本文分为三大部分：
 首先，介绍零点在不同位置对根轨迹的影响。
 之后，再举一个电机传递函数的例子，在根轨迹上，添加并调节零极点，改善系统性能。
 最后，把零极点转换为PID的参数，以便于我们应用在工程中。 
软件：matlab的control system disigner 和 simullink
一、根轨迹简要概括
 根轨迹：一种简单实用的求取闭环特征根的图解法。 二、零点对根轨迹的影响下面，我们添加一个零点，并研究它在不同位置时对根轨迹的影响。
 我们有请第一个嘉宾（传递函数)：
 （1）不加零点时
 分析：阶跃响应是不稳定的，看根轨迹图，三个根，两个落在了虚轴的右半平面（红色点为根轨迹的根）。
 （2）当加入一个Z=-2的零点时
 分析：添加了一个负实轴零点，根轨迹悄悄往左移了。但此时两个根还在右半平面上，肯定是不稳定的，我们继续下一步调整。
 （3）当只添加一个Z=-0.5的零点
 分析：可以看到，根轨迹往左拐进了虚轴的左半平面，此时，三个根都在左半平面，系统稳定！但阶跃响应超调很大，因为阻尼比太小了！
 （4）当只添加一个Z=0的零点
 三、电机传递函数根轨迹调节PID实例
 （1）有请第二个嘉宾（传递函数）
 （2）根轨迹分析
 分析：由于有一个零点在右半平面，而且还特别大。导致根只能在上图标记处移动（在狭缝中求生存）而我们知道，根越靠近负无穷，调节时间越短。接下来通过在控制器上添加零点和极点来改变根轨迹，来改善系统。
 （3）只用I项（积分项）控制：添加一个0极点
 分析：通过加入0极点，并适当调节根的位置。我们发现，系统几乎无超调，上升时间缩短到200毫秒以内。
 （4）PI控制：在第一步添加0极点的基础上，继续添加一个z=-242的零点
 通过多次调节零点位置，发现一个零点对根轨迹影响不大，对比第一步仅仅用I项时，阶跃响应效果差不多。甚至会影响系统的品质。
 （5）PID控制：继续添加一个零点，此时有两个零点和两个极点：z1=-91.84；z2=-123.2;p1=0;p2=286.3
 此时，PID控制器为：
 四、simulink验证
 （1）搭建控制系统
 （2）把根轨迹中控制器的根转换为PID的各个参数
 然后，把参数写入PID控制器中
 （3）点击仿真，观察图形
 对比前面的根轨迹的阶跃响应图，粗略观察出各项性能指标都一样。
 结论：PID参数转换正确

 （4）备注：有些朋友问PID控制器中的D项里的N是什么意思
这里的D项可以化简为：

 为什么微分项要加多一个极点？因为微分有预测性，在现实物理世界里，是不存在完全的预测未来的行为。因此，要加多一个极点，但又不能够影响微分项的效果。因此工程中一般把N设在10~100左右。
 个人总结：
 真香。根轨迹大法好啊。最初看根轨迹乱七八糟的太难看了，现在看来，结合时域分析，来观察根轨迹，直观清晰。也进一步的认识到了零极点对系统性能的影响。

