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  • 如果从其他分布假设出发,对于单个资产来说,已经有t-garch等模型可以用于波动率建模,相对容易,但对于资产组合来说,多元正态具有边际分布及线性组合也符合多元正态分布的良好性质,但多元t分布,多元渐进t分布等...

    作者:量化小白H     Python爱好者社区专栏作者

    个人公众号:量化小白上分记

    前文传送门:

    之前总结的大部分模型都是基于正态性的假设,但实际上,正态性假设并不非常符合金融时间序列的特征。如果从其他分布假设出发,对于单个资产来说,已经有t-garch等模型可以用于波动率建模,相对容易,但对于资产组合来说,多元正态具有边际分布及线性组合也符合多元正态分布的良好性质,但多元t分布,多元渐进t分布等就不具有这么好的性质,因此需要一些新的模型来解决这一问题,本文总结一种可以用于资产组合分布建模的方法:Copula模型,通过Copula模型描述出组合的分布后,就可以利用之前蒙特卡洛的方法估计组合VaR。

    1. 资产组合VaR建模方法回顾

    文章中总结了通过DCC模型估计组合向前一日VaR的方法,整体思路如下:通过Garch族模型估计各资产的波动率

    通过DCC模型估计各资产间的相关系数,结合1得到资产组合的协方差矩阵

    在各资产正态性假设的前提下,可以知道资产组合也服从正态分布,并且均值与协方差阵已在1,2中计算得到

    在已知组合中各但资产权重w的情况下,根据下式计算组合VaR

    文章中总结了通过蒙特卡洛方法估计组合向前K日VaR的方法,也可以仅计算组合向前一日VaR(本文只考虑向前1日的情况),文章中也对比了蒙特卡洛方法与DCC方法得到的结果,差异并不大。蒙特卡洛方法的思路如下:根据Garch族模型估计资产的波动率

    根据DCC模型估计组合的相关系数

    在1,2的基础上,在正态性假设前提下,得到组合的分布函数,对组合收益率进行模拟,在给定各资产权重w的情况下,可以得到组合的总收益

    重复1-3若干次,可以得到组合总收益的模拟序列,类似HS方法,取p分位数即可

    可以看出不论是DCC模型还是蒙特卡洛方法,都是在正态性假设的前提下,得到组合的分布函数再进行求解。事实上,也可以类比多元正态的概念构建多元t分布和多元渐进t分布,假设组合服从这样的分布,求出分布的参数后,再用蒙特卡洛方法进行模拟,这些理论依据已经很成熟,推导过程见文献[1],这里不再赘述。

    但需要说明的是,多元t分布和多元渐近t分布都没有边际分布和线性组合依然多元t或者多元渐近t的性质。回忆多元正态的情况下,为了生成多元正态随机数,实际上是先产生不相关的n组一元正态随机数向量,然后通过cholesky分解转换为符合给定相关系数矩阵的组合收益率模拟序列。如果组合的分布不具有类似多元正态的性质,要根据分布函数模拟组合收益就比较困难,必须直接通过多元分布函数产生随机数,不能分解成单个资产去做,虽然也有相关的方法可以生成给定分布函数下随机数,但都比较麻烦,这是之前方法的一个局限性。

    此外,多元正态假设所有的单个资产都是正态分布,多元t分布和多元渐近t分布的边际分布并非t分布或者渐近t分布,而不同的资产可能服从不同的分布,需要用不同方法去建模,已有的多元分布都不能满足这一条件,这是之前方法的另一局限性。

    比较理想的状态是,我们可以用不同的方法对不同的单资产进行建模,最终n各资产具有不同的分布函数

    这种情况下,如果可以找到一个连接函数G,通过这n个边际分布得到组合的分布F,就可以解决上面所说的两种局限。

    这也正是本文总结的Copula模型的逻辑。

    2.Copula模型

    Sklar定理

    Copula模型整体来说比较复杂,这里只对关键的部分加以说明,模型中最重要的定理是Sklar定理,也就是上面所说的理想情况,具体叙述如下

    G称为copula CDF,在sklar定义的假设下,如果我们已经通过一些单变量模型得到了单资产的分布函数,只需要确定出copula函数G,就相当于知道了组合的分布函数,从而把估计组合分布函数的问题转化为估计copula函数的问题。当然copula函数也不是靠猜,有一些常用的copula函数可以选择,在确定了copula函数之后,可以通过MLE等方法估计参数。

    参数估计(MLE)

    对sklar定理两边求导得到密度函数之间的关系

    从而

    对数似然函数为

    通过最大化对数似然函数L得到参数的估计量,这当中f都是已知的,g通过G进行计算。copula函数大致可以分为三类,以二元情况为例:

    多元正态copula函数

    模型中唯一需要估计的参数为rho-star,g为对G求导的结果

    此时对数似然函数可以表示为

    可以留意下这个式子,实证部分用到这个

    多元t-copula函数

    有rou-star和d两个待估参数

    阿基米德copula函数

    这里的C就是上文的G,见参考文献[2],二元情况下,可以细分为

    其中,序号1称为Gumbel Copula函数,序号2称为Clayton Copula函数,序号3称为Frank Copula函数,之所以说明这三个,是因为这三个实际应用中比较多,python的copulalib包中也只提供这三种方法,不过本文并未尝试这几种方法,有兴趣的可以自己尝试下。

