参数方程与极坐标
问题引入
曲线的参数方程
曲线参数方程
直角坐标方程化为参数方程
例1 方法三，利用三角恒等式
例2，方法四，几何背景
常见的参数方程
如何把直角坐标方程转化为参数方程
极坐标与极坐标方程
直角坐标系与极坐标系的关系（相互转换）
例1 简单的直角坐标与极坐标转换
对数螺旋线的极坐标表示
曲线的极坐标表示
圆锥曲线
定义（圆锥曲线）

问题引入




曲线的参数方程




曲线参数方程


直角坐标方程化为参数方程
1、直接把其中一个坐标轴作为参数t。

2、把y与x的比值作为参数t。



例1 方法三，利用三角恒等式


这种方法往往需要先变形。


例2，方法四，几何背景



常见的参数方程


如何把直角坐标方程转化为参数方程

星形线上每一点，的切线，介于x轴与y轴之间的部分（切线，线段长度），是相同的，如图中的蓝色线段。

极坐标与极坐标方程

直角坐标系与极坐标系的关系（相互转换）

例1 简单的直角坐标与极坐标转换


对数螺旋线的极坐标表示



曲线的极坐标表示





ρ是大于0的所以只有第一象限



圆锥曲线
在中学椭圆、抛物线、双曲线都是圆锥曲线，因为我们可以通过平面去截取圆锥获得这样的曲线。

定义（圆锥曲线）

极坐标方程与直角坐标的转化
23.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标 系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中， 直线 C1： x＝－2， 圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈ R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
2016-07-15
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件：极点与原点重合，极轴与 x 轴正半轴重合，长度单位相同.
互化公式：
x
y
cos s in
或
2  x2  y2
tan
y x
(x
0)
θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.
例 1.⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为   4cos ，   4sin ．
(I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O1，⊙O2 交点的直线的直角坐标方程．
练习：曲线的极坐标方程  =4sin 化成直角坐标方程为
(A) x2+(y+2)2=4
(B) x2+(y-2)2=4
(C) (x-2)2+y2=4
(D) (x+2)2+y2=4
二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:
1、直线的极坐标方程(a>0) (1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程: =α; (2)垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程:  cos =a;
(3)平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程:  sin =a;
(4)不过极点,和极轴成 角,到极点距离为 a 的直线的极坐标方程:
sin(α-θ)=a.
2、圆的极坐标方程(a>0) (1)圆心在极点,半径为 a 的圆的极坐标方程:  =a;
(2)圆心在(a,0),半径为 a 的圆的极坐标方程:  =2acos ;
(3)圆心在(a,  ),半径为 a 的圆的极坐标方程:  =  2a cos ;
(4)圆心在(a,  ),半径为 a 的圆的极坐标方程:  =2asin ; 2
(5)圆心在(a, 3 ),半径为 a 的圆的极坐标方程:  =  2asin ; 2
(6)圆心在(a,  0),半径为 a 的圆的极坐标方程:  =2acos( - 0).
3、极坐标系中的旋转不变性:
曲线 f(  , + )=0 是将曲线 f(  , )=0 绕极点旋转| |角(  0时,按顺
时针方向旋转,  0 时,按逆时针方向旋转)而得到.
例 2．极坐标方程 4  sin2  =5 所表示的曲线是( ) 2
(A)圆
(B)椭圆
(C)双曲线的一支 (D)抛物线
练习：极坐标方程  =c
2020-04-05
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆 O：   cos  sin 和直线 l :  sin(   )  2 ， 42
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当 0,  时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
2．(选修 4—4：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是   2sin ，设
直线
l
的参数方程是
x
y
4 5
3 5
t
t
2
(
t
为参数)。
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。
3．(本小题满分 10 分)选 修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C 的极坐标方程为  2
36
；
4 cos2   9sin2
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x 轴，求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x, y) 是曲线 C 上的一个动点，求 3x  4y 的最大值。
5．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角   。 6
(1) 写出直线 l 的参数方程；
(2)
设
l
与圆
x y
2 cos 2 sin
(
是参数)相交于两点
A、B，求点
P
到
A、B
两点的
距离之积。
6．(本题满分 lO 分) 4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极方程
为  sin(   )  4
2 2
．圆
O
的参数方程为
x y
2  r cos
2
，( 为参数， r  0 )
2  r sin
2
(I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当 r 为何值时，圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3． 6. (1)圆心坐标为 ( 2 , 2 )
