选NNN个男同学的身高数据作为样本,分别统计他们的身高x

    参数估计问题

    在第一课中,提到使用样本估计模型(比如高斯分布)的参数,并说明了常用的极大似然估计法。假设现在有一枚硬币,但它质地不均匀,导致抛硬币的正面朝上与反面朝上的概率不相等,现在还是想研究正面朝上的概率是多少,所以可以抛硬币NN次,正面朝上的次数为n1n_{1},则就使用n1/Nn_{1}/N作为正面朝上概率的估计值。

    再举例一个问题,假设已知某个班级内的男同学身高服从正态分布,现在要研究这个正态分布的均值和方差,我们可以随机挑选NN个男同学的身高数据作为样本,分别统计他们的身高x1,x2,...,xNx_{1},x_{2},...,x_{N},通过极大似然估计法得到均值和方差:
    μmle=1Ni=1Nxi,σmle2=1Ni=1N(xiμmle)2\mu_{mle}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i},\sigma_{mle}^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2}
    若考虑无偏性时,需要对方差进行修正:
    σ2=1N1i=1N(xiμmle)2\sigma^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu_{mle})^{2}

    含隐变量的问题

    如果在实际场景中,由于情景的细微改变,极大似然估计将难以解决问题。假设现在有两枚硬币,硬币AA和硬币BB,它们都是不均匀的,而且两者的正面朝上概率pAp_{A}pBp_{B}也不相等。每次从这两枚硬币随机摸出一枚投掷(但不知道取出哪一枚),现在依然记录每次投掷的结果是正面还是反面,其中,正面朝上的次数为N1N_{1},反面朝上的次数为N2N_{2},现在想用这些数据直接估计硬币AA和硬币BB各自正面朝上的概率就变得很困难。

    对于统计班级内男同学的身高,如果获得的样本中,既有男同学,又有女同学,当获取NN个同学的身高数据后,显然不能直接求出男同学身高的均值和方差,因为男同学,女同学各自会服从不同的正态分布。

    以上两个问题,不能直接用极大似然估计参数,因为两个问题都变成了混合模型,不仅仅存在观测变量,还存在隐变量。通常,第ii个样本的观测变量记为xix_{i},隐变量记为ziz_{i}

    • 对于抛硬币问题,每次抛硬币的正反面记录是观测变量,但某次抛出的硬币是AA还是BB则属于隐变量;
    • 对于身高统计问题,每次得到的身高数据是观测变量,但某个数据是属于男同学还是女同学则为隐变量。

    迭代法解决含隐变量的问题

    对于混合模型,不能直接用极大似然法估计参数,因此,考虑用迭代法去逐步尝试:即EM算法;

    EM算法包含较多计算技巧,较为复杂,因此,本例先不详细展开,而是针对抛硬币问题做简单计算,先感性认识迭代法探索参数的大致过程;

    假设有不均匀的硬币AABB,重复5次实验,每次实验都是同样的操作:任取一枚硬币,连续投掷该硬币10次,记录正反面次数。5组实验结果如下:

