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    什么是微分方程?如下;

    如下图,也是一个微分方程;

    matlab使用 dsolve 命令解微分方程;

    下面来解 dy/dx=4*x^3 这个方程;

    一阶,二阶,多阶,都可以解;

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  • 2.4如何列写控制系统微分方程:列写控制系统微分方程注意事项:1,由系统原理图画出系统方块图,并列写系统各元件的微分方程。2,信号传递单向性,前一个元件输出是后一个元件的输入;3,后级元件不对前级元件产生...

    2.4如何列写控制系统微分方程:

    列写控制系统微分方程注意事项:1,由系统原理图画出系统方块图,并列写系统各元件的微分方程。2,信号传递单向性,前一个元件输出是后一个元件的输入;3,后级元件不对前级元件产生负载效应。4,消去中间变量得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程;

    fafc2d1c04a1b5d590a09b7b230bcc61.png

    控制系统被控对象是电动机通过齿轮带动负载,系统输出量是转速ω,参据量是Ui,控制系统由给定电位器、运算放大器1、运算放大器2、功率放大器3、齿轮减速器、测速发电机等部分组成。首先分别列写各元器件微分方程:

    运算放大器1:参据量Ui与速度反馈电压Ut经过放大后产生偏差放大信号输出。

    7c7b97e4f228c8034d9ee96b85110c31.png

    运算放大器2:带有RC网络的放大电路,U2与U1之间的微分方程为:

    0d2e06605db22f4f33d3db7fb875b293.png

    式中,K2=R2/R1是运算放大器2的比例系数,τ=R1C是微分时间常数。因此,这是一个比例微分控制元件;

    运算放大器3:功率放大器,输入输出方程为:

    9299793ba54d0bb7face83c7ce32ae50.png

    直流电动机:

    首先把已知的齿轮系等效转动惯量、粘性摩擦系数和等效负载转矩带入齿轮系动态微分方程:

    0783203a4217abdaf9e57de47f5a9c01.png

    列写输出转矩等效微分方程:

    847860eb89d11bbdeb9854bc971a5523.png

    然后结合直流电机电压方程、电磁转矩方程列写直流电机微分方程为:

    b3fb5841a1aeadd34fae39c92d935d63.png

    齿轮系:设齿轮系的输入与输出角速度比为i,则电动机转速ωm经齿轮系减速后变为ω:

    5a6f00abddb56f683761293c8b6093a9.png

    测速发电机:测速发电机输出电压Ut与其转速ω成正比:

    760aa4b921d2b0fe72cf6fb39ccaf709.png

    消去方程中间变量Ut、U1、U2、Ua,ωm,整理后获得控制系统微分方程:

    042ea3d1dfb51b55c52bc25d8758ae87.png

    该式用于研究给定电压Ui和扰动转矩Mc作用于系统时,速度控制系统的动态性能。

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  • 第十三篇 微分器和微分运算电路

    千次阅读 2019-05-25 18:54:40
    一、微分器:输出电压与输入电压...二、微分运算电路 微分运算电路 反相输入 由虚短可知 V+=V-=0; 所以 则 三、方波激励微分电路的输入和输出关系 产生尖脉冲信号 四、不需要的容性耦合案例 1、 方波容...

    一、微分器:输出电压与输入电压波形变化率成正比。

    电路图:

    电容C两端的电压是Vi-V

    所以 I=C\frac{\mathrm{d}\left ( Vi-V \right ) }{\mathrm{d} t}=\frac{V}{R}

    如果选取足够小的R和C,以至于dV/dt<<dVi/dt

    则 C\frac{dVi}{dt}=\frac{V}{R}

    关于V的方程就是 V=RC\frac{dVi}{dt}

    此方程就是微分器的数学表达式;

    另一种理解,R足够小,可以理解为V=GND,那么微分电路可以看成是电容C的充电电路。

    I=Q/t=CU/t=Cdu/dt;可以推导出V=RCdVi/dt;

    二、微分运算电路

    微分运算电路 反相输入 

    由虚短可知 V+=V-=0;

    所以 i_{R}=i_{C}=C\frac{dVi}{dt}

    V_{O}=-i_{R}R=-RC\frac{dVi}{dt}

    三、方波激励微分电路的输入和输出关系

    产生尖脉冲信号

    通过multisim仿真

     仿真结果:

    不用运放也可以仿真

     

    在生成脉冲信号的时候要计算输入的信号周期和脉冲宽度,默认10:1是最低要求

    比如输入t=10ms(f=100Hz),脉冲宽度要求小于1ms(τ=RC小于1ms);

