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  • 机器学习虽然那么多事实上都是一个规律。我在文章末尾进行了总结。逻辑回归和线性回归最大区别两个 一 是线性回归它认为模型是一条直线,逻辑回归它认为...逻辑回归到底是什么?要优化什么参数?为何要优化这些参数...

    文章末尾对机器学习的规律总结。机器学习这么多算法记住是很难的,如果懂别人怎么想到这个算法的那就容易多了。学习机器学习一定不要死记。记住别人怎么想到这个算法以及各个概念之间的联系,各个方法有什么用,这些最重要。本文就是从还原算法怎么想到的角度来讲而不是纯粹推导,解释了各个概念之间的联系。

    逻辑回归到底是什么?要优化什么参数?为何要优化这些参数?

    逻辑回归它输入是样本,输出是样本输入某个类的概率。逻辑回归只能分类出两种类,是一个二分类算法。也就是说f(x)f(x)输出是属于类A的概率。那么如果某个样本不属于A呢则它属于B的概率是1P(A)=1f(x)1-P(A)=1-f(x)。因为逻辑回归输出的是A的概率f(x)=P(A)即f(x)=P(A)。逻辑回归里面它认为模型是一条曲线。这条曲线的函数长下面这样,其中w,bw,b是我们要设置的参数。选择一种w,bw,b相当于我们假设了一种模型。
    在这里插入图片描述
    比如w=2,b=1w=2,b=1那么将w=2,b1=w=2,b1=代入进去,就变成了。这样的取值可以有很多很多,没选择一种取值就假设了一种模型。那么哪种是最好的呢?这个问题就变成了,w,bw,b到底是多少才是最好。w,bw,b这就是我们要优化的参数。
    在这里插入图片描述

    逻辑回归和线性回归最大区别地方有两个

    • 是线性回归它认为模型是一条直线,逻辑回归它认为模型是一条曲线。
    • 是优化参数的方法。线性回归就是想让各个样本点离画出来的直线的平均距离尽可能短。而逻辑回归则不是算平均距离。它是用概率来优化的。优化方法叫做极大似然法。还是不懂要优化什么参数?和怎么优化的?看下面的:

    极大似然法怎么优化逻辑回归的参数的?

    f(x)f(x)的输入是一个样本,输出是这个样本属于各个类的概率。假设这个样本属于A类,那我是不是希望模型f(x)f(x)输出的概率中认为样本属于A类的概率越大越好?换句话说就是,w,bw,b各种可能的取值对应各种假设的模型。能让模型认为样本属于A类的概率最大的那种情况的参数是最好的,这就是极大似然法的动机。

    极大似然法优化逻辑回归的原理?

    我们选择了w,bw,b的一种可能的取值然后确定了一个模型f(x)f(x)。现在有N个样本,输入到模型f(x)f(x)。那么会有N个值,这N个值表明了这些样本属于样本A的概率。他们同时发生的概率就是这些概率相乘。

    这些样本都是自己有标签的。我们希望模型输出来他们属于它标签的那个类的概率尽可能的大。这个想法就是极大似然法的想法。那么现在问题来了,模型计算他们属于它标签的那个概率?
    答:模型输出都是样本属于A的概率。逻辑回归只能分出两种类,要么是A要么不是A。现在我们知道了样本属于A的概率,那么样本属于B的概率=样本不属于A的概率。
    举个例子f(1=0.1f(样本1)=0.1,然后样本1的标签是B,那么模型计算出来样本属于B的概率是1f(1=10.11-f(样本1)=1-0.1

    我们模型认为样本属于A或B来计算概率的分成两个公式,这个很麻烦。
    能不能一个公式就能算出来默认认为样本属于它所在那个表标签的概率
    于是就有了下面这个公式,有两个类一个是1另一个是0. 样本的标签是yiy_i。当样本属于1的时候,1yi=01-y_i=0意味着后面那个式子等于1也就是没有了。当样本属于0的时候,yi=0y_i=0意味着前面面那个式子没有了。
    在这里插入图片描述
    上面这个式子就是我们假定的w,bw,b下模型计算出各样本属于他们标签的概率。我们要做的是不断改动w,bw,b,找到一个让上面那个式子最大的w,bw,b。这就是极大似然做的事。根据概率找最优的参数。
    那怎么找呢?用梯度下降。梯度下降不理解可以看看这个知乎回答,非常推荐:如何理解梯度下降。本文主要是为了打破一些概念性的障碍,让你对这些概念之间的联系有了解。如果你想学习梯度下降实践可以看看这篇文章 适合初学者的神经网络理论到实践(1): 神经网络实战:单个神经元+随机梯度下降学习逻辑与规则
    由于连乘不好计算导数(对连乘求导要用到乘法求导法则很麻烦),所以一般是消掉连乘。两边取对数就可以消掉。而且log是单调增,它最值点还是和原先最值点一样。所以求得的最优参数和原先的解是一样的。