    VaR估计思路

    从之前的叙述中可以看出,通过copula函数得到的组合分布函数没有非常好的解析表达式,所以直接通过定义计算VaR的方法行不通,一般采取与蒙特卡洛方法相结合的方式,生成给定copula函数下的随机数,模拟资产组合的收益序列,再根据组合权重得到组合总收益,重复若干次,取p分位数。

    随机数构造

    使用蒙特卡洛方法的难点在于生成给定copula函数下的随机数,需要用到Nelsen定理,详见参考文献[2]

    用Nelson定理构造随机数的方法如下

    看了下copulib的源码,就是用这种方法构造的。而如果是多元正态copula或者多元t-copula的话, 有更简便的方法。以二元为例,可以往更高维推广

    服从二元正态,可以直接模拟,然后再用标准正态分布函数作用,就可以得到符合给定多元正态copula的随机数,多元t-copula分布类似。

    在得到符合给定copula分布的随机数u后,根据单个资产的分布F,可以得到单资产对应的随机数z

    随后可以根据权重计算组合收益进而估计VaR。

    综上,可以将Copula函数估计VaR的过程总结如下

    选择copula函数,估计参数第一步:根据单变量模型对所有单资产进行建模,估计分布函数F;第二步:根据所有的分布函数F和给定copula函数,最大化对数似然函数估计参数;蒙特卡洛模拟估计VaR第一步:生成符合copula函数的随机数;第二步:通过随机数得到各资产收益的模拟序列;第三步:根据各资产权重得到组合收益序列,取p分位数作为VaR估计值

    3.实证分析

    数据:S&P500、US 10yr T-Note Fixed Term(同上一篇)

    区间:2001-2010

    蒙特卡洛模拟次数:10000次

    数据和代码在后台回复“VaR5”获取

    仅估计最后一天的VaR。代码中未给出太多注释,可以参见文献[1]第九章习题。

    前两道题首先通过threshold correlation说明正态性假设并不符合实际,threshold correlation定义如下,r(p)表示r的p分位数

    结果如下

    蓝色线为真实收益序列的threshold correlation,红色为标准正态的,如果将真实收益序列转化为标准收益,结果如下

    可以看出,二者相差很大,说明用多元正态进行建模并不符合实际。1def getThre_cor(data,column1,column2,p):2    cor = pd.DataFrame(p,columns = ['p'])3    cor['thre_cor'] = 04    for i in range(cor.shape[0]):5        if p[i] <=0.5:6            condition1 = (data[column1] <=  np.percentile(data[column1],p[i]*100))7            condition2 = (data[column2] <=  np.percentile(data[column2],p[i]*100))8        else:9            condition1 = (data[column1] >  np.percentile(data[column1],p[i]*100))10            condition2 = (data[column2] >  np.percentile(data[column2],p[i]*100))11        datas = data.loc[condition1 & condition2,:]                               12        cor.loc[i,'thre_cor'] = np.corrcoef(datas[column1],datas[column2])[0,1]13    return cor1415def Thre_cor_norm(num,rou):16    np.random.seed(52)17    data = pd.DataFrame(index = range(num))18    data['r1'] = np.random.normal(size=(num,1))19    data['r2'] = np.random.normal(size=(num,1))2021    data['r1_c'] = data['r1']22    data['r2_c'] = data.r1*rou + data.r2*(1 - rou**2)**0.523    return data2425p = np.arange(0.15,0.90,0.05)26rou = np.corrcoef(data1.Log_Return_SP,data1.Log_Return_US)[0,1]27data_norm = Thre_cor_norm(30000,rou)28cor_norm = getThre_cor(data_norm,'r1_c','r2_c',p)2930p = np.arange(0.15,0.86,0.01)31cor = getThre_cor(data1,'Log_Return_SP','Log_Return_US',p)32ax = plt.figure(figsize=(10,5))33plt.plot(cor.p,cor.thre_cor,linewidth = 2)34plt.plot(cor_norm.p,cor_norm.thre_cor,linewidth = 2,color = 'red')35plt.grid()36plt.show()

    第三道题为用t-garch分别对两个单资产进行建模,估计参数d,不再说明;

    第四道题为用第三问的结果建立二元正态copula模型,估计组合VaR,过程前面已经说明,代码如下

    估计copula函数的参数1def getNegativeLoglikelihood_copula(rou,r):2    LogLikeLihood = -r.shape[0]*np.log(1 - rou**2)/2 - ((r.norm1**2 +r.norm2**2 - 2*rou*r.norm1*r.norm2)/(2*(1 - rou**2)) -3                                                      0.5*(r.norm1**2 + r.norm2**2)).sum()4    return -LogLikeLihood  56rou_best = optimize.fmin(getNegativeLoglikelihood_copula,rou0,  \7                                       args=(copula_data,),ftol = 0.000000001)8print('估计结果为:',rou_best)

    模拟1data4['u1c'] = data4['u1']2data4['u2c'] = data4.u1*rou + data4.u2*(1 - rou**2)**0.5  3data4['F1'] = norm(0,1).cdf(data4['u1c'])4data4['F2'] = norm(0,1).cdf(data4['u2c'])5data4['z1'] = t(d_SP).ppf(data4.F1)*((d_SP-2)/d_SP)**0.56data4['z2'] = t(d_US).ppf(data4.F2)*((d_US-2)/d_US)**0.57data4['R1'] = data4.z1*sigma_SP**0.58data4['R2'] = data4.z2*sigma_US**0.59data4['R'] = 0.5*data4.R1 +0.5* data4.R210VaR = -np.percentile(data4.R,1)

    最终估计结果为VaR = 0.0101,可以与上篇文章最后一日的结果相对比,基本上是一致的。

    为了与文献[2]结果统一,代码中大部分地方用的参数都是直接从文献中取的,小部分参数估计结果与文献有差异,也直接用了文献的数字,对代码或者文章有疑问的,欢迎交流。

    -END-

    参考文献

    1.Christoffersen, Peter F. Elements of financial risk management. Academic Press, 2011.

