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  • 曲线的参数方程简介

    千次阅读 2020-11-01 09:20:22
    一、曲线的参数方程 1.1 参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,yx,yx,y都是某个变数ttt的函数 {x=f(t)y=g(t)(1) \left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned...

    一、曲线的参数方程

    1.1 参数方程的概念

    一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y x,y x,y都是某个变数 t t t的函数
    { x = f ( t ) y = g ( t ) (1) \left\{ \begin{aligned} &x=f(t)\\ &y=g(t) \end{aligned} \right.\tag{1} {x=f(t)y=g(t)(1)并且对于每个 t t t的允许值,由方程组(1)所确定的点 M ( x , y ) M(x,y) M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)就称为这条曲线的参数方程,联系变数 x , y x,y x,y的变数 t t t叫做参变数,简称参数。相对参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。这里的参数 t t t可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数

    一个曲线多个参数方程,一个参数方程却只能对应一条曲线;此外,在建立参数方程时应该注明参数和参数的取值范围。

    1.2 圆的参数方程

    圆心在原点,半径为 r r r, θ \theta θ为转过的角度。
    { x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (2) \left\{ \begin{aligned} & x=r\cos\theta\\ & y=r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{2} {x=rcosθy=rsinθθ[0,2π)(2)化成普通方程便于观察曲线的类型。另外,若圆心不在原点,若圆心为 ( a , b ) (a,b) (a,b),则对应参数方程应该为:
    { x = a + r cos ⁡ θ y = b + r sin ⁡ θ θ ∈ [ 0 , 2 π ) (3) \left\{ \begin{aligned} & x=a+r\cos\theta\\ & y=b+r\sin\theta \end{aligned}\quad \theta\in[0,2\pi) \right.\tag{3} {x=a+rcosθy=b+rsinθθ[0,2π)(3)

    1.3 参数方程和普通方程的互化

    一般地可以通过消去参数从而将参数方程转化成普通方程;若已知普通方程,可以通过令 x = f ( t ) x=f(t) x=f(t),再将 x x x带入普通方程来转化成参数方程。特别注意 x , y , θ x,y,\theta x,y,θ的取值范围。

    二、圆锥曲线

    2.1 椭圆的参数方程

    长轴长为a,短轴长为b的椭圆的普通方程为:
    x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) (4) \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)\tag{4} a2x2+b2y2=1a>b>0(4)
    对应的参数方程为:
    { x = a cos ⁡ ϕ y = b sin ⁡ ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (5) \left\{ \begin{aligned} &x=a\cos\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{5} {x=acosϕy=bsinϕϕ[0,2π)(5)

    2.2 双曲线的参数方程

    若双曲线的普通方程为:
    x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 ( a > 0 b > 0 ) (5) \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>0\quad b>0)\tag{5} a2x2b2y2=1a>0b>0(5)
    则对应的参数方程为:
    { x = a sec ⁡ ϕ y = b sin ⁡ ϕ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) (6) \left\{ \begin{aligned} &x=a\sec\phi\\ &y=b\sin\phi\\ \end{aligned} \right. \quad \phi\in[0,2\pi)\tag{6} {x=asecϕy=bsinϕϕ[0,2π)(6) ϕ \phi ϕ为参数,满足条件:

    • ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) \phi\in[0,2\pi) ϕ[0,2π)
    • ϕ ≠ π 2 ϕ ≠ 3 π 2 \phi\ne\frac{\pi}{2}\quad \phi\ne\frac{3\pi}{2} ϕ=2πϕ=23π

    python中似乎没有 sec ⁡ \sec sec函数,总之等于余弦的倒数就对了:
    sec ⁡ ϕ = 1 c o s ϕ \sec\phi=\frac{1}{cos\phi} secϕ=cosϕ1