    神经网络和逻辑回归的关系?

    答:逻辑回归就是神经网络中的一个神经元。

    机器学习小总结

    其实机器学习算法看起来很多事实上本质上就是 假设数据符合某个模型+建立误差模型+梯度下降求解未知。

    我谈谈自己的看法吧:

    1. 线性回归:它假设数据是一条直线。然后误差模型是各个点和直线之间的距离平均值要最短。然后用梯度下降求解直线的斜率和截距。
    2. 逻辑回归:它假设数据是一条"S"曲线,输入一个样本输出它属于某个类的概率,只能分出两个类。然后误差模型是通过概率来算的。它尝试参数各种可能的情况,然后选择能让模型计算出样本属于它标签的那个类的概率最大。比如样本1标签是A,模型计算出样本1属于A类的概率是f(样本1),那么我就要调整模型的参数使得f(样本1)尽可能的趋近于1. 让这个概率尽最大的那个参数是最优参数。得到最优参数就得到了一个"S"曲线。这就是我们的模型。
    3. 决策树 :它假设数据可以用if else这样的树状结构来分类。然后也是根据概率来求树的结构是怎样的。
    4. SVM:它假设数据可以用两条直线划分开来。和线性回归很像。然后让这两条直线尽可能区分开数据,并且这两条直线距离尽可能的远。优化的参数就是两条直线斜率和截距。求解最优参数还是梯度下降。
    5. 可以看到,机器学习套路一般是先假设数据可以被哪种模型区分开,然后建立一个模型。然后用梯度下降求解模型中未知参数的最优解。

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    [1] 知乎专栏《适合初学者的神经网络机器学习入门理论到实践
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  • 冲激响应不变法或双线性变换中的参数T为什么是一个无关紧要的参数?在数字信号处理课程中,IIR滤波器设计方法一般只讲间接,即首先根据实际要求设计一个模拟滤波器,然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。从...

    冲激响应不变法或双线性变换法中的参数T

    为什么是一个无关紧要的参数?

    作者:jbb0523(彬彬有礼)

    一、引言

            在数字信号处理课程中,IIR滤波器设计方法一般只讲间接法,即首先根据实际要求设计一个模拟滤波器,然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。从模拟滤波器转换成数字滤波器的方法常见的有三种:冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法,其中以冲激响应不变法和双线性变换法更为常见;从模拟滤波器转换成数字滤波器的本质是从拉普拉斯(Laplace)域(或称为S域)映射到Z域。详细设计方法可以参见《姚天任,江太辉. 数字信号处理(第二版)[M]. 华中科技大学出版社,2000.》(以下简称教材)。

    1、冲激响应不变法

            若模拟滤波器的传递函数Ha(s)

    其中sk为极点,式中假设了模拟滤波器的传递函数Ha(s)具有1阶极点,且分母的阶数高于分子的阶数,因此Ha(s)可进行上式的部分分式展开;

            Ha(s)求反拉氏变换得

            使用冲激响应不变法求数字滤波器的冲激响应h(n),即令t=nT

            h(n)的Z变换,得

    2、双线性变换法

            双线性变换法的具体思路可以参见程佩青的《数字信号处理教程(第四版)》,这里给出变换公式(其中T为取样周期)

    3、参数T的选择

            无论是冲激响应不变法还是双线性变换法,T都指取样周期,有关T的取值在教材中有几处提及,以下列举出三处。

            第一处:第121页~122页

            

            

            第二处:第123页

            

            第三处:128页

            

            以上都在说T是一个无关紧要的参数,可以根据需要取值,一般是按计算方便的原则取值。可是为什么T是一个无关紧要的参数呢?T是取样周期,如果T太大(采样频率太小)会不会造成频谱混叠呢?奈奎斯特(Nyquist)采样定理也不考虑了么?