    组别 正面次数 反面次数
    1 5 5
    2 9 1
    3 8 2
    4 4 6
    5 7 3

    问题为:求出硬币AA和硬币BB正面朝上的概率pAp_{A}pBp_{B}

    目前面临的问题是不知道每一组投掷的到底是哪一个硬币,但如果已经知道每组用什么硬币投掷,我们将能快速计算出答案,比如,已知第二组,第三组,第五组使用硬币AA,而第一组和第四组使用的是硬币BB,则对于硬币AA的参数估计可利用所有关于硬币AA的实验数据求出:
    pA=9+8+730=0.8p_{A}=\frac{9+8+7}{30}=0.8
    同理,硬币BB的参数为:
    pB=5+420=0.45p_{B}=\frac{5+4}{20}=0.45
    但是并不知道每组实验是用哪个硬币,所以用迭代的步骤反复估计pAp_{A}pBp_{B}以及A,BA,B各自的出现概率PA,PBP_{A},P_{B}。首先随机给定初始值:
    pA0=0.6,pB0=0.5p_{A}^{0}=0.6,p_{B}^{0}=0.5
    因此,在第一组实验中,记使用硬币AA的概率为PA1P_{A1},使用硬币BB的概率为PB1P_{B1},在实验1中,若完全用AA投掷,出现5正5反的概率为:
    (pA0)5(1pA0)5=0.650.45=0.000796(p_{A}^{0})^{5}(1-p_{A}^{0})^{5}=0.6^{5}0.4^{5}=0.000796
    同理,若完全用BB投掷,出现5正5反的概率为:
    (pB0)5(1pB0)5=0.550.55=0.000976(p_{B}^{0})^{5}(1-p_{B}^{0})^{5}=0.5^{5}0.5^{5}=0.000976
    所以,第一组实验使用硬币AA和硬币BB的概率为:
    PA1=0.650.450.650.45+0.550.55=0.45P_{A1}=\frac{0.6^{5}0.4^{5}}{0.6^{5}0.4^{5}+0.5^{5}0.5^{5}}=0.45
    PB1=0.550.550.650.45+0.550.55=0.55P_{B1}=\frac{0.5^{5}0.5^{5}}{0.6^{5}0.4^{5}+0.5^{5}0.5^{5}}=0.55
    按照同样的方式,可以分别计算出另外四组实验中,使用硬币AA和硬币BB的概率:

    组别 硬币AA 硬币BB
    1 0.45 0.55
    2 0.80 0.20
    3 0.73 0.27
    4 0.35 0.65
    5 0.65 0.35

    现在考虑第1组实验的PA1=0.45P_{A1}=0.45PB1=0.55P_{B1}=0.55,第一组实验结果为5正5反,则使用硬币AA投掷的结果应有:

    • 正:0.45×5=2.250.45\times 5=2.25
    • 反:0.45×5=2.250.45\times 5=2.25

    使用硬币BB投掷的结果为:

    • 正:0.55×5=2.750.55\times 5=2.75
    • 反:0.55×5=2.750.55\times 5=2.75

    进一步,用同样的流程得到各组实验中,硬币AA和硬币BB的投掷结果:

    组别 硬币AA 硬币BB
    1 正:2.25,反:2.25 正:2.75,反:2.75
    2 正:7.2,反:0.8 正:1.8,反:0.2
    3 正:5.84,反:1.46 正:2.16,反:0.54
    4 正:1.4,反:2.1 正:2.6,反:3.9
    5 正:4.55,反:1.95 正:2.45,反:1.05
    合计 正:21.24,反:8.56 正:11.76,反:8.44

    基于以上表,重新估计硬币AA和硬币BB正面朝上的概率:
    pA1=21.2421.24+8.56=0.71,pB1=11.7611.76+8.44=0.58p_{A}^{1}=\frac{21.24}{21.24+8.56}=0.71,p_{B}^{1}=\frac{11.76}{11.76+8.44}=0.58
    再重复之前的操作,于是得到(pA2,pB2)(p_{A}^{2},p_{B}^{2}),依次类推,得到:
    (pA3,pB3),(pA4,pB4),...,(pAT,pBT)(p_{A}^{3},p_{B}^{3}),(p_{A}^{4},p_{B}^{4}),...,(p_{A}^{T},p_{B}^{T})
    直到参数(pAT,pBT)(p_{A}^{T},p_{B}^{T})收敛;

    实例演示

    硬币投掷问题的实例演示如下:

    import numpy as np
    # 二项分布
    from scipy.stats import binom
    """
    Bernoulli:伯努利分布,是关于布尔变量的概率分布
    Binomial:二项分布,重复多次的独立伯努利实验
    """
    
    #一轮迭代处理
    def single_iter(theta_priors, observations):
        """
        param observations:五组试验的观测值
        param theta_priors:上一轮迭代形成的 p_A 和 p_B
        """
        counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}
        theta_A = theta_priors[0]
        theta_B = theta_priors[1]
        
        #迭代计算每组试验的数据
        for observation in observations:
            len_observation = len(observation)
            num_heads = observation.sum()
            num_tails = len_observation-num_heads
            
