根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定，以单字母标识： 
M——专著（含古籍中的史、志论著） 
C——论文集 
N——报纸文章 
J——期刊文章 
D——学位论文 
R——研究报告 
S——标准 
P——专利 
A——专著、论文集中的析出文献 
Z——其他未说明的文献类型 
电子文献类型以双字母作为标识： 
DB——数据库 
CP——计算机程序 
EB——电子公告 
非纸张型载体电子文献，在参考文献标识中同时标明其载体类型： 
DB/OL——联机网上的数据库 
DB/MT——磁带数据库 
M/CD——光盘图书 
CP/DK——磁盘软件 
J/OL——网上期刊 
EB/OL——网上电子公告 
一、参考文献著录格式 
1 、期刊作者．题名〔J〕．刊名，出版年，卷(期)∶起止页码 
2、 专著作者．书名〔M〕．版本(第一版不著录)．出版地∶出版者，出版年∶起止页码 
3、 论文集作者．题名〔C〕．编者．论文集名，出版地∶出版者，出版年∶起止页码 
4 、学位论文作者．题名〔D〕．保存地点．保存单位．年份 
5 、专利文献题名〔P〕．国别．专利文献种类．专利号．出版日期 
6、 标准编号．标准名称〔S〕 
7、 报纸作者．题名〔N〕．报纸名．出版日期(版次) 
8 、报告作者．题名〔R〕．保存地点．年份 
9 、电子文献作者．题名〔电子文献及载体类型标识〕．文献出处，日期 
二、文献类型及其标识 
1、根据GB3469 规定，各类常用文献标识如下： 
①期刊〔J〕 
②专著〔M〕 
③论文集〔C〕 
④学位论文〔D〕 
⑤专利〔P〕 
⑥标准〔S〕 
⑦报纸〔N〕 
⑧技术报告〔R〕 
2、电子文献载体类型用双字母标识，具体如下： 
①磁带〔MT〕 
②磁盘〔DK〕 
③光盘〔CD〕 
④联机网络〔OL〕 
3、电子文献载体类型的参考文献类型标识方法为：〔文献类型标识/载体类型标识〕。例如： 
①联机网上数据库〔DB/OL〕 
②磁带数据库〔DB/MT〕 
③光盘图书〔M/CD〕 
④磁盘软件〔CP/DK〕 
⑤网上期刊〔J/OL〕 
⑥网上电子公告〔EB/OL〕 
三、举例 
1、期刊论文 
〔1〕周庆荣，张泽廷，朱美文，等．固体溶质在含夹带剂超临界流体中的溶解度〔J〕．化工学报，1995(3)：317—323 
〔2〕Dobbs J M, Wong J M. Modification of supercritical fluid phasebehavior using polor coselvent〔J〕. Ind Eng Chem Res, 1987,26:56 
〔3〕刘仲能，金文清.合成医药中间体4-甲基咪唑的研究〔J〕.精细化工，2002(2)：103-105 
〔4〕 Mesquita A C, Mori M N, Vieira J M, et al ． Vinyl acetate polymerization by ionizing radiation〔J〕．Radiation Physics and Chemistry,2002, 63:465 
2、专著 
〔1〕蒋挺大．亮聚糖〔M〕．北京：化学工业出版社，2001．127 
〔2〕Kortun G． Reflectance Spectroscopy〔M〕． New York: Spring-Verlag,1969 
3、论文集 
〔1〕郭宏，王熊，刘宗林．膜分离技术在大豆分离蛋白生产中综合利用的研究〔C〕．//余立新．第三届全国膜和膜过程学术报告会议论文集．北京：高教出版社，1999．421-425 
〔2〕Eiben A E, vander Hauw J K．Solving 3-SAT with adaptive genetic algorithms 〔C〕．//Proc 4th IEEE Conf Evolutionary Computation．Piscataway: IEEE Press, 1997．81-86 
4、学位论文 
〔1〕陈金梅．氟石膏生产早强快硬水泥的试验研究（D）．西安：西安建筑科学大学，2000 
〔 2 〕 Chrisstoffels L A J ． Carrier-facilitated transport as a mechanistic tool in supramolecular chemistry〔D〕．The Netherland：Twente University．1988 
5、专利文献 
〔1〕Hasegawa, Toshiyuki, Yoshida,et al．Paper Coating composition〔P〕．EP 0634524．1995-01-18 
〔 2 〕 仲前昌夫， 佐藤寿昭． 感光性树脂〔 P 〕． 日本， 特开平09-26667．1997-01-28 
〔3〕Yamaguchi K, Hayashi A．Plant growth promotor and productionthereof 〔P〕．Jpn, Jp1290606． 
1999-11-22 
〔4〕厦门大学．二烷氨基乙醇羧酸酯的制备方法〔P〕．中国发明专利，CN1073429．1993-06-23 
6、技术标准文献 
〔1〕ISO 1210-1982，塑料——小试样接触火焰法测定塑料燃烧性〔S〕 
〔2〕GB 2410-80，透明塑料透光率及雾度实验方法〔S〕 
7、报纸 
〔1〕陈志平．减灾设计研究新动态〔N〕．科技日报，1997-12-12(5) 
8、报告 
〔1〕中国机械工程学会．密相气力输送技术〔R〕．北京：1996 
9、电子文献 
〔1〕万锦柔．中国大学学报论文文摘(1983-1993)〔DB/CD〕．北京：中国百科全书出版社，1996 

