Matlab使用杂谈2-参数方程转换
 
参数方程转换
solve函数使用
参数方程转换使用实例
 

 
参数方程转换
 
在进行数学建模时，有时候我们会得到两个具有相同变量的方程，但是如何求除这两个方程的因变量之间的关系，此时就可以利用参数方程转换，将参数方程转换成为y与x之间的关系式
 如：y=t
 x=1/2t
 则y=2x
 
solve函数使用
 
在进行参数方程转换前，首先引入matlab中的一个函数solve，本文只演示小部分solve函数用法，需要更复杂的用法可以点击下面有关solve函数的语法解释，具有更加详细的用法，或者点击我转载的博客
 转载-Matlab中Solve函数的详细用法
 Matlab中关于solve函数的语法解释
 语法
 S = solve(eqn,var)
 S = solve(eqn,var,Name,Value)
 Y = solve(eqns,vars)
 Y = solve(eqns,vars,Name,Value)
 [y1,…,yN] = solve(eqns,vars)
 [y1,…,yN] = solve(eqns,vars,Name,Value)
 [y1,…,yN,parameters,conditions] = solve(eqns,vars,‘ReturnConditions’,true)
 
参数方程转换使用实例
 
% 针对参数方程求解y关于x的方程
% a,b,c,d均为常量
% y=a*t+b;
% x=c*t+d;
syms a b c d t x y;
ex1=a*t+b-y==0;
ex2=c*t+d-x==0;
t=solve(ex2,t);
y=solve(subs(ex1),y)
 
最后可得出结果
 y=b-a(d-x)/c

1. 隐式方程转参数方程
 
二次曲线的一般方程为：
 $$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2Dx+2Ey+F=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$
 若$B^2-AC<0$, 为椭圆；$B^2-AC=0$, 为抛物线；$B^2-AC>0$,为双曲线。
 二次曲线可通过旋转和平移来变成标准方程，从而得到其几何参数。旋转的作用是消去交叉项，平移的作用是使中心为原点，下面以椭圆为例。
 方程的二次项为：
 $$[x,y]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].\text{\hspace{1em}(2)}$$
 一次项为
 $$2[x,y]\left[\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right].$$我们对二次项进行旋转，消去交叉项，旋转角$\theta$就是椭圆的偏角。假设新的坐标为$(x^{{}^{\prime }},y^{{}^{\prime }})$, 那么
 $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$$
 将
 $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]$$
 带入式(2)，然后令矩阵(1,2) 位置的元素为0，可得，
 $$(C-A)\sin 2\theta +2B\cos 2\theta =0,$$
 那么，$$\tan 2\theta =\frac{2B}{A-C}.$$ 那么原来的二次项矩阵变为：
 $$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B& C\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}^{{}^{\prime }}& 0\\ 0& C^{{}^{\prime }}\end{array}\right].$$两边同时乘以旋转矩阵的逆，并比较两边矩阵的(1,1)和(2,2)位置元素可得：
 $$A^{{}^{\prime }}=A+B\tan \theta ,C^{{}^{\prime }}=C-B\tan \theta .$$对于一次项，做同样的旋转操作可得，
 $$\left[\begin{array}{c}{D}^{{}^{\prime }}\\ E^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}D\cos \theta +E\sin \theta \\ -D\sin \theta +E\cos \theta \end{array}\right].$$那么化简后的椭圆方程为
 $$A^{{}^{\prime }}{x}^{{}^{\prime }}{}^2+C^{{}^{\prime }}{y}^{{}^{\prime }}{}^2+2D^{{}^{\prime }}{x}^{{}^{\prime }}+2E^{{}^{\prime }}{y}^{{}^{\prime }}+F=0.$$
 我们对它进一步配方化为标准椭圆方程：
 $$\frac{(x^{{}^{\prime }}+D^{{}^{\prime }}/A^{{}^{\prime }}{)}^2}{\frac{D^{{}^{\prime }}{}^2}{A^{{}^{\prime }}{}^2}+\frac{E^{{}^{\prime }}{}^2}{C^{{}^{\prime }}{A}^{{}^{\prime }}}-\frac{F}{A^{{}^{\prime }}}}+\frac{(y^{{}^{\prime }}+E^{{}^{\prime }}/C^{{}^{\prime }}{)}^2}{\frac{D^{{}^{\prime }}{}^2}{A^{{}^{\prime }}{C}^{{}^{\prime }}}+\frac{E^{{}^{\prime }}{}^2}{C^{{}^{\prime }}{}^2}-\frac{F}{C^{{}^{\prime }}}}=1,$$化简后我们得到椭圆5个参数$(x_c,y_c,a,b,\theta )$为
 $$\{\begin{array}{rc}& x_c=\frac{BE-CD}{AC-B^2}\\ & y_c=\frac{BD-AE}{AC-B^2}\\ & a=\sqrt{\frac{x_c^2+(y_c^2(C-B\tan \theta )-F)}{A+B\tan \theta }}\\ & b=\sqrt{\frac{y_c^2+(x_c^2(A+B\tan \theta )-F)}{C-B\tan \theta }}\\ & \tan 2\theta =\frac{2B}{A-C}(\theta =\frac{1}{2}\arctan \frac{2B}{A-C})\end{array}.$$
 将相应的值带入就好。$注意二次型(式1)系数是否有2$.
 
