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  • Matlab使用杂谈2-参数方程转换

    千次阅读 2020-02-15 12:05:23
    Matlab使用杂谈2-参数方程转换参数方程转换solve函数使用参数方程转换使用实例 参数方程转换 在进行数学建模时,有时候我们会得到两个具有相同变量的方程,但是如何求除这两个方程的因变量之间的关系,此时就可以...

    参数方程转换

    在进行数学建模时,有时候我们会得到两个具有相同变量的方程,但是如何求除这两个方程的因变量之间的关系,此时就可以利用参数方程转换,将参数方程转换成为y与x之间的关系式
    如:y=t
    x=1/2t
    则y=2x

    solve函数使用

    在进行参数方程转换前,首先引入matlab中的一个函数solve,本文只演示小部分solve函数用法,需要更复杂的用法可以点击下面有关solve函数的语法解释,具有更加详细的用法,或者点击我转载的博客
    转载-Matlab中Solve函数的详细用法
    Matlab中关于solve函数的语法解释
    语法
    S = solve(eqn,var)
    S = solve(eqn,var,Name,Value)
    Y = solve(eqns,vars)
    Y = solve(eqns,vars,Name,Value)
    [y1,…,yN] = solve(eqns,vars)
    [y1,…,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value)
    [y1,…,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,‘ReturnConditions’,true)

    参数方程转换使用实例

    % 针对参数方程求解y关于x的方程
    % a,b,c,d均为常量
    % y=a*t+b;
    % x=c*t+d;
    syms a b c d t x y;
    ex1=a*t+b-y==0;
    ex2=c*t+d-x==0;
    t=solve(ex2,t);
    y=solve(subs(ex1),y)
    

    最后可得出结果
    y=b-a(d-x)/c

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  • 给出了椭圆隐式方程和参数方程的互相转化,并通过MATLAB程序进行验证,实验证明了转换关系的正确性。

    1. 隐式方程转参数方程

    二次曲线的一般方程为:
    A x 2 + 2 B x y + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0. (1) A{x^2}+2Bxy+C{y^2}+2Dx+2Ey+F=0. \tag{1} Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.(1)
    B 2 − A C < 0 B^2-AC<0 B2AC<0, 为椭圆; B 2 − A C = 0 B^2-AC=0 B2AC=0, 为抛物线; B 2 − A C > 0 B^2-AC>0 B2AC>0,为双曲线。
    二次曲线可通过旋转和平移来变成标准方程,从而得到其几何参数。旋转的作用是消去交叉项,平移的作用是使中心为原点,下面以椭圆为例。
    方程的二次项为:
    [ x , y ] [ A B B C ] [ x y ] . (2) [x, y] \left[ \begin{matrix} A &B\\ B &C \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y \end{matrix} \right]. \tag{2} [x,y][ABBC][xy].(2)
    一次项为
    2 [ x , y ] [ D E ] . 2[x, y] \left[ \begin{matrix} D\\ E \end{matrix} \right]. 2[x,y][DE].我们对二次项进行旋转,消去交叉项,旋转角 θ \theta θ就是椭圆的偏角。假设新的坐标为 ( x ′ , y ′ ) (x^{'}, y^{'}) (x,y), 那么
    [ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] . \left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right]. [xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy].