    2.韦艳华, 张世英. Copula 理 论 及 其 在 金 融 分 析 上 的 应 用[J].

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  • 方差的性质

    千次阅读 2019-12-24 15:04:33
    当X是随机变量,C是常数时:Var(CX)=C2Var(X),Var(C+X)=Var(X)Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X)Var(CX)=C2Var(X),Var(C+X)=Var(X) 设X与Y是随机变量,Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Va...
    1. 当C为常数时,Var(C)=0Var( C ) = 0

    2. 当X是随机变量,C是常数时:Var(CX)=C2Var(X),Var(C+X)=Var(X)Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X)

    3. 设X与Y是随机变量,Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
      Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)
      其中,协方差是Cov(X,Y)=E[(XEX)(YEY)]Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]
      当X,Y是不相关的随机变量时,Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

    4. Var(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数E(X),即
      P(X=EX)=1P({X=EX})=1
      (当且仅当X取常数值E(X)时的概率为1时,Var(X)=0。)
      注:不能得出X恒等于常数,当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。

    5. Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y)Var(aX+bY) =a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y)

    6. 总体方差计算公式:
      σ2=Σ(Xμ)2N\sigma^2=\frac{\Sigma(X-\mu)^2}{N}
      σ2\sigma^2 为总体方差
      xx为变量
      μ\mu 为总体均值
      NN为总体例数
      7.样本方差计算公式:
      S2=Σ(XX)n1S^2=\frac{\Sigma(X-\overline{X})}{n-1}
      X\overline X为样本均值
      S2,XnS^2 为样本方差,X为变量,n为样本例数

    7. 离散型方差:
      Var(X)=Σi=1npi(˙xiμ)2Var(X) = \Sigma_{i=1}^n{p_i\dot(x_i-\mu)^2}
      其中μ=E(X)\mu = E(X)
      而将上式展开后可得:
      Var(X)=Σi=1n(pixi2)μ2Var(X)=\Sigma_{i=1}^{n}(p_i*x_i^2)-\mu ^2

    展开全文
  • VAR(向量自回归)模型

    千次阅读 多人点赞 2020-06-14 10:03:34
    VAR(向量自回归)模型是基于数据统计性质建立起来的模型,它把系统中的每个内生变量作为系统里所有其它内生变量滞后值的函数进行构建模型,从而把单变量的自回归模型推广到了多元时间序列组成的向量自回归模型。...

    一、简介

    1.1 内生变量与外生变量

    内生变量

    • 内生变量是具有某种概率分布的随机变量,它的参数是联立方程系统估计的元素,是由模型系统决定的,同时也对模型系统产生影响。
    • 内生变量–般都是明确经济意义变量。
    • 一般情况下,内生变量与随机项相关,即 Cov(Yi,εi)0Cov\left( Y_i,\varepsilon _i \right) \ne 0
    • 在联立方程模型中,内生变量既作为被解释变量,又可以在不同的方程中作为解释变量。

    外生变量

    • 外生变量一般是确定性变量,或者是具有临界概率分布的随机变量,其参数不是模型系统研究的元素。
    • 外生变量影响系统,但本身不受系统的影响。
    • 外生变量一般是经济变量、政策变量、虚拟变量。
    • 一般情况下,外生变量与随机项不相关。

    注意:一个变量是内生变量还是外生变量,由经济理论和经济意义决定,不是从数学形式决定。

    1.2 VAR模型概念

    向量自回归模型,简称VAR模型,是AR 模型的推广,是一种常用的计量经济模型。在一定的条件下,多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型。

    VAR模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。

    向量自回归模型把系统中每-一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型,从而实现了将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。

    VAR模型常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动态影响,主要应用于宏观经济学。是处理多个相关经济指标的分析与预测中最容易操作的模型之一。

    由于向量自回归模型把每个内生变量作为系统中所有内生变量滞后值的函数来构造模型,从而避开了结构建模方法中需要对系统每个内生变量关于所有内生变量滞后值的建模问题。

    1.3 VAR模型结构

    单变量的时间序列的分析模式可以推广到多变量时间序列,建立向量自回归模型。向量自回归模型通常用于描述多变量时间序列之间的变动关系,不需要经济理论作为基础,从数据出发建立模型,是一种非结构化的模型。

    非限制性向量自回归模型的一般表达式如下:

    模型的基本形式是弱平稳过程的自回归表达式,描述的是在同一样本期间内的若干变量可以作为它们过去值的线性函数。

    Yt=Φ0+Φ1Yt1++ΦpYtp+BXt+εt , t=1,2,,T Y_t=\varPhi _0+\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+BX_t+\varepsilon _t\ \text{,\ }t=1,2,\cdots ,T

