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  • explained variance

    2018-10-31 17:37:09
    2018/10/31 这个东西在学习PCA的时候遇见的,而且一直都没在统计学中遇见过。 2018/11/26 应该就是在分析PCA的时候,他提到了这种名词关系,这部分变量解释了80%的方差;这种说法,对我第一次听说这个东西的我看来,...

    2018/10/31
    这个东西在学习PCA的时候遇见的,而且一直都没在统计学中遇见过。
    2018/11/26
    应该就是在分析PCA的时候,他提到了这种名词关系,这部分变量解释了80%的方差;这种说法,对我第一次听说这个东西的我看来,是很让人惊讶的。这个指标如果达到了很高,那岂不就算是对这个事务内在的规律掌握了。

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  • 偏置方差分解Bias-variance Decomposition

    万次阅读 2016-02-05 17:48:11
    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/50638749偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)...Bias-variance 分解是机器学习中一种重要的分析技术。给定学习目标和训练集规模,它可以把一种学习算法的期

    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/50638749

    偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)

    偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)是统计学派看待模型复杂度的观点。Bias-variance 分解是机器学习中一种重要的分析技术。给定学习目标和训练集规模,它可以把一种学习算法的期望误差分解为三个非负项的和,即本真噪音noise、bias和 variance。

    noise 本真噪音是任何学习算法在该学习目标上的期望误差的下界;( 任何方法都克服不了的误差)
    bias 度量了某种学习算法的平均估计结果所能逼近学习目标的程度;(独立于训练样本的误差,刻画了匹配的准确性和质量:一个高的偏置意味着一个坏的匹配)
    variance 则度量了在面对同样规模的不同训练集时,学习算法的估计结果发生变动的程度。(相关于观测样本的误差,刻画了一个学习算法的精确性和特定性:一个高的方差意味着一个弱的匹配)

    偏差度量了学习算法期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力;方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响;噪声表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度……泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的。给定学习任务,为了取得好的泛化性能,则需使偏差较小,即能够充分拟合数据,并且使方差较小,即使得数据扰动产生的影响小。-周志华《机器学习》

    期望误差

    整的来说,误差可以分为3个部分

    偏置方差

    而误差中的偏置方差部分是通过下式分解得到的:

      假设我们有K个数据集,每个数据集都是从一个分布p(t,x)中独立的抽取出来的(t代表要预测的变量,x代表特征变量)。对于每个数据集D,我们都可以在其基础上根据学习算法来训练出一个模型y(x;D)来。在不同的数据集上进行训练可以得到不同的模型。学习算法的性能是根据在这K个数据集上训练得到的K个模型的平均性能来衡量的,亦即:

      

      其中的h(x)代表生成数据的真实函数,亦即t=h(x)。

      我们可以看到,给定学习算法在多个数据集上学到的模型的和真实函数h(x)之间的误差,是由偏置(Bias)和方差(Variance)两部分构成的。

    其中偏置描述的是学到的多个模型和真实的函数之间的平均误差,而方差描述的是学到的某个模型和多个模型的平均之间的平均误差(PRML上的原话是variance measures the extent to which the solutions for individual data sets vary around their average)。偏置刻画的是构建的模型和真实模型之间的差异。例如数据集所反映的真实模型为二次模型,但是构建的是线性模型,则该模型的结果总是和真实值结果直接存在差异,这种差异是有构建的模型的不准确所导致的,即为偏置bias;如上图中的下面两个图,真实的模型是红心(即每次都是要瞄准红心的),但是构建的模型是偏离红心的(即在射击时瞄准的是红心偏上方向)。方差刻画的是构建的模型自身的稳定性。例如数据集本身是二次模型,但是构建的是三次模型,对于多个不同的训练集,可以得到多个不同的三次模型,那么对于一个固定的测试点,这多个不同的三次模型得到多个估计值,这些估计值之间的差异即为模型的方差;如上图中的右侧两图,不论构建的模型是否是瞄准红心,每个模型的多次结果之间存在较大的差异。