    二、参数T为什么是一个无关紧要的参数?

            关于T为什么是一个无关紧要的参数的答案,其实在前面列出的教材第一处第121页~122页中已经说明了,就是“如果用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标,那么冲激响应不变法设计中T是一个无关紧要的参数”,这里同样适用于双线性变换法,特别注意这里的前提“如果用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”!!!

            回顾一下间接法设计IIR数字滤波器的过程:首先根据实际要求设计一个模拟滤波器,然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。

            综上所述,我们的出发点是“用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”,我们的目的地是“IIR数字滤波器”。

            知道了出发点和目的地,再来看设计过程。“首先根据实际要求设计一个模拟滤波器”,这里怎么根据实际要求呢?我们给出的是数字域频率ω来规定数字滤波器的指标,这也就是所谓的“根据实际要求”了,为了设计模拟滤波器,我们必须有模拟滤波器设计指标,“根据实际要求”,我们需要将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标,这个转换过程中必然要用到取样周期T(或取样频率fs),至于转变的规则得依据设计过程的第二步“然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器”。

            前面已经说了,将模拟滤波器转换成数字滤波器的过程就是冲激响应不变法、双线性变换法等所要解决的问题。冲激响应不变法的本质就是对模拟滤波器的冲激响应h(t)抽样得到数字滤波器的单位抽样响应h(n),因此从模拟域到数字域的变换过程中模拟角频率Ω与数字角频率ω(或圆周频率)的关系是线性变换ω=ΩT,所以第一步里要做的“将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标”的转变规则就是Ω=ω/T(ω=ΩT的变形);而双线性变换法有些不同,为了做到从s域到z域的映射是一对一的关系,从模拟域到数字域的变换过程中模拟角频率Ω与数字角频率(或圆周频率)的关系是非线性变换ω=2arctan(TΩ/2),因此第一步里要做的“将数字域频率ω规定的数字滤波器指标转变成模拟滤波器设计指标”的转变规则就是Ω=(2/T)tan(ω/2)(ω=2arctan(TΩ/2)的变形),此步即所谓双线性变换法中的预畸变。

            经过以上分析可知,因为在第一步和第二步中从数字角频率ω变到模拟角频率Ω,再从模拟角频率Ω变到数字角频率ω,两次变换是对称的,只要两次变换过程的T是相同的即可,T的取值是无关紧要的。这里是不会违背抽样定理的,以冲激响应不变法设计IIR低通滤波器为例,设阻带截止频率为ωst,转换为模拟指标Ωstst/T,离散化时抽样角频率为Ωs=2π/T,由于ωst必然小于等于π,Ωs必然大于等于2Ωst,即满足抽样定理而与T无关。

            这里需要注意的是,有些时候,题目给出的指标不是“用数字域频率ω来规定数字滤波器的指标”,而是“用模拟频率f(或模拟角频率)来规定滤波器的指标”,这个时候首先要用系统实际的抽样频率fs将用模拟频率f(或模拟角频率)规定的滤波器的指标”转变成“用数字域频率ω规定的数字滤波器的指标”,转换关系为ω=ΩT,后面的设计就和前面描述一致了,即数字到模拟和模拟再到数字的两个过程,只要保证是同一个T即可,T是一个无关紧要的参数,当然你非要取成系统抽样频率也是可以的(T=1/fs)。比如教材第127页的例4.3,题目是用模拟频率给出的滤波器指标,.因此先转换成数字角频率给出的滤波器指标,再进行预畸变,然后用预畸变后的指标设计模拟滤波器,再采用双线性变换法进行离散得到IIR数字滤波器。

            

    三、结语

            关于参数T为什么是一个无关紧要的参数这个问题是数字信号处理初学者经常困惑的一个问题,至少我在学习时就很困惑,尤其是遇到上面提到的例4.3之类的题目时就更晕了,为什么开始第(1)步要用题目给出的fs,而在后面的第(2)步往后T不是1/fs却成了一个无关紧要的参数?这里我斗胆责怪一下教材的编写者,在例4.3中可以看到,在(1)里有符号T,在(2)里也有符号T,但确切的讲二者不是一个T,不是一个T为什么要用同一个符号呢?我想这可能是混淆理解的原因之一吧。

            末了,用一幅图来结束本文吧:


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  • 如此来说,对于一个有n个连杆的机械臂,要描述每个连杆的位姿(位置+姿态)应该要6个参数才对,那么要描述整个机械臂就需要6n个参数,可为什么DH参数法里面每根连杆只用了四个就描述完全了? 这因为我...