收获
（1）理解根轨迹的概念及其在控制系统设计中的作用；
（2）手绘根轨迹草图，以及如何使用极端及绘制根轨迹；
（3）熟悉在反馈控制系统中应用广泛的关键部件：PID控制器；
（4）理解根轨迹在参数设计和系统灵敏度分析中的作用；
（5）能够利用根轨迹设计控制器，使系统满足预期的性能指标设计要求。
一. 基本概念
根轨迹
当一个参数变化时，闭环特征根在s平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。当系统有两个或两个以上参数变化时，可以用根轨迹法设计控制器，通过调整控制器参数来使闭环反馈控制系统达到预期的性能指标。
根轨迹是当系统的某个参数从0变化到+ 
 时，闭环特征方程的根在s平面上的变化轨迹。
2. 根灵敏度
根灵敏度，用来衡量某个根最系统参数的微小变化的敏感性。
3. 表述形式
将闭环传递函数写成 
 的形式。满足的幅值条件 
 和相角条件 
二. 基本知识回顾
手绘根轨迹的步骤和原则
（1）绘制根轨迹的准备工作
       当K从0到 
 增加时，特征方程 
 的根轨迹起始于P(s)的极点，终止于P(s)的零点；
（2）确定实轴上的根轨迹段
        实轴上的根轨迹段总是位于奇数个开环零点和极点的左侧。根轨迹分支的条数等于开环极点的个数。并且如果存在共轭复根，根轨迹的分支必然是关于实轴对称的。
（3）根轨迹沿渐近线趋向于无穷远处的开环零点，渐近线与实轴的交点为 
 ，渐近线与实轴的交角为 
 ， 
（4）如果根轨迹与根轨迹通过虚轴，使用劳斯稳定判据来确定根轨迹与虚轴的交点
（5）确定实轴上的分离点（如果有）
根据相角条件，在分离点处，各条根轨迹分支的切线将均分360度。
（6）应用相角条件，确定根轨迹离开开环复极点的出射角和进入开环复零点的入射角。根轨迹离开开环复极点的出射角等于相角差的主值。该相角差等于各开环零点到该极点的向量的相角之和，减去其他开环极点到该极点的向量的相角之和，主值用 
 调整得到。
（7）根轨迹的完整绘制
2. 根轨迹用于多个参数的设计
如果能将系统的特征方程改写为 
 所示的标准形式，就能够利用前面的步骤来绘制根轨迹，仅为分析和设计控制系统。对于一个同时包含两个未知参数 
 和 
 的三阶特征方程为 
 .
为了考察参数
从0到 
 时对系统的影响，应该将特征方程改写为 
 ，据此，可以首先研究
从0到 
 时对系统的影响 
 ，进一步改写根轨迹方程为 
 。
即可以首先以
为可变参数的根轨迹，并确定合适的
值；然后再绘制
为可变参数的根轨迹，并最终确定
的取值。
3. 灵敏度与根轨迹
参数变化引起的影响可以用系统性能对参数变化的灵敏度来表示，曾经给出了最先由伯德(Bode)提出的对数灵敏度的定义，即
三. PID控制器
1.基本含义
PID的传递函数为 
 ，该控制器传递函数的三个组成项分别是比例项、积分项、微分项。再将PID控制器的传递函数形式进行转换
其中， 
 和 
 ，因此PID控制器实际上是对应着这样一类的传递函数：
在原点有一个极点，在s平面有两个可以任意配置位置的零点。
PID控制器在工业生产过程中的应用非常广泛，其原因可以部分归结为PID控制器能够在相当广泛的工作条件下保持良好的工作性能；还可以部分归结为PID功能简单，便于使用。
2. PID参数整定
（1）试错法。
需要不断仿真或实际测试系统的阶跃响应，然后根据观察结果以及工程经验，来确定PID参数的合适取值。
（2）齐格勒-尼克尔斯参数整定方法
这种整定方法有多种变种，这里提示两类齐格勒-尼克尔斯参数整定方法，它们分别以系统开环阶跃响应和闭环阶跃响应为基础。
方法1 闭环齐格勒-尼克尔斯参数整定方法
首先令 
 和 
 ，然后缓慢增大比例增益 
 的取值，直到闭环系统的输出出现振荡，即系统达到
临界稳定状态。在掌握了比例增益 
 的这个取值之后，再来减小
的取值，以使系统输出达到所谓的25%幅值衰减状态。也就是使闭环系统输出的幅值能够在一个振荡周期内减小到最大幅值的约25%（在临界稳定状态的一半附近的值）。接下来的步骤就是增大 
 和 
 的取值，以使闭环系统产生预期的阶跃响应。
使用 
 在系统的闭环阶跃响应进入临界稳定，将此时的
的取值记为 
 ，称为
终极增益，而此时的输出为持续振荡，将其周期记为 
 ，即
终极周期，一旦确定了
和
，就可以利用下表来计算参数。
方法2 开环齐格勒-尼克尔斯参数整定方法
这种方法在过程控制系统中的应用格外广泛，所依据的观测信息是响应曲线。这种方法的前提是受控对象（过程）近似为带有传输延迟的一阶系统。如果实际系统的响应曲线并非如此，就不能使用本方法，而需要选用其他PID整定方法。
依托于响应曲线中的传输时延 
 和响应速率 
 。
注：这两种方法并不是总能使系统达到预期的闭环性能。
四. matlab分析根轨迹
需要使用的函数是rlocus、rlocfind 和 residue，其中函数 rlocus、rlocfind 用于绘制和分析根轨迹，函数residue则用于求有理函数的部分分式展开式。
考虑一个闭环传递函数，它的闭环传递函数是 
其特征方程为 
其特征方程可以化简为 
调用函数rlocus绘制根轨迹，必须要将特征方程写成这种形式，其中K为可变参数，变化范围为 
 到 
 。
1. rlocus的输入实际上是一种特定形式的开环传递函数

%                            K (s+1) 

%   The root locus for 1 + ------------ = 0  .

%                          s(s+2)(s+3) 

%

p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);

rlocus(sys);
从图中可以看出，开环传递函数的三个极点和一个零点。
当K增大时，有两条根轨迹分支从实轴上分离出来。这意味着，当K大于某个值后，闭环特征方程将有两个复根。如果想确定与特定的复根对应的增益K的取值，可以调用函数rlocfind。注只有在运行了函数rlocus并得到了根轨迹之后，才能调用函数rlocfind。

%                            K (s+1) 

%   The root locus for 1 + ------------ = 0, where the 

%                          s(s+2)(s+3) 

%

%   rlocfind function is used to select a point on the locus.