2. 参数方程化为隐式方程
 
假设椭圆5参数$(x_c,y_c,a,b,\theta )$, 其中 $a\ge b$。它对应的标准方程为
 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ 通过坐标变换（旋转+平移）把标准坐标变到一般坐标：
 $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ y_c\end{array}\right].$$反解出$(x,y)$ 带入标准方程，通过简单的化简可得：
 $$\{\begin{array}{rlr}& A=\frac{{\cos }^2\theta }{a^2}+\frac{{\sin }^2\theta }{b^2}& \\ & B=\sin \theta \cos \theta (\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2})& \\ & C=\frac{{\sin }^2\theta }{a^2}+\frac{{\cos }^2\theta }{b^2}& \\ & D=\frac{-x_c{\cos }^2\theta -y_c\sin \theta \cos \theta }{a^2}+\frac{-x_c{\sin }^2\theta +y_c\sin \theta \cos \theta }{b^2}& \\ & E=\frac{-y_c{\sin }^2\theta -x_c\sin \theta \cos \theta }{a^2}+\frac{-y_c{\cos }^2\theta +x_c\sin \theta \cos \theta }{b^2}& \\ & F=\frac{(x_c\cos \theta +y_c\sin \theta {)}^2}{a^2}+\frac{(x_c\sin \theta -y_c\cos \theta {)}^2}{b^2}-1& \\ & & \end{array}.$$
 $注意二次型(式1)系数是否有2$.
 
3.MATLAB代码验证
 
%%=====================
%椭圆参数方程和隐式方程互化
%input: geometric parameter [xc,yc,a,b,theta], suppose a>=b;
%       or algebraic parameter [A,B,C,D,E,F];
%
%output: the transformed result
%%=======================
function [result]=geo2alg(parameter)
close all;
if (nargin==0)
    %parameter=[2,-1,5,4,1]; % geometric parameter
    parameter=[0.0559   -0.0102    0.0466   -0.1221    0.0670   -0.6888];% algeraic 
end
%-----------Geometric to Algebraic-----------%
if(size(parameter,2)==5)

    %geometric
    xc=parameter(1);
    yc=parameter(2);
    a=parameter(3);
    b=parameter(4);
    theta=parameter(5);
    
