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  • 计算VaR的两种常用方法:参数法(正态VaR和对数正态VaR)和非参数法(历史模拟法),主要使用的函数是scipy.stats的求特定分布分位点的函数ppf,以及np.percentile求样本中的分位数。

    参数法

      正态VaR:假设资产组合的收益率服从正态分布,那么VaR也服从正态分布,VaR=-(μ-Z·σ)×P0,算出来的是loss,如果为负则为收益。μ为资产组合的期望收益率,用往年平均收益率替代;σ为组合收益率的波动率;Z=Φ-1( c )为正态分布的分位数(取正数);P0为组合的价值。证明如下:
    在这里插入图片描述

      对数正态VaR:假设资产组合的对数收益率服从正态分布,那么资产价格P和VaR服从对数正态分布,VaR=(1-eμ-z·σ)×P0,各参数的含义同上。可按照以下思路简单证明:假设资产原始价格为P0,在某一置信水平下受到一个极端冲击后价格下降为P(比如在95%的置信水平下最低价格为P),这一过程的对数收益率为R,即P=P0×eR,那么根据定义VaR=|P0-P|=|P0(1-eR)|,假设R服从正态分布,那么在此置信水平下的极端收益率为μ-z·σ,代入到R中即得VaR公式。

      注意如果要求%VaR,那么公式中就不用乘P。对数正态VaR的值会比正态VaR要小。

      假定有一家国内金融机构在2018年12月28日(最后一个交易日)的投资组合市值为1亿元,组合中配置的5种金融资产配置为:贵州茅台股票15%,交通银行股票20%,嘉实增强信用基金50%,华夏恒生ETF基金5%,博时标普500ETF基金10%。管理层要求计算持有期分别为1天和10天、置信水平为99%情况下的VaR,同时假定整个投资组合收益率是服从正态分布或对数正态分布。

    data=pd.read_excel('C:/Users/lenovo/Desktop/投资组合.xlsx',index_col=0)
    data
    Out[7]: 
                贵州茅台  交通银行  嘉实增强信用基金  华夏恒生ETF  博时标普500ETF
    日期                                                     
    2015-01-05  202.52  7.05     1.071   1.0955      1.1205
    2015-01-06  197.83  6.90     1.073   1.0860      1.1105
    2015-01-07  192.94  6.76     1.074   1.0964      1.1239
    2015-01-08  191.76  6.53     1.074   1.1042      1.1446
    2015-01-09  190.31  6.50     1.075   1.1075      1.1346
               ...   ...       ...      ...         ...
    2018-12-24  568.00  5.61     1.285   1.4505      1.5116
    2018-12-25  565.79  5.63     1.286   1.4488      1.5116
    2018-12-26  560.08  5.68     1.286   1.4475      1.5814
    2018-12-27  563.00  5.72     1.286   1.4393      1.5963
    2018-12-28  590.01  5.79     1.287   1.4358      1.5885
    R=np.log(data/data.shift(1)).dropna()
    w=np.array([0.15,0.2,0.5,0.05,0.1])
    Rmean=R.mean();Rcov=R.cov()
    Rp=np.sum(R.mean()*w)
    volp=np.sqrt(w@Rcov@w.T)
    print('投资组合的μ={:.6f},σ={:.6f}'.format(Rp,volp))
    投资组合的μ=0.000268,σ=0.006427
    def VaR_norm(miu,sigma,x,P,n):#n参数为持有期,x为置信水平
    	import scipy.stats as st
    	z=abs(st.norm.ppf(q=1-x))#标准正态分布中1-x的概率对应的分位点
    	return -(miu-z*sigma)*P*np.sqrt(n)
    def VaR_lognorm(miu,sigma,x,P,n):
    	import scipy.stats as st
    	z=abs(st.norm.ppf(q=1-x))
    	return (1-np.exp(miu-z*sigma))*P*np.sqrt(n)
    print('99%置信水平下1天的normal VaR为{:.2f},lognormal VaR为{:.2f}'.format(\
    VaR_norm(Rp,volp,0.99,1e8,1),VaR_lognorm(Rp,volp,0.99,1e8,1)))
    99%置信水平下1天的normal VaR为1468366.22,lognormal VaR为1457638.30
    print('99%置信水平下10天的normal VaR为{:.2f},lognormal VaR为{:.2f}'.format(\
    VaR_norm(Rp,volp,0.99,1e8,10),VaR_lognorm(Rp,volp,0.99,1e8,10)))
    99%置信水平下10天的normal VaR为4643381.70,lognormal VaR为4609457.03
    

