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  • 高数——隐函数与参数方程求导

    千次阅读 多人点赞 2019-10-18 11:19:16
    如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)...

    隐函数

    如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

    其实隐函数的知识并不难理解,我们以前学的因变量y在函数一边的叫做显函数;隐函数就是将y“隐藏”在一个式子里即和 自变量x在一边的函数。它的难点在于如何利用隐函数求导。接下来,我就和大家聊一聊隐函数的求导。

    在做题的时候我们经常会听到“对x求导”的说法,这个就是我们往往不好理解的地方,知道如何处理x却不知道如何处理y,下面我就主要围绕这个来展开。举个例子:
    在这里插入图片描述
    这个式子你当然可以将隐函数显化(就是先将隐函数转化成显函数,然后利用显函数进行求导)得出结果-⅔但是这样做题有些无法显化的函数就没法算了,所以我今天着重给大家讲一下它的通用解法:首先第一个x的导数是2这个大家都知道,可是y咱们也需要处理,怎么处理?无论函数是否可以显化,x是自变量y是因变量(y是关于x的函数)是一定的吧。之后呢?就是说在y这里对x求导就是对含有x的小函数求导(我这里说小函数是为了和原来的隐函数区分一下的),这回结果不就是y′(即dy/dx)吗?这么一变形,就出现了2+3dy/dx=0导数就是-2/3尽管答案一样但是这种思考方式就会在做题的时候给你带来好处。

    那么咱们换一个有点难度的,带平方的该如何计算呢?
    在这里插入图片描述
    求x=-3/5时的导数。
    那么我们就可以计算了:3+62ydy/dx=0,那么dy/dx=-3/12y由于我是随便出的例子,经过计算此时y等于零,导数不存在。但是无论什么题都是这么是思考的。

    最后还有一个对数求导法,是用来求幂指函数的。举个例子,
    在这里插入图片描述
    我们给它两边取对数那么左边就会变成lny右边就是lnx^cosx,根据我们高中学的定理,右边还等于cosxlnx所以,就有lny=cosxlnx,之后咱们再根据求导的法则来求它。
    左边就是还要把lny视作一个整体来看,右边要注意的事导数相乘时的运算。

    求导法则

    对于一个隐函数已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y’ 的一个方程,然后化简得到 y’ 的表达式。

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  • %参数方程求导的递归实现 % 调用格式: % y1 = paradiff(y, x, t, n) % 其中:y=f(t), x=g(t), t为参数, n为导数阶次 % % Examples: % 已知参数方程 y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3 % 求d3y/dx3 % MATLAB求解...

    总述

    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

    函数说明

    function result=paradiff(y, x, t, n) 
    %paradiff
    %参数方程求导的递归实现
    %  调用格式:
    %    y1 = paradiff(y, x, t, n)
    %  其中:y=f(t), x=g(t), t为参数, n为导数阶次
    %
    % Examples:
    %  已知参数方程 y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3
    %  求d3y/dx3
    % MATLAB求解语句:
    %  syms t; y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3;
    %  f = paradiff(y,x,t,3); 
    %  [n,d]=numden(f);   %分离分子分母
    %  F=simplify(n)/simplify(d)  %分子分母各自化简
    

    应用举例

    问题: 已知参数方程
    y = s i n t ( t + 1 ) 3 , x = c o s t ( t + 1 ) 3 y=\frac{sint}{(t+1)^3}, x=\frac{cost}{(t+1)^3} y=(t+1)3sint,x=(t+1)3cost
    d 3 y / d x 3 d^3y/dx^3 d3y/dx3

    代码如下:

    syms t 
    y=sin(t)/(t+1)^3; x=cos(t)/(t+1)^3; 
    f=paradiff(y,x,t,3); 
    [n,d]=numden(f);              % //分离分子分母
    F=simplify(n)/simplify(d)     % //分子分母各自化简
    

    最终结果为:
    在这里插入图片描述

    函数实现

    function result=paradiff(y, x, t, n) 
    if mod(n,1)~=0
        error('n should positive integer, please correct') 
    else 
        if n==1
            result = diff(y,t)/diff(x,t); 
        else
            result = diff(paradiff(y,x,t,n-1),t)/diff(x,t); 
        end
    end
    

    此函数源文件可前往下面网址下载:

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