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  • 参数方程中参数的意义: 参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。 参数方程定义: 一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的...

    目录

    参数方程中参数的意义:

    参数方程定义:

    什么是参数方程:

    参数方程与普通方程的公式:

    举例:

    参数方程:


    参数方程中参数的意义:

    参数方程中t的几何意义要看具体的曲线方程了,一般都是长度,角度等几何量,也有一些是不容易找到对应的几何量的。

     

    参数方程定义:

    一般的,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t),y=g(t)并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么上述方程则为这条曲线的参数方程,联系x,y的变数t叫做变参数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

     

    什么是参数方程:

    其实就是 :

    y=f(t);x=g(t);其中t是参数,分别能表示出x,y;你看看下面参数方程与一般函数的转化你就明白了;

     

    参数方程与普通方程的公式:

    参数方程与普通方程的互化最基本的有以下四个公式:

    1.cos²θ+sin²θ=1

    2.ρ=x²+y²

    3.ρcosθ=x

    4.ρsinθ=y

    举例:

    参数方程:

    一般的参数方程,主要使2式子进行乘除运算消掉  t。

    遇到三角三角函数一般使用公式带入,消掉。

    x=3-2t ① 
    y=-1-4t ② 

    解:
    ①×2-②得
    x-2y=2(3-2t)-(-1-4t)
    x-2y=7
    ∴2x-y = 7

     

    将x, y的中参数转化为同一的,之后进行替换,得出一般函数方程。

    例子:

    x=cosθ (θ为参数) ①
    y=cos2θ+1 ②
    由②得
    y=2cos²θ-1+1
    y=2cos²θ
    由①得
    cosθ=x
    ∴y=2x² -1

     

    例:

    又例圆,椭圆等:

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  • 数学通讯 年第 期 上半月 课外园地 式上会得到统一 虽然我还不能深刻理解老师所 数学问题浩如烟海 充要条件 托勒密定理和 说的这句话的具体含义 但是已激发了我对数学 柯西 施瓦茨不等式只是数学知识
  • 高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识....

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    各位朋友大家好,今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题:极坐标与参数方程。

    该章在高考中只考查1个大题,以解答题形式出现,占10分,属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看,估计2019年高考围绕坐标方程互化,利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题,突出参数方程的优势,特别是直线与圆和椭圆。

    特别说明:本专题主要适合参加2019年的高考考生,对于参加2020年及以后高考的考生,可以做一些简单的了解即可,估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解,对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助,让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。

    第一讲 坐标系

    1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

    设点P(xy)是平面直角坐标系中的任意一点,在7cdd51bb226e5ae493496da83d7b511c.png的作用下,点P(xy)对应到点6f9a047214dff22b3ba50fc140d98cdd.png,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

    伸缩变换公式应用时的两个注意点

    (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(xy)与变换后的点P′的坐标(XY),再利用伸缩变换公式60c30d33519e05bb93ca00e6e80885c9.png建立联系.

    (2)已知变换后的曲线方程f(xy)=0,一般都要改写为方程f(XY)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.

    2.极坐标系与点的极坐标

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    (1)极坐标系:

    在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从OxOM的角度θ来刻画(如图),这两个数组成的有序数对(ρθ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.

     (2)极坐标与直角坐标的互相转化:

    ①互相转化的前提条件:

    a.极点与坐标原点重合;

    b.极轴与x轴正半轴重合,d8d717694abc1760aba7e644c3b4636b.png的射线与y轴正半轴重合;

    c.取相同的单位长度.

    ②互相转化公式:

    设点P的直角坐标为(xy),它的极坐标为(ρθ),则互相转化公式为

    c35883812abbb6b8c03a8113d392d06b.png

    e411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.png

    (1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件

    ①取直角坐标系的原点为极点.

    ②以x轴的非负半轴为极轴.

    ③两种坐标系规定相同的长度单位.

    (2)直角坐标化为极坐标的关注点

    ①根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρθ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.

    当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.

    ②当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.

     3.直线的极坐标方程

    (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 5efae2927c0135dcc9d204718dd49898.png

     (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(αθ)=ρ0sin(αθ0).

    5266acfc3f02c75607308bfbea15c3bf.png

     4.半径为r的圆的极坐标方程

    (1)特殊位置的圆的极坐标方程:

    fd23ce54e95241f2513c272ff1c115c7.png

    (2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0θ0),半径为r的圆的极坐标方程为

    ρ2-2ρ0ρcos(θθ0)+ρr2=0.

    51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png

    极坐标方程及其应用的类型及解题策略

    (1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程。

    (2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。

    (3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度。

    求曲线的极坐标方程的步骤:

    (1)建立适当的极坐标系,设P(ρθ)是曲线上任意一点;

    (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;

    (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

    需要注意的两点:

    1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρθ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.

