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  • 隐函数求导 参数方程求导 隐函数 顾名思义,隐函数可以理解为隐藏函数。自打我们学习函数以来,大部分函数都是这样子 自变量和因变量值都是分散在=号两侧,楚河汉界,泾渭分明。也就是说y和x位置永远是相异...
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    • 隐函数求导
    • 参数方程求导

    隐函数

    顾名思义,隐函数可以理解为隐藏的函数。自打我们学习函数以来,大部分的函数都是这样子

    c779830f8fe487dd9474fc08d823f6e6.png

    自变量和因变量的值都是分散在=号两侧,楚河汉界,泾渭分明。也就是说y和x的位置永远是相异的,它们是不会在一起的,这种函数形式我们称之为显示函数。有了显示的,那当然肯定会存在隐式的。因此,隐函数只是一个相对的概念,它是相对于显示函数而言的。

    隐函数大部分都长这个样子:

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    它常常用这一种形式表示出来

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    请注意,即使形式跟显函数不一样,但是自变量依旧是x,因变量依旧是y。都是可以表示为y是关于x的某个函数。

    官方定义 如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。

    求导法则

    • 方法1:先把隐函数转化成显函数,再利用显函数求导的方法求导
    • 方法2:隐函数左右两边先对x求导,但是一定要把y看成是x的函数
    • 方法3: 利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导,再通过移项求值

    例题:

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    参数方程求导

    搞定了一个隐函数,那么参数方程又是什么意思呢?参数方程其实也是一个函数,只不过这回y和x的关系不是那么直接了,而是交给了一个中间变量来进行过渡。用关于中间变量的表示来表示就是

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    这个方程确定了一个函数y=y(x)的关系,因此对于x求导等于

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    对于二阶导数为

    61e0b58ae9ce6cdf8e09231dc811aae9.png

    例题

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    水平有限,欢迎留言相互交流。

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  • 引入 现有时间和路程函数关系 S=S(t),质点在时间点t速度为v(t)=S’(t)=dS/...求高阶导数的方法 归纳法 例题 例2 公式总结 (sin x)(n)=sin(x+nπ/2) (cos x)(n)=cos(x+nπ/2) (1/ax+b)(n)=[(-1)nn!an]/(ax+b)n

    高阶导数

    引入

    现有时间和路程的函数关系 S=S(t),质点在时间点t的速度为v(t)=S’(t)=dS/dt,那么质点在时间点t的加速度呢?就是质点在时间点t的速度的变化率,a(t)=v’(t)=d(dS/dt)/dt
    在这里插入图片描述

    注解
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    以上就是高阶导数的引入内容,二阶导数及以上都叫高阶导数

    例题

    例1
    在这里插入图片描述
    例2
    在这里插入图片描述求高阶导数的方法

    1. 归纳法
      例题
      在这里插入图片描述
      例2
      在这里插入图片描述

    公式总结
    (sin x)(n)=sin(x+nπ/2)
    (cos x)(n)=cos(x+nπ/2)
    (1/ax+b)(n)=[(-1)nn!an]/(ax+b)n+1

    例题在这里插入图片描述

    1. 公式法
      在这里插入图片描述

    例题

    在这里插入图片描述

    隐函数求导

    隐函数是相对显函数的一个概念,显函数是如y=f(x)这种明确表达y与x之间的关系的函数(y=2x2+3),隐函数是没有明确的表示y和x的关系的F(x,y)=0的形式,理论上对于F(x,y)=0是存在y=f(x)的,但是大部分时候解不出来,有哪个不信邪的来试一试?ex+y=x2+y+1

    对隐函数求导的方式

    1. 将隐函数显示化
      比如y-x+1=0这种可以简单的进行显示化的函数,可以变化成y=x-1
      2… 当函数显示化比较困难时,可以等式两边对x求导,将y看做是关于x的函数

    例题

    例如ex+y=x2+y+1
    在这里插入图片描述
    例2在这里插入图片描述
    例3
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述
    例5
    在这里插入图片描述

    由参数方程确定的函数求导

    引入

    啥叫由参数方程确定的函数?
    在这里插入图片描述
    由上图中的方程组可以确定y和x之间理论上是存在y=y(x)的函数关系的
    定理
    在这里插入图片描述
    证明
    在这里插入图片描述

    例题

    在这里插入图片描述
    好了dy/dx=2t,d2/dx2=2对吧

    这里要明白,d2/dx2是y对x的二阶导数,2t求导等于2是t的导数,不是x的导数
    在这里插入图片描述
    完整的过程
    在这里插入图片描述

    总结

    本篇内容较多,包含高阶导数、隐函数和由参数方程确定的函数求导,不仅内容多,还都是重点(doge)

    预:微分 在总结高阶导数的Leibniz公式的时候用到了排列组合部分的内容,二项展开式也需要相关内容,所以之后我会发一篇排列组合的简单总结,以后有啥欠缺的在慢慢补。

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  • 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数计算都是将函数视为求导变量一元函数求导数。微分在描述形式略有区别,但是其计算方法还是一样,只不过多元函数需要多计算几个导数而已.本文将以具体实例形式,介绍...