    2.3 抛物线方程

    设抛物线普通方程为
    y 2 = 2 p x (7) y^2=2px\tag{7} y2=2px(7)
    其中, p p p表示焦点在顶点的距离。参数方程如下:
    { x = 2 p tan ⁡ 2 α y = 2 p tan ⁡ α (8) \left\{ \begin{aligned} &x=\frac{2p}{\tan^2\alpha}\\ &y=\frac{2p}{\tan\alpha} \end{aligned}\tag{8} \right. x=tan2α2py=tanα2p(8)
    t = 1 tan ⁡ α t=\frac{1}{\tan\alpha} t=tanα1,(8)变成:
    { x = 2 p t 2 y = 2 p t (9) \left\{ \begin{aligned} &x=2pt^2\\ &y=2pt \end{aligned}\tag{9} \right. {x=2pt2y=2pt(9)

    t ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) t\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty) t(,0)(0,+) α \alpha α除顶点外任意一点与顶点连线与 O x Ox Ox夹角,显然当 t = 0 t=0 t=0时恰好是抛物线原点, t t t表示除原点外任意一点与原点连线斜率的倒数。

    三、直线

    过点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)倾角为 α \alpha α的直线 l l l,其普通方程为:
    y − y 0 = tan ⁡ α ( x − x 0 ) (10) y-y_0=\tan\alpha(x-x_0)\tag{10} yy0=tanα(xx0)(10)
    对应的参数方程为:
    { x = x 0 + t cos ⁡ α y = y 0 + t sin ⁡ α (11) \left\{ \begin{aligned} &x=x_0+t\cos\alpha\\ &y=y_0+t\sin\alpha \end{aligned} \right.\tag{11} {x=x0+tcosαy=y0+tsinα(11)
    t t t为参数,其绝对值等于动点 P P P P 0 P0 P0的距离,即:
    ∣ t ∣ = ∣ P P 0 ∣ (12) |t|=|PP0|\tag{12} t=PP0(12)

    四、渐开线和摆线

    4.1 渐开线参数方程,

    渐伸线(involute)(或称渐开线(evolvent))和渐屈线(evolute)是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线,曲线B是曲线A的渐屈线。
    在这里插入图片描述

    在曲线上选一定点 S S S。有一动点P由S出发沿曲线移动,选在 P P P的切线上的 Q Q Q,使得曲线长 S P SP SP和直线段长 P Q PQ PQ 相同。渐伸线就是 Q Q Q的轨迹。圆的渐开线方程为:
    { x = r ( cos ⁡ ϕ + ϕ sin ⁡ ϕ ) y = r ( sin ⁡ ϕ − ϕ cos ⁡ ϕ ) (13) \left\{ \begin{aligned} &x=r(\cos\phi+\phi\sin\phi)\\ &y=r(\sin\phi-\phi\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{13} {x=r(cosϕ+ϕsinϕ)y=r(sinϕϕcosϕ)(13)
    ϕ \phi ϕ是参数。

    在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线的齿形的齿轮磨损少、传动平稳,制造安装较为方便。因此大多数齿轮采用这种齿形,设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。

    4.2 摆线

    在这里插入图片描述
    对应的参数方程为:
    { x = r ( ϕ − sin ⁡ ϕ ) y = r ( 1 − cos ⁡ ϕ ) (14) \left\{ \begin{aligned} &x=r(\phi-\sin\phi)\\ &y=r(1-\cos\phi) \end{aligned} \right.\tag{14} {x=r(ϕsinϕ)y=r(1cosϕ)(14)
    ϕ \phi ϕ是参数。

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  • 星形线参数方程

    千次阅读 2020-11-25 20:38:34
    r), 小圆沿着大圆内边滚动,保持相切,推导小圆上一特定点p的轨迹参数方程。 p’点坐标 (x,y)(x,y)(x,y)表示为: {x=(R−r)cos⁡α+rcos⁡θy=(R−r)sin⁡α−rsin⁡θ \begin{cases} x=(R-r)\cos\alpha + r\cos\...