控制的一大类对象为以机器人为代表的运动体控制，相应地，我们会比较关心三维空间中被控对象的运动状态，即位置、速度和姿态，对位置和速度的描述需要首先确定坐标系，即是在什么坐标系下的位置和速度，而姿态则描述坐标系与坐标系之间的关系。本部分的主要参考文献为[1]和[2]。
我们通常采用右手坐标系描述运动量，设三维空间中有两个原点重合的坐标系：$\mathrm{s}$系$\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\}$和$\mathrm{b}$系$\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\}$，$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$和$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}$分别为$\mathrm{s}$系和$\mathrm{b}$系下相互正交的三个单位矢量（默认情形下这里的矢量取列矢量形式），且分别与$\mathrm{s}$系和$\mathrm{b}$系下的三个坐标轴正方向平行，对于空间中的任意一个矢量$\boldsymbol{r}$，可以投影到任意坐标系下进行表示，设其在$\mathrm{s}$系下的三个分量为$r_{1\mathrm{s}},r_{2\mathrm{s}},r_{3\mathrm{s}}$，在$\mathrm{b}$系下的三个分量为$r_{1\mathrm{b}},r_{2\mathrm{b}},r_{3\mathrm{b}}$，则有

$\boldsymbol{r}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\tag{1}$
首先以$\mathrm{s}$系为基准坐标系，对式(1)后半部分的左右两端依次和$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$点积，可得

$\left\{
\begin{array}{ll}
r_{1\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\\
r_{2\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\
r_{3\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}
\end{array} \right.\tag{2}$
令$\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=[r_{1\mathrm{s}},r_{2\mathrm{s}},r_{3\mathrm{s}}]^\mathrm{T}$和$\boldsymbol{r}^\mathrm{b}=[r_{1\mathrm{b}},r_{2\mathrm{b}},r_{3\mathrm{b}}]^\mathrm{T}$分别表示矢量$\boldsymbol{r}$在与$\mathrm{s}$系和$\mathrm{b}$系下的投影，式(2)可进一步表示为

$\begin{aligned}
\boldsymbol{r}^\mathrm{s}&=\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{s}}\\
r_{2\mathrm{s}}\\
r_{3\mathrm{s}}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\\
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}  & 
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}  &
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}  \\
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}  & 
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}  &
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}  
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{b}}\\
r_{2\mathrm{b}}\\
r_{3\mathrm{b}}
\end{bmatrix}\\
&=\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\boldsymbol{r}^\mathrm{b}
\end{aligned}
\tag{3}$
式中，$\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{n}$为从$\mathrm{b}$系到$\mathrm{s}$系的旋转矩阵。
然后以$\mathrm{b}$系为基准坐标系，对式(1)后半部分的左右两端依次和$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}$点积，可得

$\left\{
\begin{array}{ll}
r_{1\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\\
r_{2\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\\
r_{3\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}
\end{array} \right.\tag{4}$
式(4)可进一步表示为