      以第二个结果为例,在99%的置信水平、持有期为10天的情况下,VaR达到了464.34万元,意味着从理论上来说未来的10个交易日内,有99%的把握认为1亿元的投资组合累计最大亏损不会超过464.34万元。

    非参数法(历史模拟法)

      历史模拟法的思路是将所有样本的收益率或收益额进行排序,根据置信水平找出对应分位数的值(数值小的一端),再取绝对值就是VaR。依然以上述案例为例,用历史模拟法计算持有期分别为1天和10天、置信水平为99%情况下的VaR。

      step1:生成投资组合的日收益序列:

    rp=pd.Series((1e8*R)@w,index=R.index)#投资组合的日收益额
    import matplotlib.pyplot as plt
    from pylab import mpl
    mpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
    plt.hist(rp,bins=40,edgecolor='k')
    plt.xlabel('投资组合日收益额')
    plt.ylabel('频数')
    plt.title('投资组合日收益额直方图')
    plt.grid()
    

    在这里插入图片描述
      step2:对投资组合的日收益额序列进行正态性检验,计算投资组合的VaR:

    st.normaltest(rp)
    Out[15]: NormaltestResult(statistic=192.37738470012968, pvalue=1.681828434884396e-42)
    #显然p<0.01,拒绝服从正态分布的原假设,因此用参数法计算VaR可能会产生偏差
    def VaR_daily(a,x):
    	#求a数列第(1-x)%分位的数值的绝对值,默认升序排序
    	return abs(np.percentile(a,(1-x)*100))
    print('99%置信水平下1天的VaR为{:.2f},10天的VaR为{:.2f}'.format(\
    VaR_daily(rp,0.99),VaR_daily(rp,0.99)*np.sqrt(10)))
    
    99%置信水平下1天的VaR为2135730.95,10天的VaR为6753774.29
    

      在99%的置信水平下历史模拟法计算出的10天VaR=675.38万元>正态VaR=464.34万元,可见在本案例中历史模拟法具有对尾部极端风险更强的捕捉能力。

      还有一种改进的参数法叫非参数密度估计(Non-parametric Density Estimation),将损失额直方图的每一根立柱的顶部中点进行连线,那么在线下的区域就可以当做该分布的概率密度函数,这样我们就能根据求出任意置信水平下的VaR,可以解决传统历史模拟法下n个样本最多只能有n个置信水平的问题。
    在这里插入图片描述

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  • 参数法

    千次阅读 2018-01-21 21:45:34
    参数法(见最大似然和贝叶斯估计):假定概率密度函数形式,p(x∣ωi)=p(x∣θi)p(\mathbf{x} \mid \omega_i) = p(\mathbf{x} \mid \theta_i) -Distribution: Gaussian, Gamma, Bernouli -Estimation: Maximun-...