    [ x y ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x ′ y ′ ] \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right] [xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy]
    带入式(2),然后令矩阵(1,2) 位置的元素为0,可得,
    ( C − A ) sin ⁡ 2 θ + 2 B cos ⁡ 2 θ = 0 , (C-A)\sin2\theta+2B\cos2\theta=0, (CA)sin2θ+2Bcos2θ=0,
    那么, tan ⁡ 2 θ = 2 B A − C . \tan2\theta=\frac{2B}{A-C}. tan2θ=AC2B. 那么原来的二次项矩阵变为:
    [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ A B B C ] [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] = [ A ′ 0 0 C ′ ] . \left[ \begin{matrix} \cos\theta &\sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} A & B\\ B& C\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} A^{'} & 0\\ 0& C^{'}\\ \end{matrix} \right]. [cosθsinθsinθcosθ][ABBC][cosθsinθsinθcosθ]=[A00C].两边同时乘以旋转矩阵的逆,并比较两边矩阵的(1,1)和(2,2)位置元素可得:
    A ′ = A + B tan ⁡ θ , C ′ = C − B tan ⁡ θ . A^{'}=A+B\tan\theta, C^{'}=C-B\tan\theta. A=A+Btanθ,C=CBtanθ.对于一次项,做同样的旋转操作可得,
    [ D ′ E ′ ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ D E ] = [ D cos ⁡ θ + E sin ⁡ θ − D sin ⁡ θ + E cos ⁡ θ ] . \left[ \begin{matrix} D^{'}\\ E^{'} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} D\\ E\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} D\cos\theta+E\sin\theta\\ -D\sin\theta+E\cos\theta\\ \end{matrix} \right]. [DE]=[cosθsinθsinθcosθ][DE]=[Dcosθ+EsinθDsinθ+Ecosθ].那么化简后的椭圆方程为
    A ′ x ′ 2 + C ′ y ′ 2 + 2 D ′ x ′ + 2 E ′ y ′ + F = 0. A^{'}x^{'}{^2}+C^{'}y^{'}{^2}+2D^{'}x^{'}+2E^{'}y^{'}+F=0. Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.
    我们对它进一步配方化为标准椭圆方程:
    ( x ′ + D ′ / A ′ ) 2 D ′ 2 A ′ 2 + E ′ 2 C ′ A ′ − F A ′ + ( y ′ + E ′ / C ′ ) 2 D ′ 2 A ′ C ′ + E ′ 2 C ′ 2 − F C ′ = 1 , \frac{(x^{'}+D^{'}/A^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}{^2}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}A^{'}}-\frac{F}{A^{'}}}+\frac{(y^{'}+E^{'}/C^{'})^2}{\frac{D^{'}{^2}}{A^{'}C^{'}}+\frac{E^{'}{^2}}{C^{'}{^2}}-\frac{F}{C^{'}}}=1, A2D2+CAE2AF(x+D/A)2+ACD2+C2E2CF(y+E/C)2=1,化简后我们得到椭圆5个参数 ( x c , y c , a , b , θ ) (x_c, y_c, a,b,\theta) (xc,yc,a,b,θ)
    { x c = B E − C D A C − B 2 y c = B D − A E A C − B 2 a = x c 2 + ( y c 2 ( C − B tan ⁡ θ ) − F ) A + B tan ⁡ θ b = y c 2 + ( x c 2 ( A + B tan ⁡ θ ) − F ) C − B tan ⁡ θ tan ⁡ 2 θ = 2 B A − C ( θ = 1 2 arctan ⁡ 2 B A − C ) . \left\{\color{blue}{ \begin{array}{rcl} &x_c=\frac{BE-CD}{AC-B^2} \\ &y_c=\frac{BD-AE}{AC-B^2}\\ &a=\sqrt{\frac{x_c^2+(y_c^2(C-B\tan\theta)-F)}{A+B\tan\theta}}\\ &b=\sqrt{\frac{y_c^2+(x_c^2(A+B\tan\theta)-F)}{C-B\tan\theta}}\\ &\tan2\theta=\frac{2B}{A-C}(\theta=\frac{1}{2}\arctan{\frac{2B}{A-C}}) \end{array}}. \right. xc=ACB2BECDyc=ACB2BDAEa=A+Btanθxc2+(yc2(CBtanθ)F) b=CBtanθyc2+(xc2(A+Btanθ)F) tan2θ=AC2B(θ=21arctanAC2B).
    将相应的值带入就好。 注 意 二 次 型 ( 式 1 ) 系 数 是 否 有 2 \color{red}{注意二次型 (式1) 系数是否有2} (1)2.

