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  • M——专著(含古籍中的史、志论著)  C——论文集  N——报纸文章  J——期刊文章  D——学位论文  R——研究报告  S——标准  P——专利  A——专著、论文集中的析出文献  Z——其他未说明的文献...
     
    

    根据GB3469-83《文献类型与文献载体代码》规定,以单字母标识: 

    M——专著(含古籍中的史、志论著) 

    C——论文集 

    N——报纸文章 

    J——期刊文章 

    D——学位论文 

    R——研究报告 

    S——标准 

    P——专利 

    A——专著、论文集中的析出文献 

    Z——其他未说明的文献类型 

    电子文献类型以双字母作为标识: 

    DB——数据库 

    CP——计算机程序 

    EB——电子公告 

    非纸张型载体电子文献,在参考文献标识中同时标明其载体类型: 

    DB/OL——联机网上的数据库 

    DB/MT——磁带数据库 

    M/CD——光盘图书 

    CP/DK——磁盘软件 

    J/OL——网上期刊 

    EB/OL——网上电子公告 

    一、参考文献著录格式 

    1 、期刊作者.题名〔J〕.刊名,出版年,卷(期)∶起止页码 

    2、 专著作者.书名〔M〕.版本(第一版不著录).出版地∶出版者,出版年∶起止页码 

    3、 论文集作者.题名〔C〕.编者.论文集名,出版地∶出版者,出版年∶起止页码 

    4 、学位论文作者.题名〔D〕.保存地点.保存单位.年份 

    5 、专利文献题名〔P〕.国别.专利文献种类.专利号.出版日期 

    6、 标准编号.标准名称〔S〕 

    7、 报纸作者.题名〔N〕.报纸名.出版日期(版次) 

    8 、报告作者.题名〔R〕.保存地点.年份 

    9 、电子文献作者.题名〔电子文献及载体类型标识〕.文献出处,日期 

    二、文献类型及其标识 

    1、根据GB3469 规定,各类常用文献标识如下: 

    ①期刊〔J〕 

    ②专著〔M〕 

    ③论文集〔C〕 

    ④学位论文〔D〕 

    ⑤专利〔P〕 

    ⑥标准〔S〕 

    ⑦报纸〔N〕 

    ⑧技术报告〔R〕 

    2、电子文献载体类型用双字母标识,具体如下: 

    ①磁带〔MT〕 

    ②磁盘〔DK〕 

    ③光盘〔CD〕 

    ④联机网络〔OL〕 

    3、电子文献载体类型的参考文献类型标识方法为:〔文献类型标识/载体类型标识〕。例如: 

    ①联机网上数据库〔DB/OL〕 

    ②磁带数据库〔DB/MT〕 

    ③光盘图书〔M/CD〕 

    ④磁盘软件〔CP/DK〕 

    ⑤网上期刊〔J/OL〕 

    ⑥网上电子公告〔EB/OL〕 

    三、举例 

    1、期刊论文 

    〔1〕周庆荣,张泽廷,朱美文,等.固体溶质在含夹带剂超临界流体中的溶解度〔J〕.化工学报,1995(3):317—323 

    〔2〕Dobbs J M, Wong J M. Modification of supercritical fluid phasebehavior using polor coselvent〔J〕. Ind Eng Chem Res, 1987,26:56 

    〔3〕刘仲能,金文清.合成医药中间体4-甲基咪唑的研究〔J〕.精细化工,2002(2):103-105 

    〔4〕 Mesquita A C, Mori M N, Vieira J M, et al . Vinyl acetate polymerization by ionizing radiation〔J〕.Radiation Physics and Chemistry,2002, 63:465 

    2、专著 

    〔1〕蒋挺大.亮聚糖〔M〕.北京:化学工业出版社,2001.127 

    〔2〕Kortun G. Reflectance Spectroscopy〔M〕. New York: Spring-Verlag,1969 

    3、论文集 

    〔1〕郭宏,王熊,刘宗林.膜分离技术在大豆分离蛋白生产中综合利用的研究〔C〕.//余立新.第三届全国膜和膜过程学术报告会议论文集.北京:高教出版社,1999.421-425 

    〔2〕Eiben A E, vander Hauw J K.Solving 3-SAT with adaptive genetic algorithms 〔C〕.//Proc 4th IEEE Conf Evolutionary Computation.Piscataway: IEEE Press, 1997.81-86 

