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  • 学好圆锥曲线的几个关键点1、牢记核心知识点核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x轴,y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清,在做题...

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    学好圆锥曲线的几个关键点

    1、牢记核心知识点

    核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x轴,y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清,在做题时自然做不对。

    2、计算能力与速度

    计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些,计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。

    当然也要掌握一些解题的小技巧,加快运算速度。

    3、思维套路

    拿到圆锥曲线的题,很多同学说无从下手,从表面感觉很难。老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题,都有共同的三部曲:一设二联立三韦达定理。

    一设:设直线与圆锥曲线 的两个交点,坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为y=kx+b。

    二联立:通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

    三韦达定理:得到二次方程后立马得出判别式,两根之和,两根之积。

    走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。例如涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。

    4、题型总结

     圆锥曲线中常见题型总结

    1、直线与圆锥曲线位置关系

    这类问题主要采用分析判别式,有

    △>0,直线与圆锥曲线相交;

    △=0,直线与圆锥曲线相切;

    △<0,直线与圆锥曲线相离.

    若且a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.

    注意:设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况,可单独提前讨论。

    2、圆锥曲线与向量结合问题

    这类问题主要利用向量的相等,平行,垂直去寻找坐标间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合应用,体现数形结合的思想,达到简化计算的目的。

    3、圆锥曲线弦长问题

    弦长问题主要记住弦长公式:设直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则:

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    4、定点、定值问题

    (1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点,再证明结论,即可简化运算;

    (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

    5、最值、参数范围问题

    这类常见的解法有两种:几何法和代数法.

    (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;

    (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.

    在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:

    (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

    (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

    (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

    (4)利用基本不等式求出参数的取值范围;

    (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

    6、轨迹问题

    轨迹问题一般方法有三种:定义法,相关点法和参数法。

    定义法:

    (1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;

    (2)设标准方程,求方程中的基本量

    (3)求轨迹方程

    相关点法:

    (1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上;

    (2)寻求关系式,x0=f(x,y),y0=g(x,y);

    (3)将x0,y0代入已知曲线方程;

    (4)整理关于x,y的关系式得到M的轨迹方程。

    参数法求轨迹的一般步骤:

    (1)选取参数k,用k表示动点M的坐标;

    (2)得动点M的轨迹的参数方程 64391502fc647d72d7c0f74a889cb91e.png

    (3)消去参数k得的M轨迹方程;

    (4)由k的范围确定x,y的范围,确保答案的准确性和完备性。

    7、探索型,存在性问题

    这类问题通常先假设存在,然后进行计算,最后再证明结果满足条件得到结论。对于较难的题目,可从特殊情况入手,找到特殊点进行分析验算,然后再得到一般性结论。

    圆锥曲线简化技巧

    1、给定一个椭圆和一条直线:

    椭圆方程:a2d110bc95909554a53508e7899999ca.png

    直线方程:y=kx+b

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    一般做法:

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    上面的运算数不是有点复杂呢,那接着往下看看小数老师提供的计算技巧吧:

    巧运算:

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    2、此外,常用的两个结论还有:

    1、直线交椭圆的弦长:3bddd54951210c326a759d0b29a0e0c9.png

    (因为只要联立了方程组,就一定要求判别式,将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多)

    2、y1+y2=k(x1+x2)+2m

    y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

    用此方法可大幅节省运算时间,圆锥曲线是不是简单了不少呢?

    例子

    这里给出了两道非常简单的例题,快用简洁的方法算一算吧。

    1、若椭圆c7c34eaa45f4e2af36dc44c3f1e43c92.png与直线y=2x+5相切,求椭圆方程。

    2、若直线y=kx+与椭圆072581815df5757e5aa3eb8dff8b2633.png交于不同的两点A、B,O为坐标原点,且aba27f41051610b83205884f781b95f8.png8f163efd0ec90a5f9707f3fd41e78a70.png>2,求k的取值范围?

    答案:1.a=9

    2.  1/42<1/3

    圆锥曲线公式集锦

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  • 获取更多教育经验、方法、学习资料等,每天中午12...学好圆锥曲线的几个关键点1、牢记核心知识点核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x...

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    小数老师说

    都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名,大部分同学抱怨无从下手,计算能力跟不上,算错一次没有勇气从头再来,今天小数老师教大家如何学好!