%

p=[1 1]; q=[1 5 6 0]; sys=tf(p,q);

rlocus(sys);

rlocfind(sys)
运行之后，会在根轨迹上产生“+”标记，将标记移动到根轨迹上感兴趣的位置，就可以在命令行中显示所选闭环根的位置坐标以及对应的参数K的取值。
2. 函数residue求解部分分式展开式
假设通过根轨选择了K=20.5775，代入到闭环传递函数中，可以得到 
 ，闭环传递函数有三个极点和两个零点，分别是（
零极点近似相消）
 极点
 ，零点 
为了验证闭环系统的极点s=-0.8989是否为主导极点，需要分析当输入信号为单位阶跃信号时，闭环系统的响应： 
 ，
为了求解时域响应y(t)，利用函数residue来进行部分分式展开式。
%   The partial fraction expansion of 

%

%                 20.5775(s+1)(s+3) 

%   Y(s) =  ---------------------------  . 

%           s^2(s+2)(s+3)+20.5775s(s+1) 

%

K=20.5775;

num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K 0];

[r,p,k]=residue(num,den)
分别对应 
 即得到的部分分式展开式为：
比较所得的，与复根极点对应的留数相比，实数极点对应的留数的幅值要小得多。由此可以知道，极点s=-0.8989并不能对输出响应y(t)产生主导性的影响。由负极点为 
 ，相应的阻尼比 
 ，固有频率为 
 ，因此系统的调节时间可以近似为 
%   The step response for 

%

%                   20.5775(s^2+4s+3)

%   T(s)  =     --------------------------  .

%               s^3+5s^2+26.5775s+20.5775 

%

grid on

K=20.5775;

num=K*[1 4 3]; den=[1 5 6+K K]; sys=tf(num,den);

step(sys)
在得到的响应中，右键选择characteristc，可以在图中显示相关的参数。
从图中可以看出调整时间为Ts = 1.6s 。与上述估计的值近似。
由此说明了一个道理：系统的零点会影响瞬态响应。由于零点s=-1和极点s=-0.8989非常的接 近，极点s=-0.8989 对数安泰响应的影响被明显削弱了，影响瞬态响应的主要因素变成了复极点和零点s = -3 。
3. 根灵敏度与根轨迹
根灵敏度可以近似为 
%   Root sensitivity to a 5% change in K, where the 

%   characteristic equation is given by 

%  

%               p(s) = s^3+5s^2+(6+K)s+K = 0

%

%   and the nominal value of K=20.5775.

%

K=20.5775; den=[1 5 6+K K]; r1=roots(den);

dk=1.0289;

Km=K+dk; denm=[1 5 6+Km Km]; r2=roots(denm);

dr=r1-r2;

S=dr/(dk/K)
实例中考虑了K 的相对变化量为 5%，当 K 从20.5775 增加到 21.6064 时，主导复极点s =-2.0505+j4.3228 相应的变化量为
 ,则可以得到
 ，如计算结果显示一致。