    推导

    期望损失


    回归问题中,损失函数的一个通常的选择是平方损失


    最优解h(x):条件均值


    变分法求解

    当然,其实我们可以不严谨地直接假设解是条件均值,直接变成bias--var + 噪声从最小化只与第一项相关看出解是对的。

    损失分解

    暂时叫这个名字吧,就是将期望损失分解成bias--var + 噪声



    偏置-方差分解

    如果我们使用由参数向量 w 控制的函数 y(x, w) 对 h(x) 建模,那么从贝叶斯的观点来看,我们模型的不确定性是通过 w 的后验概率分布来表示的。

    频率学家的方法涉及到根据数据集 D 对 w 进行点估计,然后试着通过下面的思想实验来表示估计的不确定性。假设我们有许多数据集,每个数据集的大小为 N ,并且每个数据集都独立地从分布 p(t, x) 中抽取。对于任意给定的数据集 D ,我们可以运行我们的学习算法,得到一个预测函数 y(x; D) 。不同的数据集会给出不同的函数,从而给出不同的平方损失的值。这样,特定的学习算法的表现就可以通过取各个数据集上的表现的平均值来进行评估。

    考虑公式(3.37)的第一项的被积函数,对于一个特定的数据集 D ,它的形式为

    (现在只考虑单一输入变量x的情形,即不考虑外面的积分)

    这个量与特定的数据集 D 相关,因此我们对所有的数据集取平均。但是首先我们在括号内加上然后减去 E D [y(x; D)] ,然后展开,最后一项等于零,得

    第一项,被称为平方偏置( bias ),表示所有数据集的平均预测与预期的回归函数之间的差异。

    第二项,被称为方差( variance ),度量了对于单独的数据集,模型所给出的解在平均值附近波动的情况,因此也就度量了函数 y(x; D) 对于特定的数据集的选择的敏感程度。

    考虑整个输入变量的外部积分得


    [prml]

    偏置和方差之间的权衡和折中

    在偏置和方差之间有一个折中。对于非常灵活的模型来说,偏置较小,方差较大。对于相对固定的模型来说,偏置较大,方差较小。有着最优预测能力的模型时在偏置和方差之间取得最优的平衡的模型。

    灵活的模型(次数比较高的多项式)会有比较低的偏置和比较高的方差,而比较严格的模型(比如一次线性回归)就会得到比较高的偏置和比较低的方差。

    示例

    下图形象的说明了以上两种情况:

    训练正弦数据集100个数据集合,每个集合都包含 N = 25 个数据点,都是独立地从正弦曲线 h(x) = sin (2πx) [图中的绿线]抽取的。数据集的编号为 l = 1, . . . , L ,其中 L = 100 ,并且对于每个数据集 D (l) ,我们通过最小化正则化的误差函数拟合了一个带有24个高斯基函数的模型,然后给出了预测函数 y ^(l) (x) ,如图3.5所示。

    参数λ控制模型的灵活性(复杂度),λ越大,模型越简单(严格),反之越复杂(灵活)。左图第一行对应着较大的正则化系数 λ ,这样的模型的方差很小(因为左侧图中的红色曲线看起来很相似),但是偏置很大(因为右侧图中的两条曲线看起来相当不同)。相反,在最后一行,正则化系数 λ 很小,这样模型的方差较大(因为左侧图中的红色曲线变化性相当大),但是偏置很小(因为平均拟合的结果与原始正弦曲线十分吻合)。我们看到,小的 λ 使得模型对于各个数据集里的噪声的拟合效果非常好,导致了较大的方差。相反,大的 λ 把权值参数拉向零,导致了较大的偏置。

    注意,把 M = 25 这种复杂模型的多个解进行平均,会产生对于回归函数非常好的拟合,这表明求平均是一个很好的步骤。事实上,将多个解加权平均是贝叶斯方法的核心,虽然这种求平均针对的是参数的后验分布,而不是针对多个数据集。

        