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    导数与微分是微积分内容的基础,就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数,导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别,但是其计算方法还是一样,只不过多元函数需要多计算几个导数而已.本文将以具体实例形式,介绍线上计算具体、抽象函数的导数(偏导数)、微分与多元函数方向导数的计算方法.目录:
    • 1、一元、多元函数导数与导数值计算

    • 2、一元、多元函数高阶导数的计算

    • 3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

    • 4、全微分的计算

    • 5、隐函数求一阶、二阶导数

    • 6、参数方程求一阶、二阶导数

    • 7、方向导数的计算

    • 工具:WolframAlpha计算搜索引擎

    • 位置:http://www.wolframalpha.com,打开网页直接操作,其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装!

    特别提示:如果使用网页版执行操作,不需要下载、安装任何软件,也不需要点任何链接,直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了!系列推文中除特别强调外,显示的结果都能直接看到的!

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    • 手机:可以直接打开网页操作,或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作

    • 执行界面:网页、手机或平板等操作界面基本一致.

    1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

    例1  计算以下函数的导数,并求在处的导数值:

    输入表达式为

    d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

    执行后的结果如下图所示.

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    结果不仅显示导数结果,也给出了函数在不同范围内的图形. 输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入,比如输入:

    derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

    执行计算得到的结果一致.

    在以上两种输入的表达式后面加上where x=1,比如输入

    derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

    执行计算后即得到导数值为

    例2  计算以下函数的一阶偏导数和在处的偏导数值:

    关于的偏导数计算输入表达式为

    d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

    执行后的结果为

    6cf937b40b4008aafa76d1eef267ab84.png

    结果除了最上面给出导数结果之外,在下面还以不同的形式给出了导数结果描述. 另外给出了二元函数的定义域与关于变量的带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

    在以上表达式后面加上where (x,y)=(1,1),即可得该点处的偏导数值. 即输入

    d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)) where (x,y)=(1,1)

    执行计算后得到导数值为.

    关于的偏导数计算输入表达式只要将以上输入表达式中的求导变量改为y就可以了. 即

    d/dy(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

    执行后的结果除了导数结果不同外,其余显示内容基本一致. 其中在处的一阶导数值为.

    【注】  以上求导变量也可以指定为求导变量,比如输入

    d/da(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

    则计算结果为,即对变量求导,并显示导数结果图形.

    2、一元、多元函数高阶导数的计算

    例1  计算以下函数的50阶导数:

    输入表达式为

    d^50/dx^50((x^2)cosx)

    执行后的结果显示为

    c310b078f30c4f16afe2a0a10d6d6201.png

    例2  求以下函数关于的三阶偏导数与关于的二阶偏导数的混合高阶偏导数:

    输入表达式为

    d^3/dx^3 d^2/dy^2 ((x^2+y^2)e^(x+y))

    执行后显示结果.  结果除了显示偏导数外,还会显示结果曲面图、等值线图,可能的其他表达形式以及方程的根分布情况,级数展开形式,不定积分及诶过与极小值点与极小值等信息,如下图.

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    3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

    将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可.

    例1  计算下列函数的一阶、二阶导数:

    输入表达式为

    d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

    执行后的结果为

    1c490b5930335a357f8d1b6b044f010d.png

    由于除了外还包含其他符号,所以结果以偏导数描述形式其输入形式.

    例2  计算以下函数的导数

    输入表达式为

    d^2/dx^2 f(x y, x^2-y^2), d/dx d/dy f(x y, x^2-y^2)

    执行后的结果为

    8740c70468f7cb245300a7c10056978d.png
    4、全微分的计算

    由于一元函数的微分就是导数乘以自变量微分

    即完全可以直接归结为导数的计算,下面仅仅介绍多元函数全微分的计算方法.

     计算以下函数的全微分:

    直接输入表达式为

    derivative of a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)

    自动识别变量为, ,执行计算后的结果不仅会得到全微分表达式,也会单独列出两个偏导数. 显示结果如下:

    9d8aadc0be8c4d2b64cda949219fdb13.png

    其中derivative可以替换为differential. 也可以直接基于Wolfram语言,也即Mathematica中的命令来执行计算,比如输入表达式

    Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

    则将表达式中的符号都识别为变量符号,执行计算得到全微分表达式. 如下图.

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    只要令结果表达式中不是变量的符号,比如这里a它的微分令为0,即,得到的结果就是关于所有变量的微分表达式.

    5、隐函数求一阶、二阶导数

    例1 计算由以下方程确定的一元函数的一阶导数.

    参考输入表达式为

    derivative x^3+y^3-3a x y=0 with respect to x

    执行后的结果显示为

    0f6115ecef133b1fabf3b5cb28576187.png

    例2  计算由以下方程确定的函数二阶导数:

    可以考虑如下参考步骤:

    (1) 求一阶导数

    derivate y(x)=tan(x+y) with respect to x

    执行后的结果显示为

    2b1b121870df0cd50cd0b23a48f3277d.png

    (2) 对一阶导数求导数.