    2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.

    588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png第二讲 参数方程

    1.参数方程的概念

    如果曲线C上任意一点P的坐标xy都可以表示为某个变量t的函数2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png反过来,对于t的每个允许值,由函数式2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png所确定的点P(xy)都在曲线C上,那么方程2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.

    2.圆锥曲线的参数方程

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    3.直线的参数方程70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png

    过点M(x0y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

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    其中t表示直线上以定点M0为起点,任意一点M(xy)为终点的有向线段的数量.当t>0时,的方向向上;当t<0时,的方向向下;当t=0时,MM0重合.

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    将参数方程化为普通方程的方法

    (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.如sin2θ+cos2θ=1等.

    (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程  的等价性,不要增解。

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    极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

    (1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程,然后求解.

    (2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.

    (3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.

    思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义

    过定点M0(x0y0),倾斜角为α的直线的参数方程为

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    通常称它为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(xy)到M0(x0y0)的距离,即|M0M|=|t|.

    当0<α时,sinα>0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t>0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向上;若t<0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点MM0上方时,有b467acbd9edf0dd1811b8e8910db105e.png;当点MM0下方时,有a2787b286fde6065c23ee7a97c09b843.png该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于AB两点,所求问题与定点到AB两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.

    (1)若M1M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1t2,则

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    (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1M2M3对应的参数分别为t1t2t3,则331015602294454a0197b62bb997bf86.png

    (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0y0),则t1t2=0,t1t2<0.

    利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.另外,我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的xy的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

    以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点,大家做好整理和总结,一定要多看多思考,加油哦12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

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  • 1、 直线参数方程第1种形式第2种形式两种形式中的参数t的含义是不一样的,第1种形式中参数t表示的是直线上的点到定点的距离,而在第2种形式中参数t不具备某种几何意义,这里需要区分一下。2、 圆的参数方程圆的参...

    一、常用参数方程

    我们需要掌握的参数方程,和我们学习过的一些曲线方程相关,与直角坐标方程的互换等,这些需要掌握,首先我们开始复习一下参数方程的基础知识,在这里不做过多的讲解,主要是回忆巩固一下。

    1、 直线参数方程

    第1种形式

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    第2种形式

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    两种形式中的参数t的含义是不一样的,第1种形式中参数t表示的是直线上的点到定点的距离,而在第2种形式中参数t不具备某种几何意义,这里需要区分一下。

    2、 圆的参数方程

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    圆的参数方程我这里留给大家,这里不写了

    3、 椭圆参数方程

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    椭圆的参数方程中,要注意那个角不是OM的旋转角

    4、 双曲线的参数方程

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    5、 抛物线的参数方程

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    二、极坐标

    我们常用的一些曲线的极坐标的表示法及其变换等等,要做到相当的熟练,以及与直角坐标的互换等等,需要重点掌握。

    1、 极坐标的概念

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    一个点在极坐标中有无穷多种表示法,因此我们对长度和角度的参数都进行了限制,这样表示法就唯一了,但是长度为0时,角度是任意的

    2、 极坐标与直角坐标的互换

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    互化的条件:

    1)极点和原点重合,

    2)长度单位相同,

    3)极轴与x轴的非负半轴重合

    3、 极坐标两点的距离公式:

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    4、 圆的极坐标方程

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    5、 直线的极坐标方程

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    6、 柱坐标系(了解)

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    7、 球坐标系(了解)

    三、真题演练

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    解析:第一问将参数方程转换成一般方程,然后用方程组来求解,思路没问题,但是要注意计算比较繁琐,需要仔细和耐心。第二问用到了点到直线的距离公式,三角函数的辅助公式等,将三角函数化简后就很容易得出最大值及最小值。

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    解析:此题第一问属于一般常识题,属于送分题

    第二问,直线与圆有三个公共点,我们分两种情况去考虑,一条相切,一条相交,然后将圆心到直线的距离分别计算出来和半径进行比较,计算出的k值可能有几种情况,需要分别去判断是否真的满足条件。这里我们不再进行具体的演算推理,同学们可以自己下去了推理一下。

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  •   这篇文章详细推导了一元线性回归方程参数解,供新手朋友参考。   假定一元线性回归方程的具体形式为 y=a+bx(1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1) 现在,为确定参数a,ba,ba,b进行了nnn次观测,观测结果为: i123⋯...