    4、学位论文 

    〔1〕陈金梅.氟石膏生产早强快硬水泥的试验研究(D).西安:西安建筑科学大学,2000 

    〔 2 〕 Chrisstoffels L A J . Carrier-facilitated transport as a mechanistic tool in supramolecular chemistry〔D〕.The Netherland:Twente University.1988 

    5、专利文献 

    〔1〕Hasegawa, Toshiyuki, Yoshida,et al.Paper Coating composition〔P〕.EP 0634524.1995-01-18 

    〔 2 〕 仲前昌夫, 佐藤寿昭. 感光性树脂〔 P 〕. 日本, 特开平09-26667.1997-01-28 

    〔3〕Yamaguchi K, Hayashi A.Plant growth promotor and productionthereof 〔P〕.Jpn, Jp1290606. 

    1999-11-22 

    〔4〕厦门大学.二烷氨基乙醇羧酸酯的制备方法〔P〕.中国发明专利,CN1073429.1993-06-23 

    6、技术标准文献 

    〔1〕ISO 1210-1982,塑料——小试样接触火焰法测定塑料燃烧性〔S〕 

    〔2〕GB 2410-80,透明塑料透光率及雾度实验方法〔S〕 

    7、报纸 

    〔1〕陈志平.减灾设计研究新动态〔N〕.科技日报,1997-12-12(5) 

    8、报告 

    〔1〕中国机械工程学会.密相气力输送技术〔R〕.北京:1996 

    9、电子文献 

    〔1〕万锦柔.中国大学学报论文文摘(1983-1993)〔DB/CD〕.北京:中国百科全书出版社,1996 

    展开全文
  • 控制一大类对象为以机器人为代表的运动体控制,相应地,我们会比较关心三维空间被控对象运动状态,即位置、速度和姿态,对位置和速度描述需要首先确定坐标系,即是在什么坐标系下位置和速度,而姿态则描述...

    控制的一大类对象为以机器人为代表的运动体控制,相应地,我们会比较关心三维空间中被控对象的运动状态,即位置、速度和姿态,对位置和速度的描述需要首先确定坐标系,即是在什么坐标系下的位置和速度,而姿态则描述坐标系与坐标系之间的关系。本部分的主要参考文献为[1]和[2]。

    我们通常采用右手坐标系描述运动量,设三维空间中有两个原点重合的坐标系:s\mathrm{s}{x^s,y^s,z^s}\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\}b\mathrm{b}{x^b,y^b,z^b}\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\}x^s,y^s,z^s\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}x^b,y^b,z^b\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}分别为s\mathrm{s}系和b\mathrm{b}系下相互正交的三个单位矢量(默认情形下这里的矢量取列矢量形式),且分别与s\mathrm{s}系和b\mathrm{b}系下的三个坐标轴正方向平行,对于空间中的任意一个矢量r\boldsymbol{r},可以投影到任意坐标系下进行表示,设其在s\mathrm{s}系下的三个分量为r1s,r2s,r3sr_{1\mathrm{s}},r_{2\mathrm{s}},r_{3\mathrm{s}},在b\mathrm{b}系下的三个分量为r1b,r2b,r3br_{1\mathrm{b}},r_{2\mathrm{b}},r_{3\mathrm{b}},则有
    r=r1sx^s+r2sy^s+r3sz^s=r1bx^b+r2by^b+r3bz^b(1) \boldsymbol{r}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\tag{1}

    首先以s\mathrm{s}系为基准坐标系,对式(1)后半部分的左右两端依次和x^s,y^s,z^s\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}点积,可得
    {r1s=r1bx^bx^s+r2by^bx^s+r3bz^bx^sr2s=r1bx^by^s+r2by^by^s+r3bz^by^sr3s=r1bx^bz^s+r2by^bz^s+r3bz^bz^s(2) \left\{ \begin{array}{ll} r_{1\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\\ r_{2\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\ r_{3\mathrm{s}}=r_{1\mathrm{b}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}+r_{2\mathrm{b}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}+r_{3\mathrm{b}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} \end{array} \right.\tag{2}

