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  • 1、 直线参数方程第1种形式第2种形式两种形式中的参数t的含义是不一样的,第1种形式中参数t表示的是直线上的点到定点的距离,而在第2种形式中参数t不具备某种几何意义,这里需要区分一下。2、 圆的参数方程圆的参...

    一、常用参数方程

    我们需要掌握的参数方程,和我们学习过的一些曲线方程相关,与直角坐标方程的互换等,这些需要掌握,首先我们开始复习一下参数方程的基础知识,在这里不做过多的讲解,主要是回忆巩固一下。

    1、 直线参数方程

    第1种形式

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    第2种形式

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    两种形式中的参数t的含义是不一样的,第1种形式中参数t表示的是直线上的点到定点的距离,而在第2种形式中参数t不具备某种几何意义,这里需要区分一下。

    2、 圆的参数方程

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    圆的参数方程我这里留给大家,这里不写了

    3、 椭圆参数方程

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    椭圆的参数方程中,要注意那个角不是OM的旋转角

    4、 双曲线的参数方程

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    5、 抛物线的参数方程

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    二、极坐标

    我们常用的一些曲线的极坐标的表示法及其变换等等,要做到相当的熟练,以及与直角坐标的互换等等,需要重点掌握。

    1、 极坐标的概念

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    一个点在极坐标中有无穷多种表示法,因此我们对长度和角度的参数都进行了限制,这样表示法就唯一了,但是长度为0时,角度是任意的

    2、 极坐标与直角坐标的互换

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    互化的条件:

    1)极点和原点重合,

    2)长度单位相同,

    3)极轴与x轴的非负半轴重合

    3、 极坐标两点的距离公式:

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    4、 圆的极坐标方程

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    5、 直线的极坐标方程

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    6、 柱坐标系(了解)

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    7、 球坐标系(了解)

    三、真题演练

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    解析:第一问将参数方程转换成一般方程,然后用方程组来求解,思路没问题,但是要注意计算比较繁琐,需要仔细和耐心。第二问用到了点到直线的距离公式,三角函数的辅助公式等,将三角函数化简后就很容易得出最大值及最小值。

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    解析:此题第一问属于一般常识题,属于送分题

    第二问,直线与圆有三个公共点,我们分两种情况去考虑,一条相切,一条相交,然后将圆心到直线的距离分别计算出来和半径进行比较,计算出的k值可能有几种情况,需要分别去判断是否真的满足条件。这里我们不再进行具体的演算推理,同学们可以自己下去了推理一下。

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  • 高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识....

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    各位朋友大家好,今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题:极坐标与参数方程。

    该章在高考中只考查1个大题,以解答题形式出现,占10分,属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看,估计2019年高考围绕坐标方程互化,利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题,突出参数方程的优势,特别是直线与圆和椭圆。

    特别说明:本专题主要适合参加2019年的高考考生,对于参加2020年及以后高考的考生,可以做一些简单的了解即可,估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解,对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助,让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。

    第一讲 坐标系

    1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

    设点P(xy)是平面直角坐标系中的任意一点,在7cdd51bb226e5ae493496da83d7b511c.png的作用下,点P(xy)对应到点6f9a047214dff22b3ba50fc140d98cdd.png,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

    伸缩变换公式应用时的两个注意点

    (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(xy)与变换后的点P′的坐标(XY),再利用伸缩变换公式60c30d33519e05bb93ca00e6e80885c9.png建立联系.

    (2)已知变换后的曲线方程f(xy)=0,一般都要改写为方程f(XY)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.

    2.极坐标系与点的极坐标

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    (1)极坐标系:

    在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从OxOM的角度θ来刻画(如图),这两个数组成的有序数对(ρθ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.

     (2)极坐标与直角坐标的互相转化:

    ①互相转化的前提条件:

    a.极点与坐标原点重合;

    b.极轴与x轴正半轴重合,d8d717694abc1760aba7e644c3b4636b.png的射线与y轴正半轴重合;

    c.取相同的单位长度.