    其中
    Yt=(y1ty2tykt)εt=(ε1tε2tεkt)Φ0=(ϕ10ϕ20ϕk0) Y_t=\left( \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \vdots\\ y_{kt}\\ \end{array} \right) \text{,}\varepsilon _t=\left( \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \vdots\\ \varepsilon _{kt}\\ \end{array} \right) \text{,}\varPhi _0=\left( \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \vdots\\ \phi _{k0}\\ \end{array} \right)

    Φi=(ϕ11(i)ϕ12(i)ϕ1k(i)ϕ21(i)ϕ22(i)ϕ2k(i)ϕk1(i)ϕk2(i)ϕkk(i))    i=1,2,,p \varPhi _i=\left( \begin{matrix} \phi _{11}\left( i \right)& \phi _{12}\left( i \right)& \cdots& \phi _{1k}\left( i \right)\\ \phi _{21}\left( i \right)& \phi _{22}\left( i \right)& \cdots& \phi _{2k}\left( i \right)\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \phi _{k1}\left( i \right)& \phi _{k2}\left( i \right)& \cdots& \phi _{kk}\left( i \right)\\ \end{matrix} \right) \,\,\text{,\,\,}i=1,2,\cdots ,p

    • YtY_t 表示 k 维内生变量列向量
    • Ytii=1,2,,pY_{t-i}\text{,}i=1,2,\cdots ,p 为滞后的内生变量
    • XtX_t 表示 d 维外生变量列向量,它可以是常数变量、线性趋势项或者其他非随机变量
    • p 是滞后阶数
    • T 为样本数目
    • Φi\varPhi _iΦ1,Φ2,Φp\varPhi _1,\varPhi _2\cdots ,\varPhi _pk×kk\times k 维的待估矩阵
    • B 为 k×dk\times d 维的待估矩阵
    • εtN(0,Σ)\varepsilon _t\sim N\left( 0,\varSigma \right) 为 k 维白噪声向量,它们相互之间可以同期相关,但不与自己的滞后项相关(诸 εt\varepsilon _t 独立同分布,而 εt\varepsilon _t 中的分量不要求相互独立),也不与上式中右边的变量相关。Σ\varSigmaεt\varepsilon _t 的协方差矩阵, 是一个 k×kk\times k 的正定矩阵。.

    比如 1 维 p 阶 向量自回归模型

    {y1t=ϕ10+ϕ11(1)y1,t1+ϕ12(1)y2,t1++ϕ1n(1)yn,t1        +ϕ11(2)y1,t2+ϕ12(2)y2,t2++ϕ1n(2)yn,t2        +        +ϕ11(p)y1,tp+ϕ12(p)y2,tp++ϕ1n(p)yn,tp+εt \left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\cdots +\phi _{1n}\left( 1 \right) y_{n,t-1}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{1n}\left( 2 \right) y_{n,t-2}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}+\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\cdots +\phi _{1n}\left( p \right) y_{n,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.

    不含常数项或线性趋势项的向量自回归模型表达式为:

    Yt=Φ1Yt1++ΦpYtp+εt , t=1,2,,T Y_t=\varPhi _1Y_{t-1}+\cdots +\varPhi _pY_{t-p}+\varepsilon _t\ \text{,\ }t=1,2,\cdots ,T

    1.4 VAR模型的特点

    1. 不以严格的经济理论为依据。在建模过程中只需明确两件事:①共有哪些变量是相互有关系的,把有关系的变量包括在VAR模型中;②确定滞后期 p。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
    2. VAR模型对参数不施加零约束。(对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除,不分析回归参数的经济意义。)
    3. VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量,所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在(主要是参数估计量的非一致性问题)。
    4. VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。比如一个VAR模型含有三个变量,最大滞后期 p=3,则有27个参数需要估计。当样本容量较小时,多数参数的估计量误差较大。
    5. 无约束VAR模型的应用之一是预测。由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量,这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
    6. 用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时,则只能预测出变动的趋势,而对短期波动预测不理想。

    二、模型的定阶(滞后阶数检验)

    滞后阶数检验需要考虑两个问题:

    • 第一,如果滞后阶数 p 比较小,那么随机误差项会出现自相关的问题;
    • 第二,在实际应用中,通常希望滞后阶数 p 足够大,进而能够更好的体现所构造的模型的动态特征,但是如果滞后阶数 p 过大时,那么模型所需要估计的参数就越多,将存在自由度太小的问题,如果没有足够多的样本数量,就会造成所需要估计参数不能有效的计算出来。

    所以,在做滞后阶数检验之前,需要把各种因素都考虑在内,这样才能保证检验结果是有效的。

    有两种方法可以做滞后阶数检验:

    • 第–种方法,分析各种准则,最后确定滞后阶数,AIC准则、SC准则、HQ准则、LogL准则、最终预测误差(FPE);.
    • 第二种方法,分析似然比(LR),这种方法不会出现第一-种方法的无效结果。

