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  • 切线方程和法线方程

    万次阅读 2018-01-12 23:36:48
    函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0处的导数f′(x0)f'(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)在点M(x0,f(x0))M(x_0, f(x_0))处的切线的...根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)y = f(x)在点M(x0,y0)M(x

    函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即

    f(x0)=tanα
    其中 α 是切线的倾角.

    根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程,可知曲线 y=f(x) 在点 M(x0,y0) 处的切线方程

    yy0=f(x0)(xx0)

    过切线

    M(x0,y0)
    且与切线垂直的直线叫做曲线 y=f(x) 在点 M 处的法线.如果f(x0)0,法线的斜率为 1f(x0) ,从而 法线方程
    yy0=1f(x0)(xx0)

    切线斜率法线斜率相乘等于 1

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  • 基于曲线参数方程的植物果实造型方法通过果实主轴线和截面曲线参数方程计算出果实表面的网格面以及各顶点的法线,从而实现了植物果实的造型;通过在曲线方程上叠加扰动函数解决了果实生长过程中的形变问题。实验证明...
  • 空间曲线方程

    2020-04-07 15:21:24
    空间曲线的一般方程 就是两个平面的交线 ...空间曲线参数方程 空间曲线在坐标面上的投影 若是求关于xoy面的投影,则联立两个方程消掉z,让z=0. 求某一个图形关于xoy的投影就是消掉z,让z=0 ...

    空间曲线的一般方程

    在这里插入图片描述

    就是两个平面的交线

    空间曲线的参数方程

    在这里插入图片描述

    空间曲线在坐标面上的投影

    若是求关于xoy面的投影,则联立两个方程消掉z,让z=0.

    求某一个图形关于xoy的投影就是消掉z,让z=0

    空间区域的简图

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  • 方程及证明 例题

    方程及证明

    例题

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  • 曲线与曲面的切线法线等等等

    千次阅读 2019-10-04 10:31:20
    平面曲线满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0​(x0​,y0​)某邻域内满足隐函数定理条件,有y=f(x)y=f(x)y=f(x) 切线:y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)y−y0​=f′(x0​)(x...

    平面曲线的切线法线

    • 平面曲线满足方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)某邻域内满足隐函数定理条件,有 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)
    • 切线: y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) yy0=f(x0)(xx0)或者 F x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) = 0 F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0 Fx(x0,y0)(xx0)+Fy(x0,y0)(yy0)=0
    • 法线: y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0) yy0=f(x0)1(xx0)或者 F y ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) − F x ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) = 0 F_y(x_0,y_0)(x-x_0)-F_x(x_0,y_0)(y-y_0)=0 Fy(x0,y0)(xx0)Fx(x0,y0)(yy0)=0

    空间曲线的切线法平面

    • 曲线满足参数方程 L : L: L: { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , α ≤ t ≤ β \begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases},\alpha\le t\le\beta x=x(t)y=y(t)z=z(t),αtβ
    • P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处,有 x 0 = x ( t 0 ) , y 0 = . . . , z 0 = . . . x_0=x(t_0),y_0=...,z_0=... x0=x(t0),y0=...,z0=...,三个函数在 t 0 t_0 t0处可导,且满足 [ x ′ ( t 0 ) ] 2 + [ y ′ ( t 0 ) ] 2 + [ z ′ ( t 0 ) ] 2 ≠ 0 [x'(t_0)]^2+[y'(t_0)]^2+[z'(t_0)]^2\ne0 [x(t0)]2+[y(t0)]2+[z(t0)]2=0
    • 切线: x − x 0 x ′ ( t 0 ) = y − y 0 y ′ ( t 0 ) = z − z 0 z ′ ( t 0 ) \frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)} x(t0)xx0=y(t0)yy0=z(t0)zz0
    • 法平面: x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0
      当空间曲线由一个隐函数组确定时:
    • L : { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 L:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} L:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
    • P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处满足隐函数组定理的条件,不妨设条件④是 ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ∣ P 0 ≠ 0 \frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\Big|_{P_0}\ne0 (x,y)(F,G)P0=0那磨,可以确定x,y能由z表示,且 d x d z = − ∂ ( F , G ) ∂ ( z , y ) ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) , d y d z = − ∂ ( F , G ) ∂ ( x , z ) ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,y)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}} dzdx=(x,y)(F,G)(z,y)(F,G),dzdy=(x,y)(F,G)(x,z)(F,G)
    • 切线: x − x 0 d x d z ∣ P 0 = y − y 0 d y d z ∣ P 0 = z − z 0 1 \frac{x-x_0}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}\Big|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\Big|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{1} dzdxP0xx0=dzdyP0yy0=1zz0也可写成: x − x 0 ∂ ( F , G ) ∂ ( y , z ) ∣ P 0 = y − y 0 ∂ ( F , G ) ∂ ( z , x ) ∣ P 0 = z − z 0 ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ∣ P 0 \frac{x-x_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\Big|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}\Big|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\Big|_{P_0}} (y,z)(F,G)P0xx0=(z,x)(F,G)P0yy0=(x,y)(F,G)P0zz0
    • 法平面: ∂ ( F , G ) ∂ ( y , z ) ∣ P 0 ( x − x 0 ) + ∂ ( F , G ) ∂ ( z , x ) ∣ P 0 ( y − y 0 ) + ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ∣ P 0 ( z − z 0 ) = 0 \frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}\Big|_{P_0}(x-x_0)+\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}\Big|_{P_0}(y-y_0)+\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\Big|_{P_0}(z-z_0)=0 (y,z)(F,G)P0(xx0)+(z,x)(F,G)P0(yy0)+(x,y)(F,G)P0(zz0)=0