      这篇文章详细推导了一元线性回归方程的参数解,供新手朋友参考。
      假定一元线性回归方程的具体形式为
    y = a + b x (1) y=a+bx \tag{1} y=a+bx(1)
    现在,为确定参数 a , b a,b a,b进行了 n n n次观测,观测结果为:
    i 1 2 3 ⋯ n x x 1 x 2 x 3 ⋯ x n y y 1 y 2 y 3 ⋯ y n \begin{array}{c|ccccc} i & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \cdots & \text{n} \\ \hline x & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n\\ y & y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n \\ \end{array} ixy1x1y12x2y23x3y3nxnyn
      参数估计即从这 n n n组数据中解出 a , b a,b a,b。由于观测不可避免的带有误差(观测仪器、人为或环境因素引起),故 n n n组方程
    { y 1 = a + b x 1 y 2 = a + b x 2 ⋮ y n = a + b x n (2) \left\{ \begin{array}{c} y_1=a+bx_1 \\ y_2=a+bx_2 \\ \vdots \\ y_n=a+bx_n \\ \end{array} \right. \tag{2} y1=a+bx1y2=a+bx2yn=a+bxn(2)
    不相容(为矛盾方程组)。为消除矛盾并确定 a , b a,b a,b的最佳估值,可采用最小二乘法来求解,目标函数为
    Q = ∑ i = 1 n ( y i − a − b x i ) 2 = m i n (3) Q=\sum_{i=1}^n \left ( y_i-a-bx_i \right ) ^2 = min \tag{3} Q=i=1n(yiabxi)2=min(3)
    由于 Q Q Q是关于 a , b a,b a,b的凸函数《南瓜书》),根据凸函数极值特性,可知在 ∂ Q ∂ a = 0 \frac{ \partial Q}{\partial a}=0 aQ=0 ∂ Q ∂ b = 0 \frac{ \partial Q}{\partial b}=0 bQ=0对应的 a , b a,b a,b处取得极小值(最小值)。
       Q Q Q关于 a , b a,b a,b的偏导数如下
    ∂ Q ∂ a = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − 1 ) = 2 ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) (4) \frac{\partial Q}{\partial a}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-1) =2 \sum_{i=1}^n \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{4} aQ=i=1n2(yiabxi)(1)=2i=1n(a+bxiyi)(4)
    ∂ Q ∂ b = ∑ i = 1 n 2 ( y i − a − b x i ) ⋅ ( − x i ) = 2 ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) (5) \frac{\partial Q}{\partial b}=\sum_{i=1}^n 2 \left (y_i-a-bx_i \right )\cdot(-x_i) =2 \sum_{i=1}^n x_i \left (a+bx_i-y_i \right ) \tag{5} bQ=i=1n2(yiabxi)(xi)=2i=1nxi(a+bxiyi)(5)
    当令 ( 4 ) = 0 (4)=0 (4)=0可得:
    ∑ i = 1 n ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    n a + b ∑ i = 1 n x i − ∑ i = 1 n y i = 0    ⟹    a = y ˉ − b x ˉ (6) \sum_{i=1}^n \left( a+bx_i-y_i \right)=0 \implies na+b\sum_{i=1}^nx_i- \sum_{i=1}^n y_i=0 \implies a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{6} i=1n(a+bxiyi)=0na+bi=1nxii=1nyi=0a=yˉbxˉ(6)
    ( 5 ) = 0 (5)=0 (5)=0并代入式 ( 6 ) (6) (6)可得:
    ∑ i = 1 n x i ( a + b x i − y i ) = 0    ⟹    a ∑ i = 1 n x i + b ∑ i = 1 n x i 2 − ∑ i = 1 n x i y i = 0    ⟹    b = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) (7) \sum_{i=1}^nx_i \left (a+bx_i-y_i \right )=0 \implies a\sum_{i=1}^n x_i +b\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_iy_i =0 \implies b=\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right)}{\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-\bar{x}x_i \right)} \tag{7} i=1nxi(a+bxiyi)=0ai=1nxi+bi=1nxi2i=1nxiyi=0b=i=1n(xi2xˉxi)i=1n(xiyiyˉxi)(7)
    再顾及
    ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) = ∑ i = 1 n ( x i y i − y ˉ x i ) a n d ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 − x ˉ x i ) \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)=\sum_{i=1}^n \left(x_iy_i- \bar{y}x_i \right) and \sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2 =\sum_{i=1}^n \left( x_i^2-\bar{x}x_i \right) i=1n(xixˉ)(yiyˉ)=i=1n(xiyiyˉxi)andi=1n(xixˉ)2=i=1n(xi2xˉxi)
    则一元线性回归方程的参数解为
    b = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 (8) b=\frac{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right) \left( y_i-\bar{y} \right)}{\sum_{i=1}^n \left( x_i-\bar{x} \right)^2} \tag{8} b=i=1n(xixˉ)2i=1n(xixˉ)(yiyˉ)(8)
    a = y ˉ − b x ˉ (9) a=\bar{y}-b\bar{x} \tag{9} a=yˉbxˉ(9)
      以上。

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空空如也

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