    偏置方差分解评价

    虽然偏置-方差分解能够从频率学家的角度对模型的复杂度提供一些有趣的认识,但是它的实用价值很有限。这是因为偏置-方差分解依赖于对所有的数据集求平均,而在实际应用中我们只有一个观测数据集。如果我们有大量的已知规模的独立的训练数据集,那么我们最好的方法是把它们组合成一个大的训练集,这显然会降低给定复杂度的模型的过拟合程度。

      造成偏置和方差的原因除了学习方法的不同和参数的不同(比如λ)之外,数据集本身也会对其造成影响。如果训练数据集和新数据集的分布是不同的,会增大偏置。如果训练数据集过少,会增大方差。

    应用

    Bagging方法:Bagging是一种再抽样方法(resampling),对训练数据进行有放回的抽样K次(行抽样和列抽样,抽样独立),生成K份新的训练数据,在这K个新的训练数据上训练得到K个模型,然后使用K个模型的平均来作为新的模型。如:随机森林

    并行,更小var, data和features大小可以很大。

    Boosting方法:误判抽样(抽样依赖)。如Adaboost, GBDT。串行,更小的bias( high var, overfit)。但是加数据可以减小high var。

    Ps:Bias-variance decomposition推导2

    Note:ED是对所有数据集D求期望,而不是对x或者y。


    [ word文档下载]

    from:http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/50638749

    ref:Bishop. PRML(Pattern Recognization and Machine Learning). p11-16

    Understanding the Bias-Variance Decomposition.

    模式识别与机器学习:Bias-Variance分解

    偏置方差分解Bias-variance Decomposition

    偏置-方差分解(Bias-Variance Decomposition)*

    Bias and Variance 偏置和方差*

    Andrew NG. CS229 Lecture Note1: Supervised Learning, Discrimitive Algorithms


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  • Bias偏差 and Variance方差 以下内容依照原文有修改一些, 加上一些自己的理解让初学更好去记忆 中间有夹杂原文与中文,是想说这些专有的名词最好也要熟悉, 毕竟论文都还是以英文为主的, 有时候英语确实能更直观的...

    Bias偏差 and Variance方差

    以下内容依照原文有修改一些, 加上一些自己的理解让初学更好去记忆
    中间有夹杂原文与中文,是想说这些专有的名词最好也要熟悉, 毕竟论文都还是以英文为主的, 有时候英语确实能更直观的感受到意思

    正文

    我们要如何得知一个模型的跑出来的效果好不好?就取决于模型的预测能力以及在测试集上的泛化能力

    假如今天我们要预测一下中国人喜欢复联4的人多还是喜欢玩具总动员4的人多, 我们去了上海大街上随机访问了100位, 其中44人表示喜欢玩具总动员4, 40位表示更喜欢复联4, 而有16位表示没意见, 基于这个访问, 我们就能断定全中国喜欢玩具总动员的人更多吗?

    显然是不行 ! 如果我们今天去到北京或者广州其他地方, 答案都有可能不同,我们能观察到这次预测的"“不一致性”, 就说明了前次的访问没办法代表我们的最佳预测

    这也很像多个平行宇宙, 在另一个时空的宇宙中, 每个人虽然都存在但想法可能不同, 甚至命运也不同

    那么重点来了
    一个模型能够在最终测试上可以将错误率降到最低, 那说明这个模型是work的, 我们就要面对这个error好好的考究一番, 究竟error是什么? 只是单纯的差值就会影响模型效率吗?