    ②互相转化公式:

    设点P的直角坐标为(xy),它的极坐标为(ρθ),则互相转化公式为

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    e411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.png

    (1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件

    ①取直角坐标系的原点为极点.

    ②以x轴的非负半轴为极轴.

    ③两种坐标系规定相同的长度单位.

    (2)直角坐标化为极坐标的关注点

    ①根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρθ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.

    当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.

    ②当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.

     3.直线的极坐标方程

    (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 5efae2927c0135dcc9d204718dd49898.png

     (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(αθ)=ρ0sin(αθ0).

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     4.半径为r的圆的极坐标方程

    (1)特殊位置的圆的极坐标方程:

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    (2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0θ0),半径为r的圆的极坐标方程为

    ρ2-2ρ0ρcos(θθ0)+ρr2=0.

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    极坐标方程及其应用的类型及解题策略

    (1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程。

    (2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。

    (3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度。

    求曲线的极坐标方程的步骤:

    (1)建立适当的极坐标系,设P(ρθ)是曲线上任意一点;

    (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;

    (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

    需要注意的两点:

    1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρθ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.

    2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.

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    1.参数方程的概念

    如果曲线C上任意一点P的坐标xy都可以表示为某个变量t的函数2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png反过来,对于t的每个允许值,由函数式2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png所确定的点P(xy)都在曲线C上,那么方程2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.

    2.圆锥曲线的参数方程

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    3.直线的参数方程70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png

    过点M(x0y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

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    其中t表示直线上以定点M0为起点,任意一点M(xy)为终点的有向线段的数量.当t>0时,的方向向上;当t<0时,的方向向下;当t=0时,MM0重合.

    489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png

    将参数方程化为普通方程的方法

    (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.如sin2θ+cos2θ=1等.

    (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程  的等价性,不要增解。

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    极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

    (1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程,然后求解.

    (2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.

    (3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.

    思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义

    过定点M0(x0y0),倾斜角为α的直线的参数方程为

    359682f06b147ed1a169ef184ead475f.png

    通常称它为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(xy)到M0(x0y0)的距离,即|M0M|=|t|.

    当0<α时,sinα>0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t>0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向上;若t<0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点MM0上方时,有b467acbd9edf0dd1811b8e8910db105e.png;当点MM0下方时,有a2787b286fde6065c23ee7a97c09b843.png该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于AB两点,所求问题与定点到AB两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.

    (1)若M1M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1t2,则

    33438973b5eeaf4245b96ed52b9e98cd.png

    048386a3ccb2e7f10f92fbeaa397bb41.png

    (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1M2M3对应的参数分别为t1t2t3,则331015602294454a0197b62bb997bf86.png

    (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0y0),则t1t2=0,t1t2<0.

    利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.另外,我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的xy的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

    以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点,大家做好整理和总结,一定要多看多思考,加油哦12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

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  • 理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化....
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    参数方程、极坐标

    [导读]学科:数学 教学内容:参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化....

    教学内容:参数方程、极坐标

      一、考纲要求

      1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.

      2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.    二、知识结构

      1.直线的参数方程

      (1)标准式  过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是     (t为参数)

      (2)一般式  过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是

          (t不参数)        ②

      在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此时, | t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是

      |t|.

      直线参数方程的应用  设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是

          (t为参数)

      若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则

      (1)P1、P2两点的坐标分别是

      (x0+t1cosα,y0+t1sinα)

      (x0+t2cosα,y0+t2sinα);

      (2)|P1P2|=|t1-t2|;

      (3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则  t=  中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=||

      (4)若P0为线段P1P2的中点,则

      t1+t2=0.

      2.圆锥曲线的参数方程

      (1)圆  圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是

       (是参数)

      φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,∈[0,2π](见图)     (2)椭圆  椭圆=1(a>b>0)的参数方程是

          (为参数)

      椭圆  =1(a>b>0)的参数方程是

          (为参数)

      3.极坐标

      极坐标系  在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫 做极轴.

      ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一 不可.

      点的极坐标  设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度 ,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)    极坐标和直角坐标的互化

      (1)互化的前提条件

      ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;

      ②极轴与x轴的正半轴重合

      ③两种坐标系中取相同的长度单位.