    概率密度估计的方法:

    • 参数法(见最大似然和贝叶斯估计):假定概率密度函数形式,p(xωi)=p(xθi)

      -Distribution: Gaussian, Gamma, Bernouli

      -Estimation: Maximun-likelyhood, Bayesian Estimation

    • 非参数法:可以表示任意概率分布

      -Parzen Window

      -K-NN

    • Semi-Parametric

      -Distribution: Gaussian mexture

      -Estimation: Expectation-Maximization(EM)

    一、非参数技术的概率密度估计

    在参数法对概率密度估计中,总是假设概率密度函数的参数形式已知,并在此条件下处理有监督学习过程,对于很多实际的模式识别应用场合,概率密度函数的参数形式不一定已知,而且一般给出了概率密度函数的参数形式很少复合实际情况

    所有的经典的概率密度函数都是单模的,即只有单个局部极大值,但现实中遇到的常常是多模的情况,而且实际情况中关于高维密度可以表示为一维密度的乘积的假设也不一定成立

    非参数方法能够处理任意的概率分布,不必假设密度的参数形式

    非参数方法:

    • 从训练样本估计概率密度函数p(xωj)
    • 直接估计后验概率p(ωjx)

    估计概率密度函数的方法基于一个事实:一个向量x落在区域中的概率为

    P=p(x)dx

    因此可以通过估计P来估计概率密度函数p

    假设n个样本x1,,xn,都是根据概率密度函数p(x)独立同分布(I.I.D.)抽取而得到的,k个样本落在区域中的概率服从二项式定理:

    Pk=(nk)Pk(1P)nk

    k的期望为nP,比值k/n就是对P的一个很好的估计

    假设p(x)是连续的,并且区域足够小,以至于在这个区间中p几乎无变化,那么

    p(x)dx=p(x)V

    通过以上的推导可以得出对p(x)的估计:

    p(x)k/nV

    为了估计点x处的概率密度函数,构造一系列包含点x的区域,1,2,,nVn为区域n的体积,kn为落在区间n中的样本个数,pn(x)表示对p(x)的第n次估计:

    pn(x)=kn/nVn

    pn(x)收敛到p(x)的条件:

    limnVn=0

    limnkn=

    limnkn/n=0

    二、Parzen窗估计

    Parzen窗估计是常用的概率密度函数非参数估计方法之一,根据某一个确定的体积函数,比如Vn=1/n,逐渐收缩一个给定的初始区间,这就要求随机变量knkn/n能够保证pn(x)收敛到p(x)

    假设区间n是一个以x为中心的d维的超立方体,hn表示超立方体一条边的长度,体积为hdn

    定义窗函数:

    φ(μμ)={10|μj|1/2,j=1,,dotherwise

    该窗函数表示一个中心在原点的超立方体

    如果xi落在超立方体Vn中,那么φ((xix)/hn)=1,否则为0,则落在超立方体中的样本个数为:

    kn=i=1nφ(xixhn)

    那么

    pn(x)=1ni=1n1Vnφ(xixhn)

    对如上式子窗函数进行一定泛化,由此可以得到一般的估计概率密度方法,不必规定区间必须是超立方体,而可以是更一般化的形式,可以选取高斯函数为窗函数

    三、K-近邻估计

    由于在Parzen窗估计中,最佳窗函数的选取总是一个问题,一种可行的解决方法就是让knn的某个函数,而不是硬性的规定窗函数为全体样本个数的某个函数,比如kn=n,那么体积就必须逐渐生长,直到最后能包含进xkn个相邻点

    如果在点x附近的概率密度比较小,那么这个体积就会比较小,如果x附近的概率密度比较大,那么这个体积就会比较大,一旦进入某个概率密度很高的区域,这个体积的生长就会停止

    pn(x)=kn/nVn

    pn(x)收敛到p(x)的条件:

    limnkn=

    limnkn/n=0

    kn=n时,Vn=1np(x),那么一维情况下:

    pn(x)=n/n2|xxknn|

    四、K-近邻分类:后验概率

    假设把一个体积放在x周围,并且能够包含进k个样本,其中ki个属于类别ωi,那么联合概率密度的估计显然是:

    pn(x,ωi)=ki/nVn

    i=1cki=k

    pn(ωi|x)=pn(x,ωi)pn(x)

    pn(x)=k/nVn

    那么

    pn(ωi|x)=kik

    x属于类别ωi的后验概率就是体积中标记为ωi的样本点的个数与体积中全部样本点个数的比值

    为了达到最小的误差率,我们就选择使这个比值最大的那个类别作为判决结果

    K-近邻分类的错误率趋近于贝叶斯错误率的条件:

    limnkn=

    limnkn/n=0

    K-近邻分类规则里面没有概率密度,但是该规则是从非参数概率密度估计和贝叶斯决策推导而来的

    展开全文
  • 关于D-H参数法建模

    2020-08-30 20:03:43
    ​D-H参数法一般有两种定义方式,分别为标准D-H参数法和改进D-H参数法。初学D-H参数法,很容易被这两种定义方式搞晕,因为很多参考书中仅介绍了一种定义方式,而当我们查找资料时看到另一种定义方式时就会很困惑,不...

    关于D-H参数法建模

    ​D-H参数法一般有两种定义方式,分别为标准D-H参数法和改进D-H参数法。初学D-H参数法,很容易被这两种定义方式搞晕,因为很多参考书中仅介绍了一种定义方式,而当我们查找资料时看到另一种定义方式时就会很困惑,不知道哪种方式才是正确的。事实上,两种定义方式均可以解决问题,因此只要任选一种即可。下面就这两种方法介绍其建模方式。

    1.前言

    ​首先,需要明确的是坐标系是固连连杆上的,而不是关节上。两种D-H参数的定义方式的主要区别在于坐标系的建立位置不同,标准法建立在连杆后端,改进法建立在连杆前端。

    2.D-H参数法

    2.1.标准参数法(往前看)

    标准参数法

    ​标准D-H参数法的连杆坐标系定义连杆后端,如上图,对于描述连杆i-1的坐标系{i-1}建立在关节i的轴线上。从{i-1}变换到{i}的变换矩阵所需要D-H参数为:
    ii1T:[ai,αi,di,θi] ^{i-1}_iT:[a_i,\alpha_i,d_i,\theta_i]
    ​坐标系变换过程为:

    1. Zi1Z_{i-1}轴旋转θi\theta_i度,使得Xi1X_{i-1}轴旋转到XiX_i轴的角度;
    2. 沿Zi1Z_{i-1}轴移动did_i距离,使得Xi1X_{i-1}轴移动到XiX_i轴的距离;
    3. XiX_{i}轴旋转αi\alpha_i度,使得Zi1Z_{i-1}轴旋转到ZiZ_i轴的角度;
    4. 沿XiX_{i}轴移动aia_i距离,使得Zi1Z_{i-1}轴移动到ZiZ_i轴的距离;

    2.2.改进参数法(往后看)

    在这里插入图片描述

    ​改进D-H参数法的连杆坐标系定义连杆前端,如上图,对于描述连杆i-1的坐标系{i-1}建立在关节i-1的轴线上。从{i-1}变换到{i}的变换矩阵所需要D-H参数为:
    ii1T:[ai1,αi1,di,θi] ^{i-1}_iT:[a_{i-1},\alpha_{i-1},d_i,\theta_i]
    ​坐标系变换过程为:

    1. Xi1X_{i-1}轴旋转αi1\alpha_{i-1}度,使得Zi1Z_{i-1}轴旋转到ZiZ_i轴的角度;
    2. 沿Xi1X_{i-1}轴移动ai1a_{i-1}距离,使得Zi1Z_{i-1}轴移动到ZiZ_i轴的距离;
    3. ZiZ_i轴旋转θi\theta_i度,使得Xi1X_{i-1}轴旋转到XiX_i轴的角度;
    4. 沿ZiZ_i轴移动did_i距离,使得Xi1X_{i-1}轴移动到XiX_i轴的距离.