    第一种方法被学者们用的最多。.第一种方法中的五个指标在各个阶数的估计值,选取五个检验准则最小值数量最多的阶数即为模型的滞后期数。

    比如

    在这里插入图片描述

    三、模型的系数估计

    对于向量自回归模型系统中的每一个方程都可以采用OLS(最小二乘估计)方法进行估计,同时估计量具有一致性和无偏性。

    一个 k 维 p 阶向量自回归模型中,各方程中所有解释变量的滞后期是相同的,都为滞后 p 期,因此共估计得到 p×k2+kp\times k^2+k 个系数。

    四、单位根检验

    时间序列平稳性是指–组数列的统计值与时间无关,不会随时间推移而变化,它通常是以因果关系为基础的数学模型的假设条件。

    • 如果时间序列 yty_t 是一组平稳序列,那么经过计算分析得到其均值 E(yt)E\left( y_t \right) 不随时间变化而变化,其方差 Var(yt)Var\left( y_t \right) 也不受时间的影响。
    • 如果时间序列 yty_t 不是一组平稳序列,那么它的均值和方差都会受到时间t影响,随之改变。

    在VAR模型中,必须保证时间序列稳定。如果不能保证时间序列稳定,那么会导致两种结果:

    第一,向量自回归系数的估计值是负数,做完 t 检验后,得到的结果是无效的;
    第二,两个独立变量的相关关系或者回归关系是假的,使得模型的结果无效。

    (1)DF 检验

    DF 检验只适用于一阶自回归过程的平稳性检验

    在一阶自回归序列中,
    yt=ϕ1yt1+εt , εtN(0,σε2) y_t=\phi _1y_{t-1}+\varepsilon _t\ ,\ \varepsilon _t\sim N\left( 0,\sigma _{\varepsilon}^2 \right)
    该序列的特征方程为:

    λϕ1=0 \lambda -\phi _1=0

    特征根为:
    λ=ϕ1 \lambda =\phi _1
    当特征根在单位圆内时:ϕ1<1\left| \phi _1 \right|<1,该序列平稳
    当特征根在单位圆上或单位圆外时:ϕ11\left| \phi _1 \right|\ge 1,该序列非平稳

    所以可以通过检验特征根是在单位圆内还是在单位圆上(外),来检验序列的平稳性,这种检验就称为单位根检验。

    由于现实生活中绝大多数序列都是非平稳序列,所以单位根检验的原假设定为:

    H0:序列 yt 非平稳H0:ϕ11 H_0:\text{序列\ }y_t\ \text{非平稳}\Leftrightarrow H_0:\left| \phi _1 \right|\ge 1

    相应的备择假设为:H1:序列 yt 平稳H1:ϕ1<1 H_1:\text{序列\ }y_t\ \text{平稳}\Leftrightarrow H_1:\left| \phi _1 \right|<1
    检验统计量为:t(ϕ1)=ϕ^1ϕ1S(ϕ^1) t\left( \phi _1 \right) =\frac{\hat{\phi}_1-\phi _1}{S\left( \hat{\phi}_1 \right)}
    拒绝原假设,认为序列 yty_t 显著平稳

    (2)ADF 检验

    因为 DF 检验只适用于1阶自回归过程的平稳性检验,但实际上绝大多数时间序列都不会是一个简单的AR(1)过程。为了使DF检验能适用于AR( p )过程的平稳性检验,对其进行了一定的修正,得到增广DF检验(augmented Dickey-Fuller),简记为ADF检验。

    对任一 AR ( p ) 过程

    yt=ϕ1yt1++ϕpytp+εt y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t

    特征方程:
    λpϕ1λp1ϕ2λp2ϕp=0 \lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\phi _2\lambda ^{p-2}-\cdots -\phi _p=0

    如果该方程所有的特征根都在单位圆内,即λi<1i=1,2,,p \left| \lambda _i \right|<1\text{,}i=1,2,\cdots ,p

    则序列 yty_t 平稳

    如果有一个单位根存在,不妨设
    λ1=1 \lambda _1=1

    则序列 yty_t 非平稳,且自回归系数之和恰好等于1:
    {λpϕ1λp1ϕpλpp=0λ=11ϕ1ϕp=0ϕ1+ϕ2++ϕp=1 \left\{ \begin{array}{l} \lambda ^p-\phi _1\lambda ^{p-1}-\cdots -\phi _p\lambda ^{p-p}=0\\ \\ \xRightarrow{\lambda =1}\\ \\ 1-\phi _1-\cdots -\phi _p=0\\ \\ \Rightarrow\\ \\ \phi _1+\phi _2+\cdots +\phi _p=1\\ \end{array} \right.

    因而,对于AR( p )过程,可以通过检验自回归系数之和是否等于1来考察该序列的平稳性.

    将.上述推广到 VAR( p ) 模型中,如果特征方程
    INλpΦ1λpΦ2λpΦp=0 \left| I_N\lambda ^p-\varPhi _1\lambda ^p-\varPhi _2\lambda ^p-\cdots -\varPhi _p \right|=0

    的所有特征根都落在单位圆内,即 λi<1(i=1,2,,p)\left| \lambda _i \right|<1\text{,}\left( i=1,2,\cdots ,p \right),那么就说 VAR( p ) 模型是协方差稳定的。

    引入延迟算子B,如果 VAR( p ) 模型满足
    INΦ1BΦ2B2ΦpBp=0 \left| I_N-\varPhi _1B-\varPhi _2B^2-\cdots -\varPhi _pB^p \right|=0