    曲面的切平面法线

    • 曲面方程: F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0
    • P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)满足隐函数定理条件,不妨设 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0 Fz(x0,y0,z0)=0于是可以确定连续可微的隐函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)
    • ∂ z ∂ x = − F x ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)} xz=Fz(x,y,z)Fx(x,y,z) ∂ z ∂ y = − F y ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)} yz=Fz(x,y,z)Fy(x,y,z)
    • 切平面: z − z 0 = − F x ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) ( x − x 0 ) − F y ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) ( y − y 0 ) z-z_0=-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}(x-x_0)-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}(y-y_0) zz0=Fz(x,y,z)Fx(x,y,z)(xx0)Fz(x,y,z)Fy(x,y,z)(yy0)或者 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( x − x 0 ) + F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( y − y 0 ) + F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ( z − z 0 ) = 0 F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0
    • 法线: x − x 0 − F x ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) = y − y 0 − F y ( x , y , z ) F z ( x , y , z ) = z − z 0 − 1 \frac{x-x_0}{-\frac{F_x(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}}=\frac{y-y_0}{-\frac{F_y(x,y,z)}{F_z(x,y,z)}}=\frac{z-z_0}{-1} Fz(x,y,z)Fx(x,y,z)xx0=Fz(x,y,z)Fy(x,y,z)yy0=1zz0或者 x − x 0 F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)} Fx(x0,y0,z0)xx0=Fy(x0,y0,z0)yy0=Fz(x0,y0,z0)zz0
    • 补充

      • 若函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微,则曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P(x0,y0,z0)的切平面方程是 z − z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) zz0=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)
      • 法线方向数为 ± ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) , − 1 ) \pm(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1) ±(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)
      • 过点P的法线方程为: x − x 0 f x ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 f y ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 − 1 \frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1} fx(x0,y0)xx0=fy(x0,y0)yy0=1zz0
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  • 参数方程表示的平面方程的法向量 一个平面可以用参数方程这样表示: {x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)\left\{\begin{aligned}x&=x(u,v)\\y&=y(u,v)\\z&=z(u,v)\end{aligned}\right.⎩⎪⎨⎪⎧​xyz​=x(u,v)...
  • 通过高度图求法线

    2019-11-10 16:12:43
    只对参考https://catlikecoding.com/unity/tutorials/rendering/part-6/求法线部分说明。 对于高度图,它存储的是高度数据。我们的目的是求顶点的法线,也就是空间曲面上...对于一般的平面如果已知平面方程可以...
  • 4.1 椭圆锥面 4.2 椭球面 4.3 单叶双曲面 4.4 双叶双曲面 4.5 椭圆抛物面 4.6 双曲抛物面 4.7 椭圆柱面 4.8 双曲柱面 4.9 抛物柱面 六、空间曲线及其方程 1、空间曲线的一般方程 2、空间曲线参数方程
  • 我们从梯度的原始定义出发,欲求梯度,需要先求切平面方程。对于曲面 ,它在某点 处的切平面方程的形式为 ,这实际上是 的一阶近似,因而系数就是那三个偏微分,这也就是梯度的偏微分定义的来源。 编辑于 2017-...
  • 图像分割综述

    万次阅读 多人点赞 2019-07-09 22:03:48
    近年来还提出了基于曲面拟合的方法、基于边界曲线拟合的方法、基于反应-扩散方程的方法、串行边界查找、基于变形模型的方法。 边缘检测的优缺点: (1)边缘定位准确; (2)速度快; (3)不能保证边缘的连续...
  • 高等数学关于切线,法线,切平面,法平面的详细解释 简介 本文章主要对高数下几个切线和切平面...空间曲线我们知道,x,y,z 都极限接近某一点的斜率,所以参数方程表示的空间曲线所求的切线斜率比较好求。 然后切线
  • 高维空间中椭圆的基本方程

    千次阅读 2013-04-19 15:45:37
    二维空间下椭圆基本方程为  (1) 这个是我们大家都熟知的,但是,如果背景空间不是二维空间,而是N维欧式空间中的椭圆,其表达式应该是什么样式的? 为了对这个问题论证比较严格,在下述过程中采用了微分几何...
  • 本文由@浅墨_毛星云出品,首发于...作为基于物理的渲染(PBR)技术中材质高光质感的决定因素,更先进的法线分布函数(Normal Distribution Function,NDF)的问世和发展,是PBR能够在游戏和电影工业日益普及的重要...
  • 曲线斜率与法向量综合辨析