    rs=[r1s,r2s,r3s]T\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=[r_{1\mathrm{s}},r_{2\mathrm{s}},r_{3\mathrm{s}}]^\mathrm{T}rb=[r1b,r2b,r3b]T\boldsymbol{r}^\mathrm{b}=[r_{1\mathrm{b}},r_{2\mathrm{b}},r_{3\mathrm{b}}]^\mathrm{T}分别表示矢量r\boldsymbol{r}在与s\mathrm{s}系和b\mathrm{b}系下的投影,式(2)可进一步表示为
    rs=[r1sr2sr3s]=[x^bx^sy^bx^sz^bx^sx^by^sy^by^sz^by^sx^bz^sy^bz^sz^bz^s][r1br2br3b]=Cbsrb(3) \begin{aligned} \boldsymbol{r}^\mathrm{s}&=\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{s}}\\ r_{2\mathrm{s}}\\ r_{3\mathrm{s}} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\\ \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s} \\ \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{b}}\\ r_{2\mathrm{b}}\\ r_{3\mathrm{b}} \end{bmatrix}\\ &=\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\boldsymbol{r}^\mathrm{b} \end{aligned} \tag{3}

    式中,Cbn\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{n}为从b\mathrm{b}系到s\mathrm{s}系的旋转矩阵。

    然后以b\mathrm{b}系为基准坐标系,对式(1)后半部分的左右两端依次和x^b,y^b,z^b\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}点积,可得
    {r1b=r1sx^sx^b+r2sy^sx^b+r3sz^sx^br2b=r1sx^sy^b+r2sy^sy^b+r3sz^sy^br3b=r1sx^sz^b+r2sy^sz^b+r3sz^sz^b(4) \left\{ \begin{array}{ll} r_{1\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\\ r_{2\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\\ r_{3\mathrm{b}}=r_{1\mathrm{s}}\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}+r_{2\mathrm{s}}\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}+r_{3\mathrm{s}}\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \end{array} \right.\tag{4}

    式(4)可进一步表示为
    rb=[r1br2br3b]=[x^sx^by^sx^bz^sx^bx^sy^by^sy^bz^sy^bx^sz^by^sz^bz^sz^b][r1sr2sr3s]=(Cbs)Trs=Csbrs(5) \begin{aligned} \boldsymbol{r}^\mathrm{b}&=\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{b}}\\ r_{2\mathrm{b}}\\ r_{3\mathrm{b}} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\\ \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} \\ \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\cdot\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{s}}\\ r_{2\mathrm{s}}\\ r_{3\mathrm{s}} \end{bmatrix}\\ &=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}\boldsymbol{r}^\mathrm{s} \end{aligned}\tag{5}

    式中,Csb=(Cbs)T\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}为从s\mathrm{s}系到b\mathrm{b}系的旋转矩阵。

    考虑到x^b,y^b,z^b\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}实际上也是三个矢量,因此它们也可以利用s\mathrm{s}{x^s,y^s,z^s}\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\}进行表示,即有
    {x^b=l1x^s+m1y^s+n1z^sy^b=l2x^s+m2y^s+n2z^sz^b=l3x^s+m3y^s+n3z^s(6) \left\{ \begin{array}{ll} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_1\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_1\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\\ \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}=l_2\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_2\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}\\ \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}=l_3\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+m_3\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} \end{array} \right.\tag{6}

    则式(3)和(5)可进一步表示为
    rs=[r1sr2sr3s]=[l1l2l3m1m2m3n1n2n3][r1br2br3b]=[x^b y^b z^b]rb=Cbsrb(7) \begin{aligned} \boldsymbol{r}^\mathrm{s}&=\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{s}}\\ r_{2\mathrm{s}}\\ r_{3\mathrm{s}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} l_1 & l_2 &l_3\\ m_1 & m_2 &m_3\\ n_1 & n_2 &n_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_{1\mathrm{b}}\\ r_{2\mathrm{b}}\\ r_{3\mathrm{b}} \end{bmatrix}\\ &=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]\boldsymbol{r}^\mathrm{b}=\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\boldsymbol{r}^\mathrm{b} \end{aligned}\tag{7}

    rb=[x^b y^b z^b]Trs=[l1m1n1l2m2n2l3m3n3]rs(8) \boldsymbol{r}^\mathrm{b}=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]^\mathrm{T}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}=\begin{bmatrix} l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 & m_2 &n_2\\ l_3 & m_3 &n_3 \end{bmatrix}\boldsymbol{r}^\mathrm{s}\tag{8}