    % convert to algebraic coefficients
    A=cos(theta)^2/a^2+sin(theta)^2/b^2;
    B=sin(theta)*cos(theta)*(1/(a^2)-1/(b^2));
    C=sin(theta)^2/a^2+cos(theta)^2/b^2;
    D=(-xc*cos(theta)^2-yc*sin(theta)*cos(theta))/a^2+(-xc*sin(theta)^2+yc*sin(theta)*cos(theta))/b^2;
    E=(-yc*sin(theta)^2-xc*sin(theta)*cos(theta))/a^2+(-yc*cos(theta)^2+xc*sin(theta)*cos(theta))/b^2;
    F=(xc*cos(theta)+yc*sin(theta))^2/a^2+(xc*sin(theta)-yc*cos(theta))^2/b^2-1;
    
    result=[A,B,C,D,E,F];
end
%-----------Algebraic to Geometric-----------%
if(size(parameter,2)==6)

    %algebraic
    A=parameter(1);
    B=parameter(2);
    C=parameter(3);
    D=parameter(4);
    E=parameter(5);
    F=parameter(6);
    
     % convert to geometric 
    theta=1/2*atan2(2*B,(A-C));
    xc=(B*E-C*D)/(A*C-B^2);
    yc=(B*D-A*E)/(A*C-B^2);
    a=sqrt(xc^2+(yc^2*(C-B*tan(theta))-F)/(A+B*tan(theta)));
    b=sqrt(yc^2+(xc^2*(A+B*tan(theta))-F)/(C-B*tan(theta)));
    
   result=[xc,yc,a,b,theta];
end
%-------------Plot Two Modes-------------%
    %geometric 
    t= linspace(0,2*pi,60);
    x=a*cos(t);
    y=b*sin(t);
    Ex = x*cos(theta)-y*sin(theta) + xc;
    Ey = x*sin(theta)+y*cos(theta) + yc;
    figure
    plot(Ex,Ey,'g-','linewidth',2);
    hold on;
    %algebraic
    syms x y;
    z1=ezplot(A*x^2+2*B*x*y+C*y^2+2*D*x+2*E*y+F,[-8,8]);
    set(z1,'Color','r');
    legend('Geo','Alg');
    if (size(parameter,2)==5)
        title('Geo2Alg');
     else
          title('Alg2Geo');
     end
end
 
结果：
 1.Geo2Alg
 input: parameter=[2,-1,5,4,1];
 output: result=[0.0559 -0.0102 0.0466 -0.1221 0.0670 -0.6888];
 几何参数转代数系数，绿色是几何作图，红色为转换的代数作图，两图重合.
 
2.Alg2Geo
 input: parameter=[0.0559 -0.0102 0.0466 -0.1221 0.0670 -0.6888];
 output: result=[2.0019 -0.9996 3.9593 4.9450 -0.5715];
 代数系数转几何参数，绿色为转换的几何作图，红色为代数系数作图，两图重合。
 

一、曲线的参数方程
 
1.1 参数方程的概念
 
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x,y$都是某个变数$t$的函数
 $$\{\begin{array}{rl}& x=f(t)\\ & y=g(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$并且对于每个$t$的允许值，由方程组（1）所确定的点$M(x,y)$都在这条曲线上，那么方程组（1）就称为这条曲线的参数方程，联系变数$x,y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数$t$可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
 
一个曲线多个参数方程，一个参数方程却只能对应一条曲线；此外，在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。
 
1.2 圆的参数方程
 
圆心在原点，半径为$r$,$\theta$为转过的角度。
 $$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \theta \\ & y=r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(2)}$$化成普通方程便于观察曲线的类型。另外，若圆心不在原点，若圆心为$(a,b)$，则对应参数方程应该为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=a+r\cos \theta \\ & y=b+r\sin \theta \end{array}\theta \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(3)}$$
 
1.3 参数方程和普通方程的互化
 
一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程；若已知普通方程，可以通过令$x=f(t)$，再将$x$带入普通方程来转化成参数方程。特别注意$x,y,\theta$的取值范围。
 
二、圆锥曲线
 
2.1 椭圆的参数方程
 
长轴长为a，短轴长为b的椭圆的普通方程为：
 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0）\text{\hspace{1em}(4)}$$
 对应的参数方程为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=a\cos \varphi \\ & y=b\sin \varphi \end{array}\varphi \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(5)}$$
 