 用MATLAB绘制系统根轨迹和性能分析
一、练习目的
熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、练习内容
1、单位负反馈系统的开环传递函数为
，试求：(1)系统的根轨迹；(2)系统稳定的K的范围；(3)K=N/100时闭环系统阶跃响应曲线 (N=135)
2、系统的开环传递函数为，用rlocfind函数找出能产生主导极点阻尼=0.707的合适增益。(N同上)
四、结果
1.
(1)(2)程序代码如下
num=[1 5 6]; %系统传递函数分子den=[1 8 3 25]; %系统传递函数分母G=tf(num,den); %原系统开环传递函数K=0:0.05:200; %给定K的范围rlocus(G) %绘制系统的根轨迹 pause(K)[K,POLES]=rlocfind(G) %用于选取临界稳定值
根轨迹图如下
K的范围(0<=K<=4)
(3)程序代码如下
clear;num=[1 5 6]; %系统传递函数分子den=[1 8 3 25]; %系统传递函数分母G=tf(num,den); %原系统开环传递函数 rlocus(G) %绘制系统的根轨迹 figure(2) %开一新窗口K=135/100; %K=0.35t=0:0.05:10; %给定时间范围G0=feedback(tf(K*num,den),1); %得到闭环系统传递函数step(G0) %得到闭环系统的阶跃响应gtext('K=1.35'); %放置说明文字 135/100根轨迹与虚轴有交点,所以在K从零到无穷变化时,系统的稳定性会发生变化，可知系统稳定时K范围大概是(0<=K<=4)之间。
分析根轨迹的绘制规则
由以上根轨迹图知， 根轨迹起于开环极点， 终于开环零点。 在复平面上标出系统的开环 零极点后 ,可以根据其零极点数之和是否为奇数确定其在实轴上的分布。根轨迹的分支数等 于开环传递函数分子分母中的最高阶次 ,根轨迹在复平面上是连续且关于实轴对称的。当开 环传递函数的分子阶次高于分母阶次时 ,根轨迹有 n-m 条沿着其渐近线趋于无穷远处。根轨 迹位于实轴上两个相邻的开环极点或者相邻零点之间存在分离点 ,两条根轨迹分支在复平面 上相遇在分离点以某一分离角分开 ,不在实轴上的部分 ,根轨迹以起始角离开开环复极点 ,以 终止角进入开环复零点。有的根轨迹随着 K 的变化会与虚轴有交点。在画图时 ,确定了以上 的各个参数或者特殊点后 ,就可得系统的根轨迹概略图
根轨迹和阶跃信号 如下图所示
 根轨迹图形
阶跃信号图形
2.
程序代码如下
num=1.35; % N=135/100 den=conv([1 1 0],[1 2]); %系统传递函数分母G=tf(num,den);zet=[0.1:0.2:1];wn=[1:10];sgrid('new'); %清屏sgrid(zet,wn); %绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线 hold on;rlocus(G)[K,r]=rlocfind(G)
主导极点阻尼=0.707的合适增益产生的图形
K=1.46 将使得整个系统的阻尼比接近 0.707 ，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常 接。

本文内容：系统的根轨迹分析
操作环境：matlab2019b
根轨迹分析
根轨迹梗概：
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要和闭环系统的极点在复平面的位置决定，然后为了求出闭环极点就要求解高阶代数，往往非常困难，而且有参数变化又要重新求解。于是，美国人伊文思就提出了根轨迹法，由开环传递函数的零、极点求出闭环极点，是一种图解法
根轨迹是指开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变化到无穷时，闭环特征根在复平面上移动的轨迹。按照相角的不同根轨迹又分为180°（常规）和零度根轨迹
根轨迹绘制：
下面是小编整理的绘制负反馈（180°根轨迹）的法则~
接下来要介绍matlab的画法，可以用来验证自己画的对不对，或者直接matlab
主要函数rlocus，rlocfind，pzmap，sgrid
例如，某系统的开环传递函数为
建立传递函数：
d1=[1 -1];
d2=[1 4 16];
den1=conv(d1,d2);
den=[den1 0];
num=[1 1];
G=tf(num,den);
如果需要，可以用pzmap在复平面内标出零极点
pzmap(G);
输入rlocus绘制根轨迹
rlocus(G);
为了计算K的值和此时的闭环极点，可以完成上述之后，使用rlocfind函数，这时根轨迹图上会出现一个＋号，
用鼠标将+号移动到根轨迹与虚轴的角点，点击一下或者回车，此时的闭环极点和增益K就会在图上和命令行中显示
也可以输入[k,p]=rlocfind(G)，然后在根轨迹上标记点
[k,p]=rlocfind(G)
另外
rlocus(G,10); % 画出增益为10的根轨迹位置
sgrid  %标出网格线
阶跃响应的根轨迹分析：
要求系统稳定，则必须使所有的闭环极点均位于s平面的左半部分。
要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴
要求系统平稳性好，则闭环极点最好设置在s平面中与负实轴成±45°夹角附近，如果是二阶系统对应阻尼比为0.707（最佳工程阻尼比）
在上面建立的系统中，可以看到根轨迹与虚轴共用4个交点（两对极点），可以使用rlocfind函数，可以得到与虚轴的两个交点时的增益K
不过，这里小编介绍一个工具箱rltool
在命令行窗口输入
rltool
然后选择控制系统的结构
导入传递函数G
选择之前建好的传递函数G之后，点击import
可以看到一个选项卡是根轨迹图，一个选项卡是单位阶跃响应，这里的阶跃响应是对应根轨迹图中可移动红色极点的所在位置的阶跃响应
为了方便，我们可以把两个图放在一个窗口中，然后拖动根轨迹中的极点，找到想要的阶跃响应，这时的k值可以在左边窗口中选中C查看，比如根轨迹在与虚轴相交时，K1接近23.47，K2接近35.657，所以系统稳定时，K的取值范围为23.47-35.657
再把极点拖到大概与虚轴±45°位置，可以看到这时的增益K大概为33.572。
本文为小编自行编程，如有错误还请大家批评指出~
待更新~下一篇为“matlab中的频域分析法”（本来想把根轨迹和频域分析放在一起，但是频域分析实在有点多..就下次啦~~）