    另一方面,考虑到x^s,y^s,z^s\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}实际上也是三个矢量,因此它们也可以利用b\mathrm{b}{x^b,y^b,z^b}\{\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\}进行表示,且由式(8)可知
    {x^s=l1x^b+l2y^b+l3z^by^s=m1x^b+m2y^b+m3z^bz^s=n1x^b+n2y^b+n3z^b(9) \left\{ \begin{array}{ll} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+l_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+l_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\ \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}=m_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+m_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\ \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}=n_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+n_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \end{array} \right.\tag{9}

    由于x^s,y^s,z^s\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}x^b,y^b,z^b\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}均为相互正交的三个单位矢量,因此有
    l12+m12+n12=1,l1l2+m1m2+n1n2=0l22+m22+n22=1,l1l3+m1m3+n1n3=0l32+m32+n32=1,l2l3+m2m3+n2n3=0l12+l22+l32=1,l1m1+l2m2+l3m3=0m12+m22+m32=1,l1n1+l2n2+l3n3=0n12+n22+n32=1,m1n1+m2n2+m3n3=0(10) \begin{aligned} l_1^2+m_1^2+n_1^2&=1,& l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2&=0\\ l_2^2+m_2^2+n_2^2&=1,& l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3&=0\\ l_3^2+m_3^2+n_3^2&=1,& l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3&=0\\ l_1^2+l_2^2+l_3^2&=1,& l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3&=0\\ m_1^2+m_2^2+m_3^2&=1,& l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3&=0\\ n_1^2+n_2^2+n_3^2&=1,& m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3&=0 \end{aligned}\tag{10}

    由式(10)可知
    Cbs(Cbs)T=[l1l2l3m1m2m3n1n2n3][l1m1n1l2m2n2l3m3n3]=[l12+l22+l32l1m1+l2m2+l3m3l1n1+l2n2+l3n3l1m1+l2m2+l3m3m12+m22+m32m1n1+m2n2+m3n3l1n1+l2n2+l3n3m1n1+m2n2+m3n3n12+n22+n32]=I(11) \begin{aligned} &\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\\ =&\begin{bmatrix} l_1 & l_2 &l_3\\ m_1 & m_2 &m_3\\ n_1 & n_2 &n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 & m_2 &n_2\\ l_3 & m_3 &n_3 \end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix} l_1^2+l_2^2+l_3^2 & l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3 & l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3\\ l_1m_1+l_2m_2+l_3m_3 & m_1^2+m_2^2+m_3^2 & m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3\\ l_1n_1+l_2n_2+l_3n_3 & m_1n_1+m_2n_2+m_3n_3 & n_1^2+n_2^2+n_3^2 \end{bmatrix}\\ =&I \end{aligned}\tag{11}

    (Cbs)TCbs=[l1m1n1l2m2n2l3m3n3][l1l2l3m1m2m3n1n2n3]=[l12+m12+n12l1l2+m1m2+n1n2l1l3+m1m3+n1n3l1l2+m1m2+n1n2l22+m22+n22l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3l2l3+m2m3+n2n3l32+m32+n32]=I(12) \begin{aligned} &(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}\\ =&\begin{bmatrix} l_1 & m_1 &n_1\\ l_2 & m_2 &n_2\\ l_3 & m_3 &n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} l_1 & l_2 &l_3\\ m_1 & m_2 &m_3\\ n_1 & n_2 &n_3 \end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix} l_1^2+m_1^2+n_1^2 & l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 & l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3\\ l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2 & l_2^2+m_2^2+n_2^2 & l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3\\ l_1l_3+m_1m_3+n_1n_3 & l_2l_3+m_2m_3+n_2n_3 & l_3^2+m_3^2+n_3^2 \end{bmatrix}\\ =&I \end{aligned}\tag{12}

    因此有
    (Cbs)T=(Cbs)1(13) (\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^\mathrm{T}=(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})^{-1}\tag{13}

    Cbs\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s}为正交矩阵。进一步考虑到矩阵行列式性质(矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积;矩阵转置后的行列式不变),可知det(Cbs)=±1\mathbf{det}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})=\pm1,因此有
    l1(m2n3m3n2)l2(m1n3m3n1)+l3(m1n2m2n1)=±1(14) l_1(m_2n_3-m_3n_2)-l_2(m_1n_3-m_3n_1)+l_3(m_1n_2-m_2n_1)=\pm 1\tag{14}

    进一步考虑到x^b,y^b,z^b\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}均为相互正交的三个单位矢量,相互之间的矢量叉积满足
    x^b×y^b=z^b,y^b×z^b=x^b,z^b×x^b=y^b(15) \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\times\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}=\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}\tag{15}