    的所有根都在单位圆外,模型也是协方差稳定的。


    yt=ϕ1yt1++ϕpytp+εt y_t=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}+\varepsilon _t
    进行等价变换:
    ytyt1=ϕ1yt1++ϕpytpyt1+εt y_t-y_{t-1}=\phi _1y_{t-1}+\cdots +\phi _py_{t-p}-y_{t-1}+\varepsilon _t

    整理得
    yt=(ϕ1++ϕp1)yt1(ϕ2++ϕp)yt1ϕpytp+1+εt \triangledown y_t=\left( \phi _1+\cdots +\phi _{p-1} \right) y_{t-1}-\left( \phi _2+\cdots +\phi _p \right) \triangledown y_{t-1}-\cdots -\phi _p\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t
    简记为
    yt=αyt1+β1yt1++βp1ytp+1+εt \triangledown y_t=\alpha y_{t-1}+\beta _1\triangledown y_{t-1}+\cdots +\beta _{p-1}\triangledown y_{t-p+1}+\varepsilon _t
    式中
    {α=ϕ1+ϕ2+ϕp1βj=ϕj+1ϕj+2ϕp , j=1,2,,p1 \left\{ \begin{array}{l} \alpha =\phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p-1\\ \\ \beta _j=-\phi _{j+1}-\phi _{j+2}-\cdots -\phi _p\ \text{,\ }j=1,2,\cdots ,p-1\\ \end{array} \right.

    若序列 yty_t 平稳,则ϕ1+ϕ2+ϕp<1 \phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p<1 等价于 α<0

    若序列 yty_t 非平稳,则至少存在一个单位根,有
    ϕ1+ϕ2+ϕp=1 \phi _1+\phi _2+\cdots \phi _p=1
    等价于 α=0

    则AR( p )过程单位根检验的假设条件可以确定为:
    H0:α=0(序列非平稳)H1:α<0(序列平稳) H_0:\alpha =0\left( \text{序列非平稳} \right) \longleftrightarrow H_1:\alpha <0\left( \text{序列平稳} \right)

    构造ADF检验统计量:

    τ=α^S(α^) \tau =\frac{\hat{\alpha}}{S\left( \hat{\alpha} \right)}

    S(α^)S\left( \hat{\alpha} \right) 为参数 α 的样本标准差

    通过蒙特卡洛方法,可以得到r检验统计量的临界值表,显然DF检验是ADF检验在自相关阶数为1时的一个特例,所以统称为ADF检验

    利用 EVIEWS 可以进行平稳性检验

    五、格兰杰因果检验

    在有些情况下,时间序列分析也会出现伪相关问题,也就是可以计算出较大的相关系数的变量实际上并不相关。

    针对此问题,格兰杰因果检验由此而生。格兰杰因果检验用于检验时间序列之间是否存在相关关系,它是能否建立脉冲函数的前提。

    在VAR模型中,格兰杰检验的因果关系不是通常所说的因果关系(并非真正汉语意义上的“因果关系”),而是说先发生的事情后发生的事情有–定的影响,或者说某个变量是否可以用来提高对其他相关变量的预测能力。所以,“格兰杰因果关系的实质是一-种“预测”关系

    其实质是考量一个变量的滞后量能否加入到其他变量的公式中。当一个变量确实受到其他变量的滞后量影响时,可以称这两个变量具有格兰杰因果关系。

    格兰杰因果检采取以下方式验证是否是真正的相关关系

    (1)估计当前的Y值被Y本身滞后期取值所能解释的程度;
    (2)检验加入X的滞后期后,Y的被解释程度是否提高;
    (3)如果满足条件(2),则X是Y的格兰杰成因,此时X的滞后期系数具有统计显著性。

    具体是通过在向量自回归模型系统中考察序列滞后项的系数是否全为零来进行检验。以一个2维p阶平稳向量自回归模型为例

    {y1t=ϕ10+ϕ11(1)y1,t1+ϕ11(2)y1,t2++ϕ11(p)y1,tp        +ϕ12(1)y2,t1+ϕ12(2)y2,t2++ϕ12(p)y2,tp+εt \left\{ \begin{array}{l} y_{1t}=\phi _{10}+\phi _{11}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{11}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{11}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{12}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{12}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{12}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.
    {y2t=ϕ20+ϕ21(1)y1,t1+ϕ21(2)y1,t2++ϕ21(p)y1,tp        +ϕ22(1)y2,t1+ϕ22(2)y2,t2++ϕ22(p)y2,tp+εt \left\{ \begin{array}{l} y_{2t}=\phi _{20}+\phi _{21}\left( 1 \right) y_{1,t-1}+\phi _{21}\left( 2 \right) y_{1,t-2}+\cdots +\phi _{21}\left( p \right) y_{1,t-p}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ +\phi _{22}\left( 1 \right) y_{2,t-1}+\phi _{22}\left( 2 \right) y_{2,t-2}+\cdots +\phi _{22}\left( p \right) y_{2,t-p}+\varepsilon _t\\ \end{array} \right.