$\begin{aligned}
\boldsymbol{r}^\mathrm{b}&=\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{b}}\\
r_{2\mathrm{b}}\\
r_{3\mathrm{b}}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\\
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}  & 
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}  &
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}  \\
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}  & 
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}  &
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}  
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{s}}\\
r_{2\mathrm{s}}\\
r_{3\mathrm{s}}
\end{bmatrix}\\
&=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}
\end{aligned}\tag{5}$
式中，$\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}$为从$\mathrm{s}$系到$\mathrm{b}$系的旋转矩阵。
考虑到$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}$实际上也是三个矢量，因此它们也可以利用$\mathrm{s}$系$\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\}$进行表示，即有

$\left\{
\begin{array}{ll}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_1\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_1\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\\
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}=l_2\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_2\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\\
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}=l_3\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_3\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}
\end{array} \right.\tag{6}$
则式(3)和(5)可进一步表示为

$\begin{aligned}
\boldsymbol{r}^\mathrm{s}&=\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{s}}\\
r_{2\mathrm{s}}\\
r_{3\mathrm{s}}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
l_1 & l_2 &l_3\\
m_1 & m_2 &m_3\\
n_1 & n_2 &n_3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
r_{1\mathrm{b}}\\
r_{2\mathrm{b}}\\
r_{3\mathrm{b}}
\end{bmatrix}\\
&=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]\boldsymbol{r}^\mathrm{b}=\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\boldsymbol{r}^\mathrm{b}
\end{aligned}\tag{7}$
$\boldsymbol{r}^\mathrm{b}=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]^\mathrm{T}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=\begin{bmatrix}
l_1 & m_1 &n_1\\
l_2 & m_2 &n_2\\
l_3 & m_3 &n_3
\end{bmatrix}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}\tag{8}$
另一方面，考虑到$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$实际上也是三个矢量，因此它们也可以利用$\mathrm{b}$系$\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\}$进行表示，且由式(8)可知

$\left\{
\begin{array}{ll}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+l_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+l_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\
\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}=m_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+m_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\
\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}=n_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+n_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}
\end{array} \right.\tag{9}$
由于$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$和$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}$均为相互正交的三个单位矢量，因此有

$\begin{aligned}
l_1^2+m_1^2+n_1^2&=1,& l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2&=0\\
l_2^2+m_2^2+n_2^2&=1,& l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3&=0\\
l_3^2+m_3^2+n_3^2&=1,& l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3&=0\\
l_1^2+l_2^2+l_3^2&=1,& l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3&=0\\
m_1^2+m_2^2+m_3^2&=1,& l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3&=0\\
n_1^2+n_2^2+n_3^2&=1,& m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3&=0
\end{aligned}\tag{10}$
由式(10)可知

$\begin{aligned}
&\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\\
=&\begin{bmatrix}
l_1 & l_2 &l_3\\
m_1 & m_2 &m_3\\
n_1 & n_2 &n_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l_1 & m_1 &n_1\\
l_2 & m_2 &n_2\\
l_3 & m_3 &n_3
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}
l_1^2+l_2^2+l_3^2 & l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3 & l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3\\
l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3 & m_1^2+m_2^2+m_3^2 & m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3\\
l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3 & m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3 & n_1^2+n_2^2+n_3^2
\end{bmatrix}\\
=&I
\end{aligned}\tag{11}$
$\begin{aligned}
&(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\\
=&\begin{bmatrix}
l_1 & m_1 &n_1\\
l_2 & m_2 &n_2\\
l_3 & m_3 &n_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l_1 & l_2 &l_3\\
m_1 & m_2 &m_3\\
n_1 & n_2 &n_3
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}
l_1^2+m_1^2+n_1^2 & l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 & l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3\\
l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 & l_2^2+m_2^2+n_2^2 & l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3\\
l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3 & l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3 & l_3^2+m_3^2+n_3^2
\end{bmatrix}\\
=&I
\end{aligned}\tag{12}$
因此有

$(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^{-1}\tag{13}$
即$\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}$为正交矩阵。进一步考虑到矩阵行列式性质（矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积；矩阵转置后的行列式不变），可知$\mathbf{det}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})=\pm1$，因此有

$l_1(m_2n_3-m_3n_2)-l_2(m_1n_3-m_3n_1)+l_3(m_1n_2-m_2n_1)=\pm 1\tag{14}$
进一步考虑到$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}$均为相互正交的三个单位矢量，相互之间的矢量叉积满足