    3.建立坐标系

    ​在建立整个机械臂坐标系时,应该先建立中间坐标系{i},最后建立两端坐标系{0}、{n}。对于建立中间坐标系{i},应按照以下步骤进行:

    1. 根据各个关节轴线,确定所有的ZZ轴方向,关节轴线与坐标系的对应关系如下所示;
      在这里插入图片描述

    2. 确定坐标原点OiO_i位置和XiX_i轴方向。根据两条关节i与i+1轴线的位置关系,有以下三种情况:

      • 两者相交:坐标原点OiO_i为两者轴线的交点,XiX_i轴方向应垂直这两条轴线组成的平面;
      • 两者异面:坐标原点OiO_i为关节i的轴线与这两者的公垂线的交点,XiX_i轴方向为公垂线方向;
      • 两者平行:由于两者平行,因此公垂线有无数条,应选择坐标原点OiO_i使对下一连杆(上一连杆亦可)的偏移为0,即应选择经过下一坐标原点(上一坐标原点)的公垂线。XiX_i轴方向为公垂线方向。

    ​应该注意的是,关节与坐标系的编号不一定相同。若采用标准D-H参数法的定义,坐标系编号比关节编号小1;若采用改进D-H参数法的定义,坐标系编号与关节编号相同。
    最后,我要说的是,由于选择原点位置和X轴方向有很大的自由性,因此即使都采用D-H参数法建立坐标系,最终得到的结果依然会有所差异。

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  • 文档为原创,详细介绍主流GIS工具和非主流GIS工具使用四参数法处理坐标转换的方式、参数设置要点、优缺点等。作者使用了ArcGIS、FME、QGIS等工具分别做了处理示范,对大批量、高精度的四参数转换提供了建议。文档...
  • 参数法和模拟法计算VaR

    千次阅读 2012-01-16 15:24:00
    回顾VaR的定义,为未来收益的累计分布函数,那么 所以,VaR本质上为未来收益的分位点。要计算它,最重要的是... 第一个方向被称为参数法;后一个方向成为模拟法,在实际使用中,又可分为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法...

    回顾VaR的定义,为未来收益的累计分布函数,那么

    所以,VaR本质上为未来收益的分位点。要计算它,最重要的是估计未来收益的分布。在实际计算中有两种大的方向:

    1. 满足某种分布(通常使用正态分布)的假设上,估计该分布的参数,便可确定整个分布,然后求分位点。
    2. 进行抽样,通过样本的分位点估计整个分布的分位点。

    第一个方向被称为参数法;后一个方向成为模拟法,在实际使用中,又可分为历史模拟法和蒙特卡洛模拟法两种。对于这三种方法,不单需要知道它们的计算方法,更重要地是了解它们的假设和适用范围。以下提到的风险因子、风险映射、风险矩阵、估值等概念,已在【VaR Primer】风险因子和估值框架里详细描述。其它比如风险矩阵等计算方法将在【VaR Primer】VaR的参数选择和计算细节里给出。

    1.参数法

    在参数法中,通常假设未来收益满足正态分布,这个假设的合理性在于:

    1. 风险因子的短期表现如股票收益率、利率变动等可以用联合正态分布近似
    2. 大多数资产都可以表示为风险因子的线性组合,并且
    3. 正态分布的任意线性组合仍然是正态分布,故一个组合的预期收益分布还是正态分布,由其方差唯一确定。

    参数法的计算步骤:

    1. 选择风险因子
    2. 计算风险因子的风险矩阵(通常选取指数加权法,详情见【VaR Primer】VaR的参数选择和计算细节)。
    3. 计算组合分解到各个风险因子上的暴露市值(或者delta)
    4. 计算组合的事前波动率
    5. 然后将波动率转化为VaR:

    2.模拟法

    模拟法是在模拟场景下,计算组合的收益样本,通过大量的模拟场景,取这些模拟出来的收益样本的分位点得到VaR。根据生成样本的方法,有历史模拟法 和蒙特卡洛模拟法,其中历史模拟法使用历史实际场景,而蒙特卡洛模拟法则随机生成场景(基于某种假设的分布和用历史数据拟合的参数)。