    千次阅读 2016-10-09 10:56:23
    http://wenku.baidu.com/link?url=AxjATkZdZg4NOER0_7dWz18OdacwtEWFcr5kZgmrBexxmJzS9M5D_fqlBsFIpBNlq1ZuZu6Qd6mg8fgXaayFA7O2IR4PXNseeYy9V_62bWW用函数表达式与方程表达的变量之间关系是有一点点区别的。...
  • 1. 抛物线基本参数  如图所示:   轴:AB 顶点:A 焦点:F 焦点参数:p(过焦点且垂直于轴的弦长之半,即图中CD之长的一半) 焦点半径: r(抛物线上一点到焦点的距离,如图中MF之长) 直径:直线EMH...
  • 2、法面——与切线垂直的平面,通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线; 3、密切面——通过曲线上三点M,P,N作一平面,当时,平面的极限位置(切线在密切面上); 4、主法线——法面与密切面的交线; 5、副法线...
  • 空间曲线的切线与法平面 课时娱也,课毕遂卒。念及淘宝;忽明。奈何贵也。呜呼,吾魂兮毋求乎永生,当竭尽人事之所能。 先生要求的最简单的gui页面 one,two…seven: style : edit BACK,DONE: style : pushbutton ...
  • PBR 四 法线分布函数

    2021-01-07 21:56:29
    法线分布函数与微平面理论 ...上一节PBR 三介绍了从渲染方程到BRDF;并引入了局部光照模型和全局光照模型的分类。这章,主要探究在微平面理论中,法线分布对真实感渲染的影响。 微平面理论重述 ...
  • §1 圆 1. 圆的方程 图形 ...方程 ...1º 标准方程: ...2º 参数方程:   3º 极坐标方程: ρ=R  G( 0, 0)     r=R   1º (x-a)² +(y-b)² =R²
  • 若已知某空间曲线参数方程,要求求解方程上一点的切线方程和法平面方程,则在Matlab中可用如下的求解方法: 注意: 求导时是对参数t进行求导 带入数据时是带入对应的参数的数值 先直接上码: %% syms t x1 = cos...
  • 曲线切线与曲面切面的求法

    千次阅读 2020-08-20 14:57:14
    曲线 显式形式:参数方程 则切线方向向量为(x'(t0),y'(t0),z'(t0)) 隐式形式
  • 高等数学---平面束方程理解

    千次阅读 2020-05-16 14:29:14
    已上面题为例题,我们都知道两面的交线必然垂直于两个面的法线,因为法线垂直面,面包含线,平面束大概应该都理解,也就是包含这个条线,法线并垂直这条线的所有平面,那平面束方程怎么得来的呢, 设π1 法线为向量 ...
  • 地震勘探原理(二)之时距曲线

    千次阅读 2020-12-06 09:24:59
    直达波的时距曲线水平界面的共炮点反射波时距曲线方程(一个分界面)倾斜界面的共炮点反射波时距曲线正常时差倾角时差(dip moveout)时局曲面和时间场的概念 什么是时距曲线?   时距曲线(TDC):波从震源出发,...
  • 参数曲面计算法向量

    万次阅读 多人点赞 2015-12-12 17:16:17
    参数曲面计算法向量
  • shader数学基础之法线贴图切线空间

    千次阅读 多人点赞 2017-05-01 13:56:17
    法线贴图原理】  如果法线处于世界坐标中的(world space),那称为world space normal。如果是处于物体本身局部坐标中的,那称为object space normal。  很容易想象,world space normal一旦从贴图里解压出来后...
  • 兰伯特(Lambert)方程的求解算法1

    千次阅读 多人点赞 2020-01-27 10:12:36
    本文针对兰伯特方程给出具体的算法,并不打算给出详细的过程。各位读者可参照此算法及相应的代码进行编程计算。
  • 一直以来,对空间曲面的隐函数的梯度表示法向量理解不是很深刻,感觉不如向量叉乘来的直观,本文就是利用向量叉乘表明曲面梯度为啥就是法向量。
  • 【转】贝塞尔曲线和曲面

    万次阅读 2015-08-15 21:39:38
    【转】贝塞尔曲线和曲面 ... 参数方程表现形式 ...在中学的时候,我们都学习过直线的参数...类似地,我们也可以用一个参数方程来表示一条曲线。1962年,法国工程师贝塞尔发明了贝塞尔曲线方程。关于贝塞尔曲线的详细介
  • 平面曲线的切线和法线5.四则运算法则6.基本导数与微分表7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法8.常用高阶导数公式9.微分中值定理,泰勒公式10.洛必达法则11.泰勒公式12.函数单调性的判断13....
  • 本篇考虑造型后的法线修正。 参考: 《GPU Gems》 引言: 上一篇我们已经实现了水波Shader的造型,但法线其实有问题。乍看起来还好,因为自身模型产生的阴影,给出了比较好的立体感。(你应该知道常规游戏引擎...

空空如也

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参数曲线的法线方程