$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\tag{15}$
结合式(9)和(15)可得

$\begin{aligned}
\left\vert
\begin{matrix}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ 
l_1 & l_2 & l_3\\
m_1 & m_2 & m_3
\end{matrix}
\right\vert&=n_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+n_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\
\left\vert
\begin{matrix}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ 
m_1 & m_2 & m_3\\
n_1 & n_2 & n_3
\end{matrix}
\right\vert&=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+l_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+l_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\
\left\vert
\begin{matrix}
\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ 
n_1 & n_2 & n_3\\
l_1 & l_2 & l_3
\end{matrix}
\right\vert&=m_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+m_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}
\end{aligned}\tag{16}$
对式(16)进一步整理可得

$\begin{aligned}
l_1&=m_2n_3-m_3n_2,&l_2&=m_3n_1-m_1n_3,&l_3&=m_1n_2-m_2n_1\\
m_1&=n_2l_3-n_3l_2,&m_2&=n_3l_1-n_1l_3,&m_3&=n_1l_2-n_2l_1\\
n_1&=l_2m_3-l_3m_2,&n_2&=l_3m_1-l_1m_3,&n_3&=l_1m_2-l_2m_1
\end{aligned}\tag{17}$
结合式(10)与式(17)可得

$l_1(m_2n_3-m_3n_2)-l_2(m_1n_3-m_3n_1)+l_3(m_1n_2-m_2n_1)=1\tag{18}$
即$\mathbf{det}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})=1$。
我们以$\mathrm{s}$系为基准系，进一步考虑旋转矩阵$\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}$，根据式(7)和(8)有$\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]^\mathrm{T}$。设$\mathrm{b_1}$系为$\mathrm{s}$系绕$\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$轴正向旋转$\theta$角，如图1所示。


$\text{图1 $\mathrm{s}$系绕$\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$轴正向旋转$\theta$角}$
则有

$\left\{
\begin{array}{ll}
\hat{\mathbf{x}}_{\mathrm{b}_1}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+\sin(\theta)\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\
\hat{\mathbf{y}}_{\mathrm{b}_1}=-\sin(\theta)\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\
\hat{\mathbf{z}}_{\mathrm{b}_1}=\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}
\end{array} \right.\tag{19}$
因此

$\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^{\mathrm{b}_1}=[\hat{\mathbf{x}}_{\mathrm{b}_1}~\hat{\mathbf{y}}_{\mathrm{b}_1}~\hat{\mathbf{z}}_{\mathrm{b}_1}]^\mathrm{T}=\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) & 0\\
-\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\tag{20}$
我们将式(20)中的旋转矩阵记为$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)$（为简便起见，后续我们将$\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$简写为$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$，在不至于引起混淆的前提下，根据需要也会将$\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}$视为不同坐标系的轴向的单位矢量），类似可得

$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & \cos(\theta) & \sin(\theta)\\
0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta)\\
\end{bmatrix},~
\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)=\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta)\\
0 &  1 & 0\\
\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\\
\end{bmatrix}\tag{21}$
注意从$\hat{\mathbf{y}}$轴正向看$\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{z}}$平面时，根据右手坐标系的关系可知$\hat{\mathbf{x}}$轴水平朝左，$\hat{\mathbf{z}}$轴水平朝上，逆时针旋转$\theta$角后$\hat{\mathbf{x}}$轴跑到水平面下方了，因此$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)$中$\sin(\theta)$与$-\sin(\theta)$的位置正好与$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)$和$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)$对称。对于$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)$，有

$\begin{aligned}
\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{x}}&=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{y}}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}},\\
\boldsymbol{R}
(\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{y}}&=\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}+\sin(\theta)\hat{\mathbf{x}}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}\\
\boldsymbol{R}
(\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{z}}&=\hat{\mathbf{z}}
\end{aligned}\tag{22}$
对$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)$和$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)$也有类似性质。一般地，设$\hat{\mathbf{n}}$为任意单位矢量，$\mathbf{v}_\perp$为任意矢量$\mathbf{v}$在与$\hat{\mathbf{n}}$垂直平面上的投影，$\mathbf{v}_\parallel$为矢量$\mathbf{v}$在$\hat{\mathbf{n}}$方向上的投影，$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)$表示绕$\hat{\mathbf{n}}$正向旋转$\theta$角对应的旋转矩阵，则有