    将上面的求导等式替换为计算得到的一阶导函数,并将替换为的函数描述,如输入表达式为

    derivate -csc^2(x + y(x)) with respect to x

    将鼠标指针移动到结果显示区域,在右下角出现的选项按钮中选项中点击结果右下角的“Plain Text”,如下图.

    79863f6bff9dfd6427fc775e499b564e.png

    在弹出结果的文本输入表达式列表中,单击第一个,则将表达式复制到剪贴板中,然后在搜索编辑框中粘贴,用等式左边的一阶导数替换右边的一阶导数,然后将等号左边的部分删除,将替换为,并在前面加上化简函数simplify,最终修改后的参考输入表达式如下

    simplify 2 (-csc^2(x + y) + 1) cot(x + y) csc^2(x + y)

    计算后得到二阶导数结果如下

    185f9b4c39dc97c095ff5e2f4d2201c6.png
    6、参数方程求一阶、二阶导数

    参数方程求导的一阶导数直接应用公式求两个导数的比值即可,对于二阶导数则可以参照以上隐函数求二阶导数的思路,也可以直接使用求导公式计算.

     计算以下参数方程确定的函数的一阶、二阶导数:

    由参数方程求一阶、二阶导数公式

    利用公式计算一阶导数,输入表达式为

    (d/dt e^t sint)/(d/dt e^t cost)

    执行后的结果显示为

    47ec1b0baa5d30d24aa4af6ffd00c7a7.png

    除了得到一阶导数结果外,当然还会显示一阶导函数很多各种相关的描述.

    利用公式计算二阶导数,输入表达式为

    ((d^2/dt^2 e^t sint)(d/dt e^t cost)-(d/dt e^t sint)(d^2/dt^2 e^t cost))/(d/dt e^t cost)^3

    执行后的结果显示为

    1460e0e2d70951d7925518d6cc4e1174.png
    7、方向导数的计算

    例1  计算以下函数指定方向的方向导数:

    输入表达式为

    derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

    执行后的结果显示为

    f1361e748ef46b56aa9971e48a082527.png

    不仅给出了方向导数,也给出了函数的梯度向量.

    例2  计算以下函数指定方向的方向导数:

    输入表达式为

    derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

    执行后的结果显示为

    bd8cd754ce9ef97ee52740051605993c.png

    例3  计算以下函数指定方向和点处的方向导数:

    输入表达式为

    derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

    执行后的结果显示为

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    当然以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式,逐步计算代入得到结果.

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  • 利用正规方程求解出使得代价函数最小的参数θ=(XTX)−1XTy\theta=(X^TX)^{-1}X^Tyθ=(XTX)−1XTy 有两种推导方法 1.矩阵求导 已知代价函数为: J(θ)=12(Xθ−y)2=12(Xθ−y)T(Xθ−y)=12(θTXT−yT)(Xθ−y)=12(θ...
  • 代价函数求解参数

    2019-02-28 20:43:01
    ** ...今天来介绍一种方法,是基于矩阵求导来计算,它计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到定理。矩阵迹定义如下 ...
  • 本节主要学习几类特殊的求导方法,它包括:隐函数求导、参数方程求导、对数法求导和求高阶导数。对这几类求导,主要用用到导数的四则运算和复合函数链导法,涉及到繁琐的移项和合并等,此时引入Python,可以极大降低...
  • 案例程序集锦 1 例绘制二维曲线 2 例求导数符号计算处理 3 例参数方程求导及其function实现 4 例二次方程求根Matlab函数编程实现 5 例一个微分方程模型及其符号计算 6 例优化模型求解示例多种求解方法 7 例修理...
  • 目前较为常见的参数估计...步骤:(1)确定似然函数(2)将似然函数转换为对数似然函数(3)求对数似然函数最大值(求导,解似然方程)最大后验概率估计与贝叶斯估计都需要用到先验概率,两者区别在于:最大后...
  •  一开始上来就来了个三分,结果一直wa,其实这个函数可以直接求导,用高中知识得到最值,关键是忘记怎么求了,其实还有一个更猥琐的方法,那就是直接暴力,题目要求是保留两位小数就行,而且x范围不是很大,
  • 内容来自Andrew老师课程Machine Learning第二章内容Computing Parameters Analytically部分。一、Normal Equation使用梯度下降法得到最优值,需要多次...但是按照微积分的方法,将这些求导等式求解后得到thet
  • 梯度下降法是求解无约束最优化问题最常见的方法,其基本思想是通过在负梯度方向通过一定步长慢慢逼近最优解过程。  假设需要拟合函数:, ,  给定数据集 , 我们需要最小化损失函数来求得参数  求导: ...
  • 主要思想,将等式约束变为左右等于0,乘因子结合目标函数,将乘子作为参数求导,相当去无约束求最优。 2.全微分法: 将其与约束条件g(x,y)=c构成了两个方程,由此可以求出x和y临界值。 ...

空空如也

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参数方程的求导方法