    如果τ大于1ms,取值5ms

    τ取值10ms

    τ取值100ms,输出波形变成输入波形跟随。

    保证τ=1ms,C去值100nf,电阻取值10kΩ ,仿真结果相似

    保证τ=1ms,C取值100pf,电容取值10MΩ,仿真结果类似

     保证τ=1us不变,Vin输入频率取值100kHz,对应周期T=10us,仿真类似

    更换LM324D

    单电源供电,输出脉冲只有正脉冲

    四、不需要的容性耦合案例

    1、 方波容性耦合进信号电路:

    图中的正弦波是一个有用信号,方波通过电容耦合进信号造成毛刺,说明信号通路上缺少电阻负载。或者减小信号通路的源电阻;

    2、示波器探头断开:

    这种情况是一个方波输入,但是在电路中某点断开,通常是示波器探头断开,在中断处很小的电容C与示波器的输入电阻结合,构成微分电路 。

     

     

     

     

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  • 常用的微分运算法则

    万次阅读 2015-09-28 22:16:39
    机器学习涉及到较多的数学知识,在工程应用领域,这些数学知识不是必要的,其实...本文直接给出常用的微分运算法则,并运用这些法则来计算分类回归算法 (Logistic Regression) 预测模型 Sigmoid Function 的微分公式。

    机器学习涉及到较多的数学知识,在工程应用领域,这些数学知识不是必要的,其实很多算法都是数值运算专家写好了的。然而知其然知其所以然,了解这些数学公式的来龙去脉是帮助理解算法的关键。本文直接给出常用的微分运算法则,并运用这些法则来计算分类回归算法 (Logistic Regression) 预测模型 Sigmoid Function 的微分公式。

    基础函数的微分运算法则

    • 幂函数法则
      ddxxn=nxn1
    • 指数函数法则
      ddxex=ex

      ddxax=ln(a)ax
    • 对数函数法则
      ddxln(x)=1x

      ddxloga(x)=1xln(a)
    • 三角函数法则
      ddxsin(x)=cos(x)

      ddxcos(x)=sin(x)

      ddxtan(x)=sin2(x)=1cos2(x)=1+tan2(x)
    • 反三角函数法则
      ddxarcsin(x)=11x2,1<x<1

      ddxarccos(x)=11x2,1<x<1

      ddxarctan(x)=11+x2

    组合函数的微分运算法则

    • 常数法则:如果 f(x)=n ,n 是常数,则
      f=0
    • 加法法则
      (αf+βg)=αf+βg
    • 乘法法则
      (fg)=fg+fg
    • 除法法则
      (fg)=fgfgg2

      根据除法法则和指数法则,可以得出推论
      ddxex=ddx1ex=0exe2x=1ex=ex
    • 链接法则:如果 f(x)=h(g(x)) ,则
      f(x)=h(g(x))g(x)

    计算 Sigmoid Function 的微分

    g(x)=11+ex 是分类算法的预测函数,也称为 Sigmoid Function 或 Logistic Function。我们利用上文介绍的微分运算法则来证明 Sigmoid Function 的一个特性:

    ddxg(x)=g(x)(1g(x))

    方法一

    假设 f(x)=1x ,则 f(g(x))=1g(x) ,根据除法法则得到

    f(g(x))=(1g(x))=1g(x)1g(x)g(x)2=g(x)g(x)2

    其中 (17) 是根据除法法则得出的结论,除数是常数函数 1,被除数是 g(x) 。(18) 是根据常数法则得出的结论。

    另一方面, f(g(x))=1g(x)=1+ex ,根据指数法则直接计算微分得到

    f(g(x))=ddx(1+ex)=ex=11g(x)=g(x)1g(x)

    (18) 和 (22) 两式是相等的,即

    g(x)g(x)2g(x)=g(x)1g(x)=g(x)(1g(x))

    这样就得到了我们的结果。

    方法二

    g(x)=11+ex 的定义可知

    (1+ex)g(x)=1ddx((1+ex)g(x))=0exg(x)+(1+ex)ddxg(x)=0ddxg(x)=g(x)ex1+exddxg(x)=g(x)(1+ex)11+exddxg(x)=g(x)[111+ex]ddxg(x)=g(x)(1g(x))

    (26) 两边取微分;(27) 根据微分的乘法法则。

    方法三

    根据除法法则直接计算微分:

    ddxg(x)=ddx(11+ex)=0(ex)(1+ex)2=ex(1+ex)2=1(1+ex)ex(1+ex)=1(1+ex)(1+ex)1(1+ex)=1(1+ex)[11(1+ex)]=g(x)(1g(x))

    (33) 是根据除法法则得出的,其中除数是常数 1,被除数是 1+ex

    参考资料

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参数方程的微分运算