一、常用参数方程

一、消参方法

消参的常用方法有：代入消参法，加减消参法，乘除消参法，平方消参法。

二、方法例说

㊀代入消参法

如直线\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+t①}\\{y=2-t②}\end{array}\right.(t为参数)\)，

将\(t=x-1\)代入②，得到\(y=2-(x-1)\)，

即\(x+y-3=0\)，代入消参完成。

㊁加减消参法

依上例，两式相加，得到\(x+y-3=0\)，加减消参完成。

㊂乘除消参法

• 比如\(\begin{cases}x=t cos\theta①\\y=t sin\theta②\end{cases}(t为参数)\) ，

针对要作分母的\(cos\theta\)分类讨论如下：

当\(cos\theta=0\)时，直线为\(x=0\)；

当\(cos\theta\neq 0\)时，由\(\cfrac{②}{①}\)，两式相除得到\(y=tan\theta\cdot x\)

• 再比如\(\begin{cases}y=k(x-2)\\y=\cfrac{1}{k}(x+2)\end{cases}(k为参数)\)

两式相乘，消去参数\(k\)，得到\(y^2=x^2-4(y\neq 0)\)，

㊃平方消参法

如圆的参数方法\(\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cos\theta①}\\{y=2+2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta为参数)\)，

先变形为\(\left\{\begin{array}{l}{x-1=2cos\theta①}\\{y-2=2sin\theta②}\end{array}\right.(\theta为参数)\)，

①②两式同时平方，再相加，得到

\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，到此平方消参完成。

㊄组合法

如曲线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=2s^2①}\\{y=2\sqrt{2}s②}\end{array}\right.(s为参数)\)，

• 法1，使用代入消参法，由②得到\(s=\cfrac{y}{2\sqrt{2}}\)，

代入①整理得到，\(y^2=4x\)；

• 法2，平方法+除法消参法，由\(\cfrac{②^2}{①}\)，整理得到，\(y^2=4x\)；

再如曲线的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=t-\cfrac{1}{t}①}\\{y=t+\cfrac{1}{t}②}\end{array}\right.(t为参数)\)，

分析：给①式平方得到，\(x^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}-2③\)，

给②式平方得到，\(y^2=t^2+\cfrac{1}{t^2}+2④\)，

\(④-③\)，得到\(y^2-x^2=4\)，消参完成，

本题使用了平方消参法和加减消参法。

三、注意事项

• 参数方程消参以后需要特别注意的是，消参前后的表达式要等价，这一点常常与我们学习的函数的值域有关。举例如下：

例1、 参数方程\(\left\{\begin{array}{l}{x=3t^2+2}\\{y=t^2-1}\end{array}\right.(0\leq t\leq 5)\)表示的曲线为______________.

分析：用带入法消掉参数\(t\)，得到其普通方程为\(x=3(y+1)+2\)，即\(x-3y-5=0\)。这是直线。

但是，参数\(t\)有范围，故\(x\)和\(y\)都应该有范围。

比如，\(x=3t^2+3\in [2，77]\)，

由于\(y=\cfrac{x-5}{3}\)是单调函数，故不需要再限制\(y\)的范围，

即表示的曲线为\(x-3y-5=0(2\leq x\leq 77)\)，即为一条线段。

例2、曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho^2cos2\theta=4(\rho>0，\cfrac{3\pi}{4}<\theta<\cfrac{5\pi}{4})\)，求其普通方程。

分析：由题目可知，\(\rho^2(cos^2\theta-sin^2\theta)=4\)，

即\(x^2-y^2=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{4}=1\)，等轴双曲线，有左右两支；

但是题目要求\(\cfrac{3\pi}{4}<\theta<\cfrac{5\pi}{4}\)，则符合题目的只有双曲线的左支，

故其普通方程为\(x^2-y^2=4(x\leq -2)\)

说明：极坐标方程也存在等价问题。

例3、曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}y=k(x-2)\\y=\cfrac{1}{k}(x+2)\end{cases}(k为参数)\)，求其普通方程。

分析：两式相乘，消去参数\(k\)，得到\(y^2=x^2-4(y\neq 0)\)，即\(x^2-y^2=4\)，

那么转化前后，是否等价，该考虑什么？其实只需要考虑其上的特殊点。

\(x^2-y^2=4\)是焦点在\(x\)轴的等轴双曲线，顶点是\((\pm2，0)\)，

若\(y=0\)，则\(x=2\)且\(x=-2\)，这不可能。故\(y\neq 0\)，

故所求的普通方程为\(x^2-y^2=4(y\neq 0)\)

四、例题赏析

已知参数方程：\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta}\end{array}\right.(t\neq 0)\)，

(1)若\(t\)为常数，\(\theta\)为参数，判断方程表示什么曲线？

分析：观察参数\(\theta\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，

\(1^{\circ}\)、当\(t\neq \pm1\)时，由①得到\(sin\theta=\cfrac{x}{t+\cfrac{1}{t}}\)，

由②得到\(cos\theta=\cfrac{y}{t-\cfrac{1}{t}}\)，平方相加得，

\(\cfrac{x^2}{(t+\cfrac{1}{t})^2}+\cfrac{y^2}{(t-\cfrac{1}{t})^2}=1\)，

其表示的是中心在原点， 长轴长为\(2|t+\cfrac{1}{t}|\)，短轴长为\(2|t-\cfrac{1}{t}|\)，

焦点在\(x\)轴上的椭圆；

\(2^{\circ}\)、当\(t= \pm1\)时，此时\(y=0\)，\(x=\pm 2sin\theta\)，则\(x\in [-2，2]\)，

其表示的是以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；

综上可知，

当\(t\neq \pm1\)时，原方程表示焦点在\(x\)轴的椭圆；

当\(t=\pm 1\)时，原方程表示以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的线段；

(2)若\(\theta\)为常数，\(t\)为参数，方程表示什么曲线？

分析：观察参数\(\theta\)所处的位置和方程结构特征，我们可以考虑平方消参法。

\(\left\{\begin{array}{l}{x=(t+\cfrac{1}{t})sin\theta①}\\{y=(t-\cfrac{1}{t})cos\theta②}\end{array}\right.\)，

\(1^{\circ}\)、当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)时，由①得到\(\cfrac{x}{sin\theta}=t+\cfrac{1}{t}\)，

由②得到\(\cfrac{y}{cos\theta}=t-\cfrac{1}{t}\)，平方相减得到，

\(\cfrac{x^2}{sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{cos^2\theta}=4\)，即\(\cfrac{x^2}{4sin^2\theta}-\cfrac{y^2}{4cos^2\theta}=1\)，

其表示的是中心在原点，实轴长为\(4|sin\theta|\)，虚轴长为\(4|cos\theta|\)，焦点在\(x\)轴上的双曲线；

\(2^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；

\(3^{\circ}\)、当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，\(y=0\)，\(x=\pm(t+\cfrac{1}{t})\)，

当\(t>0\)时，\(x=t+\cfrac{1}{t}\ge 2\)，当\(t<0\)时，\(x=-(t+\cfrac{1}{t})\leq 2\)，

则\(|x|\ge 2\)，方程\(y=0(|x|\ge 2)\)表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；

综上可知，

当\(\theta\neq \cfrac{k\pi}{2}(k\in Z)\)，方程表示焦点在\(x\)轴上的双曲线；

当\(\theta=k\pi(k\in Z)\)时，\(x=0\)，它表示\(y\)轴；

当\(\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)时，方程表示\(x\)轴上以\(A(-2，0)\)和\(B(2，0)\)为端点的向左、向右的两条射线；