    2. 参数方程化为隐式方程

    假设椭圆5参数 ( x c , y c , a , b , θ ) (x_c, y_c, a,b,\theta) (xc,yc,a,b,θ), 其中 a ≥ b a\geq b ab。它对应的标准方程为
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. a2x2+b2y2=1. 通过坐标变换(旋转+平移)把标准坐标变到一般坐标:
    [ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] + [ x c y c ] . \left[ \begin{matrix} x^{'}\\ y^{'}\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta &\cos\theta\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} x_c\\ y_c\\ \end{matrix} \right]. [xy]=[cosθsinθsinθcosθ][xy]+[xcyc].反解出 ( x , y ) (x, y) (x,y) 带入标准方程,通过简单的化简可得:
    { A = cos ⁡ 2 θ a 2 + sin ⁡ 2 θ b 2 B = sin ⁡ θ cos ⁡ θ ( 1 a 2 − 1 b 2 ) C = sin ⁡ 2 θ a 2 + cos ⁡ 2 θ b 2 D = − x c cos ⁡ 2 θ − y c sin ⁡ θ cos ⁡ θ a 2 + − x c sin ⁡ 2 θ + y c sin ⁡ θ cos ⁡ θ b 2 E = − y c sin ⁡ 2 θ − x c sin ⁡ θ cos ⁡ θ a 2 + − y c cos ⁡ 2 θ + x c sin ⁡ θ cos ⁡ θ b 2 F = ( x c cos ⁡ θ + y c sin ⁡ θ ) 2 a 2 + ( x c sin ⁡ θ − y c cos ⁡ θ ) 2 b 2 − 1 . \left\{\color{blue}{ \begin{aligned} &A=\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{b^2} \\ &B=\sin\theta\cos\theta(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})\\ &C=\frac{\sin^2\theta}{a^2}+\frac{\cos^2\theta}{b^2} \\ &D=\frac{-x_c\cos^2\theta-y_c\sin\theta\cos\theta}{a^2}+\frac{-x_c\sin^2\theta+y_c\sin\theta\cos\theta}{b^2}\\ &E=\frac{-y_c\sin^2\theta-x_c\sin\theta\cos\theta}{a^2}+\frac{-y_c\cos^2\theta+x_c\sin\theta\cos\theta}{b^2} \\ &F=\frac{(x_c\cos\theta+y_c\sin\theta)^2}{a^2}+\frac{(x_c\sin\theta-y_c\cos\theta)^2}{b^2}-1&\\ \end{aligned}}. \right. A=a2cos2θ+b2sin2θB=sinθcosθ(a21b21)C=a2sin2θ+b2cos2θD=a2xccos2θycsinθcosθ+b2xcsin2θ+ycsinθcosθE=a2ycsin2θxcsinθcosθ+b2yccos2θ+xcsinθcosθF=a2(xccosθ+ycsinθ)2+b2(xcsinθyccosθ)21.
    注 意 二 次 型 ( 式 1 ) 系 数 是 否 有 2 \color{red}{注意二次型 (式1) 系数是否有2} (1)2.

    3.MATLAB代码验证

    %%=====================
    %椭圆参数方程和隐式方程互化
    %input: geometric parameter [xc,yc,a,b,theta], suppose a>=b;
    %       or algebraic parameter [A,B,C,D,E,F];
    %
    %output: the transformed result
    %%=======================
    function [result]=geo2alg(parameter)
    close all;
    if (nargin==0)
        %parameter=[2,-1,5,4,1]; % geometric parameter
        parameter=[0.0559   -0.0102    0.0466   -0.1221    0.0670   -0.6888];% algeraic 
    end
    %-----------Geometric to Algebraic-----------%
    if(size(parameter,2)==5)
    
        %geometric
        xc=parameter(1);
        yc=parameter(2);
        a=parameter(3);
        b=parameter(4);
        theta=parameter(5);
        
        % convert to algebraic coefficients
        A=cos(theta)^2/a^2+sin(theta)^2/b^2;
        B=sin(theta)*cos(theta)*(1/(a^2)-1/(b^2));
        C=sin(theta)^2/a^2+cos(theta)^2/b^2;
        D=(-xc*cos(theta)^2-yc*sin(theta)*cos(theta))/a^2+(-xc*sin(theta)^2+yc*sin(theta)*cos(theta))/b^2;
        E=(-yc*sin(theta)^2-xc*sin(theta)*cos(theta))/a^2+(-yc*cos(theta)^2+xc*sin(theta)*cos(theta))/b^2;
        F=(xc*cos(theta)+yc*sin(theta))^2/a^2+(xc*sin(theta)-yc*cos(theta))^2/b^2-1;
        
        result=[A,B,C,D,E,F];
    end
    %-----------Algebraic to Geometric-----------%
    if(size(parameter,2)==6)
    
        %algebraic
        A=parameter(1);
        B=parameter(2);
        C=parameter(3);
        D=parameter(4);
        E=parameter(5);
        F=parameter(6);
        
         % convert to geometric 
        theta=1/2*atan2(2*B,(A-C));
        xc=(B*E-C*D)/(A*C-B^2);
        yc=(B*D-A*E)/(A*C-B^2);
        a=sqrt(xc^2+(yc^2*(C-B*tan(theta))-F)/(A+B*tan(theta)));
        b=sqrt(yc^2+(xc^2*(A+B*tan(theta))-F)/(C-B*tan(theta)));
        
       result=[xc,yc,a,b,theta];
    end
    %-------------Plot Two Modes-------------%
        %geometric 
        t= linspace(0,2*pi,60);
        x=a*cos(t);
        y=b*sin(t);
        Ex = x*cos(theta)-y*sin(theta) + xc;
        Ey = x*sin(theta)+y*cos(theta) + yc;
        figure
        plot(Ex,Ey,'g-','linewidth',2);
        hold on;
        %algebraic
        syms x y;
        z1=ezplot(A*x^2+2*B*x*y+C*y^2+2*D*x+2*E*y+F,[-8,8]);
        set(z1,'Color','r');
        legend('Geo','Alg');
        if (size(parameter,2)==5)
            title('Geo2Alg');
         else
              title('Alg2Geo');
         end
    end
    