    学好圆锥曲线的几个关键点

    1、牢记核心知识点

    核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x轴,y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清,在做题时自然做不对。

    2、计算能力与速度

    计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些,计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。

    当然也要掌握一些解题的小技巧,加快运算速度。

    3、思维套路

    拿到圆锥曲线的题,很多同学说无从下手,从表面感觉很难。老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题,都有共同的三部曲:一设二联立三韦达定理。

    一设:设直线与圆锥曲线 的两个交点,坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为y=kx+b。

    二联立:通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

    三韦达定理:得到二次方程后立马得出判别式,两根之和,两根之积。

    走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。例如涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。

    4、题型总结

     圆锥曲线中常见题型总结

    1、直线与圆锥曲线位置关系

    这类问题主要采用分析判别式,有

    △>0,直线与圆锥曲线相交;

    △=0,直线与圆锥曲线相切;

    △<0,直线与圆锥曲线相离.

    若且a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.

    注意:设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况,可单独提前讨论。

    2、圆锥曲线与向量结合问题

    这类问题主要利用向量的相等,平行,垂直去寻找坐标间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合应用,体现数形结合的思想,达到简化计算的目的。

    3、圆锥曲线弦长问题

    弦长问题主要记住弦长公式:设直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则:

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    4、定点、定值问题

    (1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点,再证明结论,即可简化运算;

    (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

    5、最值、参数范围问题

    这类常见的解法有两种:几何法和代数法.

    (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;

    (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.

    在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:

    (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;

    (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;

    (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;

    (4)利用基本不等式求出参数的取值范围;

    (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

    6、轨迹问题

    轨迹问题一般方法有三种:定义法,相关点法和参数法。

    定义法:

    (1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;

    (2)设标准方程,求方程中的基本量

    (3)求轨迹方程

    相关点法:

    (1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上;

    (2)寻求关系式,x0=f(x,y),y0=g(x,y);

    (3)将x0,y0代入已知曲线方程;

    (4)整理关于x,y的关系式得到M的轨迹方程。

    参数法求轨迹的一般步骤:

    (1)选取参数k,用k表示动点M的坐标;

    (2)得动点M的轨迹的参数方程 af1e22934bb100af3660e4843ecce147.png

    (3)消去参数k得的M轨迹方程;

    (4)由k的范围确定x,y的范围,确保答案的准确性和完备性。

    7、探索型,存在性问题

    这类问题通常先假设存在,然后进行计算,最后再证明结果满足条件得到结论。对于较难的题目,可从特殊情况入手,找到特殊点进行分析验算,然后再得到一般性结论。

    圆锥曲线简化技巧

    1、给定一个椭圆和一条直线:

    椭圆方程:e9de8a43e0fb798ef75951d815d776ff.png

    直线方程:y=kx+b

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    一般做法:

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    上面的运算数不是有点复杂呢,那接着往下看看小数老师提供的计算技巧吧:

    巧运算:

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    2、此外,常用的两个结论还有:

    1、直线交椭圆的弦长:bdd82425268b957394706a49ab2d1b7a.png

    (因为只要联立了方程组,就一定要求判别式,将判别式代入这个式子求弦长会比一般做法简单很多)

    2、y1+y2=k(x1+x2)+2m

    y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

    用此方法可大幅节省运算时间,圆锥曲线是不是简单了不少呢?

    例子

    这里给出了两道非常简单的例题,快用简洁的方法算一算吧。

    1、若椭圆94e92910ca39ce3138d89963a61d6758.png与直线y=2x+5相切,求椭圆方程。

    2、若直线y=kx+与椭圆6c7da6651a29d51d5a059924ebec3346.png交于不同的两点A、B,O为坐标原点,且049b7f4d34ccca6fe8a6c425bc232c60.png5520a2ecf96e411b9b5ba8ad8f3bbb31.png>2,求k的取值范围?

    答案:1.a=9

    2.  1/42<1/3

    圆锥曲线公式集锦

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  • 题型:解答题。命题规律:该部分的...复习策略:在备考中,一定要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式。熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程。熟记常用抛物线、椭圆的参数方程,抓住...

    题型:

    解答题。

    命题规律:

    该部分的试题比较综合,题目中既有极坐标的问题又有参数方程的问题。

    考查的重点主要有:

    极坐标、参数方程与普通方程的互化;

    已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程,求点的坐标、两点的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程。

    复习策略:

    在备考中,一定要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式。

    熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程。

    熟记常用抛物线、椭圆的参数方程,抓住主要题目类型进行有针对性的训练。

    重点是极坐标、参数方程与普通方程的互化;

    参数方程及其应用;

    极坐标方程与参数方程的综合应用。

    一、求直线或曲线的极坐标方程和参数方程

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    【思考】 如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程?