2.2 双曲线的参数方程
 
若双曲线的普通方程为：
 $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0b>0）\text{\hspace{1em}(5)}$$
 则对应的参数方程为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=a\sec \varphi \\ & y=b\sin \varphi \end{array}\varphi \in [0,2\pi )\text{\hspace{1em}(6)}$$$\varphi$为参数，满足条件：
 
$\varphi \in [0,2\pi )$
$\varphi \ne \frac{\pi }{2}\varphi \ne \frac{3\pi }{2}$
 
python中似乎没有$\sec$函数，总之等于余弦的倒数就对了：
 $$\sec \varphi =\frac{1}{cos\varphi }$$
 
2.3 抛物线方程
 
设抛物线普通方程为
 $$y^2=2px\text{\hspace{1em}(7)}$$
 其中，$p$表示焦点在顶点的距离。参数方程如下：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=\frac{2p}{{\tan }^2\alpha }\\ & y=\frac{2p}{\tan \alpha }\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
 令$t=\frac{1}{\tan \alpha }$，(8)变成：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=2p{t}^2\\ & y=2pt\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
 
$t\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$，$\alpha$除顶点外任意一点与顶点连线与$Ox$夹角，显然当$t=0$时恰好是抛物线原点，$t$表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。
 
三、直线
 
过点$P_0(x_0,y_0)$倾角为$\alpha$的直线$l$，其普通方程为：
 $$y-y_0=\tan \alpha (x-x_0)\text{\hspace{1em}(10)}$$
 对应的参数方程为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=x_0+t\cos \alpha \\ & y=y_0+t\sin \alpha \end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$
 $t$为参数，其绝对值等于动点$P$到$P0$的距离，即：
 $$|t|=|PP0|\text{\hspace{1em}(12)}$$
 
四、渐开线和摆线
 
4.1 渐开线参数方程，
 
渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。
 
 
在曲线上选一定点$S$。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在$P$的切线上的$Q$，使得曲线长$SP$和直线段长$PQ$ 相同。渐伸线就是$Q$的轨迹。圆的渐开线方程为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=r(\cos \varphi +\varphi \sin \varphi )\\ & y=r(\sin \varphi -\varphi \cos \varphi )\end{array}\text{\hspace{1em}(13)}$$
 $\varphi$是参数。
 
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳，制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形，设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
 
4.2 摆线
 

 对应的参数方程为：
 $$\{\begin{array}{rl}& x=r(\varphi -\sin \varphi )\\ & y=r(1-\cos \varphi )\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$
 $\varphi$是参数。

目录
 
参数方程中参数的意义：
 
参数方程定义：
 
什么是参数方程：
 
参数方程与普通方程的公式：
 
举例：
 
参数方程：
 

参数方程中参数的意义：
 
参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了，一般都是长度，角度等几何量，也有一些是不容易找到对应的几何量的。
 
 
 
参数方程定义：
 
一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数{x=f(t)，y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
 
 
 
什么是参数方程：
 
其实就是 ：
 
y=f（t）；x=g（t）；其中t是参数，分别能表示出x，y；你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了；
 
 
 
参数方程与普通方程的公式：
 
参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式：
 
1.cos²θ+sin²θ=1
 
2.ρ=x²+y²
 
3.ρcosθ=x
 
4.ρsinθ=y
 
举例：
 
参数方程：
 
一般的参数方程，主要使2式子进行乘除运算消掉  t。
 
遇到三角三角函数一般使用公式带入，消掉。
 
x=3-2t ① 
 y=-1－4t ② 
 
解：
 ①×2-②得
 x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
 x-2y=7
 ∴2x-y = 7
 
 
 
将x， y的中参数转化为同一的，之后进行替换，得出一般函数方程。
 
例子：
 
x=cosθ （θ为参数） ①
 y=cos2θ+1 ②
 由②得
 y=2cos²θ-1+1
 y=2cos²θ
 由①得
 cosθ=x
 ∴y=2x² -1
 
 
 
例：
 
 
又例圆，椭圆等：