    在一个三维空间里,我们知道要表征一个完全自由的坐标系共需要6个自由度:

    • 三个用来表征姿态(orientation)roll-pitch-yaw
    • 三个用来表征位置(position) x-y-z

    如此来说,对于一个有n个连杆的机械臂,要描述每个连杆的位姿(位置+姿态)应该要6个参数才对,那么要描述整个机械臂就需要6n个参数,可为什么DH参数法里面每根连杆只用了四个就描述完全了?

    这是因为我们在按照DH参数法定义坐标系的时候,潜移默化的默认了两个限制条件。我们看下图a,b,c这三个坐标系
    在这里插入图片描述
    a经过绕y轴的旋转变成c,c经过y轴方向上的平移成为b。现在尝试一下用我们所学的D-H法描述b和c坐标系看看?
    描述不出来
    不光这两个转换描述不出来,任何绕y轴的旋转和沿着y轴的平移的组合都没办法用DH方法描述。
    提取出核心条件描述就是:

    1. 条件一:下一个坐标系的x轴必须垂直于上一个坐标系的z轴
    2. 条件二:下一个坐标系的x轴必须与上一个坐标系的z轴相交

    正是因为这两个限制条件决定了我们可以只用4个参数完全描述新的坐标系。现在你可以放心大胆的使用DH法了

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  • 文章末尾对机器学习的规律总结。机器学习这么多算法记住很难的,如果懂别人...记住别人怎么想到这个算法以及各个概念之间的联系,各个方法有什么用,这些最重要。本文就是从还原算法怎么想到的角度来讲而不是纯粹...

    文章末尾对机器学习的规律总结。机器学习这么多算法记住是很难的,如果懂别人怎么想到这个算法的那就容易多了。学习机器学习一定不要死记。记住别人怎么想到这个算法以及各个概念之间的联系,各个方法有什么用,这些最重要。本文就是从还原算法怎么想到的角度来讲而不是纯粹推导,解释了各个概念之间的联系。

    逻辑回归到底是什么?要优化什么参数?为何要优化这些参数?

    逻辑回归它输入是样本,输出是样本输入某个类的概率。逻辑回归只能分类出两种类,是一个二分类算法。也就是说f(x)f(x)f(x)输出是属于类A的概率。那么如果某个样本不属于A呢则它属于B的概率是1−P(A)=1−f(x)1-P(A)=1-f(x)1P(A)=1f(x)。因为逻辑回归输出的是A的概率即f(x)=P(A)即f(x)=P(A)f(x)=P(A)。逻辑回归里面它认为模型是一条曲线。这条曲线的函数长下面这样,其中w,bw,bw,b是我们要设置的参数。选择一种w,bw,bw,b相当于我们假设了一种模型。
    在这里插入图片描述
    比如w=2,b=1w=2,b=1w=2,b=1那么将w=2,b1=w=2,b1=w=2,b1=代入进去,就变成了。这样的取值可以有很多很多,没选择一种取值就假设了一种模型。那么哪种是最好的呢?这个问题就变成了,w,bw,bw,b到底是多少才是最好。w,bw,bw,b这就是我们要优化的参数。
    在这里插入图片描述

    逻辑回归和线性回归最大区别地方有两个

    • 是线性回归它认为模型是一条直线,逻辑回归它认为模型是一条曲线。
    • 是优化参数的方法。线性回归就是想让各个样本点离画出来的直线的平均距离尽可能短。而逻辑回归则不是算平均距离。它是用概率来优化的。优化方法叫做极大似然法。还是不懂要优化什么参数?和怎么优化的?看下面的:

    极大似然法怎么优化逻辑回归的参数的?

    f(x)f(x)f(x)的输入是一个样本,输出是这个样本属于各个类的概率。假设这个样本属于A类,那我是不是希望模型f(x)f(x)f(x)输出的概率中认为样本属于A类的概率越大越好?换句话说就是,w,bw,bw,b各种可能的取值对应各种假设的模型。能让模型认为样本属于A类的概率最大的那种情况的参数是最好的,这就是极大似然法的动机。

    极大似然法优化逻辑回归的原理?