22 设圆心的极坐标为 (, )
------ 1 分
则   ( 2 )2  ( 2 )2  1
2
2
所以圆心的极坐标为 (1, 5  ) 4
(2)直线 l 的极坐标方程为 (
2020-03-26
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系下，已知圆 O：和直线， (1)求圆 O 和直线的直角坐标方程； (2)当时，求直线与圆 O 公共点的一个极坐标．
2．(选修 4—4：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是   2sin ，设
直线
l
的参数方程是
x
y
4 5
3 5
t
t
2
(
t
为参数)。
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。
3．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C
的极坐标方程为  2
36 4 cos2   9sin2
；
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x 轴，求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x, y) 是曲线 C 上的一个动点，求 3x  4y 的最大值。
5．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角   。 6
(1) 写出直线 l 的参数方程；
(2)
设
l
与圆
x y
2 cos 2 sin
(
是参数)相交于两点
A、B，求点
P
到
A、B
两点的距
离之积。
6．(本题满分 lO 分) 4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极方程
为  sin(   )  4
2 2
．圆
O
的参数方程为
x
y
2  r cos
2
，( 为参数， r  0 )
2  r sin
2
(I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当 r 为何值时，圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3． 6. (1)圆心坐标为 ( 2 , 2 )
22 设圆心的极坐标为 (, )
则   ( 2 )2  ( 2 )2  1
2
2
------ 1 分 -----2 分
所以圆心的极坐标为 (1, 5  ) 4
(2)直线 l 的极坐标方程为 ( 2 sin  2 cos )  2
2
2
2
直线
2020-04-12
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆 O：   cos  sin 和直线 l :  sin(   )  2 ， 42
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当 0,  时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
2．(选修 4—4：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是   2sin ，设直线 l
的参数方程是
x
y
4 5
3 5
t
t
2
(
t
为参数)。
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。
3．(本小题满分 10 分)选 修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C
的极坐标方程为  2
36 4 cos2   9sin2
；
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x 轴，求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x, y) 是曲线 C 上的一个动点，求 3x  4y 的最大值。
5．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角   。 6
(1) 写出直线 l 的参数方程；
(2)
设
l
与圆
x y
2 cos 2 sin
(
是参数)相交于两点
A、B，求点
P
到
A、B
两点的距离之积。
6．(本题满分 lO 分) 4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极方程
为  sin(   )  4
2 2
．圆
O
的参数方程为
x y
2  r cos
2
，( 为参数， r  0 )
2  r sin 2
(I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当 r 为何值时，圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3．
6. (1)圆心坐标为 ( 2 , 2 ) 22
------ 1 分
设圆心的极坐标为 (, )
则   ( 2 )2  ( 2 )2  1
2
2
所以圆心的极坐标为 (1, 5  ) 4
(2)直线 l 的极坐标方程为
2020-04-02
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆 O：   cos  sin 和直线 l :  sin(   )  2 ，
42
(1)求圆 O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当 0,  时，求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
2．(选修 4—4：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是   2sin ，设直线 l 的
参数方程是
x
y
4 5
3 5
t
t
2
(
t
为参数)。
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。
3．(本小题满分 10 分)选 修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C
的极坐标方程为  2
36 4 cos2   9sin2
；