    结果:
    1.Geo2Alg
    input: parameter=[2,-1,5,4,1];
    output: result=[0.0559 -0.0102 0.0466 -0.1221 0.0670 -0.6888];
    几何参数转代数系数,绿色是几何作图,红色为转换的代数作图,两图重合.几何参数转代数系数,绿色是几何作图,红色为转换的代数作图,两图重合。

    2.Alg2Geo
    input: parameter=[0.0559 -0.0102 0.0466 -0.1221 0.0670 -0.6888];
    output: result=[2.0019 -0.9996 3.9593 4.9450 -0.5715];
    代数系数转几何参数,绿色为转换的几何作图,红色为代数系数作图,两图重合。
    代数系数转几何参数,绿色为转换的几何作图,红色为代数系数作图,两图重合。

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  • 曲线的参数方程简介

    千次阅读 2020-11-01 09:20:22
    一、曲线的参数方程 1.1 参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,yx,yx,y都是某个变数ttt的函数 {x=f(t)y=g(t)(1) \left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned...

    一、曲线的参数方程

    1.1 参数方程的概念

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y x,y x,y都是某个变数 t t t的函数
    { x = f ( t ) y = g ( t ) (1) \left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned} \right.\tag{1} {x=f(t)y=g(t)(1)并且对于每个 t t t的允许值,由方程组(1)所确定的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)就称为这条曲线的参数方程,联系变数 x , y x,y x,y的变数 t t t叫做参变数,简称参数。相对参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数 t t t可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数

    一个曲线多个参数方程,一个参数方程却只能对应一条曲线;此外,在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。

    1.2 圆的参数方程

    圆心在原点,半径为 r r r, θ \theta θ为转过的角度。
    { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (2) \left\{ \begin{aligned} & x=r\cos\theta\\ & y=r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{2} {x=rcosθy=rsinθθ[0,2π)(2)化成普通方程便于观察曲线的类型。另外,若圆心不在原点,若圆心为 ( a , b ) (a,b) (a,b),则对应参数方程应该为:
    { x = a + r cos ⁡ θ y = b + r sin ⁡ θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (3) \left\{ \begin{aligned} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{3} {x=a+rcosθy=b+rsinθθ[0,2π)(3)

    1.3 参数方程和普通方程的互化

    一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程;若已知普通方程,可以通过令 x = f ( t ) x=f(t) x=f(t),再将 x x x带入普通方程来转化成参数方程。特别注意 x , y , θ x,y,\theta x,y,θ的取值范围。

    二、圆锥曲线

    2.1 椭圆的参数方程

    长轴长为a,短轴长为b的椭圆的普通方程为:
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) (4) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)\tag{4} a2x2+b2y2=1a>b>0(4)
    对应的参数方程为:
    { x = a cos ⁡ ϕ y = b sin ⁡ ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (5) \left\{ \begin{aligned} &x=a\cos\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{5} {x=acosϕy=bsinϕϕ[0,2π)(5)

    2.2 双曲线的参数方程

    若双曲线的普通方程为:
    x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 ( a > 0 b > 0 ) (5) \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0\quad b>0)\tag{5} a2x2b2y2=1a>0b>0(5)
    则对应的参数方程为:
    { x = a sec ⁡ ϕ y = b sin ⁡ ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (6) \left\{ \begin{aligned} &x=a\sec\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{6} {x=asecϕy=bsinϕϕ[0,2π)(6) ϕ \phi ϕ为参数,满足条件:

    • ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) \phi\in[0,2\pi) ϕ[0,2π)
    • ϕ ≠ π 2 ϕ ≠ 3 π 2 \phi\ne\frac{\pi}{2}\quad \phi\ne\frac{3\pi}{2} ϕ=2πϕ=23π

    python中似乎没有 sec ⁡ \sec sec函数,总之等于余弦的倒数就对了:
    sec ⁡ ϕ = 1 c o s ϕ \sec\phi=\frac{1}{cos\phi} secϕ=cosϕ1

