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    最近写项目书需要用到T分布表、卡方分布表,但是网上搜到的图片清晰度都不够高,放在项目书里不好看,而且想要的参数也不一定在表中,还是用excel自己来计算比较方便,记录一下用excel计算分位值的过程~(以T分布表为例,其他类似)

    计算T分布表

    1. 将要计算的参数输入第一行和第一列
      第一行为分位点,第一列为置信度

    2. 选择“插入函数”,并插入要计算的分布,我选择的是计算“T分布的左尾区间点”

    3. 选择输入参数,点击确定,B2位置就计算出来自由度为1的左尾T分布0.75分位点

    4. 把函数应用到剩余位置,计算出其他位置的值,行和列的操作类似。
      先把上一步设定的B2处的计算函数应用到第二行,在这一行的计算中,要保证自由度不变,即行不变,因此需要把公式=T.INV(B1,A2)编辑成=T.INV(B1,$A$2)

    编辑成

    然后鼠标放在B2右下角,当光标变成黑色加号时,右拉至要计算的列,即可把该公式应用到相应位置

    对列的处理类似,需要把B1处的公式=T.INV(B1,$A$2)编辑成=T.INV($B$1,A2)(其实就是固定哪个值,就把其前后加上$)然后变成黑色加号,下拉至指定位置

    其他列类似处理,就得到了T分布表

    用excel画表还是很方便的,好好利用这个工具吧~

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  • 1、前言对岩土参数进行分析评价,是岩土工程师的一项重要任务。...2、随机变量的概率分布回顾(1)正态分布设随机变量 X 服从正态分布,其概率密度函数为:,累积概率分布函数(随机变量X其中μ、σ...

    1、前言

    对岩土参数进行分析评价,是岩土工程师的一项重要任务。参数评价之前要进行数理统计,数理统计的基本任务是要给出该参数的平均值、变异系数和标准值。之后,由岩土参数经综合考虑升华为设计参数,再进行岩土工程设计。

    本文对岩土参数标准值的内涵实质进行分析,进而提出设计取值建议。

    2、随机变量的概率分布回顾

    (1)正态分布

    设随机变量 X 服从正态分布,其概率密度函数为:

    95c3382427d72a879675ac072ed2b2fc.png

    3c6aabdb17bd50d4e60cbdacd775e695.png

    累积概率分布函数(随机变量X

    210a568f6a738a368383d83ed1b60f12.png

    其中μσ² > 0 为常数,μ 表示均值(又称数学期望值或简称期望值)σ² 表示方差,σ 表示标准差(又称均方差)

    随机变量 X 服从参数为μσ² 的正态分布,记为:

    1e8556d45d839d6b76e561d2f148b5d0.png

    对于正态分布,期望值 μ(又称均值)决定了其位置,标准差 σ 决定了分布的幅度。随机变量的几个重要取值区间与其概率面积的关系见下图:

    482f31efe571de2dcc8f151fb2febda6.png

    当 μ = 0, σ = 1 时的正态分布称为标准正态分布,其概率密度函数为:

    214c077807d3d357d07de3e8e2c51d82.png

    不难导出:

    21df2cd36d1efe645b5a134bb955abb5.png

    总体的方差计算公式:

    cb5d3b8fb146634663f3382ad5d57dd3.png

    其中,

    64b6ee9543d13e6e38d0314c31375dc2.png

    为总体方差,

    53744401715ef5b17c50f3c2546cd93a.png

    为变量,

    4cf6fd275c1996f4930c9fb20384c80e.png

    为总体均值,

    8cedc2377f0fe15a8451334a7d1f5e3b.png

    为总体例数。

    实际工作中,总体参数难以得到时,可用样本统计量代替总体参数,经校正后,样本方差计算公式为:

    7046601271bb01c5f2948d721ecb810e.png

    式中,S²为样本方差(S 表示样本的标准差,又称均方差),X 为变量,

    581afad7052bab4fd0c110020af179e1.png

    为样本均值,n 为样本例数。

    (2)

    ed483db773872775870f970032de20b6.png

    分布

    χ²分布简称卡方分布。设X1,X2,......Xn相互独立,均服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量

    d926b0729b2bac7aaf00b076ef20db83.png

    的分布为自由度为n 的χ²分布。卡方分布的概率密度函数如下:

    a40f44dffb06df59c84225f08a75a1d4.png

    χ²分布的期望E(χ2)=n,方差D(χ2)=2n。

    (3)t分布

    假设X服从标准正态分布即X~N(0,1),Y服从自由度n的卡方分布即Y~χ²(n),且X与Y是相互独立的,那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布成为自由的为n的t分布,记为Z~t(n)。

    t分布常常用于根据小样本来估计呈正态分布且方差值为知的样本的均值。(如果总体的方差已知的话,则应该用正态分布来估计总体的均值。)

    t(n)分布的密度函数表达式、图示如下。

    03f1329484b34609608099fb6280a2af.png

    其中

    70426cee49d4158952f84ef45024d50c.png

    表示伽玛函数。

    对于Z~t(n),其数学期望E(Z) = 0,n>1;方差D(Z)=n/(n-2) , n>2 。

    92f6a837f39f8c4527dd9d0f325f4f7f.png

    3、岩土参数的估计

    岩土参数的获取首先要进行岩土工程勘察,从数学上看,勘察就是抽样。工程上岩土体的参数平均值是未知的,但存在,要靠勘察得到的参数小样本进行计算估计。

    根据高大钊《土力学可靠性原理》,

    c580ab93f05dc2c38b7cbea9f4bc58a5.png

    其中tα为失效概率为α时的 t 分布值,表列如下:

    bd39837ef876ea5444f679a568a42768.png
    0a092d11706b094e3718fa6bbdc3732e.png
    15562bf16f5b4b016b5c00772157bb1b.png