    下面我们对error要有更深的理解才可以
    了解敌人才能战胜

    Error = sum of all(实际-预测)

    我们把每一次预测错误值总和起来, 公式如

    L ( x , y ) = ∑ k = 1 N ( y − f ( x ) ) L(x, y )=\sum_{k=1}^{N}(y-f(x)) L(x,y)=k=1N(yf(x))

    Error = Reducible Error + Irreducible Error

    用公式表达

    E r r ( x ) = ( f ( x ) − 1 k ∑ i = 1 k f ( x i ) ) 2 + σ ε 2 k + σ ε 2 Err(x) = \left(f(x) -\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}f(x_i)\right)^2 + \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{k} + \sigma_{\varepsilon}^{2} Err(x)=(f(x)k1i=1kf(xi))2+kσε2+σε2

    Err(x) = Bias^2 + Variance + Irreducible error

    也就是说Error主要是由两大块差值所组成的
    这里的Irreducible error是无法降低的无论你应用什么样的演算法, 通常是由unknown的变量所造成, 我觉得这种error可以理解为无论一个艺人明星, 做的在棒拍了在多部大片, 还是会有人不认同不喜欢, 你没有办法让全世界的人都喜欢你

    所以剩下 Reducible Error 是我们要面对的

    Reducible error 是由由bias + Variance所组成

    这两个因素就是造成我们模型 underfitting 以及 overfitting 的主要原因

    如果我们能把bias 以及 Variance都降到很低, 那对模型来说肯定是好的

    Bias(偏差)

    Bias 就是你平均预测值以及实际值的差异, 如果平均预测值与实际值相差甚远, 就表示Bias非常高, Bias过高的时候导致演算法会忽略掉输入与输出变量之间的关联性, 当你的model有很高的bias,就说明你的模型太过简单,无法准确的获取input的信息造成 underfitting 问题, 所以无论在训练集或者在测试集都没有很好的表现(high error, low acc)

    PS. 我们能理解bias为平均误差, 而不只是单一次预测的error

    Variance(方差)

    Variance也是一种误差,而Variance的值大小取决于你的样本数大小, 也就是公式中的k值

    σ ε 2 k \frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{k} kσε2

    是发生在每一次不同data训练时产生的, 而Variance过大的时候也就是我们熟知的过拟合(overfitting)问题

    在这里插入图片描述

    从图表中可以清楚的看到

    1. high bias :线段简单, 根本无法拟合这些预测数据点

    2. Just fit :可以拟合大部分的预测数据点

    3. High Varience:几乎拟合了所有的预测数据点,让model本身变的最复杂,过拟合就是这个意思,在这个数据集上表现的很好, 但只要一碰上 新面孔就表现的却场

    就好比平时熟悉的异性对象打打闹闹的,但 一看见没见过的顶级美女走来就紧张的语无伦次

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    可以清楚看到左上角 Low Varience and Low Bias是我们最希望模型达到的效果,数据点正中红心

    其余三个点

    • High Bias Low Variance: Models有着还不错的相容性(点聚合), 但是预测精度不佳

    • High Bias High Variance : Model 预测精度不好又没有很好的一致性(inconsistent)(点分散)

    • Low Bias High variance:Models 有着不太令人满意的预测精度也没有很好的一致性(点分散)

    我们可以得出一些结论

    • 对于Variance来说, 简单的model, 较不容易受到data的影响:举个极端例子, 将model定义为 f(x) = c, 则不管输入什么样的data, output就是c, 尽管找再多的dataset训练的结果还是一样c, 此时Variance就是0 , 所以相反的 model的复杂程度提高了的话, 输出的就不只是c, 也会随着input data的不同, 输出也会各式各样, 也就是上图看见的点非常的分散
    • 对于Bias来说, 简单的model,bias偏大, 复杂的model, bias偏小:我们可以这样理解, 简单的model所产生的function space范围比较小,在没有包含target(红心)的情况下, 怎么train也不会让bias变小,而 复杂的model产生的范围更大, function space也许有包含target, 但training data不够多, 所以每次找出来的点都不同, 就会分散 如下图:

    在这里插入图片描述

    • 总结上述两个点,
      • 当model简单的时候, Variance比较小, Bias偏大,就是underfitting
      • 当model复杂的时候, Variance比较大, Bias偏小, 就是overfitting
      • 必须找到一个平衡点兼顾Variance以及Bias

    所以我们如何从结果去判断我们当前的训练是否有过高的bias 或者是 Variance呢?