    如图,大圆⊙(O;R),小圆⊙(O’;r),
    在这里插入图片描述

    小圆沿着大圆内边滚动,保持相切,推导小圆上一特定点p的轨迹参数方程。
    p’点坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)表示为:
    { x = ( R − r ) cos ⁡ α + r cos ⁡ θ y = ( R − r ) sin ⁡ α − r sin ⁡ θ \begin{cases} x=(R-r)\cos\alpha + r\cos\theta \\ y=(R-r)\sin\alpha - r\sin\theta \end{cases} {x=(Rr)cosα+rcosθy=(Rr)sinαrsinθ
    其中, θ , α ≥ 0 \theta,\alpha\ge0 θ,α0,由滚动时的路程关系得: ( α + θ ) r = α R (\alpha+\theta)r=\alpha R (α+θ)r=αR
    代入上式得:
    { x = ( R − r ) cos ⁡ α + r cos ⁡ R − r r α y = ( R − r ) sin ⁡ α − r sin ⁡ R − r r α \begin{cases} x=(R-r)\cos\alpha + r\cos\dfrac{R-r}{r}\alpha\\ y=(R-r)\sin\alpha - r\sin\dfrac{R-r}{r}\alpha \end{cases} x=(Rr)cosα+rcosrRrαy=(Rr)sinαrsinrRrα
    此即p点轨迹的参数方程。
    R r = 4 \cfrac{R}{r}=4 rR=4 时,
    { x = 3 R 4 cos ⁡ α + R 4 cos ⁡ 3 α = R cos ⁡ 3 α y = 3 R 4 sin ⁡ α − R 4 sin ⁡ 3 α = R sin ⁡ 3 α \begin{cases} x=\cfrac{3R}{4}\cos\alpha + \dfrac{R}{4}\cos3\alpha &=R\cos^3\alpha\\ y=\cfrac{3R}{4}\sin\alpha - \dfrac{R}{4}\sin3\alpha &=R\sin^3\alpha \end{cases} x=43Rcosα+4Rcos3αy=43Rsinα4Rsin3α=Rcos3α=Rsin3α
    即为星形线,或称为四尖瓣线,是一个有四个尖点的内摆线
    直角坐标方程是:
    x 2 / 3 + y 2 / 3 = R 2 / 3 x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3} x2/3+y2/3=R2/3
    在这里插入图片描述
    性质: 若星形线上某一点(参数 α = α 0 \alpha=\alpha_0 α=α0处)切线为 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y),其方向向量为 ( d x d α , d y d α ) ∣ α = α 0 (\cfrac{dx}{d\alpha},\cfrac{dy}{d\alpha})\bigg|_{\alpha=\alpha_0} (dαdx,dαdy)α=α0,相应的切线方程为
    L ( x , y ) : x sin ⁡ α 0 + y cos ⁡ α 0 = R sin ⁡ α 0 cos ⁡ α 0 L(x,y): x\sin\alpha_0+y\cos\alpha_0=R\sin\alpha_0\cos\alpha_0 L(x,y):xsinα0+ycosα0=Rsinα0cosα0
    如果切线 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)分别交x、y轴于点 A ( R cos ⁡ α 0 , 0 ) 、 B ( 0 , R sin ⁡ α 0 ) \mathbf{A}(R\cos\alpha_0,0)、\mathbf{B}(0,R\sin\alpha_0) A(Rcosα0,0)B(0,Rsinα0),则线段 A B   ≡   R \mathbf{AB}~\equiv~ R AB  R.故星形线可看作由一个线段包络而成。

    星形线在公共汽车门中也有应用
    一扇折叠式车门所占的地方约占普通车门的3/16 ,大大节约了空间,使车辆能载更多的乘客。

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  • 高数——隐函数与参数方程求导

    千次阅读 多人点赞 2019-10-18 11:19:16
    如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)...

    隐函数

    如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指:在某一变化过程中,两个变量x、y,对于某一范围内的x的每一个值,y都有确定的值和它对应,y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。f(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

    其实隐函数的知识并不难理解,我们以前学的因变量y在函数一边的叫做显函数;隐函数就是将y“隐藏”在一个式子里即和 自变量x在一边的函数。它的难点在于如何利用隐函数求导。接下来,我就和大家聊一聊隐函数的求导。

    在做题的时候我们经常会听到“对x求导”的说法,这个就是我们往往不好理解的地方,知道如何处理x却不知道如何处理y,下面我就主要围绕这个来展开。举个例子:
    在这里插入图片描述
    这个式子你当然可以将隐函数显化(就是先将隐函数转化成显函数,然后利用显函数进行求导)得出结果-⅔但是这样做题有些无法显化的函数就没法算了,所以我今天着重给大家讲一下它的通用解法:首先第一个x的导数是2这个大家都知道,可是y咱们也需要处理,怎么处理?无论函数是否可以显化,x是自变量y是因变量(y是关于x的函数)是一定的吧。之后呢?就是说在y这里对x求导就是对含有x的小函数求导(我这里说小函数是为了和原来的隐函数区分一下的),这回结果不就是y′(即dy/dx)吗?这么一变形,就出现了2+3dy/dx=0导数就是-2/3尽管答案一样但是这种思考方式就会在做题的时候给你带来好处。