    可以写成
    [y1ty2t]=[ϕ10ϕ20]+[ϕ11(1)ϕ12(1)ϕ21(1)ϕ22(1)][y1,t1y2,t1]+[ϕ11(2)ϕ12(2)ϕ21(2)ϕ22(2)][y1,t2y2,t2]               ++[ϕ11(p)ϕ12(p)ϕ21(p)ϕ22(p)][y1,tpy2,tp]+[ε1tε2t] \left| \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{c} y_{1t}\\ y_{2t}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \phi _{10}\\ \phi _{20}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 1 \right)& \phi _{12}\left( 1 \right)\\ \phi _{21}\left( 1 \right)& \phi _{22}\left( 1 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-1}\\ y_{2,t-1}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( 2 \right)& \phi _{12}\left( 2 \right)\\ \phi _{21}\left( 2 \right)& \phi _{22}\left( 2 \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-2}\\ y_{2,t-2}\\ \end{array} \right]\\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots +\left[ \begin{matrix} \phi _{11}\left( p \right)& \phi _{12}\left( p \right)\\ \phi _{21}\left( p \right)& \phi _{22}\left( p \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} y_{1,t-p}\\ y_{2,t-p}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \varepsilon _{1t}\\ \varepsilon _{2t}\\ \end{array} \right]\\ \end{array} \right.

    检验原假设:H0: y2t不是y1t的格兰杰原因 H_0:\ y_{2t}\text{不是}y_{1t}\text{的格兰杰原因}

    则通过F检验来检验联合假设
    ϕ12(1)=ϕ12(2)==ϕ12(p)=0 \phi _{12}\left( 1 \right) =\phi _{12}\left( 2 \right) =\cdots =\phi _{12}\left( p \right) =0

    若检验结果拒绝原假设,即拒绝 y2ty_{2t} 不是 y1ty_{1t} 的格兰杰原因,则通常称 y2ty_{2t}y1ty_{1t} 的格兰杰原因。

    由于格兰杰因果关系检验是在向量自回归模型的基础上进行的,因此向量自回归模型本身的合理性对格兰杰因果关系检验的结果也是非常重要的。例如,向量自回归模型本身应当具有恰当的滞后期。

    六、脉冲响应分析

    在VAR模型中,脉冲响应分析的作用是可以分析某个变量对另一个变量的影响时间和幅度。研究当扰动项发生变化时,对整个模型系统产生的影响,用来描述一个变量的变动怎样影响模型其他所有的变量。

    如果时间序列是稳定的,虽然前几期受到外部冲击的影响,该变量会处于一个变化的状态,但经过一段时间,最终会处于-一个平稳的状态。

    由于向量自回归模型表达式中所需要估计的参数非常多,并且一个系数只能反应局部关系。

    也就是,VAR模型中的各个等式中的系数并不是研究者最终关注的对象,对模型表达式中的系数的研究意义并不大。但是如果考虑一个扰动项变动,或者受到一个干扰或冲击,各个变量之间的动态关系,也就是系统的动态反应,是具有–定意义的。

    脉冲响应函数

    在参数估计量的评价标准中,一般包含无偏性、有效性、相合性和一致性,而VAR模型参数的普通最小二乘法估计量只具有–致性,因此要解释复杂的经济问题,单个参数估计值是很难完成的。

    一个有效的对VAR模型进行分析的方法就是脉冲响应函数。

    脉冲响应函数研究的是随机干扰项遭受冲击后内生变量的反应,用来描述对随机干扰项施加一一个冲击后对内生变量的当期值和未来值造成的影响

    在实际的应用中,由于VAR模型是一种非理论性的模型,因此在对VAR模型的分析中,很少研究一个变量的变化对另-一个变量的影响,而是专注于当一个随机误差项变化时(对随机误差项施加冲击),对系统的动态影响。

    七、方差分解

    在VAR模型中,得到了某个变量对另一个变量的解释度后,能够分析出该变量的重要性。变量会产生一些随机误差项,这些随机误差项都包含着重要的信息,方差分解的结果能够把这些信息全部说明出来。方差分解的作用非常大,这个过程的作用是能够分析某个变量对另-一个变量的解释度。

    如果说脉冲响应函数是来描述数学模型中的任一内生变量的正交冲击对其他变量造成的影响,那么方差分解就是分析各个内生变量的正交冲击对目标内生变量冲击的贡献比例,进而判断分析各个变量的重要性。

    参考:

    《浅析中国对美贸易额的影响因素》_张康琦
    《基于VAR模型的GDP和CPI对居民生活水平的影响分析》_陈小龙
    《向量自回归模型扰动分布的光滑检验及其应用》_钟嫕姝

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  • ES定义为VaR后所有极端值的算术平均,其测度性质VaR更好;VaR的回测是对VaR模型正确性检验的过程,一般有置信区间和Z统计量两种方法,如果想保守点就用单侧检验,追求有效性用双侧检验。

    Expected Shortfall

      又叫条件VaR,定义为VaR后所有极端值的算术平均,即当投资组合的损失超过VaR阈值时所遭受的平均损失程度。由于ES在VaR的基础上进一步考虑了出现极端情况时的平均损失程度,因此可以更为完整地衡量一个投资组合的极端损失风险。仍然以(四十三)中的案例为例,在非参数法的基础上计算持有期分别为1天和10天、置信水平为99%情况下的ES:

    import numpy as np
    import pandas as pd
    data=pd.read_excel('C:/Users/Desktop/投资组合配置的资产情况.xlsx',index_col=0)
    R=np.log(data/data.shift(1)).dropna()
    w=np.array([0.15,0.2,0.5,0.05,0.1])
    Rmean=R.mean();Rcov=R.cov()
    Rp=np.sum(R.mean()*w)#miu
    volp=np.sqrt(w@Rcov@w.T)#sigma
    rp=pd.Series((1e8*R)@w,index=R.index)#投资组合日收益额
    rp
    Out[1]: 
    日期
    2015-01-06   -821493.852971
    2015-01-07   -571227.581954
    2015-01-08   -566389.437960
    2015-01-09   -232246.072524
    2015-01-12   -540918.613270
         