$\begin{aligned}
\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\mathbf{v}&=\mathbf{v}_\parallel+\cos(\theta)\mathbf{v}_\perp-\sin(\theta)\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{v}_\perp\\
&=\mathbf{v}_\parallel+\cos(\theta)\mathbf{v}_\perp+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\mathbf{v}_\perp
\end{aligned}\tag{23}$
其中$[[\hat{\mathbf{n}}]]$为与$\hat{\mathbf{n}}$对应的反对称阵，即设$\hat{\mathbf{n}}=[n_1,n_2,n_3]^\mathrm{T}$，则有

$[[\hat{\mathbf{n}}]]=\begin{bmatrix}
0 & n_3 & -n_2\\
-n_3 & 0 & n_1\\
n_2 & -n_1 & 0
\end{bmatrix}\tag{24}$
对任意两个矢量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，由式(24)中的定义可知$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-[[\mathbf{a}]]\mathbf{b}$，有的文献也定义$-[[\mathbf{a}]]$为与$\mathbf{a}$对应的反对称阵，这个看个人习惯。
考虑矢量三重叉积公式

$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\tag{25}$
在式(25)中取$\mathbf{a}=\mathbf{b}=\hat{\mathbf{n}}$，$\mathbf{c}=\mathbf{v}$，则有

$\begin{aligned}
\mathbf{v}&=(\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{v})\hat{\mathbf{n}}-\hat{\mathbf{n}}\times(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{v})\\
&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}\\
&=\mathbf{v}_\parallel+\mathbf{v}_\perp
\end{aligned}\tag{26}$
结合式(23)和(26)可知

$\begin{aligned}
\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\mathbf{v}&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}-\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^3\mathbf{v}\\
&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\mathbf{v}
\end{aligned}\tag{27}$
式(27)中用到了反对称阵的性质$[[\hat{\mathbf{n}}]]^3=-\Vert\hat{\mathbf{n}}\Vert^2[[\hat{\mathbf{n}}]]=-[[\hat{\mathbf{n}}]]$。由于$\mathbf{v}$为任意矢量，因此有

$\begin{aligned}
\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\\
&=\cos(\theta)I+(1-\cos(\theta))\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]
\end{aligned}\tag{28}$
式(28)中用到了反对称阵的性质$[[\mathbf{a}]][[\mathbf{b}]]=-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})I+\mathbf{b}\mathbf{a}^\mathrm{T}$，取$\mathbf{a}=\mathbf{b}=\hat{\mathbf{n}}$可得$[[\hat{\mathbf{n}}]]^2=-I+\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}$，式(28)也可进一步写为

$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)=I+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]+
(1-\cos(\theta))[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\tag{29}$
将式(29)写成分量形式，可得

$\begin{aligned}
&\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\\
=&\begin{bmatrix}
\cos(\theta)+n_1^2(1-\cos(\theta)) & n_1n_2(1-\cos(\theta))+n_3\sin(\theta) & n_1n_3(1-\cos(\theta))-n_2\sin(\theta)\\
n_2n_1(1-\cos(\theta))-n_3\sin(\theta) & \cos(\theta)+n_2^2(1-\cos(\theta)) & n_2n_3(1-\cos(\theta))+n_1\sin(\theta)\\
n_3n_1(1-\cos(\theta))+n_2\sin(\theta) & n_3n_2(1-\cos(\theta))-n_1\sin(\theta) & \cos(\theta)+n_3^2(1-\cos(\theta))
\end{bmatrix}(30)
\end{aligned}$
若已知$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)$，则根据式(30)可知

$\cos{\theta}=\frac{1}{2}(\mathrm{tr}\boldsymbol{R}-1)\tag{31}$
当$\sin(\theta)\neq 0$时，有

$\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{2\sin(\theta)}\begin{bmatrix}
R_{23}-R_{32}\\
R_{31}-R_{13}\\
R_{12}-R_{21}
\end{bmatrix}\tag{32}$
当$\theta=0$时，$\hat{\mathbf{n}}$没有物理意义；当$\theta=\pi$时，$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\pi)=-I+2\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}$，此时$\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\pi)+I$的三个列均与$\hat{\mathbf{n}}$平行，而$\hat{\mathbf{n}}$的方向则不影响结果。
至此，我们获得了旋转矩阵的一些初步性质。
参考文献
[1]Battin RH. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, revised edition. American Institute of Aeronautics and Astronautics; 1999.
[2]Shuster MD. A survey of attitude representations. Navigation. 1993;8(9):439-517.