    那么咱们换一个有点难度的,带平方的该如何计算呢?
    在这里插入图片描述
    求x=-3/5时的导数。
    那么我们就可以计算了:3+62ydy/dx=0,那么dy/dx=-3/12y由于我是随便出的例子,经过计算此时y等于零,导数不存在。但是无论什么题都是这么是思考的。

    最后还有一个对数求导法,是用来求幂指函数的。举个例子,
    在这里插入图片描述
    我们给它两边取对数那么左边就会变成lny右边就是lnx^cosx,根据我们高中学的定理,右边还等于cosxlnx所以,就有lny=cosxlnx,之后咱们再根据求导的法则来求它。
    左边就是还要把lny视作一个整体来看,右边要注意的事导数相乘时的运算。

    求导法则

    对于一个隐函数已经确定存在且可导的情况下,我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导,由于y其实是x的一个函数,所以可以直接得到带有 y’ 的一个方程,然后化简得到 y’ 的表达式。

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  • 高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识....

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    各位朋友大家好,今天我们一起来看一下选修4-4所涉及到一个专题:极坐标与参数方程。

    该章在高考中只考查1个大题,以解答题形式出现,占10分,属于二选一的题目.高考主要考查直线和圆的极坐标方程,参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用,以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.从命题趋势来看,估计2019年高考围绕坐标方程互化,利用参数方程解决直线与圆锥曲线的综合问题,突出参数方程的优势,特别是直线与圆和椭圆。

    特别说明:本专题主要适合参加2019年的高考考生,对于参加2020年及以后高考的考生,可以做一些简单的了解即可,估计2020年及以后的全国卷高考会取消该章节的考察。该章节所呈现出来的参数思想与坐标系的另一种理解,对于我们提升数学思维和拓展解决问题的思路都很有帮助,让我们一起来看一下该章节所涉及到的知识点吧。

    第一讲 坐标系

    1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

    设点P(xy)是平面直角坐标系中的任意一点,在7cdd51bb226e5ae493496da83d7b511c.png的作用下,点P(xy)对应到点6f9a047214dff22b3ba50fc140d98cdd.png,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

    伸缩变换公式应用时的两个注意点

    (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的,解题时一定要区分变换前的点P的坐标(xy)与变换后的点P′的坐标(XY),再利用伸缩变换公式60c30d33519e05bb93ca00e6e80885c9.png建立联系.

    (2)已知变换后的曲线方程f(xy)=0,一般都要改写为方程f(XY)=0,再利用换元法确定伸缩变换公式.

    2.极坐标系与点的极坐标

    6434dc81c3409c05868ac807efab8ac1.png

    (1)极坐标系:

    在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系,O点称为极点,Ox称为极轴,平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从OxOM的角度θ来刻画(如图),这两个数组成的有序数对(ρθ)称为点M的极坐标,ρ称为极径,θ称为极角.

     (2)极坐标与直角坐标的互相转化:

    ①互相转化的前提条件:

    a.极点与坐标原点重合;

    b.极轴与x轴正半轴重合,d8d717694abc1760aba7e644c3b4636b.png的射线与y轴正半轴重合;

    c.取相同的单位长度.

    ②互相转化公式:

    设点P的直角坐标为(xy),它的极坐标为(ρθ),则互相转化公式为

    c35883812abbb6b8c03a8113d392d06b.png

    e411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.pnge411c3521190b0437bb871de7d3cbc6e.png

    (1)极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件

    ①取直角坐标系的原点为极点.

    ②以x轴的非负半轴为极轴.

    ③两种坐标系规定相同的长度单位.

    (2)直角坐标化为极坐标的关注点

    ①根据终边相同的角的意义,角θ的表示方法具有周期性,故点M的极坐标(ρθ)的形式不唯一,即一个点的极坐标有无穷多个.