            # binom.pmf(k,n,p)返回n次伯努利实验中结果为目标事件的概率,单次实验目标事件的概率为p,目标事件出现了k次
            P_A = binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_A)
            P_B = binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_B)
            # 计算出硬币A和硬币B各自出现的概率
            weight_A = P_A / (P_A + P_B)
            weight_B = P_B / (P_A + P_B)
            # 更新在当前硬币A和硬币B各自出现的概率下,硬币A和硬币B各自的正反面次数
            counts['A']['H'] += weight_A * num_heads
            counts['A']['T'] += weight_A * num_tails
            counts['B']['H'] += weight_B * num_heads
            counts['B']['T'] += weight_B * num_tails
    
        #重新估计新一轮的硬币A和硬币B正面向上的概率
        new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])
        new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])
        return [new_theta_A,new_theta_B]
    
    
    observations = np.array([[1,0,0,0,1,1,0,1,0,1],
                                [1,1,1,1,0,1,1,1,0,1],
                                [1,0,1,1,1,1,1,0,1,1],
                                [1,0,1,0,0,0,1,1,0,0],
                                [0,1,1,1,0,1,1,1,0,1]])
    
    prior = [0.6, 0.5] #设定初始的参数值
    iteration = 0
    iterations = 10000 #最多的迭代次数
    tol = 1e-6         #判断参数收敛的阈值
    while iteration < iterations:
        new_prior = single_iter(prior,observations)
        print(new_prior)
        delta_change = np.abs(prior[0] - new_prior[0])
        if delta_change < tol:
            break
        else:
            prior = new_prior
            iteration += 1
    
    print('迭代结束,总共迭代轮数{}'.format(iteration))
    print('最终估计的参数{}'.format(new_prior))
    
    """
    [0.683267379440028, 0.5794860533160178]
    ...
    [0.7222502854992598, 0.5554380899384829]
    迭代结束,总共迭代轮数36
    最终估计的参数[0.7222502854992598, 0.5554380899384829]
    """
    

    经过36次迭代,得到收敛的结果为:pA=0.72225,pB=0.55543p_{A}=0.72225,p_{B}=0.55543,由于问题较简单,过程容易理解,但是实际问题总是复杂的,最好能总结出一个统一形式的算法,处理这种类似ptp^{t}pt+1p^{t+1}的迭代关系,所以人们提出了EM算法,它广泛应用于处理混合模型(包含隐变量的模型),后面的部分内容将会深入分析EM算法。

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  • 目录一、数据统计分析 一、数据统计分析 本节内容: 1、求矩阵的最大元素和最小元素 当参数为向量时: 例: 当参数为矩阵时: 举例: 注:下图求整个矩阵的最大,就是连续用两个max()函数 注:求min的...

    一、数据统计分析

    本节内容:
    在这里插入图片描述
    1、求矩阵的最大元素和最小元素
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    当参数为向量时:
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    例:
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    当参数为矩阵时:
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    举例:
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    注:下图求整个矩阵的最大值,就是连续用两个max()函数
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    注:求min的方法与max一样。
    2、求矩阵的平均值和中值
    概念:
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    比如,公司的平均值就容易受到极端数据的影响
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    举例:
    比如,生活费的平均值就容易受到极端数据5000的影响,而中值却不受到影响。
    在这里插入图片描述
    下面看求和与求积
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    累加和与累加积
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    举例:
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    下面讲标准差和相关系数:
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    相关系数:
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    举例:
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    排序:
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    举例:
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    二、多项式计算

    本节课包括
    在这里插入图片描述
    1、多项式的表示:
    在这里插入图片描述
    2、多项式的四则运算
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    举例:
    注:g1时是将g没有的项补零
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    3、多项式的求导
    在这里插入图片描述
    举例:
    注:蓝色箭头右侧的紫色框是c = polyder(a,b)的另外一种表达。
    在这里插入图片描述
    思考:
    (要知道,你自己先求商会有余式)
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    4、多项式的求值
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    polyval函数
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    polyvalm函数
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    二者不同:
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    举例:
    (以说明polyval()和polyvalm()的区别)
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    5、多项式的根
    在这里插入图片描述
    由多项式根求多项式:
    在这里插入图片描述
    举例:
    在这里插入图片描述
    解决:
    在这里插入图片描述

    三、数据插值

    数据插值的意义:
    在这里插入图片描述
    看一个引例:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述我们把x,y对应的点描绘出来:
    在这里插入图片描述
    可以看出上图x,y坐标点,点相互之间的举例过大,因此可以使用插值找出两点之间的点。变成如下:
    调用interp1(x,y,x1,‘spline’);其实就完成插值计算了。