    结合式(9)和(15)可得
    x^by^bz^bl1l2l3m1m2m3=n1x^b+n2y^b+n3z^bx^by^bz^bm1m2m3n1n2n3=l1x^b+l2y^b+l3z^bx^by^bz^bn1n2n3l1l2l3=m1x^b+m2y^b+m3z^b(16) \begin{aligned} \left\vert \begin{matrix} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{matrix} \right\vert&=n_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+n_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+n_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\ \left\vert \begin{matrix} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ m_1 & m_2 & m_3\\ n_1 & n_2 & n_3 \end{matrix} \right\vert&=l_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+l_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+l_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}\\ \left\vert \begin{matrix} \hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b} & \hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \\ n_1 & n_2 & n_3\\ l_1 & l_2 & l_3 \end{matrix} \right\vert&=m_1\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}+m_2\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}+m_3\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b} \end{aligned}\tag{16}

    对式(16)进一步整理可得
    l1=m2n3m3n2,l2=m3n1m1n3,l3=m1n2m2n1m1=n2l3n3l2,m2=n3l1n1l3,m3=n1l2n2l1n1=l2m3l3m2,n2=l3m1l1m3,n3=l1m2l2m1(17) \begin{aligned} l_1&=m_2n_3-m_3n_2,&l_2&=m_3n_1-m_1n_3,&l_3&=m_1n_2-m_2n_1\\ m_1&=n_2l_3-n_3l_2,&m_2&=n_3l_1-n_1l_3,&m_3&=n_1l_2-n_2l_1\\ n_1&=l_2m_3-l_3m_2,&n_2&=l_3m_1-l_1m_3,&n_3&=l_1m_2-l_2m_1 \end{aligned}\tag{17}

    结合式(10)与式(17)可得
    l1(m2n3m3n2)l2(m1n3m3n1)+l3(m1n2m2n1)=1(18) l_1(m_2n_3-m_3n_2)-l_2(m_1n_3-m_3n_1)+l_3(m_1n_2-m_2n_1)=1\tag{18}

    det(Cbs)=1\mathbf{det}(\boldsymbol{C}_\mathrm{b}^\mathrm{s})=1

    我们以s\mathrm{s}系为基准系,进一步考虑旋转矩阵Csb\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b},根据式(7)和(8)有Csb=[x^b y^b z^b]T\boldsymbol{C}_\mathrm{s}^\mathrm{b}=[\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{b}~\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{b}]^\mathrm{T}。设b1\mathrm{b_1}系为s\mathrm{s}系绕z^s\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}轴正向旋转θ\theta角,如图1所示。

    图1 s系绕z^s轴正向旋转θ \text{图1 $\mathrm{s}$系绕$\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}$轴正向旋转$\theta$角}

    则有
    {x^b1=cos(θ)x^s+sin(θ)y^sy^b1=sin(θ)x^s+cos(θ)y^sz^b1=z^s(19) \left\{ \begin{array}{ll} \hat{\mathbf{x}}_{\mathrm{b}_1}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+\sin(\theta)\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\ \hat{\mathbf{y}}_{\mathrm{b}_1}=-\sin(\theta)\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s}+\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s}\\ \hat{\mathbf{z}}_{\mathrm{b}_1}=\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s} \end{array} \right.\tag{19}

    因此
    Csb1=[x^b1 y^b1 z^b1]T=[cos(θ)sin(θ)0sin(θ)cos(θ)0001](20) \boldsymbol{C}_\mathrm{s}^{\mathrm{b}_1}=[\hat{\mathbf{x}}_{\mathrm{b}_1}~\hat{\mathbf{y}}_{\mathrm{b}_1}~\hat{\mathbf{z}}_{\mathrm{b}_1}]^\mathrm{T}=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) & 0\\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\tag{20}

    我们将式(20)中的旋转矩阵记为R(z^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)(为简便起见,后续我们将x^s,y^s,z^s\hat{\mathbf{x}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{y}}_\mathrm{s},\hat{\mathbf{z}}_\mathrm{s}简写为x^,y^,z^\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}},在不至于引起混淆的前提下,根据需要也会将x^,y^,z^\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}视为不同坐标系的轴向的单位矢量),类似可得
    R(x^,θ)=[1000cos(θ)sin(θ)0sin(θ)cos(θ)], R(y^,θ)=[cos(θ)0sin(θ)010sin(θ)0cos(θ)](21) \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\theta) & \sin(\theta)\\ 0 & -\sin(\theta) & \cos(\theta)\\ \end{bmatrix},~ \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0\\ \sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)\\ \end{bmatrix}\tag{21}