    当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是唯一的.

    ②当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值.

     3.直线的极坐标方程

    (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 5efae2927c0135dcc9d204718dd49898.png

     (2)一般位置的直线的极坐标方程:若直线l经过点M(ρ0θ0),且极轴到此直线的角为α,直线l的极坐标方程为:ρsin(αθ)=ρ0sin(αθ0).

    5266acfc3f02c75607308bfbea15c3bf.png

     4.半径为r的圆的极坐标方程

    (1)特殊位置的圆的极坐标方程:

    fd23ce54e95241f2513c272ff1c115c7.png

    (2)一般位置的圆的极坐标方程:圆心为M(ρ0θ0),半径为r的圆的极坐标方程为

    ρ2-2ρ0ρcos(θθ0)+ρr2=0.

    51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png51afdc5a505c739dfbb17d55ed789377.png

    极坐标方程及其应用的类型及解题策略

    (1)求极坐标方程。可在平面直角坐标系中,求出曲线方程,然后再转化为极坐标方程。

    (2)求点到直线的距离。先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程,然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解。

    (3)求线段的长度。先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后再求线段的长度。

    求曲线的极坐标方程的步骤:

    (1)建立适当的极坐标系,设P(ρθ)是曲线上任意一点;

    (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;

    (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

    需要注意的两点:

    1.简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρθ的具体含义求出,也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得出.同直角坐标方程一样,由于建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同,在没有充分理解极坐标的前提下,可先化成直角坐标解决问题.

    2.把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.

    588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png588691c22dab05b51377546a1606bfb9.png第二讲 参数方程

    1.参数方程的概念

    如果曲线C上任意一点P的坐标xy都可以表示为某个变量t的函数2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png反过来,对于t的每个允许值,由函数式2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png所确定的点P(xy)都在曲线C上,那么方程2debdf208189bd1a8dcc7a92ce2b8083.png叫做曲线C的参数方程,变量t是参数.

    2.圆锥曲线的参数方程

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    3.直线的参数方程70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png70ff67d9b82a8fd7a56c81aea4a911d0.png

    过点M(x0y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

    b4fbc7c2e1a341a22d5f293f1e88266b.png

    其中t表示直线上以定点M0为起点,任意一点M(xy)为终点的有向线段的数量.当t>0时,的方向向上;当t<0时,的方向向下;当t=0时,MM0重合.

    489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png489f2e7c8a0f94f2e29938f7d345e22d.png

    将参数方程化为普通方程的方法

    (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.如sin2θ+cos2θ=1等.

    (2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程  的等价性,不要增解。

    12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

    极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略

    (1)求交点坐标、距离、线段长。可先求出直角坐标方程,然后求解.

    (2)判断位置关系。先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.

    (3)求参数方程与极坐标综合的问题。一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.

    思想方法—直线参数方程中参数t的几何意义

    过定点M0(x0y0),倾斜角为α的直线的参数方程为

    359682f06b147ed1a169ef184ead475f.png

    通常称它为直线l的参数方程的“标准式”.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(xy)到M0(x0y0)的距离,即|M0M|=|t|.

    当0<α时,sinα>0,所以,直线l的单位方向向量e的方向总是向上.此时,若t>0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向上;若t<0,则33c3d62e52821fe2807c380107f3609e.png的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点MM0上方时,有b467acbd9edf0dd1811b8e8910db105e.png;当点MM0下方时,有a2787b286fde6065c23ee7a97c09b843.png该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于AB两点,所求问题与定点到AB两点的距离有关解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.

    (1)若M1M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1t2,则

    33438973b5eeaf4245b96ed52b9e98cd.png

    048386a3ccb2e7f10f92fbeaa397bb41.png

    (2)若线段M1M2的中点为M3,点M1M2M3对应的参数分别为t1t2t3,则331015602294454a0197b62bb997bf86.png

    (3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0y0),则t1t2=0,t1t2<0.

    利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.另外,我们需要注意再将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的xy的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.

    以上就是该专题所涉及到的常用基础知识点,大家做好整理和总结,一定要多看多思考,加油哦12256fd8b63ed309653de86d30e801e7.png

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参数方程范围问题