    注意表格最后一行的值,自由度n为无限大时的t-分布和正态分布等价。

    4、岩土参数标准值的本质

    岩土参数标准值,是根据抽样子样本,按照一定失效概率进行对总体样本(假定符合正态分布)平均值的估计。从计算公式看,如取α=5%,当n趋于无穷大时,tα=1.645 ,标准值的计算结果就是平均值。

    由此看来,岩土参数具有变异性和随机性双重属性,采用t分布理论进行参数置信估计,当勘察样本数量较小时,就应该运用上述公式,计算出相应于一定置信概率的标准值来对总体样本的平均值进行估计。但当勘察得到样本较大时,可直接采用大容量样本的平均值来代表总体的平均值。

    另外,岩土参数标准值的本质,是总体参数平均值的估计值。

    从上述表列数值中,摘取n=1,2,3,......,同时查取相应的 tα,用n做横坐标, tα做纵坐标,绘图如下(取α=0.05) 。

    d43709f85a8d86d42754fe1d3f8aa9a8.png

    从图中可以看出,岩土参数标准值计算的最小数据量可取 5 。当前《岩土工程勘察规范》规定最小取值为6 。

    5、结束语

    本文就岩土参数的估计进行回顾和分析,对勘察抽取岩土参数样本的标准值,进行概念分析,得出结论,样本参数标准值的本质,实际就是基于一定置信概率的总体参数平均值的估计值。当勘察得到样本较大时,可以采用大样本的平均值来直接代表总体的参数平均值。

    对于勘察抽取样本的最少数量可采用 5 。

    参考文献:

    1、GB/T 15932-1995非中心t分布分位数表,国家技术监督局 ,1996-06-01

    2、GB 4086.3-1983统计分布数值表t分布,国家标准化管理委员,1984-10-01

    3、高大钊. 土力学可靠性原理. 北京:中国建筑工业出版社,1989

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  • 向clickhouse分布表A插入数据后,执行select * from A,发现数据数量不足,但是过了几秒后,在执行select * from A,数量又是正确的了...通过设置参数可以让分布表的入库是同步的: insert_distributed_sync=true ...

    向clickhouse分布表A插入数据后,执行select * from A,发现数据数量不足,但是过了几秒后,在执行select * from A,数量又是正确的了。

    经过研究发现,对于clickhouse,不仅delete和update操作是异步,默认情况下分布表的insert也是异步的(本地表的insert是同步的)。

    通过设置参数可以让分布表的入库是同步的:
    insert_distributed_sync=true

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  • 本篇推送将介绍如何用Excel制作t-分布和卡方分布临界值 A.t-分布t-分布是用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值步骤一:打开excel,横轴为置信水平,竖轴为自由度,填好相应的值,做一个框架步骤...
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    本篇推送将介绍如何用Excel制作t-分布和卡方分布临界值表

    A.t-分布

    t-分布是用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值

    步骤一:打开excel,横轴为置信水平,竖轴为自由度,填好相应的值,做一个框架

    32ebb25c4072dd6d69daaa6356d373ab.png

    步骤二:点击菜单栏的公式,选择插入函数,选择函数T.INV,点击确定;第一个参数Probobility代表置信水平,选中B1单元格;第二个参数Deg_freedom代表自由度,选中A3单元格,点击确定得出结果 -1.37638,下拉进行填充

    da78a6883faca9305deaa3bbbef2222d.png
    805e9f1c2176615be13789aa8374957d.png

    填充完整的分布表如下:

    2692c3e6062857c7cfb8c30c5ad9e706.png

    你是否觉得好奇为什么是负数呢?

    因为这个函数求的是左尾临界值,我们算的时候都是右尾值,而左尾和右尾是互为相反数,所以计算时我们取左尾的绝对值,即| T.INV(α,n) |

    PS:这个函数也可以用来查任意置信水平和自由度的t分布的值哦 o(* ̄▽ ̄*)ブ

    B.卡方分布

    卡方分布在数理统计中具有重要意义

    步骤一:打开excel,横轴为置信水平,竖轴为自由度,填好相应的值,做一个框架

    f22ad0fcb505f5c6ec271beb1b8937d5.png

    步骤二:点击菜单栏的公式,选择插入函数,选择函数CHISQ.INV.RT,点击确定;第一个参数Probobility代表置信水平,选中B1单元格;第二个参数Deg_freedom代表自由度,选中A3单元格,点击确定得出结果 0.000,下拉进行填充

    24d2492ebf5e78eed4243455001edbba.png
    927d3949dfb45bd7190ed85c1dd564e1.png

    ※有没有小伙伴下拉填充出现了问题呢?下面就是解决办法了

    1.鼠标点击B2单元格,将鼠标移至公式公式编辑区参数B1处

    ab91561e85a576febbc5f960376e26d4.png

    2. 按f4(笔记本按fn+f4),回车,点击下拉填充

    f3a58d422844867c6f59a8412fd3ae05.png

    C.正态分布和F分布

    这里介绍这两个函数可以计算正态分布和F分布的临界值

    1. 正态分布

    NORM.S.INV(置信度的值)

    eg:Z_0.995=2.58

    NORM.S.INV(0.995)

    =2.575829

    ≈2.58Z

    ※与t-分布类似,正态分布的

    左尾和右尾互为相反数

    2.F分布

    F.INV.RT(α,n1,n2)

    eg:F_(0.975,9,9)=0.2484

    F.INV.RT(0.975,9,9)

    =0.2484

    怎么样,学会了吗?是不是很简单?快去试试吧

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    文字:影莺

    排版:影莺

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