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    1.对于几个特殊位置的直线与圆的极坐标方程要熟记 , 在求直线与圆的极坐标方程时 , 可直接应用记忆的结论 ; 熟记常用的直线的参数方程与抛物线 、椭圆的参数方程 , 如果已知它们的普通方程 , 那么在求参数方程时 , 可以直接应用记忆的结论 .

    2.求解与极坐标方程有关的问题时 , 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示 , 则需将直角坐标转化为极坐标 .

    3.求一般的直线和曲线的极坐标方程时 , 先建立极坐标系 , 再设直线或曲线上任一点的极坐标为 (ρ,θ) , 根据已知条件建立关于 ρ , θ 的等式 , 化简后即为所求的极坐标方程 .

    二、极坐标方程、参数方程、普通方程的互化

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    【思考】 如何进行直线和曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化?

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    1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程 , 常用的消参方法有代入消参 、加减消参和三角恒等式消参等 , 往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件 .

    2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 , 极轴与 x 轴正半轴重合 , 两坐标系的长度单位相同 , 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 .

    设 M 是平面内的任意一点 , 它的直角坐标、极坐标分别为

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    三、参数方程与极坐标方程的应用

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    【思考】 求解参数方程与极坐标方程应用问题的一般思路是什么?

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    对于极坐标和参数方程的问题 , 既可以通过极坐标和参数方程来解决 , 也可以通过直角坐标解决 , 但大多数情况下 , 把极坐标问题转化为直角坐标问题 , 把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 . 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 .

    规律总结:

    1.熟记几个特殊位置的直线和圆的极坐标方程:

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    2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程:

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    3.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,

    参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.

    4.在平面解析几何中,

    有些点的轨迹问题,用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难,如果适当地采用极坐标法来处理,求它的极坐标方程会使问题变得简单些.求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里的方法基本上相同.

    拓展训练:

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  • 题型:解答题。命题规律:该部分的...复习策略:在备考中,一定要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式。熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程。熟记常用抛物线、椭圆的参数方程,抓住...

    题型:

    解答题。

    命题规律:

    该部分的试题比较综合,题目中既有极坐标的问题又有参数方程的问题。

    考查的重点主要有:

    极坐标、参数方程与普通方程的互化;

    已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程,求点的坐标、两点的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程。

    复习策略:

    在备考中,一定要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式。

    熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程。

    熟记常用抛物线、椭圆的参数方程,抓住主要题目类型进行有针对性的训练。

    重点是极坐标、参数方程与普通方程的互化;

    参数方程及其应用;

    极坐标方程与参数方程的综合应用。

    一、求直线或曲线的极坐标方程和参数方程

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    【思考】 如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程?

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    1.对于几个特殊位置的直线与圆的极坐标方程要熟记 , 在求直线与圆的极坐标方程时 , 可直接应用记忆的结论 ; 熟记常用的直线的参数方程与抛物线 、椭圆的参数方程 , 如果已知它们的普通方程 , 那么在求参数方程时 , 可以直接应用记忆的结论 .

    2.求解与极坐标方程有关的问题时 , 可以转化为熟悉的直角坐标方程求解 . 若最终结果要求用极坐标表示 , 则需将直角坐标转化为极坐标 .

    3.求一般的直线和曲线的极坐标方程时 , 先建立极坐标系 , 再设直线或曲线上任一点的极坐标为 (ρ,θ) , 根据已知条件建立关于 ρ , θ 的等式 , 化简后即为所求的极坐标方程 .

    二、极坐标方程、参数方程、普通方程的互化

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    【思考】 如何进行直线和曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程间的互化?

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    1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程 , 常用的消参方法有代入消参 、加减消参和三角恒等式消参等 , 往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件 .

    2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合 , 极轴与 x 轴正半轴重合 , 两坐标系的长度单位相同 , 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 .

    设 M 是平面内的任意一点 , 它的直角坐标、极坐标分别为

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    三、参数方程与极坐标方程的应用

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    【思考】 求解参数方程与极坐标方程应用问题的一般思路是什么?

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    对于极坐标和参数方程的问题 , 既可以通过极坐标和参数方程来解决 , 也可以通过直角坐标解决 , 但大多数情况下 , 把极坐标问题转化为直角坐标问题 , 把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题 . 这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误 .

    规律总结:

    1.熟记几个特殊位置的直线和圆的极坐标方程:

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    2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程:

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    3.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,

    参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.

    4.在平面解析几何中,

    有些点的轨迹问题,用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难,如果适当地采用极坐标法来处理,求它的极坐标方程会使问题变得简单些.求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里的方法基本上相同.

    拓展训练:

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