    注意从y^\hat{\mathbf{y}}轴正向看x^z^\hat{\mathbf{x}}\hat{\mathbf{z}}平面时,根据右手坐标系的关系可知x^\hat{\mathbf{x}}轴水平朝左,z^\hat{\mathbf{z}}轴水平朝上,逆时针旋转θ\theta角后x^\hat{\mathbf{x}}轴跑到水平面下方了,因此R(y^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)sin(θ)\sin(\theta)sin(θ)-\sin(\theta)的位置正好与R(x^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)R(z^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)对称。对于R(z^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta),有
    R(z^,θ)x^=cos(θ)x^sin(θ)y^=cos(θ)x^sin(θ)z^×x^,R(z^,θ)y^=cos(θ)y^+sin(θ)x^=cos(θ)y^sin(θ)z^×y^R(z^,θ)z^=z^(22) \begin{aligned} \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{x}}&=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{y}}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{x}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}},\\ \boldsymbol{R} (\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{y}}&=\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}+\sin(\theta)\hat{\mathbf{x}}=\cos(\theta)\hat{\mathbf{y}}-\sin(\theta)\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{y}}\\ \boldsymbol{R} (\hat{\mathbf{z}},\theta)\hat{\mathbf{z}}&=\hat{\mathbf{z}} \end{aligned}\tag{22}

    R(x^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{x}},\theta)R(y^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{y}},\theta)也有类似性质。一般地,设n^\hat{\mathbf{n}}为任意单位矢量,v\mathbf{v}_\perp为任意矢量v\mathbf{v}在与n^\hat{\mathbf{n}}垂直平面上的投影,v\mathbf{v}_\parallel为矢量v\mathbf{v}n^\hat{\mathbf{n}}方向上的投影,R(n^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)表示绕n^\hat{\mathbf{n}}正向旋转θ\theta角对应的旋转矩阵,则有
    R(n^,θ)v=v+cos(θ)vsin(θ)n^×v=v+cos(θ)v+sin(θ)[[n^]]v(23) \begin{aligned} \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\mathbf{v}&=\mathbf{v}_\parallel+\cos(\theta)\mathbf{v}_\perp-\sin(\theta)\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{v}_\perp\\ &=\mathbf{v}_\parallel+\cos(\theta)\mathbf{v}_\perp+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\mathbf{v}_\perp \end{aligned}\tag{23}

    其中[[n^]][[\hat{\mathbf{n}}]]为与n^\hat{\mathbf{n}}对应的反对称阵,即设n^=[n1,n2,n3]T\hat{\mathbf{n}}=[n_1,n_2,n_3]^\mathrm{T},则有
    [[n^]]=[0n3n2n30n1n2n10](24) [[\hat{\mathbf{n}}]]=\begin{bmatrix} 0 & n_3 & -n_2\\ -n_3 & 0 & n_1\\ n_2 & -n_1 & 0 \end{bmatrix}\tag{24}

    对任意两个矢量a\mathbf{a}b\mathbf{b},由式(24)中的定义可知a×b=[[a]]b\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-[[\mathbf{a}]]\mathbf{b},有的文献也定义[[a]]-[[\mathbf{a}]]为与a\mathbf{a}对应的反对称阵,这个看个人习惯。

    考虑矢量三重叉积公式
    a×(b×c)=(ac)b(ab)c(25) \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\tag{25}

    在式(25)中取a=b=n^\mathbf{a}=\mathbf{b}=\hat{\mathbf{n}}c=v\mathbf{c}=\mathbf{v},则有
    v=(n^v)n^n^×(n^×v)=n^n^Tv[[n^]]2v=v+v(26) \begin{aligned} \mathbf{v}&=(\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{v})\hat{\mathbf{n}}-\hat{\mathbf{n}}\times(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{v})\\ &=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}\\ &=\mathbf{v}_\parallel+\mathbf{v}_\perp \end{aligned}\tag{26}