    我们选择了w,bw,bw,b的一种可能的取值然后确定了一个模型f(x)f(x)f(x)。现在有N个样本,输入到模型f(x)f(x)f(x)。那么会有N个值,这N个值表明了这些样本属于样本A的概率。他们同时发生的概率就是这些概率相乘。

    这些样本都是自己有标签的。我们希望模型输出来他们属于它标签的那个类的概率尽可能的大。这个想法就是极大似然法的想法。那么现在问题来了,模型计算他们属于它标签的那个概率?
    答:模型输出都是样本属于A的概率。逻辑回归只能分出两种类,要么是A要么不是A。现在我们知道了样本属于A的概率,那么样本属于B的概率=样本不属于A的概率。
    举个例子f(样本1)=0.1f(样本1)=0.1f(1=0.1,然后样本1的标签是B,那么模型计算出来样本属于B的概率是1−f(样本1)=1−0.11-f(样本1)=1-0.11f(1=10.1

    我们模型认为样本属于A或B来计算概率的分成两个公式,这个很麻烦。
    能不能一个公式就能算出来默认认为样本属于它所在那个表标签的概率
    于是就有了下面这个公式,有两个类一个是1另一个是0. 样本的标签是yiy_iyi。当样本属于1的时候,1−yi=01-y_i=01yi=0意味着后面那个式子等于1也就是没有了。当样本属于0的时候,yi=0y_i=0yi=0意味着前面面那个式子没有了。
    在这里插入图片描述
    上面这个式子就是我们假定的w,bw,bw,b下模型计算出各样本属于他们标签的概率。我们要做的是不断改动w,bw,bw,b,找到一个让上面那个式子最大的w,bw,bw,b。这就是极大似然做的事。根据概率找最优的参数。
    那怎么找呢?用梯度下降。梯度下降不理解可以看看这个知乎回答,非常推荐:如何理解梯度下降。本文主要是为了打破一些概念性的障碍,让你对这些概念之间的联系有了解。如果你想学习梯度下降实践可以看看这篇文章 适合初学者的神经网络理论到实践(1): 神经网络实战:单个神经元+随机梯度下降学习逻辑与规则
    由于连乘不好计算导数(对连乘求导要用到乘法求导法则很麻烦),所以一般是消掉连乘。两边取对数就可以消掉。而且log是单调增,它最值点还是和原先最值点一样。所以求得的最优参数和原先的解是一样的。

    神经网络和逻辑回归的关系?

    答:逻辑回归就是神经网络中的一个神经元。

    机器学习小总结

    其实机器学习算法看起来很多事实上本质上就是 假设数据符合某个模型+建立误差模型+梯度下降求解未知。

    我谈谈自己的看法吧:

    1. 线性回归:它假设数据是一条直线。然后误差模型是各个点和直线之间的距离平均值要最短。然后用梯度下降求解直线的斜率和截距。
    2. 逻辑回归:它假设数据是一条"S"曲线,输入一个样本输出它属于某个类的概率,只能分出两个类。然后误差模型是通过概率来算的。它尝试参数各种可能的情况,然后选择能让模型计算出样本属于它标签的那个类的概率最大。比如样本1标签是A,模型计算出样本1属于A类的概率是f(样本1),那么我就要调整模型的参数使得f(样本1)尽可能的趋近于1. 让这个概率尽最大的那个参数是最优参数。得到最优参数就得到了一个"S"曲线。这就是我们的模型。
    3. 决策树 :它假设数据可以用if else这样的树状结构来分类。然后也是根据概率来求树的结构是怎样的。
    4. SVM:它假设数据可以用两条直线划分开来。和线性回归很像。然后让这两条直线尽可能区分开数据,并且这两条直线距离尽可能的远。优化的参数就是两条直线斜率和截距。求解最优参数还是梯度下降。
    5. 可以看到,机器学习套路一般是先假设数据可以被哪种模型区分开,然后建立一个模型。然后用梯度下降求解模型中未知参数的最优解。

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    [1] 知乎专栏《适合初学者的神经网络机器学习入门理论到实践
    [2] 知乎人工智能、机器人专注初学者教程答主 Ai酱

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