      (2)互化公式    

      三、知识点、能力点提示

      (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化

      例1  在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

      解:  将圆的方程化为参数方程:

       (θ为参数)

      则圆上点P坐标为(2+5cosθ,1+5sinθ),它到所给直线的距离为d==|4cosθ+3sinθ +6|=5・|(cosθ+sinθ)+| =5|cos(φ-θ)+ |,其中cosφ=,sinφ= .故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2).    (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化

      说明  这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出 现.

      例2  极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π+θ)必定是(    )

      A.关于直线θ=对称            B. 关于极点对称

      C.关于极轴对称                 D.同一曲线

      解:因(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)表示相同的点,

      故选D.    (三)综合例题赏析

      例3  椭圆 (Φ是参数)的两个焦点坐标是(    )

      A.(-3,5),(-3,-3)          B.(3,3),(3,-5)

      C.(1,1),(-7,1)          D.(7,-1),(-1,-1)

      解:化为普通方程得=1

      ∴a2=25,b2=9,得c2=16,c=4.

      ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

      ∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5).

      应选B.

      例4  参数方程

           (0 <θ<2π)表示(    )

      A.双曲线的一支,这支过点(1,)

      B.抛物线的一部分,这部分过(1,)

      C.双曲线的一支,这支过(-1,)

      D.抛物线的一部分,这部分过(-1,)

      解:由参数式得x2=1+sinθ=2y(x>0)

      即y=x2(x>0).

      ∴应选B.

      例5  曲线的参数方程为 (0≤t≤5)则曲线是(    )

      A.线段          B.双曲线的一支

      C.圆弧          D.射线

      解  消去t2得,x-2=3(y-1)是直线

      又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段

      应选A.

      例6  下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是(    )

      A.                  B.

      C.           D.

      解:普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B. 中x=cost∈〔-1,1〕,故排除A.和B.

      C.中y==ctg 2t==,即x2y=1,故排除C.

      ∴应选D.

      例7  曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为(    )

      A.x2+(y+2)2=4          B.x2+(y-2)2=4

      C.(x-2)2+y2=4          D.(x+2)2+y2=4

      解:将ρ=,sinθ=代入ρ=4sinθ,得

      x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.

      ∴应选B.

      例8  极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是(    )

      A.双曲线      B.椭圆      C.抛物线      D.圆

      解:原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sin θ);ρ2=ρcosθ+ρsinθ,

      ∴普通方程为 (x2+y2)=x+y,表示圆.

      应选D.

      例9  在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是(    )

      A.ρsinθ=2           B.ρcos θ=2

      C.ρcosθ=-2          D.ρcosθ=-4

      解:如图.    ⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,l 交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有

      cosθ=,得ρcosθ=2,

      ∴应选B.

      例10  极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是 (    )

      A.两条射线          B.两条相交直线

      C.圆                D.抛物线

      解:由4sin2θ=3,得4・=3,即y2=3 x2,y=±x,它表示两相交直线.

      ∴应选B.

    【同步达纲练习】

       (一)选择题

      1.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为(    )

      A.(2,)          B.(2,)         C.(2,-)          D.(-2,-)

      2.直线:3x-4y-9=0与圆:,(θ为参数)的位置关系是(    )

      A.相切                B.相离

      C.直线过圆心          D.相交但直线不过圆心

      3.若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,则下列各组曲 线:①θ=和sinθ=;②θ=和tgθ=,③ρ2-9=0和ρ= 3;④和.