    2.3 抛物线方程

    设抛物线普通方程为
    y 2 = 2 p x (7) y^2=2px\tag{7} y2=2px(7)
    其中, p p p表示焦点在顶点的距离。参数方程如下:
    { x = 2 p tan ⁡ 2 α y = 2 p tan ⁡ α (8) \left\{ \begin{aligned} &x=\frac{2p}{\tan^2\alpha}\\ &y=\frac{2p}{\tan\alpha} \end{aligned}\tag{8} \right. x=tan2α2py=tanα2p(8)
    t = 1 tan ⁡ α t=\frac{1}{\tan\alpha} t=tanα1,(8)变成:
    { x = 2 p t 2 y = 2 p t (9) \left\{ \begin{aligned} &x=2pt^2\\ &y=2pt \end{aligned}\tag{9} \right. {x=2pt2y=2pt(9)

    t ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) t(,0)(0,+) α \alpha α除顶点外任意一点与顶点连线与 O x Ox Ox夹角,显然当 t = 0 t=0 t=0时恰好是抛物线原点, t t t表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。

    三、直线

    过点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)倾角为 α \alpha α的直线 l l l,其普通方程为:
    y − y 0 = tan ⁡ α ( x − x 0 ) (10) y-y_0=\tan\alpha(x-x_0)\tag{10} yy0=tanα(xx0)(10)
    对应的参数方程为:
    { x = x 0 + t cos ⁡ α y = y 0 + t sin ⁡ α (11) \left\{ \begin{aligned} &x=x_0+t\cos\alpha\\ &y=y_0+t\sin\alpha \end{aligned} \right.\tag{11} {x=x0+tcosαy=y0+tsinα(11)
    t t t为参数,其绝对值等于动点 P P P P 0 P0 P0的距离,即:
    ∣ t ∣ = ∣ P P 0 ∣ (12) |t|=|PP0|\tag{12} t=PP0(12)

    四、渐开线和摆线

    4.1 渐开线参数方程,

    渐伸线(involute)(或称渐开线(evolvent))和渐屈线(evolute)是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。
    在这里插入图片描述

    在曲线上选一定点 S S S。有一动点P由S出发沿曲线移动,选在 P P P的切线上的 Q Q Q,使得曲线长 S P SP SP和直线段长 P Q PQ PQ 相同。渐伸线就是 Q Q Q的轨迹。圆的渐开线方程为:
    { x = r ( cos ⁡ ϕ + ϕ sin ⁡ ϕ ) y = r ( sin ⁡ ϕ − ϕ cos ⁡ ϕ ) (13) \left\{ \begin{aligned} &x=r(\cos\phi+\phi\sin\phi)\\ &y=r(\sin\phi-\phi\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{13} {x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕϕcosϕ)(13)
    ϕ \phi ϕ是参数。

    在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳,制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形,设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。

    4.2 摆线

    在这里插入图片描述
    对应的参数方程为:
    { x = r ( ϕ − sin ⁡ ϕ ) y = r ( 1 − cos ⁡ ϕ ) (14) \left\{ \begin{aligned} &x=r(\phi-\sin\phi)\\ &y=r(1-\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{14} {x=r(ϕsinϕ)y=r(1cosϕ)(14)
    ϕ \phi ϕ是参数。

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    目录

    参数方程中参数的意义:

    参数方程定义:

    什么是参数方程:

    参数方程与普通方程的公式:

    举例:

    参数方程:


    参数方程中参数的意义:

    参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。

     

    参数方程定义:

    一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

     

    什么是参数方程:

    其实就是 :

    y=f(t);x=g(t);其中t是参数,分别能表示出x,y;你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了;

     

    参数方程与普通方程的公式:

    参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:

    1.cos²θ+sin²θ=1

    2.ρ=x²+y²

    3.ρcosθ=x

    4.ρsinθ=y

    举例:

    参数方程:

    一般的参数方程,主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

    遇到三角三角函数一般使用公式带入,消掉。

    x=3-2t ① 
    y=-1-4t ② 

    解:
    ①×2-②得
    x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
    x-2y=7
    ∴2x-y = 7

     

    将x, y的中参数转化为同一的,之后进行替换,得出一般函数方程。

    例子:

    x=cosθ (θ为参数) ①
    y=cos2θ+1 ②
    由②得
    y=2cos²θ-1+1
    y=2cos²θ
    由①得
    cosθ=x
    ∴y=2x² -1

     

    例:

    又例圆,椭圆等:

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空空如也

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