    在这里插入图片描述
    说一下数据插值的数学机制:
    在这里插入图片描述
    看inter1()函数
    在这里插入图片描述
    看inter1()函数的method参数,如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    method的(3)、(4)都采用三次多项式,而不采用高次的呢?原因如下:
    在这里插入图片描述
    振荡现象如下:
    在这里插入图片描述
    现在,我们把上面的零件加工问题,用4种method都使用一下,看看效果:
    (第四种最光滑)
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    再来看二维插值:interp2()函数
    在这里插入图片描述
    举例:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    编程:
    在这里插入图片描述

    四、数据插值应用举例

    1、
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
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    解第2问:
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    在这里插入图片描述
    2、
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    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    生成的图很粗糙,我们改进
    在这里插入图片描述
    如果把步长100改进成50,精度更高:
    在这里插入图片描述
    注:最后的contour(x2,y2,z2,12)用于求等高线图。

    五、曲线拟合

    上一节的插值法虽然好用,但是有些情况下计算的是不准确的,因此我们可以用曲线拟合法。
    内容:
    在这里插入图片描述
    1、引例-人口预测问题
    在这里插入图片描述
    注:polyfit(x,y,3)意为生成3次多项式函数函数,并将系数向量赋给p,然后用polyval()进行预测。
    注:第二个plot()绘制拟合曲线。
    在这里插入图片描述
    2、曲线拟合的原理
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    polyfit()函数
    调用格式1仅仅输出多项式系数P
    调用格式2输出多项式系数P和误差数据S
    调用格式2输出多项式系数P和误差数据S、mu(注:mu(1)是mean(X)是X向量的平均值、mu(2)是std(X)是X向量的标准差)
    在这里插入图片描述
    我们对引例进行进一步预测,预测2016年的。
    结果误差为400万。
    在这里插入图片描述
    可否进一步减小误差,怎么减小:
    我们分析问题
    在这里插入图片描述
    我们从二战以后开始统计:
    注:第一个ployfit的3参数导致出现两个0.是因为3阶太高了,因此可以用2阶即在下面又使用了一个ployfit函数。
    可以发现预测结果不错。
    在这里插入图片描述
    从对引例的改进,我们可以总结:
    在这里插入图片描述
    再看一个例子
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    曲线拟合的功能:
    在这里插入图片描述

    六、曲线拟合应用举例

    案例一:股票预测问题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    看散点图,发现难以预测
    我们进行拟合
    在这里插入图片描述我们现在想获得接下来三天的股票交易走势
    预测如下
    在这里插入图片描述
    为了验证预测的正确性,我们在网上找到接下来三天实际的股票,用三个红色五角星表示。
    发现还是挺偏离预测线的,特别是最后一个五角星数据。
    这个案例告诉我们,曲线拟合并不是万能的,对于敏感的数据就不太有用了。
    在这里插入图片描述
    案例二:算法的参数优化问题
    在这里插入图片描述
    来看散点图
    在这里插入图片描述
    编程:
    注:求二者的交点,就是让p1 = p2,从而求出坐标。
    在这里插入图片描述
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    最后我们说下:
    数据插值和曲线拟合的比较
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    本章至此完。

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  • 18.4.4 case 命令参数传递 177 18.4.5 捕获输入并执行空命令 178 18.4.6 缺省变量 179 18.5 for 循环 180 18.5.1 简单的 for 循环 181 18.5.2 打印字符串列表 181 18.5.3 对 for 循环使用 ls 命令 181 ...
  • 18.4.4 case命令参数传递 177 18.4.5 捕获输入并执行空命令 178 18.4.6 缺省变量 179 18.5 for循环 180 18.5.1 简单的for循环 181 18.5.2 打印字符串列表 181 18.5.3 对for循环使用ls命令 181 18.5.4 对for循环...
  • 18.4.4 case命令参数传递 177 18.4.5 捕获输入并执行空命令 178 18.4.6 缺省变量 179 18.5 for循环 180 18.5.1 简单的for循环 181 18.5.2 打印字符串列表 181 18.5.3 对for循环使用ls命令 181 18.5.4 对for循环...
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参数值与统计值举例