      其中表示相同曲线的组数为(    )

      A.1      B.2

      C.3      D.4

      4.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:ρ1+ρ2=0 ,θ1+θ2=0,则M,N两点位置关系是(    )

      A.重合          B.关于极点对称

      C.关于直线θ=          D.关于极轴对称

      5.实数x,y,θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ

      变化时,点(x,y)的轨迹是(    )

      A.椭圆      B.双曲线      C.抛物线      D.圆

      6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是(    )

      A.                B.

      C.                D.

      7.将参数方程(m是参数,ab≠0)化为普通方程是(    )

      A. =1(x≠a)            B. =1(x≠-a )

      C. =1(x≠a)            D. =1(x≠-a )

      8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为(    )

      A.(x-)2+(y-)2=1                B.y2=2(x-)

      C.(x-)(y-)=0                  D.=1

      9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 (    )

      A.一条射线          B.两条射线

      C.一条直线          D.两条直线

      10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方程为(    )

      A.y-1=±(x+2)          B.y=±x

      C.y-1=±2(x+2)          D.y+1=±2(x-2)

      11.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切,则直线的倾斜角为(    )

      A.或          B. 或       C. 或          D.- 或-

      12.已知曲线(t为参数)上的点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1+t2=0,那么M,N间的距离为(    )

      A.2p(t1+t2)               B.2p(t21+t22)

      C.│2p(t1-t2)│           D.2p(t1-t2)2

      13.若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy,y2-x2)也在单位 圆上运动,其运动规律是(    )

      A.角速度ω,顺时针方向    B.角速度ω,逆时针方向

      C.角速度2ω,顺时针方向  D.角速度2ω,逆时针方向

      14.已知过曲线 (θ为参数,且0≤θ≤π)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为,则P点坐标是(    )

      A.(3,4)                     B.(,2)

      C.(-3,-4)                   D.(,)

      15.直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称,则l的方程是(    )

      A.ρ=            B.ρ=

      C.ρ=            D.ρ=    (二)填空题

      16.双曲线  的中心坐标是                 .

      17.参数方程(θ为参数)化成普通方程为            .

      18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是              .

      19.抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段,则=         .    (三)解答题

      20.设椭圆(θ为参数) 上一点P,若点P在第一象限,且∠xOP=,求点P的坐 标.    

      21.曲线C的方程为 (p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时 ,曲线C的端点为A,B,设F是曲线C的焦点,且S△AFB=14,求P的值.    

      22.已知过点P(1,-2),倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m

      (1)m取何值时,直线l和抛物线交于两点?    (2)m取何值时,直线l被抛物线截下的线段长为.    23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 (θ 为参数)的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.    24.A,B为椭圆=1,(a>b>0) 上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大值和最小值.    25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈[0,π],当t变化时:

      (1)求P,Q两动点的轨迹;    (2)当|PQ|=时,求t的值.    

    参考答案

    【同步达纲练习】

      (一)1.C  2.D  3.C  4.C  5.D  6.A  7.A  8.A  9.B  10.C  11.A  12.C   13.C  14.D  15.D

      (二)16.(2,-1);17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0;19.

      (三)20.(,);21.;

      22.(1)m>,(2)m=3;23.(27-3);24.Smax=,smin=;

      25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0),(2)t=或t=.

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  • 对数直线参数方程的标准形式及一般形式中的参数进行了探讨,明确了各种情况下参数的几何意义,并例析参数几何意义的应用.
  • 参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。 参数方程定义: 一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的...

    目录

    参数方程中参数的意义:

    参数方程定义:

    什么是参数方程:

    参数方程与普通方程的公式:

    举例:

    参数方程:


    参数方程中参数的意义:

    参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。

     

    参数方程定义:

    一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

     

    什么是参数方程:

    其实就是 :

    y=f(t);x=g(t);其中t是参数,分别能表示出x,y;你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了;

     

    参数方程与普通方程的公式:

    参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:

    1.cos²θ+sin²θ=1

    2.ρ=x²+y²

    3.ρcosθ=x

    4.ρsinθ=y

    举例:

    参数方程:

    一般的参数方程,主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

    遇到三角三角函数一般使用公式带入,消掉。

    x=3-2t ① 
    y=-1-4t ② 

    解:
    ①×2-②得
    x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
    x-2y=7
    ∴2x-y = 7

     

    将x, y的中参数转化为同一的,之后进行替换,得出一般函数方程。

    例子:

    x=cosθ (θ为参数) ①
    y=cos2θ+1 ②
    由②得
    y=2cos²θ-1+1
    y=2cos²θ
    由①得
    cosθ=x
    ∴y=2x² -1

     

    例:

    又例圆,椭圆等:

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