    模拟法的合理性基于:当样本数量足够多时,样本分位点无限接近于真实的VaR,即样本分位点是VaR的无偏估计。

    2.1.历史模拟法

    历史模拟法指使用历史上实际发生的场景作为模拟场景,然后计算当前组合在历史场景下的损益情况。这有点像电影回放。

    历史模拟法无需对风险因子的收益分布作任何假设,这使得可以完美地描述尾部。但历史法基于一个重要的假设:过去历史会在未来重演。这一方面,可能忽略掉可能的尾部风险;另一方面,又可能将不可能发生的尾部带入到未来。

    2.2.蒙特卡洛模拟法

    历史模拟法的一个缺陷在于,计算结果依赖于少数几个极端历史样本,其它样本对结果几乎没有影响。蒙特卡洛模拟法则可补足这一点,它大概分为几步:

    1. 估计风险因子的分布:假设分布类型和计算分布参数。如果为联合正态分布,则计算风险矩阵。
    2. 根据分布生成随机场景(通常500个以上的场景)
    3. 计算组合中各个头寸在每个场景下的估值,得到在各个场景下的组合损益
    4. 根据上一步得到的组合损益样本,取对应的分位点

    蒙特卡洛模拟法与参数法一样的地方在于,它也需要对风险因子的分布做假设。但相较而言,参数法只能假设风险因子为联合正态分布,而蒙特卡洛法则不需要,因为它不基于“正态分布的线性组合还是正态分布”这个事实。

    虽然蒙特卡洛模拟法允许各种各样的分布,但最常用的还是联合正态分布。

    3.其他VaR指标的计算

    3.1.ES(Expected shortfall)

    对于参数法,ES可以使用下述转换公式:

    对于模拟法,ES即其样本分布的尾部平均值。比如计算95%的ES,只需取组合模拟场景下的收益的较小的5%部分的平均值。

    3.2.增量VaR、边际VaR和成分VaR

    增量VaR和成分VaR都用上一篇文章中的公式进行计算。因为不需要重新计算最耗费时间的风险因子分布参数估计和头寸估值,所增加的计算量很少。

    在用模拟法计算成份VaR时,由于模拟法本身就有一定的误差,使得直接使用成分VaR的计算公式得到的结果极为不稳定。由于资产的小幅度变化不改变 对各场景下的损益顺序,VaR总是在发生在同一个场景下。所以在实际中采取下面计算方法,这种方法可以消除重新估值和估计分位点带来误差:

    首先,在计算总VaR时,假设VaR在某个特定场合下取得,那么资产的成分VaR就是每个资产在该特定场合下的损益值。

    相对VaR指标

    上面所说的都是绝对指标,它们都可以推广到相对于某一基准上,即相对VaR等指标。在计算这些指标的过程中,需要将风险因子的收益换成风险因子相对于基准的相对收益即可。

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  • 改进DH参数法

    2020-10-04 22:17:49
    DH参数法是由Denavit和Hartenberg于1955年提出的一种描述串联式链路上连杆和关节的系统方法。1986年John J.Craig提出了一种改进的DH参数,在建立关节坐标系时将坐标系固结于该连杆的近端,而非远端,更符合直观理解...
  • 分离参数法【中级和高阶辅导】

    千次阅读 2018-06-28 17:50:00
    在高中数学教学实践中,有一种使用频度比较高的数学方法,叫分离参数法,她和许多数学素材有关联,高三学生大多都耳熟能详,但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚,本博文试着对此做个总结,以廓清我们认识...
  • 如此来说,对于一个有n个连杆的机械臂,要描述每个连杆的位姿(位置+姿态)应该要6个参数才对,那么要描述整个机械臂就需要6n个参数,可为什么DH参数法里面每根连杆只用了四个就描述完全了? 这是因为我...
  • R语言学习 - 非参数法生存分析

    千次阅读 2017-09-20 15:14:47
    生存分析一个常用的方法是寿命表。 寿命表是描述一段时间内生存状况、终点事件和生存概率的表格,需计算累积生存概率即每一步生存概率的乘积 (也可能是原始生存概率),可完成对病例随访资料在任意指定时点的...

空空如也

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参数法