    结合式(23)和(26)可知
    R(n^,θ)v=n^n^Tvcos(θ)[[n^]]2vsin(θ)[[n^]]3v=n^n^Tvcos(θ)[[n^]]2v+sin(θ)[[n^]]v(27) \begin{aligned} \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\mathbf{v}&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}-\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^3\mathbf{v}\\ &=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}\mathbf{v}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\mathbf{v}+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\mathbf{v} \end{aligned}\tag{27}

    式(27)中用到了反对称阵的性质[[n^]]3=n^2[[n^]]=[[n^]][[\hat{\mathbf{n}}]]^3=-\Vert\hat{\mathbf{n}}\Vert^2[[\hat{\mathbf{n}}]]=-[[\hat{\mathbf{n}}]]。由于v\mathbf{v}为任意矢量,因此有
    R(n^,θ)=n^n^Tcos(θ)[[n^]]2+sin(θ)[[n^]]=cos(θ)I+(1cos(θ))n^n^T+sin(θ)[[n^]](28) \begin{aligned} \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)&=\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}-\cos(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]^2+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]\\ &=\cos(\theta)I+(1-\cos(\theta))\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T}+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]] \end{aligned}\tag{28}

    式(28)中用到了反对称阵的性质[[a]][[b]]=(ab)I+baT[[\mathbf{a}]][[\mathbf{b}]]=-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})I+\mathbf{b}\mathbf{a}^\mathrm{T},取a=b=n^\mathbf{a}=\mathbf{b}=\hat{\mathbf{n}}可得[[n^]]2=I+n^n^T[[\hat{\mathbf{n}}]]^2=-I+\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T},式(28)也可进一步写为
    R(n^,θ)=I+sin(θ)[[n^]]+(1cos(θ))[[n^]]2(29) \boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)=I+\sin(\theta)[[\hat{\mathbf{n}}]]+ (1-\cos(\theta))[[\hat{\mathbf{n}}]]^2\tag{29}

    将式(29)写成分量形式,可得
    R(n^,θ)=[cos(θ)+n12(1cos(θ))n1n2(1cos(θ))+n3sin(θ)n1n3(1cos(θ))n2sin(θ)n2n1(1cos(θ))n3sin(θ)cos(θ)+n22(1cos(θ))n2n3(1cos(θ))+n1sin(θ)n3n1(1cos(θ))+n2sin(θ)n3n2(1cos(θ))n1sin(θ)cos(θ)+n32(1cos(θ))](30) \begin{aligned} &\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta)\\ =&\begin{bmatrix} \cos(\theta)+n_1^2(1-\cos(\theta)) & n_1n_2(1-\cos(\theta))+n_3\sin(\theta) & n_1n_3(1-\cos(\theta))-n_2\sin(\theta)\\ n_2n_1(1-\cos(\theta))-n_3\sin(\theta) & \cos(\theta)+n_2^2(1-\cos(\theta)) & n_2n_3(1-\cos(\theta))+n_1\sin(\theta)\\ n_3n_1(1-\cos(\theta))+n_2\sin(\theta) & n_3n_2(1-\cos(\theta))-n_1\sin(\theta) & \cos(\theta)+n_3^2(1-\cos(\theta)) \end{bmatrix}(30) \end{aligned}

    若已知R(n^,θ)\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\theta),则根据式(30)可知
    cosθ=12(trR1)(31) \cos{\theta}=\frac{1}{2}(\mathrm{tr}\boldsymbol{R}-1)\tag{31}

    sin(θ)0\sin(\theta)\neq 0时,有
    n^=12sin(θ)[R23R32R31R13R12R21](32) \hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{2\sin(\theta)}\begin{bmatrix} R_{23}-R_{32}\\ R_{31}-R_{13}\\ R_{12}-R_{21} \end{bmatrix}\tag{32}

    θ=0\theta=0时,n^\hat{\mathbf{n}}没有物理意义;当θ=π\theta=\pi时,R(n^,π)=I+2n^n^T\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\pi)=-I+2\hat{\mathbf{n}}\hat{\mathbf{n}}^\mathrm{T},此时R(n^,π)+I\boldsymbol{R}(\hat{\mathbf{n}},\pi)+I的三个列均与n^\hat{\mathbf{n}}平行,而n^\hat{\mathbf{n}}的方向则不影响结果。

    至此,我们获得了旋转矩阵的一些初步性质。

    参考文献

    [1]Battin RH. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, revised edition. American Institute of Aeronautics and Astronautics; 1999.

    [2]Shuster MD. A survey of attitude representations. Navigation. 1993;8(9):439-517.

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