    High bias:

    • High training error

    • Validation error or test error is same as training error

      就是无论在训练及测试上都表现的奇差

    High Variance:

    • low training error

    • high validation and test error

      白话一些就是你在训练集上跑的很好, 但是面对从未跑过的测试集时,错误率竟然高的多

    经过分析确认你的模型问题出在哪之后, 该怎么做呢? 以下几个思路可以走走

    High bias solution:

    • 增加更多输入的特征(就是改你的网络, 说明你的model根本没办法抓到特征啊!!)
    • 利用建构多项式特征来增加feature的复杂度(sklearn包可以了解)
    • 减少正则化(Regularization)

    High Variance solution:说白点就是为了解决过拟合(overfitting)问题

    • 增加训练集样本数, 但我知道听起来简单, 实际上很难,那么数据增强也是可以的啊
    • 减少输入的特征 (Dropout, relu…)
    • 增加正则化(Regularization)

    总结:

    这是一个鱼与熊掌不得兼得的故事, 模型没有办法在同一个时间段拥有两种复杂程度的(例如同时有两种参数量的model可以应付不同状况,这是目前做不到的),我们能做的就是在bias 以及 Variance之间找到一个绝佳的平衡点, 让模型训练过程不会出现underfitting跟overfitting的问题






    参考资料:

    http://scott.fortmann-roe.com/docs/BiasVariance.html

    https://towardsdatascience.com/understanding-the-bias-variance-tradeoff-165e6942b229

    https://medium.com/datadriveninvestor/bias-and-variance-in-machine-learning-51fdd38d1f86

    https://stats.stackexchange.com/questions/135960/difference-between-bias-and-error

    台大李宏毅油管视频

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  • bias和variance分析

    千次阅读 2019-06-14 10:06:45
    文献中bias和varience...variance长,对应下图的曲线长度特别长,就是过拟合,也就是方差太高。 引用文献中的一句话: Random Forests results in a greater tree diversity ,which trades a higher bia...

    Bias and variance tradeoff is everywhere

    • 文献中bias和varience常常出现,为了混淆,特别做一次对比,帮助记忆。
    • 核心是有切当的模型复杂度,使得训练误差和测试误差得到最佳平衡,换一个说法就是欠拟合和过拟合的平衡到处都需要考虑。

    联想记忆

    • bias,对应下图的直线长度也短,就是欠拟合,也就是偏差太高。
    • variance,对应下图的曲线长度特别长,就是过拟合,也就是方差太高。
      在这里插入图片描述

    引用文献中的一句话:

    Random Forests results in a greater tree diversity ,which trades a
    higher bias for a lower variance than DecisionTree, generally yielding
    an overall better model.

    意思就是指,相比于决策树,随机森林用提升了偏差的代价,降低了方差,减少了过拟合(决策树的缺陷之一)。

    多看几个图,帮助理解记忆:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    偏差和方差与集成学习

    集成学习常用的提升方法是bagging和boosting。

    • Bagging是Bootstrap Aggregating的简称,意思是再抽样。具体而言,当决策树不限制深度或不进行剪枝时,极容易出现过拟合。集成学习中采用bagging就是随机森铃,通过对多个决策树取平均,可以减小过拟合,即降低方差。(用过过强的分类器,解决过拟合)
    • Boosting是将一个弱分类器的误差或者残差,作为下一个弱分类器的输入,通过弱分类器的叠加组合,可以降低偏差。(用于过弱的分类器,解决欠拟合问题)

    引用:
    1、吴恩达老师《deep learning ai》
    2、《hands on machine learning with sklearn and tensorflow》