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x 轴，求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x, y) 是曲线 C 上的一个动点，求 3x  4y 的最大值。
5．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角   。
6
(1)写出直线l 的参数方程；
(2) 设
l
与圆
x y
2 cos 2 sin
(
是参数)相交于两点
A、B，求点
P
到
A、B
两点的距离之积。
6．(本题满分 lO 分)
4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极方程
为  sin(   )
4
2 2
．圆
O
的参数方程为
x
y
2  r cos
2
，( 为参数， r  0 )
2  r sin
2
(I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当 r 为何值时，圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3．
6.
(
1
)
圆
心
坐
标
为
( 2 , 2 )
22
------ 1 分
设圆心的极坐标为 (, )
则
( 2 )2  ( 2 )2  1
2
2
-----2 分
所 以 圆 心 的 极
2020-04-19
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极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆 O：   cos  sin 和直线 l :  sin(   )  2 ，
42
(1)求圆 O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当 0,  时，求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
2．(选修 4—4：坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是   2sin ，设直线 l 的
参数方程是
x
y
4 5
3 5
t
t
2
(
t
为参数)。
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M，N 为曲线 C 上一动点，求|MN|的最大值。
3．(本小题满分 10 分)选 修 4—4：坐标系与参数方程
已知曲线 C
的极坐标方程为  2
36 4 cos2   9sin2
；
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为 x 轴，求曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x, y) 是曲线 C 上的一个动点，求 3x  4y 的最大值。
5．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知直线 l 经过点 P(1,1) ，倾斜角   。
6
(1)写出直线l 的参数方程；
(2) 设
l
与圆
x y
2 cos 2 sin
(
是参数)相交于两点
A、B，求点
P
到
A、B
两点的距离之积。
6．(本题满分 lO 分)
4—4(坐标系与参数方程)
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极方程
为  sin(   )
4
2 2
．圆
O
的参数方程为
x
y
2  r cos
2
，( 为参数， r  0 )
2  r sin
2
(I)求圆心的极坐标；
(Ⅱ)当 r 为何值时，圆 O 上的点到直线 Z 的最大距离为 3．
6.
(
1
)
圆
心
坐
标
为
( 2 , 2 )
22
------ 1 分
设圆心的极坐标为 (, )
则
( 2 )2  ( 2 )2  1
2
2
-----2 分
所 以 圆 心 的 极
2020-04-27
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今天开始介绍空间中一些基本几何体的方程，介绍完了再来应用一哈.
Ⅰ.平面的基底与平面的参数方程 
设平面中不共线三点为
，
，
，
则向量
，
组成平面基底.
设平面内任意一点
，存在实数
，
使向量
，
转化为坐标形式有
先挂着吧，慢慢研究，还是希望能够服务于高中生解题.
Ⅱ.平面的法向量与平面的点法式
平面的垂线被称作平面的法线(Normal line)，法的意思是，直线的方向规定了平面延展的方向.在计算机图形学中经常和这玩意打交道. 
 设平面
的法向量为
，平面内一定点
，
则对于平面内任意一点
，
(线面垂直的定义)，
故点
坐标满足
，即平面的点法式方程.
将其展开得到
，其中
，即平面方程的一般式，其为含有三个变量的一次多项式，且多项式系数为法向量的三维坐标，例如：
为平面
的法向量.
显然这可以帮高中生求平面的法向量，例如：
已知平面过点
，
，
，求平面
的法向量.
解：
设平面
方程为
，
，解得
，当然这只是其中一个解.
换一个随意点的例子：
已知平面过点
，
，
，求平面
的法向量.
解：
设平面
方程为
，
，即
，解得
，
平面方程为
，其法向量为
.
①.显然这和数量积等于0那套搞法就是一回事；
②.有没有根据两点坐标求直线方程的感觉；
③.我应该好好学一下线性代数，还有语文.
Ⅲ.截距式 
 考虑一个特殊的平面，过点
，
，
，
设平面
方程为
，
，不妨设
，得
，其法向量为
.
像不像平面中直线的截距式？没别的意思，就是个小福利.
Ⅳ.点到平面的距离
平面外一点为
，平面方程为
，求点到平面的距离.
解： 
 取平面上一点
，点到平面的距离为
在法向量
上的投影的绝对值.
根据数量积定义
，
故
点
在平面
上，有
，带入上式得
.
是不是和他二维兄弟一个模子刻出来的.
二维空间中的直线，三维空间中的平面，两者与所在空间的关系是相同的.
cancer1984：2020-10-24---空间中的直线​zhuanlan.zhihu.com
cancer1984：2020-10-27---球的方程(1)​zhuanlan.zhihu.com
cancer1984：球的方程(2)​zhuanlan.zhihu.com

空间直线及其方程
问题引入
直线的参数方程
直线的对称式方程
向量方程
例1
直线的一般方程
如何把直线的一般法方程转化为对称式方程（怎样知道直线上的一点以及直线的方向向量）
平面束方程
例3
空间点到直线的距离公式

问题引入

直线的参数方程

直线的对称式方程

向量方程



例1




直线的一般方程

如何把直线的一般法方程转化为对称式方程（怎样知道直线上的一点以及直线的方向向量）

平面束方程

例3



空间点到直线的距离公式