    2018-12-24   -386367.171344
    2018-12-25     45729.829296
    2018-12-26    471615.398346
    2018-12-27    283725.390678
    2018-12-28    923876.469087
    Length: 974, dtype: float64
    def ES_daily(a,x):
        VaR=np.percentile(a,(1-x)*100)
        ES=a[a<=VaR].mean()
        return abs(ES)
    print('99%置信水平下1天的ES为{:.2f},10天的ES为{:.2f}'.format(\
    ES_daily(rp,0.99),ES_daily(rp,0.99)*np.sqrt(10)))
    99%置信水平下1天的ES为2885159.96,10天的ES为9123676.88
    

      可以发现同一置信水平下ES要大于VaR,同时ES具有满足次可加性、动态ES比动态VaR更平滑等优良性质,可以优先使用ES指标对基金进行筛选,或者对投资组合进行极端风险测度。

    VaR back testing

      VaR back testing是指将通过模型得到的VaR估算结果与实际发生的损益进行比较,以检验模型的准确性。比如计算得到持有期1天、置信水平95%的风险价值是1000万,假如观测的交易日天数是1000,如果交易日的损失金额超出1000万元的天数是控制在50天左右(大约占总天数的5%),可以认为计算风险价值的模型是合理的;相反模型可能就不合理,可以通过假设检验或置信区间法来进行。仍然以上述案例为例,验证该投资组合2015~2018年每年的持有期为1天、置信水平为95%情况下的normal VaR准确性。

    def VaR_norm(miu,sigma,x,P,n):#n参数为持有期,x为置信水平
    	import scipy.stats as st
    	z=abs(st.norm.ppf(q=1-x))#标准正态分布中1-x的概率对应的分位点
    	return -(miu-z*sigma)*P*np.sqrt(n)
    print('95%置信水平下1天的normal VaR为{:.2f}'.format(VaR_norm(Rp,volp,0.95,1e8,1)))
    95%置信水平下1天的normal VaR为1030355.12
    

      接下来我们就要找出每一年exceptions的个数(小于-VaR的天数),然后用置信区间(μ-Zσ,μ+Zσ)(根据保守性原则一般用单侧(0,μ+Zσ))或假设检验统计量Z = (x-μ) / √Tp(1-p)来对VaR进行回测。
    在这里插入图片描述

    r2015=rp['2015-01-01':'2015-12-31']
    r2016=rp['2016-01-01':'2016-12-31']
    r2017=rp['2017-01-01':'2017-12-31']
    r2018=rp['2018-01-01':'2018-12-31']
    z=abs(st.norm.ppf(q=0.05))#1.645
    VaR_95=VaR_norm(Rp,volp,0.95,1e8,1)
    #找出每年小于VaR的极端值天数
    ex2015=len(r2015[r2015<-VaR_95])
    ex2016=len(r2016[r2016<-VaR_95])
    ex2017=len(r2017[r2017<-VaR_95])
    ex2018=len(r2018[r2018<-VaR_95])
    print(ex2015,ex2016,ex2017,ex2018)
    22 9 1 6#每年的x值
    
    							#置信区间法
    miu2015=len(r2015)*0.05;sigma2015=np.sqrt(len(r2015)*0.05*0.95)
    print('2015年的置信区间为(0,{:.2f})'.format(miu2015+z*sigma2015))
    2015年的置信区间为(0,17.74)
    #可见22不在置信区间范围内,因此2015年用此VaR模型是不合适的
    miu2016=len(r2016)*0.05;sigma2016=np.sqrt(len(r2016)*0.05*0.95)
    print('2016年的置信区间为(0,{:.2f})'.format(miu2016+z*sigma2016))
    2016年的置信区间为(0,17.80)
    #9在置信区间范围内,因此2016年用此VaR模型可行,同理2017和2018年也可行
    							#假设检验法
    Z2015=(ex2015-miu2015)/sigma2015
    Z2016=(ex2016-miu2016)/sigma2016
    Z2017=(ex2017-miu2017)/sigma2017
    Z2018=(ex2018-miu2018)/sigma2018
    print(round(Z2015,2),round(Z2016,2),round(Z2017,2),round(Z2018,2))
    2.9 -0.94 -3.29 -1.81
    #对于单侧检验,只要统计量小于临界值z=1.645那么就不能拒绝“VaR模型正确”的原假设
    #可见该VaR模型适合于后三年
    

      由于是单侧检验,以上VaR的回测过程过于保守,可能导致VaR值设置过大,降低了资金使用效率。如果用双侧检验那么就只有2016年的exceptions满足回测条件(置信区间约为(7,18)),即该VaR模型在2016年是最适用的,放在2017年和2018年则有点保守了,不适用于2015年。

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  • 无穷积分收敛的定义and性质

    千次阅读 2019-08-14 10:59:12
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空空如也

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