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  • 首先明确一点,Bias和Variance是针对Generalization(一般化,泛化)来说的。 在机器学习中,我们用训练数据集去训练(学习)一个model(模型),通常的做法是定义一个Loss function(误差函数),通过将这个Loss...
  • 机器学习模型中的误差主要分为两个部分:bias和variance,一般情况下,模型需要在bias和variance之间取得一个平衡。bias小的模型,variance一般大;variance小的模型,bias一般大。更好的理解bias和variance的关系...
  • variance_scaling_initializer( factor=2.0, mode='FAN_IN', uniform=False, seed=None, dtype=tf.float32 ) Returns an initializer that generates tensors without scaling variance. When initializing a...
  • 本文主要讲解了machine learning中模型选择、评估的方法,重点在于诊断模型欠拟合或过拟合时用到的偏离bias和方差variance的概念,及其与正则化项的关系。 原楼主在文中为了解释诊断偏离bias和方差variance的区别,...
  • I’m trying to find out, how much variance of the original data the components (computed by ICA) explain, but I’m not sure how to do this. (My goal is something like: Component 1 e...
  • Kotlin使用的是声明端型变(declaration-site variance), 意思就是说,在定义一个类的时候处理, 具体如下所示: // 使用out关键字 class ReadableList < out T >{ } val dogReadable: ReadableList...
  • 1.看图可以看到,如果是处于high bias问题,那么training和test set的cost都会很大如果是处于high variance问题,那么training set的cost很小,而test set的cost会很大2. regularization与bias 以及variance的关系...
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  • bias:if we average all f', is it close to f^. bias 衡量模型拟合训练数据的能力,其中训练数据可以是数据的部分(mini—batch) bias越小,拟合能力就越高(可能产生over fitting)反之,拟合...variance越...
  • 这是受了均匀分布字面意思的误导,均匀分布指的是单位体积内样本点个数相同,对于1维的情况是基于距离均匀分布计算的最近邻分布;对于2维的情况,在以原点为圆心的同心圆的边上的点成为最近邻的概率相同,而考虑圆上...
  • 当KKK值大的时候, 我们会有更少的Bias(偏差), 更多的Variance。 当KKK值小的时候, 我们会有更多的Bias(偏差), 更少的Variance。 首先,我们应该明确何为偏差(Bias)和方差(Variance)以及它们与误差(Error)的关系? ...
  • bias and variance

    2016-12-25 08:46:40
    所以bias和variance的选择是一个tradeoff,过高的varience对应的概念,有点『剑走偏锋』『矫枉过正』的意思,如果说一个人varience比较高,可以理解为,这个人性格比较极端偏执,眼光比较狭窄,没有大局观。...
  • The data has zero variance. 出错 ClassificationNaiveBayes (line 103) this.DistributionParameters = fitNonMNDists(this); 出错 classreg.learning.FitTemplate/fit (line 258) [varargout{1:nargout}] = ...
  • PCA中total variance的解释

    千次阅读 2013-01-16 11:50:00
    最近在看LMNN的论文时, 发现作者做实验的起始步骤中首先用PCA对高纬度sample features进行降维处理时, 提到如何...这里的total variance是啥意思呢? google了一下, 以下这篇文章有很好的解释: http://support.sas
  • 本文主要总结Scala中关于generic variance(泛型变化, 我也不知道该怎么翻译,以下称 GV),(co-,contra-,in)variance in Scala 的相关知识,什么是 generic variance 呢?我的感觉是一种泛型类型的类型系统,应该和 ...
  • 所以bias和variance的选择是一个tradeoff,过高的variance对应的概念,有点『剑走偏锋』『矫枉过正』的意思,如果说一个人variance比较高,可以理解为,这个人性格比较极端偏执,眼光比较狭窄,没有大局观。...
  • Bias & Variance

    2019-09-28 12:16:34
    Bias & Variance Informally,wedenethebiasofamodeltobetheexpected generalizationerrorevenifweweretofitittoa...
  • 在scala中可以这么表达同样的意思: val list : List[_ ] = List[String]("Spark") class Person class Student extends Person class C[+T](val args : T) //注意一点:如果要继承一个型变的泛型类型,那...
  • Bias and Variance 分析 Bias:表示我们的模型预测的期望值(或者叫平均值)与模型想要努力接近真实值的difference。注意一点,这里的期望值是指,你可以通过多个数据集(随机性)来训练多个模型(参数会不同),...
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variance的意思